LTC ST&GT ĐỀ 14 Bài 1: Cho biểu thức: ( ) ( )( ) yx xy xyx y yyx x P −+ − ++ − −+ = 111))1)(( a). Tỡm điều kiện của x và y để P xỏc định . Rỳt gọn P. b). Tỡm x,y nguyờn thỏa món phơng trỡnh P = 2. Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x 2 và đờng thẳng (d) cú hệ số gúc m đi qua điểm M(-1 ; -2) . a). Chứng minh rằng với mọi giỏ trị của m (d) luụn cắt (P) tại hai điểm A , B phõn biệt b). Xỏc định m để A,B nằm về hai phớa của trục tung. Bài 3: Giải hệ phơng trỡnh :        =++ =++ =++ 27 1 111 9 zxyzxy zyx zyx Bài 4: Cho đường trũn (O) đờng kớnh AB = 2R và C là một điểm thuộc đường trũn );( BCAC ≠≠ . Trờn nửa mặt phẳng bờ AB cú chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xỳc với đờng trũn (O), gọi M là điểm chớnh giữa của cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N. a). Chứng minh cỏc tam giỏc BAN và MCN cõn . b). Khi MB = MQ , tớnh BC theo R. Bài 5: Cho Rzyx ∈ ,, thỏa món : zyxzyx ++ =++ 1111 Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức : M = 4 3 + (x 8 – y 8 )(y 9 + z 9 )(z 10 – x 10 ) . ĐÁP ÁN Bài 1: a). Điều kiện để P xỏc định là :; 0;1;0;0 ≠+≠≥≥ yxyyx . *). Rỳt gọn P: ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) 1 1 x x y y xy x y P x y x y + − − − + = + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 x y x x y y xy x y x y x y − + + − + = + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 x y x y x xy y xy x y x y + − + − + − = + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 x x y x y x x x y + − + + + − = + − Q N M O C B A LTC ST&GT ( ) 1 x y y y x y − + − = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 x y y y y y − + − − = − .x xy y= + − Vậy P = .yxyx −+ b). P = 2 ⇔ .yxyx −+ = 2 ( ) ( ) ( )( ) 111 111 =+−⇔ =+−+⇔ yx yyx Ta cú: 1 + 1y ≥ ⇒ 1 1x − ≤ 0 4x ⇔ ≤ ≤ ⇒ x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay vào ta cúcỏc cặp giỏ trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả món Bài 2: a). Đường thẳng (d) cú hệ số gúc m và đi qua điểm M(-1 ; -2) . Nờn phơng trỡnh đờng thẳng (d) là : y = mx + m – 2. Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trỡnh: - x 2 = mx + m – 2 ⇔ x 2 + mx + m – 2 = 0 (*) Vỡ phơng trỡnh (*) cú ( ) mmmm ∀>+−=+−=∆ 04284 2 2 nờn phơng trỡnh (*) luụn cú hai nghiệm phõn biệt , do đú (d) và (P) luụn cắt nhau tại hai điểm phõn biệt A và B. b). A và B nằm về hai phớa của trục tung ⇔ phơng trỡnh : x 2 + mx + m – 2 = 0 cú hai nghiệm trỏi dấu ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2. Bài 3 : ( ) ( )        =++ =++ =++ 327 )2(1 111 19 xzyzxy zyx zyx ĐKXĐ : .0,0,0 ≠≠≠ zyx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 81 2 81 81 2 27 2( ) 2 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx x y y z z x x y x y y z y z x y z z x z x ⇒ + + = ⇔ + + + + + = ⇔ + + = − + + ⇔ + + = ⇒ + + = + + ⇒ + + − + + = ⇔ − + − + − =  − = =    ⇔ − = ⇔ = ⇔ = =     = − =   Thay vào (1) => x = y = z = 3 . Ta thấy x = y = z = 3 thừa món hệ phơng trỡnh . Vậy hệ phơng trỡnh cú nghiệm duy nhất x = y = z = 3. Bài 4: a). Xột ABM ∆ và NBM ∆ . Ta cú: AB là đờng kớnh của đờng trũn (O) nờn :AMB = NMB = 90 o . M là điểm chớnh giữa của cung nhỏ AC LTC ST&GT nờn ABM = MBN => BAM = BNM => BAN ∆ cõn đỉnh B. Tứ giỏc AMCB nội tiếp => BAM = MCN ( cựng bự với gúc MCB). => MCN = MNC ( cựng bằng gúc BAM). => Tam giỏc MCN cõn đỉnh M b). Xột MCB ∆ và MNQ ∆ cú : MC = MN (theo cm trờn MNC cõn ) ; MB = MQ ( theo gt) ∠ BMC = ∠ MNQ ( vỡ : ∠ MCB = ∠ MNC ; ∠ MBC = ∠ MQN ). => ) .( cgcMNQMCB ∆=∆ => BC = NQ . Xột tam giỏc vuụng ABQ cú ⇒⊥ BQAC AB 2 = BC . BQ = BC(BN + NQ) => AB 2 = BC .( AB + BC) = BC( BC + 2R) => 4R 2 = BC( BC + 2R) => BC = R)15( − Bài 5: Từ : zyxzyx ++ =++ 1111 => 0 1111 = ++ −++ zyxzyx => ( ) 0 = ++ −++ + + zyxz zzyx xy yx ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0)( 0 )( 0 11 2 =+++⇒ =         ++ +++ +⇒ =         ++ ++⇒ xzzyyx zyxxyz xyzzyzx yx zyxzxy yz Ta cú : x 8 – y 8 = (x + y)(x-y)(x 2 +y 2 )(x 4 + y 4 ).= y 9 + z 9 = (y + z)(y 8 – y 7 z + y 6 z 2 - + z 8 ) z 10 - x 10 = (z + x)(z 4 – z 3 x + z 2 x 2 – zx 3 + x 4 )(z 5 - x 5 ) Vậy M = 4 3 + (x + y) (y + z) (z + x).A = 4 3 . nhỏ AC LTC ST&GT nờn ABM = MBN => BAM = BNM => BAN ∆ cõn đỉnh B. Tứ giỏc AMCB nội tiếp => BAM = MCN ( cựng bự với gúc MCB). => MCN = MNC. => ) .( cgcMNQMCB ∆=∆ => BC = NQ . Xột tam giỏc vuụng ABQ cú ⇒⊥ BQAC AB 2 = BC . BQ = BC(BN + NQ) => AB 2 = BC .( AB + BC) = BC( BC + 2R) =>