SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn thi: TỐN (Dành cho lớp chun) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có trang, câu Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + parabol (P): y = - x2 a Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm (1; 2); b Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2) Tìm m để (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 25 Câu (2 điểm) 2y  3x  x 1  y 1   a Giải hệ phương trình  ;  2x  3y  10  x  y  b Tìm x, y thỏa mãn x – y + = x  y  x  Câu (2 điểm) a Cho tam giác ABC vuông A, điểm M di động cạnh BC, gọi D, E hình chiếu M AB, AC Tìm vị trí điểm M để DE có độ dài nhỏ b Với x số thực Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = 3x  x2 1 Câu (3 điểm) Cho đường tròn đường kính AB; C điểm đường tròn (C khác A, B) Gọi I giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC, tia AI, CI cắt đường tròn D, E a Chứng minh tam giác EAI cân; b Chứng minh: IC.IE = IA.ID; c Giả sử biết BI = a, AC = b Tính AB theo a, b Câu (1 điểm) Chứng minh số có dạng 20142014 2014 có số chia hết cho 2013 ĐÁP ÁN Câu Câu Ý a điểm b Câu a N i un nh ày Điểm Đường thẳng (d) qua điểm (1; 2) = 2.1 – m + Vậy: m = Đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt x2 + 2x – m+1=0 có hai nghiệm phân biệt  '  m  Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + Có: y1 = 2x1 – m + 1, y2 = 2x2 – m + => y1 – y2 = 2(x1 – x2) Nên: 25 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 5(x1 – x2)2 => (x1 – x2)2 = Hay: (x1 + x2)2 - 4x1x2 = => – 4(- m + 1) = => m = 5/4 (t/m) Đặt u  x y ; v x 1 y 1  3u  2v   9u  6v  u    2u  3v  10 4u  6v  20 v  0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có: x – y + = x  y  x   x  y   x  y  x   0,25  Hay: Suy ra:  x  y 1  x   0,25  0,25  x  y 1  x    x  y 1  x   Vì có: x = 2; y = điểm 0,25 Vậy hệ có nghiệm (2; -2) b Câu 0,25 0,25 x y   x  2;   y  2 x 1 y 1 Từ: 0,5 0,25 Khi có hệ:  điểm 0,5 A a D B E M C 0,25 Do: ADM  AEM  DAE  900 nên ADME 0,25 hình chữ nhật 0,25 Nên : DE = AM DE nhỏ AM nhỏ AM  BC 0,25 Vì : M chân đường cao hạ từ A 0,25 3x  A =  A(x  1)  3x   Ax  3x  A   , (*) có nghiệm x b x 1 Nếu A = từ (*) có : x = -4/3 Nếu A  có :    4A(A  4)  4(A  2)2  25   Vậy : A  1 b x   3; max A  x  2a 1 A 2 0,25 0,25 0,25 0,25 a Vẽ hình để chứng minh a F Câu I điểm A Do AD, CE đường phân giác nên : 0,25 D O B DC  DB, EB  EA Do đó: DC  EA  DB  EB Suy ra: AIE  IAE Vậy: tam giác EAI cân E E b Ta có: AIE  CID (đối đỉnh) EAI  DCI (cùng chắn cung DE) Suy ra: c 0,25 0,25 AC cắt BD F Do AD vừa đường phân giác vừa đường cao nên  ABF cân Do AF = AB = x > Do: DIB  IBA  IAB  450 nên  BID vuông cân suy ra: DB = a/ => BF = a Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ACB BCF có: BC2 = AB2 – AC2 = BF2 – CF2 hay: x2 – b2 = 2a2 – (x – b)2 x2 bx - a2 = b  b  4a 2 (loại), x = b  b  4a Vậy AB = b  b  4a 2 điểm 0,25 0,25 IC ID   IC.IE  IA.ID IA IE Có: x = 0,25 0,25 Do : ICD IAE Câu 0,25 C 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta xét 2014 số khác có dạng 20142014…2014 = an, có n 2014 n  N* 0,25 Trong 2014 số có hai số chia cho 2013 có số dư Giả sử số , aj (j > i) Khi aj – 2013 hay: 20142014 2014  20142014 2014  20142014 20140000 0000 2013 0,25 j sơ 2014 jí sô 2014 i sô 2014 4i sô 4i Số có dạng 20142014…2014 10  2013 Vì UCLN(10, 2013) = nên UCLN(10n, 2013) = với n  N* Vậy: có số dạng 20142014…2014 chia hết cho 2013 0,25 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUN Năm học 2010- 2011 Mơn thi: TỐN (Thời gian : 150 phút – không kể thời gian phát đề) Câu 1: (4 điểm)   1) Giải hệ phương trình    2) Giải phương trình :   Câu 2: ( điểm) Cho phương trình x2 – ( 2m + 1) x + m2 + m – = ( x ẩn số ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt    thỏa Câu 3: (2 điểm ) Thu gọn biểu thức: A= Câu 4: ( điểm ) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P điểm cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP BC cắt M.Chứng minh : a) b)MA.MP =BA.BM Câu : ( điểm ) a) Cho phương trình ( x ẩn số m, n số ngun).Giả sử phương trình có nghiệm số nguyên Chứng minh hợp số b) Cho hai số dương a,b thỏa Tính P= Câu : ( điểm ) Cho tam giác OAB vuông cân O với OA=OB =2a.Gọi (O) đường tròn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) cho MA+2MB đạt giá trị nhỏ Câu 7: ( điểm) Cho a , b số dương thỏa HẾT  Chứng minh  Hướng dẫn chấm Câu Điểm Câu:1: ( điểm Câu   1) Giải hệ phương trình                       2) Giải phương trình : Đặt    , pt trở thành: t + t - 12 =  t=3 hay t=-4    t =3 =>   t= -4 =>    ( vơ nghiệm) Vậy pt có hai nghiệm x =- , x =3/2 Câu : (3 điểm ) Cho phương trình x2 – ( 2m + 1) x + m2 + m – = ( x ẩn số ) (*) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt    thỏa ’=         , với Vậy (*) ln có nghiệm phân biệt với m =2m-1 ; =2m+3  (3 đ) Câu ( đ)  0,5 x4 đ ( đ) Câu                 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0.5 đ           0,5 đ  1,5 đ  Câu : ( điểm) Thu gọn biểu thức: A= Xét M = Ta có M > A= -(     , suy M = 1đ -1)=1 1đ Câu ( đ) Câu : ( điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P điểm cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP BC cắt M.Chứng minh : a) b)MA.MP =BA.BM A x P = = O x M B C  a) b)  MAC  Câu   s đ (sđ )=   MBP (g-g)     sđ )= = 2đ 1đ   1đ Câu 5: ( điểm) a)Cho phương trình ( x ẩn số m, n số nguyên).Giả sử phương trình có nghiệm số nguyên Chứng minh hợp số nghiệm phương trình  Gọi ( đ) s đ (sđ = =           Ta có    a=b=1  P=       =2              0,5 đ  ,   0,5 đ hợp số 0,5 đ  số nguyên lớn nên b)Cho hai số dương a,b thỏa      Tính P=  1đ 0,5 đ Câu Câu 6: ( điểm) Cho tam giác OAB vuông cân O với OA=OB =2a.Gọi (O) đường tròn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) cho MA+2MB đạt giá trị nhỏ ( đ) Đường thẳng OA cắt (O) C D, với C trung điểm OA.Gọi E trung điểm OC *Trường hợp M không trùng với C vá D  Hai tam giác OEM OMA đồng dạng (  Câu     )  1đ * Trường hợp M trùng với C : MA=CA=2.EC=2.EM * Trường hợp M trùng với D: MA=DA=2.ED=2.EM Vậy ta có MA=2.EM MA+2.MB=2(EM+MB)  2.EB = số Dấu “=” xảy M giao điểm đoạn BE với đường tròn (O) Vậy MA +2.MB nhỏ M giao điểm đoạn BE với đường tròn (O) Câu : ( điểm)  Cho a , b số dương thỏa ( đ)   Ta có:         a+2b                          ( đúng)   Chứng minh 0,5 đ 0,5 đ  0,5 đ   0,5 đ ( đúng) Từ (1) (2) suy         (   ) 1đ SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Đề thức KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Ngày thi: 15/6/2013 Thời gian làm bài: 150’  x 2 x 2 Bài 1: ( 2,5 đ) Cho biểu thức: Q     x  x ( Với x ≥ ; x ≠ 1)  x  x 1 x 1    Rút gọn Q 2.Tìm giá trị nguyên x để Q nhận giá trị nguyên x  13  x   y   10  Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình:    2y    11  x  y    bc ca ab    a  b  c a b c Bài 4: (3 đ) Cho đường tròn (O,R) đường thẳng (d) khơng qua O cắt đường tròn hai điểm A,B Lấy điểm M tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn ( C,D tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB CMR điểm M,D,O,H nằm đường tròn Đoạn OM cắt đường tròn điểm I CMR I tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD Đường thẳng qua O, vng góc với OM cắt tia MC, MD theo thứ tự P Q Tìm vị trí điểm M (d) cho diện tích ∆ MPQ bé Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c số thực dương CMR : Bài 5: (1 đ) : Không dùng máy tính, rút gọn biểu thức: A   13   13  -* - HƯỚNG DẪN GIẢI  x 2 x 2 Bài 1: ( 2,5 đ) Cho biểu thức: Q     x  x ( Với x ≥ ; x ≠ 1)  x  x 1 x 1    1.Rút gọn Q       x 2 x 2 x 2 x 2 Q    x x   x x 1  x  x 1 x 1  x 1 x 1   x 1         x 2  x  1   x    x  1 x  1   x 1     x   x 1     x x 2x x 2   x 1  x 1  x 2x x 1 2.Tìm giá trị nguyên x để Q nhận giá trị nguyên: 2x Q=  2  Q   x  1 U(2)= 2; 1;1;2  x  1;0;2;3 Kết hợp với x 1 x 1 điều kiện => x  0;2;3 Vậy với x  0;2;3 Q nhận giá trị nguyên Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình: x    13 13 3  x   y   10 1  x   y   10  x   y   10    ( ĐK x ≠ 3; y ≠ -1)      2y    11      11   1  x  y   x   x  y  6 y 1 1 Đặt a = ; b= ta hệ x 3 y 1     a  3b  a     10  x  10  x  13 10 :      (TMDK)  y  14 3a  2b  b    15  y  15   Vậy hệ pt có nghiệm (x;y) = (13;14) bc ca ab    a  b  c Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c số thực dương CMR : a b c a,b,c số thực dương => Theo BĐT Cô-Si ta được:  bc ca bc ca  2  2c  a b a b    bc ca ab  ca ab ab ca bc ca ab  2  2a         a  b  c      a bc b c c b a b c a b c     bc ab bc ab  2  2b  a c a c  Bài 4: (3 đ) CMR điểm M,D,O,H nằm đường tròn HA=HB => OH  AB ( đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm) => OHM = 900 ... ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2013-2014 Đề thi môn: TOÁN (chuyên) Ngày thi: 30/6/2013 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) Câu (2,0 điểm)... CHÍNH THỨC ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2 010 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 25/6/2009 Thời gian làm 150 phút (Dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin) Bài I (3 điểm) (n-8)2-48... TẠO HẢI PHỊNG ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂNG KHIẾU TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2012- 2013 Mơn thi: TỐN (chun)Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 25 tháng năm 2012 Đề thi gồm : 01