Chuyờn II. I S T HP A. KIN THC CN NH V I S T HP. 1. Quy tc cng 1: Gi s mt cụng vic cú th c thc hin bi k phng ỏn A 1 , A 2 , ., A k . V cú n 1 cỏch thc hin phng ỏn A 1 , n 2 cỏch thc hin phng ỏn A 2 , ., n k cỏch thc hin phng ỏn A k . Khi ú cú n 1 + n 2 +n k cỏch thc hin cụng vic. Quy tc cng 2: Nu A, B l hai tp hp hu hn phn t khụng giao nhau thỡ A B A B = + Quy tc cng m rng: Cho A, B l hai tp hp hu hn phn t A B A B A B = + 2. Quy tc nhõn: Gi s mt cụng vic cú th c thc hin bi k cụng on A 1 , A 2 , ., A k . V cú n 1 cỏch thc hin cụng on A 1 , n 2 cỏch thc hin cụng on A 2 , ., n k cỏch thc hin cụng on A k . Khi ú cú n 1 n 2 n k cỏch thc hin cụng vic. 3. Hoỏn v: S cỏc hoỏn v ca n phn t 1.2 . ! n P n n= = 4. Chnh hp: S cỏc chnh hp chp k ca n phn t (0kn) ! .( 1).( 2) .( 1) ( )! k n n A n n n n k n k = + = 5. T hp : S cỏc t hp chp k ca n phn t: ! (0 ) ! ( )! ! k k n n A n C k n k n k k = = 6. Tớnh cht ca k n C : 1 1 ; ,(0 ) k n k k k k n n n n n C C C C C k n + = = + 7. Nh thc Niuton: Cụng thc khai trin: ( ) 0 1 1 0 0 . . n n n n n k n k k n n k n k k k k n k n n n n n n k k a b C a C a b C a b C b C a b C a b = = + = + + + + + = = S hng th k+1: 1 k k n k k n T C a b + = H qu: ( ) 0 1 0 1 1 1 . . . . n k k n n n n k n k n n n n n n n n n x C C x C x C x C x C x C x C + = + + + + + = + + + + + . Cho x nhng giỏ tr c bit ta c nhng ng thc c bn x =1, x =-1, x = 2, x = -2, B. BI TP VN DNG I. Bi toỏn v sp xp v trớ. V D Vớ d 1. Cú bao nhiờu cỏch b 6 lỏ th vo 8 phong bỡ mi phong bỡ cha nhiu nht mt lỏ th Vớ d 2. Cú bao nhiờu cỏch nht 5 con th vo 3 lng mi lng cú ớt nht 1 con Vớ d 3. Cú bao nhiờu cỏch xp 5 hc sinh A, B, C, D, E vo mt hng ngang sao cho: a. C ng chớnh gia b. Hai hc sinh A, E ng hai u Vớ d 4. Cú 12 cun sỏch ụi mt khỏc nhau, trong ú cú 5 cun sỏch vn hc, 4 cun sỏch õm nhc v 3 cun sỏch hi ha em cho 6 hc sinh A, B, C, D, E, F mi hc sinh mt cun. a. Nu ch cho hc sinh nhng cun sỏch thuc th loi vn hc v õm nhc. Hi cú bao nhiờu cỏch cho sỏch. b. Cú bao nhiờu cỏch cho sỏch sau ú mi th loi sỏch cũn ớt nht 1 cun. BI TP Bài 1. Liệt kê tất cả các hoán vị của {a,b,c} Bài 2. Có bao nhiêu hoán vị của {a, b, c, d, e, f} Bài 3. Có bao nhiêu hoán vị của {a, b, c, d, e, f} với phần tử cuối cùng là a. Bài 4. Có 6 ứng cử viên chức thống đốc bang. Tính số cách in tên ứng cử viên lên phiếu bầu cử. Bài 5. Có bao nhiêu cách xắp xếp 6 ngời ngồi xung quanh một bàn tròn "hai cách gọi là nh nhau nếu cách này xoay bàn đi ta đợc cách kia". Trang 1 II. Bi toỏn chn i tng s. V D Vớ d 1. Cú bao nhiờu s chn cú 6 ch s ụi mt khỏc nhau vi ch s ng u l s l Vớ d 2. Cú bao nhiờu s cú 6 ch s khỏc nhau ụi mt trong ú cú 3 ch s chn. 3 ch s l Vớ d 3. T cỏc ch s {0;1;2;3;4;5} cú th vit c bao nhiờu ch s: a. Cú 8 ch s trong úch s 1 cú mt 3 ln cũn cỏc ch s khỏc cú mt ỳng mt ln b. Cú 4 ch s khỏc nhau sao cho cỏc ch s 1 v 5 cú mt v ng cnh nhau. Vớ d 4. T cỏc ch s {1,2,3,4,5,6,7,8,9} cú th vit c bao nhiờu ch s khụng ln hn 789 Vớ d 5. Vi cỏc ch s {1;3;4;5;6} cú th vit c bao nhiờu s a. Cú 3 ch s khỏc nhau m ch s ng trc nh hn ch s lin sau ú b. Cú 3 ch s phõn bit v chia ht cho 3. c. Cú 3 ch s. Tớnh tng cỏc s ú. Vớ d 6. Vi 8 ch s 0,1,2,3,4,5,6,7 cú bao nhiờu s gm 6 ch s khỏc nhau trong ú nht thit phi cú mt ch s 4. Vớ d 7. T cỏc s 0, 1, 3, 5, 7 cú th lp c bao nhiờu s, mi s gm 4 ch s khỏc nhau v khụng chia ht cho 5. Vớ d 8. T cỏc ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lp c bao nhiờu s chn cú 5 ch s ụi mt khỏc nhau. Vớ d 9. Cú bao nhiờu s gm 5 ch s sao cho tng cỏc ch s ca mi s l l. Vớ d 10. Cú bao nhiờu s t nhiờn gm 4 ch s sao cho khụng cú s no lp lo ỳng 3 ln BI TP Bài 1. Cho tập S = {1, 2, 3, 4, 5} a. Liệt kê các chỉnh hợp chập 3 của S b. Liệt kê các tổ hợp chập 3 của S Bài 2. Từ các chữ số 1,2,5,7,8 lập đợc bao nhiêu số tự nhiêncó 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276. Bài 3. Có bao nhiêu số chẵn lớn hơn 5000 gồm 4 chữ số khác nhau? Bài 4. Có bao nhiêu số khác nhau nhỏ hơn 2.10 8 chia hết cho 3 lập thành từ các chữ số: 0, 1, 2 Bài 5. Có bao nhiêu số có thể lập từ các chữ số: 2, 4, 6, 8 nếu a, Số đó nằm từ 200 đến 600 b, Số đó gồm 3 chữ số khác nhau c, Số đó gồm 3 chữ số. Bài 6. T cỏc ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn mi s cú 5 ch s khỏc nhau trong ú nht thit phi cú ch s 5. Bài 7. Cho cỏc ch s 1,2,3,4,5,6. Lp ra cỏc s cú 5 ch s khỏc nhau. Hi a. Cú bao nhiờu s trong ú phi cú mt ch s 2 b. Cú bao nhiờu s trong ú phi cú mt ch s 1 v 6. Bài 8. Tớnh tng cỏc s cú 5 ch s khỏc nhau c vit t cỏc s 1,2,3,5,6,8 III. Bi toỏn chn i tng thc t. V D Vớ d 1. Mt lp hc cú 25 nam v 15 n. Cn chn ra mt ban cỏn s gm 3 ngi. Hi coa bao nhiờu cỏch chn ban cỏn s cú ớt nht 1 nam. Vớ d 2. Cú bao nhiờu cỏch chia mt lp 50 hc sinh (30 nam, 20 n) thnh 5 t mi t 6 nam, 4 n Vớ d 3. Cú 5 hnh khỏch v 3 toa tu u cú ch trng. Cú bao nhiờu cỏch xp khỏch lờn cỏc toa tu mi toa cú ớt nht 1 khỏch. Vớ d 4. Mt i vn ngh cú 20 ngi trong ú 10 nam, 10 n. Cú bao nhiờu cỏch chn ra 5 ngi sao cho: a. Cú 2 nam. b. Cú ớt nht 2 nam. c. cú ớt nht 2 nam v ớt nht 1 n. Trang 2 Vớ d 5. Cú 9 bi xanh, 5 bi v 4 bi vng cú kớch thc khỏc nhau tng ụi mt. Cú bao nhiờu cỏch chn ra 6 bi sao cho a. trong ú cú ỳng hai viờn bi b. S bi xanh bng s bi Vớ d 6. Mt i vn ngh cú 10 hs (6 nam, 4 n), a. cú bao nhiờu cỏch chia i vn ngh thnh hai nhúm sao cho s ngi bng nhau v s n bng nhau b. Cú bao nhiờu cỏch chn ra nhúm 5 ngi trong ú cú khụng quỏ 1 nam. Vớ d 7. Trờn mt phng cho 10 im phõn bit trong ú khụng cú ba im no thng hng. Cú bao nhiờu tam giỏc to bi cỏc im ú. Vớ d 8. Trờn mp cho 10 ng thng v 10 ng trũn. Tớnh s giao im ti a cú th cú gia cỏc ng. Vớ d 9. Cho thp giỏc li. Cú bao nhiờu tam giỏc cú cỏc nh l nh ca a giỏc nhng khụng cú cnh no l cnh ca a giỏc. Vớ d 10. Cho a giỏc u 2n cnh ni tip ng trũn (O). a. Cho n = 6. Tớnh s tam giỏc cú 3 nh l nh ca a giỏc v tớnh s hỡnh ch nht cú 4 nh l nh ca a giỏc b. Gi s n2 ta thy s tam giỏc cú 3 nh l nh ca a giỏc gp 20 ln s hỡnh ch nht cú 4 nh l nh ca a giỏc. Tỡm n? Vớ d 11. Cú 30 cõu hi khỏc nhau, trong ú cú 5 cõu khú, 10 cõu trung bỡnh v 15 cõu d. Cú bao nhiờu cỏch to kim tra, mi gm 5 cõu khỏc nhau sao cho cú loi cõu hi v s cõu d khụng ớt hn 2. Vớ d 12. i thanh niờn xung kớch ca trng cú 12 hc sinh gm 5 hs khi 12, 4 hs khi 11 v 3 hs khi 10.Cn chn 4 hs i lm nhim v sao cho trong 4 hs thuc khụng quỏ hai trong 3 khi. BI TP Bài 1. Nếu có 8 đầu sách Toán và 5 đầu sách Lý hỏi học sinh có bao nhiêu cách m ợn một quyển sách từ th viện. Bài 2. Quán Tản Đà có 4 món bò: nhúng dấm, lúc lắc, nớng mỡ chài, nớng lá cách có 3 món gà: xối mỡ, quay tứ xuyên, rút xơng và 2 món cua : rang muối , rang me. Hỏi nhà văn Vơng Hà có mấy cách gọi món lai rai. Bài 3. Một bé có thể mang họ cha là Lê hay họ mẹ là Đỗ, chữ đệm có thể là Văn, Hữu, Hồng, Bích, hoặc Đình, Còn tên có thể là: Nhân, Nghĩa, TRí, Đức, Ngọc hoặc Dũng. Hỏi có bao nhiêu cách đặt tên cho bé. Bài 4. Một nhóm sinh viên gồm n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách xếp thành một hàng sao cho nam và nữ đứng xen nhau. Bài 5. Trong vòng đấu loại cuộc thi cờ vua có 2n ngời tham dự , mỗi ngời chơi đúng một bàn với ngời khác. CMR có 1.3.5(2n-1) cách sắp đặt. Bài 6. Có bao nhiêu thứ tự có thể xảy ra trong cuộc thi chạy giữa năm vận động viên. Bài 7. Bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì, ba trong cuộc đua có 12 con ngựa. Bài 8. Có 100 vé đánh số từ 1 tới 100 đợc bán cho 100 ngời khác nhau. Ngời ta sẽ trao 4 giải thởng kể cả giải độc đắc. Hỏi a. Có bao nhiêu cách trao giải thởng. b. Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu ngời giữ vé 47 trúng giải độc đắc? c. Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu ngời giữ vé 47 trúng một trong các giải? d. Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu ngời giữ vé 47 không trúng giải? e. Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu 2 ngời giữ vé 19 và 47 trúng giải? f. Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu 3 ngời giữ vé19, 73 và 47 trúng giải? g. Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu 4 ngời giữ vé19, 73, 97 và 47 trúng giải? h. Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu 4 ngời giữ vé19,73, 97 và 47 không trúng giải? III. Phng trỡnh, BPT t hp. Trang 3 VÍ DỤ Ví dụ 1. Giải các phương trình a. 1 1 7 7 7 2 n n n C C C − + = + b. 6 5 4 n n n A A A+ = c. 1 2 3 7 2 n n n C C C n+ + = d. 2 2 2 2 50 x x A A+ = e. ( ) 5 3 1 360 5 ! 2 x x P A x + = − f. 4 3 4 1 24 23 n n n n A A C − + = − g. 1 2 3 2 6 6 9 14 x x x C C xC x x+ + = − h. ( ) 2 2 72 6 2 x x x x P A A P+ = + i. 3 3 8 6 5 x x x C A + + + = k. 4 2 4 14.3!. x x x C A + + = Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình a. 2 5 90 5 2 80 y y x x y y x x A C A C  + =   − =   b. 3 2 5 5 2 3 5 5 7 4 7 y y x x y y x x A A C C − − − −  =   =   c. 1 1 2 126 720 x y y x y x x A C P P + − − +  + =    =  d. 5 3 5 720 120 x y x y x y x y P A P P + + + + − −  =   =   e. 1 1 1 1 1 1 1 5 2 y y y x x x y y x x A yA A A C − − + − − + +  + =   =   f. 4 3 2 1 1 2 5 4 2 x y x y x y C C A x y + − + − + −  − =    + =  Ví dụ 3. Giải các BPT, hệ PT a. 2 2 3 2 1 6 10 2 x x x A A C x − ≤ + b. 4 5 15( 3)( 2)( 1) x A x x x + ≥ + + + c. 1 2 3 2 2 2 2 6 7 n n n A A A n+ + ≤ d. 3 2 2 24 120 0 6 x y x y A P x − +  ≤  ≥   ≤ ≤  e. 3 4 1 3 1 14 1 P A C n n n < + − − BÀI TẬP Bµi 1. Gi¶i pt: 2 2 3 ! ! ! , ( 2)! , 8 , 3 20 ( 2)! ( 1)! n n n a n b P x P x c n n n = − − = − = − − Bµi 2. T×m x tho¶ m·n: 10 9 8 8 x x x A A A + = Bµi 3. Gi¶i pt: 1 2 3 7 . 2 x x x x a C C C + + = 3 3 8 6 . 5 x x x b C A + + + = 1 2 3 10 . . 1023 x x x x x x x x c C C C C − − − − + + + + = Bµi 4. Gi¶i pt: 2 2 2 ,2 50 x x a A A + = 3 2 , 5 2( 15) n n b A A n + = + 2 2 , 72 6( 2 ) x x x x c P A A P+ = + Bµi 5. Gi¶i bÊt pt: 3 ! , ! 999 , 10 ( 2)! n a n b n n < + ≤ − Bµi 6. Gi¶i bÊt pt: 1 1 2 1 143 , 0 4 n n n A a P P + + − − < ( ) 4 4 15 , ( 2)! 1 ! n A b n n + < + − Bµi 7. a. T×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè: 7 3 ( ) x x f x A − − = Trang 4 b. Tớnh giỏ tr ca biu thc 4 3 1 3 ( 1)! n n A A M n + + = + bit 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 149 n n n n C C C C + + + + + + + = Bài 8. Giải bất pt: 2 13 13 , m m a C C + < 2 18 18 , m m b C C > 6 4 , n n c C C< 2 1 1 1 , 100 n n n n d C C + + 4 1 3 3 1 , 14 n n n A e P C + < 4 3 2 1 1 2 5 , 0 4 x x x f C C A < IV. Bi toỏn xỏc nh h s trong khai trin nh thc thnh a thc. V D Vớ d 1. Khai triển: a/ (2x-3) 6 = ? b/ = ữ 5 1 4x ? 2 Vớ d 2. Tìm hạng tử đứng giữa của khai triển: ữ 16 1 3x x Vớ d 3. Cho nhị thức : ữ 9 3 x x . Tìm số hạng không chứa x trong khai triển. Vớ d 4. a. Cho a thc 20 ( ) (1 3 )f x x= + . Tớnh cỏc h s ca x 3 , x 18 khi khai trin a thc. b. Tỡm h s ca x 25 y 10 trong khai trin (x 3 + xy) 15 . Vớ d 5. Cho ( ) 7 8 ( ) (1 ) 2 2 2 x f x x= + + . a. Tớnh h s ca x, x 3 trong khai trin ca f(x) b. Tớnh tng tt c cỏc h s ca x cú s m nguyờn Vớ d 6. Cho khai trin: ( ) 0 1 1 1 1 . , n n n n n n n n n n n a b C a C a b C ab C b + = + + + + trong ú 1 3 2 2 , 2 , . x x a b x R = = Bit rng trong khai trin ú 3 1 5 n n C C= v s hng th t bng 20n. Tỡm x? Vớ d 7. Tỡm h s ca x 8 trong khai trin ca ( ) 8 2 1 1x x + Vớ d 8. Gi s biu thc P(x) = ( ) 12 2 12 0 1 2 12 1 2x a a x a x . a x+ = + + + + . Tỡm h s ln nht trong khai trin Vớ d 9. Cho P(x) = (1 + x + x 2 + x 4 ) n. Gi s khi khai trin P(x) cú dng P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ++a 4n x 4n . a. Cho n = 7. Tớnh 0 2 3 4 . n S a a a a= + + + + b. Tỡm n bit 0 2 3 4 . 262144 n S a a a a= + + + + = c. Tỡm n bit 0 1 2 3 4 ' . 1024 n S a a a a a= + + + = BI TP Bài 1. Khai triển: a/ (3a - 2b 2 ) 4 = ? b/ = ữ ữ 6 3 2 ? 2 3x Bài 2. Cho nhị thức : ữ n 1 x 3 . Có hệ số thứ 3 trong khai triển bằng 5 . Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển trên. Bài 3. Cho nhị thức : ữ n 3 2 1 x x . Có tổng 3 hệ số của 3 số hạng đầu là 11. Tìm hệ số của x 2 . Trang 5 Bµi 4. Cho nhÞ thøc :   −  ÷   12 1 x x . T×m hÖ sè cña sè h¹ng kh«ng chøa x. Bµi 5. Tìm hệ số của x 31 trong khai triển 40 2 1 ( )f x x x   = +  ÷   Bµi 6. Gọi a 3n-3 là hệ số của x 3n-3 trong khai triển của biểu thức (x 2 + 1) n (x + 2) n . Tìm n để a 3n-3 =26n. Bài 7. Giả sử biểu thức 20 2 20 0 1 2 10 1 2 P(x) x a a x a x . a x 3 3   = + = + + + +  ÷   . Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển. V. Bài toán chứng minh đẳng thức. VÍ DỤ Ví dụ 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a. 0 1 2 1 . 2 n n n n n n n n C C C C C − + + + + + = ; 0 1 2 . ( 1) 0 n n n n n n C C C C− + − + − = b. 0 1 2 1 1 2 4 . 2 2 3 n n n n n n n n n n C C C C C − − + + + + + = c. 0 1 1 1 1 1 . ( 1) 2 2 2 n n n n n n n n C C C −   − + + − = −  ÷   d. 0 2 4 2 1 3 5 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 . . 2 n n n n n n n n n n n C C C C C C C C − − + + + + = + + + + = Ví dụ 2. Chøng minh r»ng: a. 2 1 2 2 (2 ) k k k k n n n n C C C C k n − − + + + = ≤ ≤ b. 1 2 3 3 3 3 3 k k k k k n n n n n C C C C C + + + + + + + + = c. 1 2 3 4 4 4 6 4 (4 ) k k k k k k n n n n n n C C C C C C k n − − − − + + + + + = ≤ ≤ Ví dụ 3. Chøng minh r»ng: 2 1 1 1 1 ( 1) 2 . . 2 p n n n n n p n n n n C C C n n C p n C C C − − + + + + + + = BÀI TẬP Bµi 1. a. Khai triÓn (1 + x) 2n vµ (1 - x) 2n b. Chøng minh r»ng: − + + + + = 0 2 4 2 n 2 n 1 2 n 2 n 2 n 2 n C C C . C 2 − − + + + + = 1 3 5 2 n 1 2n 1 2 n 2 n 2 n 2 n C C C . C 2 Bµi 2. Chøng minh r»ng: a. 1 2 2 2 k k k k n n n n C C C C − − + + + = b. 1 2 3 2 3 2 3 2 5 4 k k k k k k n n n n n n C C C C C C + + + + + + + + + + = + Bµi 3. Chứng minh các đẳng thức sau: a. 16 0 15 1 14 2 16 16 16 16 16 16 3 C 3 C 3 C . C 2− + − + = b. 2008 0 2 2 4 4 2008 2008 2008 2008 2008 2008 3 1 C 2 C 2 C . 2 C 2 + + + + + = c. n 0 1 2 n k n 1 k k 1 k 2 k n C C C C . C + + + + + = + + + + Chuyên đề III. XÁC SUẤT Trang 6 A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP. 1. Phép thử T: Hành động mà kết quả của nó không đoán trước được nhưng có thể xác đònh được tập hợp tất cả các kết quả xảy ra . 2. Không gian mẫu Ω : Tập hợp tất cả các kết quả của phép thử T . 3. Biến cố A của phép thử T: Có tập hợp các kết quả làm A xảy ra là A Ω . Vậy Ω⊂Ω A . 4. Xác suất của biến cố A : Ω Ω = A )A(P Có 1)A(P0 ≤≤ ; 1)(P =Ω ; P(Þ) = 0 TD1 : Gieo 2 con súc sắc . Kết quả là cặp ( x , y ) với x , y là số chấm xuất hiện trên mỗi con súc sắc . Có bao nhiêu kết quả mà x + y = 10 . Hãy nêu Ω , biến cố A , A Ω ? 5. Biến cố hợp : Biến cố hợp của hai biến cố A , B . Kí hiệu BA ∪ ⇔∪ BA ” A xảy ra hoặc B xảy ra “ . BABA Ω∪Ω=Ω ∪ TD2 : Gieo con súc sắc . Biến cố A : “ Hiện số chấm lẻ “ , biến cố B : “ Hiện số chấm chia hết cho 3 “ . Vậy BA ∪ : “ Hiện số chấm lẻ hoặc hiện số chấm chia hết cho 3 “ Ta có { } { } { } 6,5,3,1,6,3,5,3,1 BABA =Ω=Ω=Ω ∪ 6. Biến cố xung khắc : A , B xung khắc ⇔ ” Biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra “ A , B xung khắc ⇔ =Ω∩Ω BA Þ TD3 : a) Xét TD1 thì A , B không xung khắc vì ≠Ω∩Ω BA Þ b) Gieo con súc sắc . A : “ Hiện số lẻ “ , B : “ Hiện số chẵn “ . A , B xung khắc vì =Ω∩Ω BA Þ c) Chọn ngẫu nhiên một học sinh . A : ‘ Bạn ấy là học sinh giỏi Văn “ , B : “ Bạn ấy là học sinh giỏi Võ “ . A , B không xung khắc vì bạn ấy có thể Văn Võ song toàn . d) Có 10 viên bi gồm các màu X , Đ , V . Chọn ngẫu nhiên một viên bi . A : “ Chọn được bi X “ , B : “ Chọn được bi Đ “ . A và B xung khắc . 7. Quy tắc cộng : A , B xung khắc thì ( ) )B(P)A(PBAP +=∪ 8. Biến cố đối : Biến cố đối của biến cố A kí hiệu A . A : “ Không xảy ra A “ . A A \ ΩΩ=Ω ; )A(P1)A(P −= TD4 :Có 4 hs lớp T , 3 hs lớp TH , 2 hs lớp L . Chọn 2 hs thi máy tính CASIO . Tính xác suất chọn được : a) Hai học sinh cùng một lớp . b) Hai học sinh khác lớp . Giải : Gọi biến cố A : “ Chọn được 2 hs cùng lớp T “ , B : “ Chọn được 2 hs cùng lớp TH “ , C : “ Chọn được 2 hs cùng lớp L “và E : “ Chọn được 2 hs cùng một lớp “. a) Vậy CBAE ∪∪= Nên P(E) = )CBA(P ∪∪ = P(A) + P(B) + P(C) = 18 5 C C C C C C 2 9 2 2 2 9 2 3 2 9 2 4 =++ b) E là biến cố “ Chọn được hai hs khác lớp “ . Có P( E ) 18 13 18 5 1)E(P1 =−=−= 9. Biến cố giao : Giao của hai biến cố A và B , kí hiệu A.B Trang 7 A.B ⇔ ” Cả A và B cùng xảy ra “ . BAB.A Ω∩Ω=Ω TD5 : Chọn ngẫu nhiên một học sinh . A : ‘ Bạn ấy là học sinh giỏi Văn “ , B : “ Bạn ấy là học sinh giỏi Võ “ . A.B : “ Bạn ấy giỏi cả Văn và Võ “ 10. Biến cố độc lập : A và B là hai biến cố độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra của biến cố kia . Vậy nếu A , B độc lập thì A và B , A và B , A và B đều độc lập . TD6 : Một người bắn cung hai lần . Gọi A : “ Lần thứ 1 bắn trúng đích “ , B : “ Lần thứ 2 bắn trúng đích “ . A và B độc lập vì kết quả lần thứ 2 không bò ảnh hưởng của kết quả lần thứ 1 . 11. Quy tắc nhân : A , B độc lập ⇔ P(A.B) = P(A).P(B) Vậy A , B không độc lập khi )B(P).A(P)B.A(P ≠ TD7 : 1. Cho hai biến cố A và B xung khắc . a) Chứng minh P(A.B) = 0 b) Nếu P(A) > 0 , P(B) > 0 thì A , B có độc lập không ? Hướng dẫn : a) Do =Ω∩Ω BA Þ b) Không độc lập do )B(P).A(P)B.A(P ≠ B. BÀI TẬP VẬN DỤNG I. Biến cố, xác suất của biến cố. 1. Gieo hai đồng xu phân biệt , kết quả là sự xuất hiện mặt sấp hoặc ngữa của các đồng xu . Tính xác suất để hai đồng xu cùng sấp hoặc cùng ngữa . 2. Gieo ba đồng xu phân biệt , kết quả là sự xuất hiện mặt sấp hoặc ngữa của các đồng xu . Tính xác suất để ba đồng xu cùng sấp hoặc cùng ngữa . 3. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 50 . Tính xác xuất để số được chọn là số nguyên tố . 4. Gieo hai con súc sắc . Kết quả la cặp thứ tự ( x , y ) . Tính xác suất để x + y < 6 . 5. Một túi đựng 4 bi đỏ , 6 bi xanh . Chọn ngẫu nhiên 4 bi . Tính xác suất để 4 bi có đủ hai màu 6. Mỗi tờ vé số gồm một dãy 5 chữ số . Tính xác suất để trúng lô an ủi . 7. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong số 45 học sinh được đánh số thứ tự từ 1 đến 45 để làm bài thực hành . Tính xác suất để 5 học sinh được chọn có số thứ tự không vượt quá 25 . 8. Một trò chơi quay số có 10 ô được đánh số từ 1 đến 10 . tính xác xuất để trong 3 lần quay kết quả lần lượt dừng lại ở 3 vò trí khác nhau . 9. Một thùng chứa 20 hộp sữa trong đó có 15 hộp loại tốt và 5 hộp có chứa Melamine . Chọn ngẫu nhiên trong thùng 3 hộp . Tính xác suất để 3 hộp được chọn không có chứa Melamine . 10. Một cổ bài 52 lá . Chọn gnẫu nhiên 1 lá . Tính xác suất để được lá bài ”cơ”. 11. Một bình đựng 6 viên bi gồm 3bi đỏ và 3 bi xanh . Chọn ngẫu nhiên 2 bi . Tính xác suất để chọn được 2 bi xanh . 12. Người ta quay 5 lồng cầu xổ số . Kết quả là 1 dãy gồm 5 chữ số theo thứ tự các lồng cầu . Tính xác suất để dãy số hiện ra có 5 chữ số khác nhau từng đôi . 13. Từ một tổ gồm 6 nam và 4 nữ , chọn 5 bạn để xếp ngồi vào bàn đầu . Tính xác suất sao cho trong cách sắp xếp có đúng 3 bạn nam . II. Các quy tắc tính xác suất. 1. Gieo 3 đồng xu . Tính xác suất để được : a) Cả 3 đồng xu đều ngữa b) Có ít nhất 1 đồng xu sấp c) Có đúng 1 đồng xu sấp ĐS: a) 8 1 b) 7 8 c) 3 8 Trang 8 2. Xác xuất bắn trúng hồng tâm của xạ thủ là 0,2 . Tính xác xuất để trong 3 lần bắn độc lập : a) Bắn trúng hồng tâm đúng 1 lần b) Bắn trúng hồng tâm ít nhất 1 lần . ĐS: a) 0,384 b) 0,488 3. Gieo hai đồng xu I và II . Đồng xu I cân đối, đồng xu II không cân đối nên xác suất hiện mặt sấp gấp 3 lần hiện mặt ngữa . Tính xác xuất để : a) Khi gieo hai đồng xu 1 lần thì cả hai đồng xu ngữa b) Khi gieo hai đồng xu 2 lần thì cả hai đồng xu ngữa ĐS: a) 1 8 b) 1 54 4. Bài trắc nghiệm 10 câu . Mỗi câu 4 phương án . Tính xác suất trả lời đúng 10 câu ĐS: 10 4 1       5. Chọn ngẫu nhiên 5 qn bài trong cỗ bài tú lơ khơ .Tính xác suất để trong sấp bài Chứa hai bộ đơi ( hai con cùng thuộc 1 bộ, hai con thuộc bộ thứ 2, con thứ 5 thuộc bộ khác Hướng dẫn : Chọn hai bộ 2 có 2 13 C cách. Mỗi bộ có 2 4 C cách vậy có 2 2 2 13 4 4 . .C C C cách có 11 cách chon bộ 1 .Mỗi cách chọn bộ 1 có 4 cách chọn vậy có 2 2 2 13 4 4 . . .11.4 A C C C = Ω 5 52 CΩ = 6. Chọn ngẫu nhiên 5 qn bài .Tính xác suất để trong sấp bài có 5 qn lập thành bộ Liên tiếp tức là bộ (A,2-3-4-5) (2-3-4-5-6) ….(10 –J-Q-K-A) .Qn A vừ là qn bé nhất Qn lớn nhất Hướng dẫn : 5 52 CΩ = Có 10 bộ thỏa mãn bài tốn Mỗi bộ có 4.4.4.4.4=1024 vậy 10240 A Ω = 7. Một bình đựng 16 viên bi ,7 viên bi trắng ,6 viên bi đen,3 viên bi đỏ a) lấy ngẫu nhiên ba viên bi .Tính xác suất để : • Lấy được 3 viên đỏ • lấy cả ba viên bi khơng đỏ • Lấy được 1 bi trắng ,1 bi đen ,1 bi đỏ b) Lấy ngẫu nhiện 4 viên bi .Tình xác suất để • Lấy đứng 1 viên bi trắng • Lấy đúng 2 viên bi tráng c) Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi .Tính xác suất lấy được 5 viên bi trắng ,3 bi đen,2 bi đỏ 8. Một hộp đựng thẻ đánh số thứ tự từ 1,2…,9 rút ngẫu nhiên hai thẻ và nhân hai số Trên thẻ vói nhau .Tính xác suất để ? a) Tích nhân được là số lẻ b) Tích nhận được là số chẵn 9. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh từ 1,2,3…9 .Rút ngẫu nhiên 5 thẻ .Tính xác suất để a) Các thẻ ghi số 1,2,3 b) Có đúng 1 trong ba thẻ ghi 1,2,3 được rút c) Khơng có thẻ nào trong ba thẻ được rút ĐS: ( ) ( ) ( ) 2 1 4 5 6 3 6 6 5 5 5 9 9 9 ) ) ) C C C C a P A b P B c P C C C C = = = 10. Chon ngẫu nhiên 3 số từ tập { } 1,2, ,10,11 a) Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12 Trang 9 b) Tính xác suất để tổng ba số đực chọn là số lẻ .Höôùng daãn : a, 12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6=2+3+7=2+4+6=3+4+5 ( ) 3 11 7 p A C = b, ( ) 1 2 3 0 6 5 6 5 3 11 C C C C P B C + = 11. Chọn ngẫu nhiên một vé số số có 5 chữ số tư 0 đến 9 .Tính xác suất trên vé không có chữ số 1 hoặc chữ số 5 . Höôùng daãn : A là biến cố không có chữ số 1, B là biến cố không có chữ số 5 ( ) ( ) ( ) 5 99999 0,9 100000 P A P B= = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 2. 0,9 0,8P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ = − 12. Một người đi du lịch mang 3 hộp thịt,2 hộp quả ,3 hộp sữa .Do trười mưa các hộp bị mất nhãn .Người đó chọn ngẫu nhiên 3 hộp .Tính xác suất để trong đó có 1 hộp thịt một hộp sữa , một hộp quả ĐS: ( ) 1 1 1 3 2 3 3 8 C C C P A C = 13. Có hai xạ thủ I và xạ tám xạ thủ II .Xác suất bắn trúng I là 0,9 ,Xác suất của II là 0,8 lấy ngẫu nhiên một trong 10 xạ thủ ,bắn một viên đạn .Tính xác suất để viên đạn bắn ra trúng đích Giải Gọi i B là biến cố “Xạ thủ được chọn lọa i ,i=1,2 A là biến cố viên đạn trúng đích .ta có ( ) 2 10 i P B = , ( ) ( ) ( ) 2 1 2 8 & / 0,9 / 0,8 10 P B P A B P A B= = = Nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 9 8 8 / / . . 0,82 10 10 10 10 P A P B P A B P B P A B= + = + = 14. bốn khẩu pháo cao xạ A,B,C,D cùng bắn độc lập vào một mục tiêu .Biết xác xuất bắn trúng của các khẩu pháo tương ứng là ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 4 5 . , , 2 3 5 7 P A P B P C P D= − = = .Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng HD: Tính xác suất mục tiêu không bị bắn trúng ( ) 1 1 1 2 1 . . . 2 3 5 7 105 P H = = Vậy xác suất trúng đích ( ) 1 104 1 105 105 P D = − = 15. Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ ,3 viên bi xanh,2 viên bi vàng,1 viên bi trắng .Lấy ngẫu nhiên 2 bi tính xác suất biến cố a) 2 viên lấy ra màu đỏ b)2 viên bi một đỏ ,1 vàng c) 2 viên bi cùng màu HD: 2 10 CΩ = , A là biến cố a,B là biến cố b,C là biến cố c a) ( ) 2 2 4 4 2 10 A C C P A C Ω = ⇒ = b) ( ) 1 1 1 1 4 2 4 2 2 10 . 8 . 45 B C C C C P B C Ω = ⇒ = = c) Đ là biến cố 2 viên đỏ ,X là biến cố 2 viên xanh ,V là biến cố 2 viên vàng, Đ ,X,V là các biến cố đôi một xung khắc ( ) 2 9 P C⇒ = Trang 10 . mi t 6 nam, 4 n Vớ d 3. Cú 5 hnh khỏch v 3 toa tu u cú ch trng. Cú bao nhiờu cỏch xp khỏch lờn cỏc toa tu mi toa cú ớt nht 1 khỏch. Vớ d 4. Mt i vn ngh. bit ta c nhng ng thc c bn x =1, x =-1, x = 2, x = -2, B. BI TP VN DNG I. Bi to n v sp xp v trớ. V D Vớ d 1. Cú bao nhiờu cỏch b 6 lỏ th vo 8 phong bỡ mi