1/4 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2010- 2011 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút MÔN: TOÁN ĐIỂM CỦA BÀI THI Các giám khảo (Họ tên và chữ ký) Số phách Bằng số …………………………………. 1. ……………………………………………………………………… Bằng chữ …………………………………. 2. ……………………………………………………………………… Chú ý: 1. Nếu không nói gì thêm hãy tính chính xác đến 7 chữ số thập phân. 2. Ghi tóm tắt kết quả vào ô trống hoặc trình bày tóm tắt bài làm (nếu có yêu cầu ); không thêm ký hiệu gì khác. Đề bài Công thức tính và kết quả Câu 1: (2 điểm) Cho 2010 5 2011a =− . Hãy tính: a. A = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 2 1 1 : 1 2 1 aaaa a a a a b. B= 1 1 a aaa ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ −− ⎠ ⎝ : 12 1 1 a a ⎛⎞ + ⎜⎟ − + ⎝⎠ a. b. Câu 2: (2 điểm) Giải phương trình: 24 - 9 x - 1 x 4 x 2 =++ Câu 3: (2 điểm) Cho tam giác ABC, C=90 o , AB=a, ˆ A=α , CM, CN lần lượt là đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác. - Tính AC, BC và diện tích các tam giác ABC, CNM. - Áp dụng với a=6.56cm và α= 56 o 68’. Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6x 2 + 5y 2 = 74 Câu 5: (2 điểm) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a, b, c) thoả mãn: 32 3 (2)()0ab a acb cc a+− +−= 2/4 Câu 6: (2 điểm) Giải hệ phương trình: 3 1) - xy )( y x ( 10 ) 1 y )( 1 x ( 22 ⎩ ⎨ ⎧ =+ =++ Tóm tắt lời giải: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 7: (2 điểm) Tính tổng : 22 22 2 2 11 11 1 1 1 1 . 1 2 3 3 4 2010 2011 S =++++++++ + Tóm tắt lời giải: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3/4 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 8: (2 điểm) Các đường cao AH, BE và CF của tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại các điểm thứ hai tương ứng M, N và K. Tính: AM BN CK ++ AH BE CF Tóm tắt lời giải: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 9: (2 điểm) Cho P= 2 3661 34 mn+− + . Tìm tất cả các số tự nhiên m, n để P là số nguyên tố. Tóm tắt lời giải: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4/4 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 10: (2 điểm) Cho tam giác ABC. O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC,CA và AB lần lượt tại P,Q,R. Tìm giá trị nhỏ nhất của OA OB OC ++ OP OQ OR Tóm tắt lời giải: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5/4 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2010- 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN: TOÁN Chú ý: 1. Với những trường hợp không nêu công thức mà chỉ cho kết quả trừ 1/4 số điểm 2. Với những câu có 2 ý (a và b) thì mỗi ý 1 điểm. 3. Với những trường hợp thừa nghiệm (do không xét điều kiện) trừ 1/4 số điểm. 4. Với những câu yêu cầu trình bày, thí sinh không cần viết cách giải các phương trình và hệ mà máy tính hỗ trợ sẵn như: phương trình bậc 2 một ẩn, hệ bậc nh ất hai ẩn,… 5. Nếu học sinh giải bằng cách khác nhưng đúng vẫn được nguyên điểm. Đề bài Công thức tính và kết quả Câu 1: (2 điểm) Cho 2010 5 2011a =− . Hãy tính: a. A = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 2 1 1 : 1 2 1 aaaa a a a a b. B= 1 1 a aaa ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ −− ⎠ ⎝ : 12 1 1 a a ⎛⎞ + ⎜⎟ − + ⎝⎠ a. A a+= 1 ≈ 43.258 479 9 b. B= a a 1 − ≈ 42.282 143 8 Câu 2: (2 điểm) Giải phương trình: 24 - 9 x - 1 x 4 x 2 =++ x = 4 - 4 2 ≈ -1.656 854 2 Câu 3: (2 điểm) Cho tam giác ABC, C=90 o , AB=a, ˆ A=α , CM, CN lần lượt là đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác. Tính AC, BC và diện tích các tam giác ABC, CNM. Áp dụng với a=6.56cm và α= 56 o 68’. AC=a.cosα≈ 3.560 019 1 BC=a.sinα≈ 5.509 978 4 S ABC = 2 1 sin .cos 2 a α α ≈ 9.807 815 0 S CNM = 2 acosα.sinα(sinα-cosα) 4(cosα+sinα) ≈ 1.054 291 1 Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6x 2 + 5y 2 = 74. (3, 2), (3, -2), (-3, 2), (-3, -2) Câu 5: (2 điểm) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a, b, c) thoả mãn: 32 3 (2)()0ab a acb cc a+− +−= (a,b,c)={(1,n, n), (1, m, m-1)} với mọi n,m∈N và n≥1, m>1. (Nếu thiếu (1,1,1) trừ 0.5) Câu 6: (2 điểm) Giải hệ phương trình: 3 1) - xy )( y x ( 10 ) 1 y )( 1 x ( 22 ⎩ ⎨ ⎧ =+ =++ Hướng dẫn: Hệ tương đương: 3 1) - xy )( y x ( 10 1 y x yx 2222 ⎩ ⎨ ⎧ =+ =+++ ⇔ 3 1) - xy )( y x ( 10 1) - (xy y) (x 22 ⎩ ⎨ ⎧ =+ =++ Đặt: u = x + y; v = xy - 1Hệ trở thành: 3 u.v 10 v u 22 ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ 3 u.v 16 v) u ( 2 ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ 3 u.v 4 v u ⎩ ⎨ ⎧ = ±=+ (1 điểm) 6/4 - Nếu 3 u.v 4 v u ⎩ ⎨ ⎧ = =+ thì ta có: 1 v 3 u ⎩ ⎨ ⎧ = = hoặc 3 v 1 u ⎩ ⎨ ⎧ = = + Với 1 v 3 u ⎩ ⎨ ⎧ = = thì 1 1 - xy 3 y x ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ 2 xy 3 y x ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ (x ; y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) + Với 3 v 1 u ⎩ ⎨ ⎧ = = thì 3 1 - xy 1 y x ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ 4 xy 1 y x ⎩ ⎨ ⎧ = =+ vô nghiệm. (0,5 điểm) - Nếu 3 u.v 4 v u ⎩ ⎨ ⎧ = −=+ thì ta có: 1- v 3- u ⎩ ⎨ ⎧ = = hoặc 3- v 1- u ⎩ ⎨ ⎧ = = + Với 1- v 3- u ⎩ ⎨ ⎧ = = thì 1- 1 - xy 3- y x ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ 0 xy 3- y x ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ (x ; y) = (- 3; 0) ; (0 ; - 3) + Với 3- v 1- u ⎩ ⎨ ⎧ = = thì 3- 1 - xy 1- y x ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ 2- xy 1- y x ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ (x ; y) = (-2 ; 1) ; (1; - 2) (0,5 điểm) Tóm lại hệ đã cho có 6 nghiệm: (x;y)={ (2;1);(1;2);(- 3;0);(0;-3);(-2;1);(1;-2) } Câu 7: (2 điểm) Tính tổng : 22 22 2 2 11 11 1 1 1 1 . 1 2 3 3 4 2010 2011 S =+++++ +++ + Hướng dẫn: Ta có: 6 7 )3.2( 4936 3 1 2 1 1 222 = ++ =++ 12 13 )4.3( 416144 4 1 3 1 1 222 = ++ =++ ………… 222 22 2 1 1 (2010.2011) 2010 2011 2010.2011 1 1 2010 2011 (2010.2011) 2010.2011 + ++ ++= = (1 điểm) Vậy: 7 13 2010.2011 1 . 6 12 2010.2011 S + =+ ++ = 11 1 1 1 . 1 6 12 2010.2011 +++ +++ = 1111 1 1 2009 . 2 3 3 4 2010 2011 ⎛⎞ + −+−++ − ⎜⎟ ⎝⎠ (vì từ 2 → 2010 có 2009 số) = 1 1 2009 8078189 2009 2009 2 2011 4022 4022 ⎛⎞ +− = + = ⎜⎟ ⎝⎠ ≈ 2008,500 497 3 (1 điểm) (Nếu thiếu chữ số cuối cùng ở đáp số trừ 0,25 điểm) Câu 8: (2 điểm) Các đường cao AH, BE và CF của tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại các điểm thứ hai tương ứng M, N và K. Tính: AM BN CK ++ AH BE CF 7/4 Hướng dẫn: Gọi I là trực tâm của tam giác ABC. Do AFHC và ABMC là các tứ giác nội tiếp nên các góc: ∠BCM =∠BAM=∠ICH. Suy ra ΔICM cân .Ta có IH =HM. Tương tự: EI = EN , IF = KF . (1 điểm) Do đó: AM BN CK HM NE KF ++=3+ ++ AH BE CF AH BE CF IH IE IF 3++ AH BE CF =+ ΔBIC ΔCIA ΔAIB ΔABC ΔABC ΔABC SS S 3+ SSS =+ + = 4 (1 điểm) Câu 9: (2 điểm) Cho P= 2 3661 34 mn+− + . Tìm tất cả các số tự nhiên m, n để P là số nguyên tố. Hướng dẫn: Vì P ∈ N* nên 3m 2 + 6n - 61 ≥ 0. Ta thấy: 3m 2 + 6n – 61 chia cho 3 dư 2. Đặt 3m 2 + 6n – 61= 3k + 2 (k ∈ N). Khi đó P 32 349.274 kk+ = += +. Vì 27= 1( mod 13) => 27 k .9 = 9(mod 13) => P M 13 Vì P là số nguyên tố =>P=13 32 39 k + ⇔= 2 3m + 6n - 61=2⇔ 2 2210mn⇒+−= 2 21m⇒< và m lẻ => m 2 =1 hoặc m 2 =9. - Nếu : m 2 =1 => m = 1 và n=10. - Nếu m 2 =9 => m=3 và n=6. Vậy (m,n)={ (1, 10), (3, 6) } (2 điểm) Câu 10: (2 điểm) Cho tam giác ABC. O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC,CA và AB lần lượt tại P,Q,R. Tìm giá trị nhỏ nhất của OA OB OC ++ OP OQ OR R P Q A C B O Hướng dẫn: Gọi S 1 , S 2 , S 3 , S lần lượt là diện tích các tam giác BOC, COA, AOB, ABC. Đặt S 1 =x 2 , S 2 =y 2 , S 3 =z 2 suy ra: S = x 2 +y 2 +z 2 . Từ đó ta có: 2 22 2 222 1 11 x zy OP AO x zyx S S OP AP + +=+⇔ ++ == x zy OP AO x zy OP AO 22 2 22 + =⇔ + =⇔ Tương tự: y xz OQ BO 22 + = và z yx OR CO 22 + = . (1 điểm) Do đó: =++ OR OC OQ OB OP OA x zy 22 + + y xz 22 + + z yx 22 + + + ≥ x zy 2 + + y xz 2 z yx 2 + 23 2 6 )( 2 1 =≥+++++≥ z y z x y z y x x z x y . Vậy: 23≥++ OR OC OQ OB OP OA ≈ 4.242 640 7 (1 điểm) 8/4 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Đề bài Công thức tính và kết quả Câu 1: (2 điểm) Cho 2010 5 2011 a =− . Hãy tính: a. A = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 2 1 1 : 1 2 1 aaaa a a a a b. B= 1 1 a aaa ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ −− ⎠ ⎝ : 12 1 1 a a ⎛⎞ + ⎜⎟ − + ⎝⎠ a. A a+= 1 = 43.25847994 b. B= a a 1 − =42.28214383 Câu 2: (2 điểm) Giải phương trình: 24 - 9 x - 1 x 4 x 2 =++ Hướng dẫn: Phương trình tương đương: 1 - 22 x - 1 2 x =+ - Nếu 1 2 x + ≥ 0 ⇔ x ≥ -2, PT là: x + 2 - 2x = 4 2 - 2 ⇔ x = 4 - 4 2 (thoả mãn). - Nếu 1 2 x + < 0 ⇔ x <-2 , PT là: x =- 4 2 /3, không thỏa mãn điều kiện: x <-2. Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = 4 - 4 2 = -1.656854249. Câu 3: (2 điểm) Cho tam giác ABC, C=90 o , AB=a, ˆ A=α , CM, CN lần lượt là đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác. Tính AC, BC và diện tích các tam giác ABC, CNM. Áp dụng với a=6.56cm và α = 56 o 68’. N M H C A B Hướng dẫn: Vẽ đường cao CH, Tính: AC=AB.cosA=a.cos α = 3.560 019 149 BC=AB.sinA=a.sin α = 5.509 978 379 S ABC = 2 11 .sin.cos 22 AC BC a α α = = 9.807 815 013 AN BN AN+BN 1 == = AC BC AC+BC cosα+sinα , AC a.cosα AN= = cosα+sinα cosα+sinα , CH=AC.sin α =a.sin α .cos α Suy ra: S CNM = 2 1acosα.sinα(sinα-cosα) CH.NM= 24(cosα+sinα) = 1.054 291 147 Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6x 2 + 5y 2 = 74. Hướng dẫn: x, y nguyên nên 5y 2 M 2 và UCLN(5,2)=1 nên y 2 M 2=> y M 2 (2 là số nguyên tố). Mặt khác: 5y 2 74≤ }9,4,1,0{14 22 =⇒≤⇒ yy . Vậy y 2 = 0 hoặc y 2 = 4. - Với y 2 =0 ta có: 6x 2 =74 do x 2 nguyên nên ta loại. - Với y 2 =4 ta có: 6x 2 =54 hay 2,3 ±=±= yx Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên: (3, 2), (3, -2), (-3, 2), (-3, -2) Câu 5: (2 điểm) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a, b, c) thoả mãn: 32 3 (2)()0ab a acb cc a+− +−= Hướng dẫn: Ta có: điều kiện đã cho tương đương: 9/4 22 ()()(1)(1) ab c a ab c a b a b −+ −= − + 2 22 ()(1)(1) 24 aa ab c a b a b ⇔ −+ = − + + (1) Để (a, b, c) nguyên dương thoả mãn (1) thì 2 2 (1 )( 1) 4 a ab a b≥−+ , điều này xảy ra khi a=1, từ đó suy ra: 2 11 () 24 bc−+ = b=c b=c-1 ⎡ ⇔ ⎢ ⎣ Vậy các bộ (a, b,c)={(1,n, n), (1, m, m-1)} với mọi n,m ∈ N và n≥1, m>1. Câu 6: (2 điểm) Giải hệ phương trình: 3 1) - xy )( y x ( 10 ) 1 y )( 1 x ( 22 ⎩ ⎨ ⎧ =+ =++ Hướng dẫn: Hệ tương đương: 3 1) - xy )( y x ( 10 1 y x yx 2222 ⎩ ⎨ ⎧ =+ =+++ ⇔ 3 1) - xy )( y x ( 10 1) - (xy y) (x 22 ⎩ ⎨ ⎧ =+ =++ Đặt u = x + y ; v = xy - 1 Hệ trở thành: 3 u.v 10 v u 22 ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ 3 u.v 16 v) u ( 2 ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ 3 u.v 4 v u ⎩ ⎨ ⎧ = ±=+ - Nếu 3 u.v 4 v u ⎩ ⎨ ⎧ = =+ thì ta có: 1 v 3 u ⎩ ⎨ ⎧ = = hoặc 3 v 1 u ⎩ ⎨ ⎧ = = + Với 1 v 3 u ⎩ ⎨ ⎧ = = thì 1 1 - xy 3 y x ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ 2 xy 3 y x ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ (x ; y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) + Với 3 v 1 u ⎩ ⎨ ⎧ = = thì 3 1 - xy 1 y x ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ 4 xy 1 y x ⎩ ⎨ ⎧ = =+ vô nghiệm. - Nếu 3 u.v 4 v u ⎩ ⎨ ⎧ = −=+ thì ta có: 1- v 3- u ⎩ ⎨ ⎧ = = hoặc 3- v 1- u ⎩ ⎨ ⎧ = = + Với 1- v 3- u ⎩ ⎨ ⎧ = = thì 1- 1 - xy 3- y x ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ 0 xy 3- y x ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ (x ; y) = (- 3; 0) ; (0 ; - 3) + Với 3- v 1- u ⎩ ⎨ ⎧ = = thì 3- 1 - xy 1- y x ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ 2- xy 1- y x ⎩ ⎨ ⎧ = =+ ⇔ (x ; y) = (-2 ; 1) ; (1; - 2) Tóm lại hệ đã cho có 6 nghiệm: (x;y)={ (2;1);(1;2);(- 3;0);(0;-3);(-2;1);(1;-2) } Câu 7: (2 điểm) Tính tổng : 22 22 2 2 11 11 1 1 1 1 . 1 2 3 3 4 2010 2011 S =+++++ +++ + Hướng dẫn: Ta có: 6 7 )3.2( 4936 3 1 2 1 1 222 = ++ =++ 12 13 )4.3( 416144 4 1 3 1 1 222 = ++ =++ ………… 10/4 222 22 2 1 1 (2010.2011) 2010 2011 2010.2011 1 1 2010 2011 (2010.2011) 2010.2011 + ++ ++= = Vậy: 7 13 2010.2011 1 . 6 12 2010.2011 S + =+ ++ = 11 1 1 1 . 1 6 12 2010.2011 +++ +++ = 1111 1 1 2009 . 2 3 3 4 2010 2011 ⎛⎞ +−+−++ − ⎜⎟ ⎝⎠ (vì từ 2→ 2010 có 2009 số) = 1 1 2009 8078189 2009 2009 2 2011 4022 4022 ⎛⎞ +− = + = ⎜⎟ ⎝⎠ = 2008.500 497 265 04000 Câu 8: (2 điểm) Các đường cao AH, BE và CF của tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại các điểm thứ hai tương ứng M, N và K. Tính: AM BN CK ++ AH BE CF Hướng dẫn: Gọi I là trực tâm của tam giác ABC. Do AFHC và ABMC là các tứ giác nội tiếp nên các góc: ∠BCM =∠BAM=∠ICH. Suy ra ΔICM cân .Ta có IH =HM. Tương tự: EI = EN , IF = KF . Do đó: AM BN CK HM NE KF ++=3+ ++ AH BE CF AH BE CF IH IE IF 3++ AH BE CF =+ ΔBIC ΔCIA ΔAIB ΔABC ΔABC ΔABC SSS 3+ SSS =+ + = 4 Câu 9: (2 điểm) Cho P= 2 3661 34 mn+− + . Tìm tất cả các số tự nhiên m, n để P là số nguyên tố. Hướng dẫn: Vì P ∈ N* nên 3m 2 + 6n - 61 ≥ 0. Ta thấy: 3m 2 + 6n – 61 chia cho 3 dư 2. Đặt 3m 2 + 6n – 61= 3k + 2 (k ∈ N). Khi đó P 32 349.274 kk+ = += +. Vì 27= 1( mod 13) => 27 k .9 = 9(mod 13) => P M 13 Vì P là số nguyên tố =>P=13 32 39 k+ ⇔= 2 3m + 6n - 61=2⇔ 2 2210 mn ⇒+−= 2 21 m ⇒< và m lẻ => m 2 =1 hoặc m 2 =9. - Nếu : m 2 =1 => m = 1 và n=10. - Nếu m 2 =9 => m=3 và n=6. Vậy (m,n)={ (1, 10), (3, 6) } Câu 10: (2 điểm) Cho tam giác ABC. O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC,CA và AB lần lượt tại P,Q,R. Tìm giá trị nhỏ nhất của OA OB OC ++ OP OQ OR R P Q A C B O Hướng dẫn: Gọi S 1 , S 2 , S 3 , S lần lượt là diện tích các tam giác BOC, COA, AOB, ABC. Đặt S 1 =x 2 , S 2 =y 2 , S 3 =z 2 suy ra: S = x 2 +y 2 +z 2 . Từ đó ta có: 2 22 2 222 1 11 x zy OP AO x zyx S S OP AP + +=+⇔ ++ == x zy OP AO x zy OP AO 22 2 22 + =⇔ + =⇔ Tương tự: y xz OQ BO 22 + = và z yx OR CO 22 + = . Do đó: . 3m + 6n - 61=2⇔ 2 2210 mn ⇒+−= 2 21 m ⇒< và m lẻ => m 2 =1 hoặc m 2 =9. - Nếu : m 2 =1 => m = 1 và n=10. - Nếu m 2 =9 => m= 3 và n=6. Vậy (m, n)={. n=10. - Nếu m 2 =9 => m= 3 và n=6. Vậy (m, n)={ (1, 10), (3, 6) } (2 đi m) Câu 10: (2 đi m) Cho tam giác ABC. O là m t đi m bất kỳ n m trong tam giác. Các