UBND TỉNH Thừa Thiên Huế Sở Giáo dục đào t¹o kú thi häc sinh giái tØnh líp thCS năm học 2005 - 2006 Môn : Toán (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút Đề thức Bài 1: (8 điểm) Cho phơng trình Tìm giá trị dơng phân biệt Tìm giá trị phân biệt để phơng trình (1) có hai nghiệm để phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mÃn hệ thức Giả sử phơng trình (1) có hai nghiệm không âm Tìm giá trị để nghiệm dơng phơng trình đạt giá trị lớn Bài 2: (4điểm) Giải phơng trình: (2) Bài 3: (8 điểm) Cho tam giác ABC có ( hai độ dài cho trớc), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC đợc gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ cã diƯn tÝch lín nhÊt TÝnh diƯn tÝch lín nhÊt Dựng hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC thớc kẻ com-pa Tính diện tích hình vuông Hết UBND TỉNH Thừa Thiên Huế Sở Giáo dục đào tạo (Vòng 1) kỳ thi hoc sinh giỏi tỉnh lớp thCS năm học 2005 - 2006 Môn : toán Đáp án thang điểm: ý 1.1 1.2 Nội dung (2,0 điểm) Để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt, cần đủ là: (3,0 điểm) Phơng trình có nghiệm phân biƯt (*) §iĨ m 8,0 0.5 1.5 0,50 0,50 0,5 0,5 Ta có: Vậy: Có giá trị m thoả điều kiện toán: 1.3 (3,0 điểm) Phơng trình có hai nghiệm không âm khi: 0,5 0,5 0,50 Khi nghiệm phơng trình là: Hai nghiệm đồng thời 0, nên nghiệm dơng phơng trình 0,50 Suy ra: 0,50 Theo bất đẳng thức Cô-si: 0,50 Suy ra: Dấu đẳng thức xảy khi: Vậy nghiệm dơng phơng trình đạt giá trị lớn 0,5 0,5 (4,0 ®iĨm) 0,5 (2) (3) 1,0 Giải phương trình theo t, ta có: (lo¹i); Suy nghiƯm (3) Giải phơng trình 1,0 1,0 Vậy: phơng trình đà cho có hai nghiệm phân biệt: 0,5 3.1 + Đặt Ta có: 8,0 Suy diƯn tÝch cđa MNPQ lµ: 2,0 + Ta cã bÊt đẳng thức: áp dụng, ta có: Dấu đẳng thức x¶y khi: Suy ra: VËy: hay M trung điểm cạnh AC 2,0 3.2 + Giả sử đà dựng đợc hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC Nối BF, đoạn BF lấy điểm F' Dựng hình chữ nhật: E'F'G'H' Ta có: E'F'//EF F'G'//FG, nên: Do E'F'G'H' hình vuông + Cách dựng chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC) Dựng tia BF' cắt AC F Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tơng tự trên, ta có EF = FG, suy EFGH hình vuông + Ta có: 1,0 1,0 ; Suy ra: Tia BF' cố định E' di động AB, cắt AC điểm F Trờng hợp hình vuông E'F'G'H' có đỉnh F' cạnh AC; G' H' cạnh BC, lý luận tơng tự ta có tia CE' cố định, cắt AB E Vậy toán có nghiệm hình + EFGH Đặt Ta có hình Suy diện tích hình vuông EFGH là: 1,0 ; vuông, nên 1,0 UBND TỉNH Thừa Thiên Huế Sở Giáo dục đào tạo (Vòng 2) §Ị chÝnh thøc kú thi häc sinh giái tỉnh lớp thCS năm học 2004 - 2005 Môn : Toán Thời gian làm bài: 120 Bài 1: (7 điểm) Giải hệ phơng trình: Chứng minh a, b, c số thoả mÃn bất đẳng thức: Thì Bài 2: (6 điểm) Xác định hình vuông có độ dài cạnh số nguyên diện tích số nguyên gồm chữ số, chữ số hàng đơn vị, hàng chục hàng trăm giống A, B, C nhóm ba ngời thân thuộc Cha A thuộc nhóm đó, gái B ngêi song sinh cđa C cịng ë nhãm ®ã BiÕt r»ng C vµ ngêi song sinh cđa C lµ hai ngời khác giới tính C cña B Hái ba ngêi A, B, C ngời khác giới tính với hai ngời ? Bài 3: (7 điểm) Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB CD vuông góc với Đờng tròn (O1) nội tiếp tam giác ACD Đờng tròn (O2) tiếp xúc với cạnh OB OD tam giác OBD tiếp xúc với đờng tròn (O) Đờng tròn (O3) tiếp xúc với cạnh OB OC tam giác OBC tiếp xúc với đờng tròn (O) Đờng tròn (O4) tiếp xúc với tia CA CD tiếp xúc với đờng tròn (O1) Tính bán kính đờng tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R Hết UBND TỉNH Thừa Thiên Huế Sở Giáo dục đào tạo (Vòng 2) kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh lớp thCS năm học 2004 - 2005 Môn : toán Đáp án thang điểm: ý Nội dung 1.1 Điể m 7,0 (4,0 điểm) 0,5 Điều kiện để hệ có nghiệm là: Với điều kiện (*), ta có: (vì (*) 1,0 nên ) 1,0 Thay vào (a): So với điều kiện (*), ta có: Vậy hệ phơng trình có nghiệm : 1.2 (3,0 điểm) Điều kiện: Ta có 1,5 0,50 0,50 Suy ra: Do ®ã: 1,0 1,0 6,0 2.1 (4,0 ®iĨm) Theo giả thiết diện tích hình vuông có dạng , nên k gồm chữ số: Nếu y lẻ: Khi có chữ số tận số chẵn, nên chữ số hàng chục phải số chẵn khác với 1; 5; 9, S Nếu y chẵn: Với y = 0: chØ cã thĨ lµ 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100 không thoả điều kiện toán Với y = 2: Khi x chữ số hàng chục k lµ 4, suy Víi y = 4; 6: , 20xy có chữ số hàng chục số chẵn, nên chữ số hàng chục k phải số lẻ, 6, nghĩa Với y = 8: y = 64; , ®ã x chØ cã thĨ chữ số hàng chục k 4, suy (không thoả điều kiện toán) Vậy: toán có lời giải nhất: Hình vuông cần xác định có cạnh diện tích 2.2 (2,0 điểm) Theo giả thiết, cha A B C: Nếu B cha A C song sinh víi A, v× nÕu nh thÕ th× C B, trái giả thiết, C B song sinh khác giới tính (gt), nên C phái nữ Mặt khác, gái B C nên phải A, A phái nữ Vậy B khác giới tính víi hai ngêi cßn 0,5 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 1,0 lại A C (cùng phái nữ) Nếu C cha A C song sinh với B, theo giả thiết B phải phái nữ Mặt khác, gái B C (gt) nên phải A, suy C B vợ chồng song sinh, dẫn đến mâu thuẫn Vậy có trờng hợp B cha A B khác giới tính với hai ngời lại A C (cùng phái nữ) + Gọi độ dài bán kính đờng tròn (O1) Ta có: + Đờng tròn (O2) tiếp xúc với OB OD nên tâm O tia phân giác góc , (O2) lại tiếp xúc với (O) nên tiếp điểm T chúng đờng thẳng nối tâm O O 2, giao điểm tia phân giác góc với (O) 0,5 0,5 7,0 1,0 + Đờng thẳng qua T vuông góc với OT cắt tia OB OD B' D' lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (O 2) Do (O2) đờng tròn nội tiếp + có phân giác góc O vừa đờng cao, nên tam giác vuông cân , suy ra: + VËy: B¸n kÝnh cđa (O2) cịng b»ng + Hai hình quạt OBC OBD đối xứng với qua AB nên (O3) (O2), nên bán kính (O3) 2,0 1,0 + Đờng tròn (O4) cã hai trêng hỵp: a) Trêng hỵp 1: (O4) bên trái (O1): Kẻ tiếp chung (O4) (O1) tiếp điểm K cắt AC AD E F CO CA là tiÕp tun cđa (O1), nªn chu vi cđa b»ng 2CO, suy nưa chu vi cđa nã lµ p = R Ta có: Suy bán kính đờng tròn (O4) là: 2,0 b) Trờng hợp 2: (O'4) bên phải (O1): Khi đó: K' tiếp điểm đờng tròn, tiếp tuyến chung cắt CA CD E' F', CD tiếp xúc với (O'4) H Suy ra: Bán kính đờng tròn (O'4) là: 2,0 ... Tính bán kính đờng tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R HÕt UBND TØNH Thõa Thiên Huế Sở Giáo dục đào tạo (Vòng 2) kú thi chän hoc sinh giái tØnh líp thCS năm học 2004 - 2005 Môn : toán Đáp án thang... Huế Sở Giáo dục đào tạo (Vòng 1) kỳ thi hoc sinh giỏi tỉnh lớp thCS năm học 2005 - 2006 Môn : toán Đáp án thang điểm: ý 1.1 1.2 Nội dung (2,0 điểm) Để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt,... phải số lẻ, 6, nghĩa Víi y = 8: y = 64; , x chữ số hàng chục k 4, suy (không thoả điều kiện toán) Vậy: toán có lời giải nhất: Hình vuông cần xác định có cạnh diện tích 2.2 (2,0 điểm) Theo giả thiết,