Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ §4 Đồ thị hàm số phép tịnh tiến hệ toạ độ Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần tồn bộ: • Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí • Định hướng thực hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ định nghĩa, định lí • Chép lại ý, nhận xét • Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết yêu cầu theo mẫu: • Nơi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Môn theo địa nhomcumon86@gmail.com để nhận giải ỏp Đ4 đồ thị hàm số Phép tịnh tiến hệ toạ độ A giảng phép tịnh tiến hệ toạ độ công thức chuyển hệ tọa độ Cho điểm I(x0; y0) điểm M(x; y) hệ toạ độ Oxy, hệ toạ ®é IXY ®iĨm M sÏ cã to¹ ®é: X M = x − x YM = y y phơng trình đờng cong hệ tọa độ Phơng trình đờng cong y = f(x) hệ toạ độ IXY Ta cã, kÕt qu¶: Y = f(X + x0) − y0 Nhận xét: Ta có hai trờng hợp đặc biệt: ã Nếu hàm số Y = F(X) hàm lẻ ta suy I tâm đối xứng đờng cong (C) ã Nếu hàm số Y = F(X) hàm chẵn ta suy đờng thẳng x = x0 trục đối xứng đờng cong (C) ThÝ dô 1: Cho parabol (P): y = x x a Xác định đỉnh I cđa parabol (P) uu r b ViÕt c«ng thøc chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI viết phơng trình parabol (P) hệ toạ độ IXY Từ đó, phơng trình trục đối xứng parabol (P) Giải a Tọa độ đỉnh I 1; ữ uu r b Công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI là: X = x − x = X + ⇔ Y = y + y = Y hệ tọa độ IXY parabol (P) có phơng trình: 1 (P): Y − = (X + 1)2 − (X + 1) − ⇔ (P): Y = X2 2 NhËn xÐt r»ng, hÖ tọa độ IXY hàm số Y = 2X2 hàm số chẵn dó đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = làm trục đối xứng Nhận xét: Qua ví dụ trên, ta có: Với hàm ®a thøc bËc hai (Parabol) (P): y = ax2 + bx + c, ta có: b ã Điểm I ; ữ đỉnh parabol 4a 2a ã Đồ thị (P) nhận đờng thẳng x = b làm trục đối xứng 2a Để chứng minh đồ thị hàm số y = f(x) nhận đờng thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực theo bớc sau: Bớc 1: Với phép biến đổi toạ độ: X = x − a x = X + a ⇔ Y = y y = Y hàm số có dạng: Y = f(X + a) ⇔ Y = F(X) (*) Bíc 2: NhËn xÐt r»ng hµm sè (*) lµ hµm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = a làm trục đối xứng Hoạt động Với yêu cầu nh thí dụ cho parabol (P): y = −x2 + x − Cho hµm sè: y = x2 + 2x − Chøng tá r»ng đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = làm trục đối xứng Thí dụ 2: Giải Với phép biến đổi toạ độ: X = x + x = X − ⇔ Y = y y = Y ta đợc: Y = (X 1)2 + 2(X − 1) − ⇔ Y = X2 hàm số chẵn Vậy, đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = làm trục đối xứng Hoạt động Chứng tỏ đồ thị hàm số y = x2 + 4x + nhận đờng thẳng x = làm trục đối xứng Cho hàm số: y = x5 + x3 + 2x − a Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) hàm số đà cho biết hoành độ điểm I nghiệm phơng trình f"(x) = Thí dụ 3: uu r b ViÕt c«ng thøc chun hƯ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI viết phơng trình đờng cong (C) hệ toạ độ IXY Từ đó, suy I tâm đối xứng đờng cong (C) Giải a Ta lần lợt có: Miền xác định D = Ă Đạo hàm: y' = 5x4 + 3x2 + 2, y'' = 20x3 + 6x, y'' = ⇔ 20x3 + 6x = ⇔ x = ⇒ I(0; −1) uu r b C«ng thøc chun hƯ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI là: X = x x = X ⇔ Y = y + y = Y − vµ ®ã hÖ täa ®é IXY ®êng cong (C) cã phơng trình: (C): Y = X5 + X3 + 2X − ⇔ (C): Y = X3 + X3 + 2X NhËn xÐt r»ng, hƯ täa ®é IXY hµm sè Y = X3 + X3 + 2X hàm số lẻ dó nhận điểm I làm tâm đối xứng Hoạt động Với yêu cầu nh thÝ dơ cho hµm sè y = x3 − 3x2 + NhËn xÐt: §Ĩ chøng minh đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(a; b) làm tâm đối xứng, ta thực theo bớc sau: Bớc 1: Với phép biến đổi toạ độ: Bíc 2: ThÝ dơ 4: X = x − a x = X + a ⇔ Y = y − b y = Y + b hµm sè cã d¹ng: Y + b = f(X + a) ⇔ Y = F(X) (*) NhËn xÐt r»ng hµm sè (*) lµ hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận điểm I(a; b) làm tâm đối xứng Cho hàm số: y= x − 3x − x − 4x Chứng tỏ đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng Giải Với phép biến ®ỉi to¹ ®é: X = x − x = X + ⇔ Y = y − y = Y + ta đợc: (X + 2) − 3(X + 2) − X + X − X = ⇔ Y= lµ hàm số lẻ (X + 2) 4(X + 2) X2 X Vậy, đồ thị hàm số nhận đđiểm I(2; 1) làm tâm đối xứng Y +1 = Hoạt động Chứng tỏ đồ thị hàm số y = làm tâm đối xứng x2 nhận điểm I(1; 1) x +1 tập lần Bài tập 1: Cho hµm sè: y = x3 − 3x2 + a Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) hàm số đà cho biết hoành độ điểm I nghiệm phơng trình y" = uu r b Viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI viết phơng trình đờng cong (C) hệ toạ độ IXY Từ đó, suy I tâm đối xứng đờng cong (C) c Viết phơng trình tiếp tuyến đờng cong (C) điểm I hệ tọa độ Oxy Chứng minh khoảng(; 1) ®êng cong (C) n»m díi tiÕp tun t¹i I cđa (C) khoảng (1; +) đờng cong (C) nằm tiếp tuyến Bài tập 2: Cho hàm số: (H) : y = 2x + x +1 Chứng minh rằng: a Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng b Qua I không kẻ đợc tiếp tuyến tới đồ thị hàm số Bµi tËp 3: Cho hµm sè: (H) : y = x + + x −1 Chøng minh rằng: a Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng b Qua I không kẻ đợc tiếp tuyến tới đồ thị hàm số Bài tập 4: Cho hµm sè: y = x4 − 4x3 − 2x2 + 12x Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng thẳng đứng Từ tìm giao điểm đồ thị với trục hoành Bài tập 5: Xác định tâm đối xứng đồ thị hàm số y = Bài tập 6: Cho hàm sè: 3x − x +1 y = x3 + 3mx2 + 6mx + 5(m + 1) a Xác định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 6) làm tâm đối xứng b Với m tìm đợc câu a) tìm khoảng tăng, giảm cực trị đồ thị hàm số Bài tập 7: Cho hµm sè: y= mx − x − 2m a Xác định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng b Với m tìm đợc câu a) xét biến thiên cđa hµm sè Bµi tËp 8: Cho hµm sè: y = 2x + m + x−m a X¸c định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 3) làm tâm đối xứng b Với m tìm đợc câu a) tìm khoảng tăng, giảm cực trị đồ thị hàm số Bài tập 9: Cho hµm sè: y = x4 + 4x3 + mx2 a Xác định m để đồ thị hàm số có trục ®èi xøng song song víi Oy b Víi m t×m đợc câu a) tìm khoảng tăng, giảm cực trị đồ thị hàm số Bài tập 10: Cho hµm sè: y = f(x) = 2x2 r r HÃy tìm vectơ v (a; b) cho đồ thị y = f(x) tịnh tiến theo v ta có đồ thị hàm số y = g(x) = 2x2 3x + Chú ý: Các tập đợc trình bày phần Bài giảng nâng cao Giỏo án điện tử giảng giá: 750.000đ Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 ngày sau bạn nhận Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SNG TO TRONG TIT DY giảng nâng cao Bài toán 1: Phép tịnh tiến hệ tọa độ Cho hµm sè: y = x3 − 3x2 + a Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) hàm số đà cho biết hoành độ điểm I nghiệm phơng trình y" = uu r b Viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI viết phơng trình ®êng cong (C) ®èi víi hƯ to¹ ®é IXY Tõ đó, suy I tâm đối xứng đờng cong (C) c Viết phơng trình tiếp tuyến ®êng cong (C) t¹i ®iĨm I ®èi víi hƯ täa độ Oxy Chứng minh khoảng(; 1) đờng cong (C) nằm dới tiếp tuyến I (C) khoảng (1; +) đờng cong (C) nằm tiếp tuyến Ví dụ 1: Giải a Ta lần lợt có: Miền xác định D = Ă Đạo hàm: y' = 3x26x, y'' = 6x 6, y'' = ⇔ 6x − = ⇔ x = ⇒ I(1; −1) uu r b Công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI là: X = x x = X + ⇔ Y = y + y = Y hệ tọa độ IXY đờng cong (C) có phơng trình: (C): Y − = (X + 1)3 − 3(X + 1)2 + ⇔ (C): Y = X3 − 3X Nhận xét rằng, hệ tọa độ IXY hàm số Y = X3 3X hàm số lẻ dó nhận điểm I làm tâm đối xứng c Phơng trình tiếp tuyến đờng cong (C) ®iĨm I ®èi víi hƯ täa ®é Oxy, cã d¹ng: (d): y = y'(xI)(x − xI) + f(xI) ⇔ (d): y = −3x + XÐt hiÖu: H = x3 − 3x2 + − (−3x + 2) = x3 − 3x2 + 3x − = (x − 1)3 Tõ ®ã, suy ra: NÕu H > ⇔ (x − 1)3 > ⇔ x > Tøc là, khoảng(1; +) đờng cong (C) nằm tiếp tuyÕn (d) NÕu H < ⇔ (x − 1)3 < x < Tức là, khoảng(; 1) đờng cong (C) nằm dới tiếp tuyến (d) 10 Nhận xét: Với hàm đa thức bậc ba (C): y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có: ã Điểm I thuộc đồ thị hàm số với hoành độ điểm I nghiệm phơng trình y" = đợc gọi điểm uốn đồ thị ã Đồ thị (C) nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Với hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phơng: y = ax4 + bx2 + c Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng Ví dụ 2: Cho hàm sè: (H) : y = 2x + x +1 Chứng minh rằng: a Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng b Qua I không kẻ đợc tiếp tuyến tới đồ thị hàm sè Híng dÉn: Sư dơng kiÕn thøc phÇn lý thuyết Giải b Với phép biến đổi toạ ®é: X = x + x = X − ⇔ Y = y − y = Y + hệ tọa độ IXY hàm số có phơng trình: 2(X 1) + 2X + 1 Y+2= −2 ⇔ Y= ⇔ Y= (*) (X − 1) + X X Hàm số (*) hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng c Với điểm M(x0; y0) thuộc (H), phơng trình tiếp tuyÕn t¹i M cã d¹ng: 2x + (x − x ) + (d): y = y'(x0)(x − x0) + y0 ⇔ (d) : y = − (x + 1) x0 + TiÕp tuyÕn (d) qua I khi: 2x + 2x + 1 2=− (−1 − x ) + ⇔ 2= + (x + 1) x0 + x0 + x0 + ⇔ 2(x0 + 1) = 2x0 + ⇔ = 4, vô nghiệm Vậy, không tồn tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm I Nhận xét: Với hàm phân thức bậc bậc (H): y = 0, ta cã: ax + b víi a ≠ 0, c ≠ cx + d 11 • • • d a §iĨm I − ; ữ giao điểm hai đờng tiệm cận (tiệm cận đứng c c tiệm cân ngang) Đồ thị (H) nhận điểm I làm tâm đối xứng Không tồn tiếp tuyến đồ thị qua I Cho hµm sè: VÝ dơ 3: (H) : y = x + + x −1 Chøng minh rằng: a Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng b Qua I không kẻ đợc tiếp tuyến tới đồ thị hàm số Híng dÉn: Sư dơng kiÕn thøc phÇn lý thut Giải a Với phép biến đổi toạ độ: X = x − ⇔ Y = y − x = X + y = Y + hệ tọa độ IXY hàm số có phơng trình: 1 Y + = (X + 1) + + ⇔ Y=X+ (*) (X + 1) − X Hµm sè (*) hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng b Với điểm M(x0; y0) thuộc (H), phơng trình tiếp tuyến M cã d¹ng: (d): y = y'(x0)(x − x0) + y0 1 ⇔ (d) : y = 1 − (x − x ) + x + + x0 − (x − 1) TiÕp tuyÕn (d) qua I khi: 1 = 1 − (1 − x ) + x + + x0 −1 (x − 1) ⇔ = − x0 + 1 + x0 + 1+ ⇔ = , v« nghiƯm x0 −1 x0 −1 x0 − VËy, kh«ng tån tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm I Nhận xét: Với hàm phân thức bËc hai trªn bËc nhÊt (H): y = 0, ta cã: 12 ax + bx + c , víi a ≠ 0, d ≠ dx + e e b 2ac §iĨm I − ; − ữ giao điểm hai đờng tiệm cận (tiệm cận d d d đứng tiệm cân xiên) ã Đồ thị (H) nhận điểm I làm tâm đối xứng ã Không tồn tiếp tuyến đồ thị qua I Ví dụ minh hoạ phơng pháp tìm trục đối xứng (hoặc tâm đối xứng) dạng hàm số không mẫu mực Ví dơ 4: Cho hµm sè: y = x4 − 4x3 − 2x2 + 12x − Chøng tá r»ng ®å thị hàm số có trục đối xứng thẳng đứng Từ tìm giao điểm đồ thị với trục hoành ã Giải Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng x = a Khi đó, với phép biến đổi toạ độ: X = x a x = X + a ⇔ Y = y y = Y hàm số đợc chuyển dạng: Y = (X + a)4 − 4(X + a)3 − 2(X + a)2 + 12(X + a) − lµ hàm số chẵn Ta có: Y = (X + a)4 − 4(X + a)3 − 2(X + a)2 + 12(X + a) − = X4 + 4a2X2 + a4 + 4aX3 + 2a2X2 + 4a3X − 4(X3 + 3X2a + + 3X a2 + a3) − 2(X2 + 2Xa + a2) + 12(X + a) − = X + 4(a − 1)X + 2(3a − 6a − 1)X2 + 4(a3 − 3a2 − a + 3)X + + a4 − 4a3 − 2a2 + 12a Hàm số hàm số chẵn điều kiƯn lµ: 4(a − 1) = ⇔ a = 4(a − 3a − a + 3) = Vậy, đồ thị hàm số có trục đối xứng x = Hoành độ giao điểm nghiệm phơng trình: x4 4x3 2x2 + 12x = (*) Đặt x = X + 1, phơng trình (*) có dạng: X4 8X2 + = ⇔ X2 = ± 10 ⇔X=± ± 10 ⇔ x = ± 10 Vậy đồ thị hàm số cắt Ox bốn điểm có hoành độ x = Ví dụ 5: Xác định tâm đối xứng đồ thị hàm số y = 10 3x x +1 Giải Viết lại hàm số dới dạng: 13 x +1 Gọi I(x0; y0) tâm đối xứng r đồ thị hàm số, công thức chuyển hệ toạ độ uucủa phép tịnh tiến theo vectơ OI là: X = x − x x = X + x ⇔ Y = y − y y = Y + y hệ tọa độ IXY hàm số có phơng trình: 5 Y + y0 = − ⇔ Y = − y0 − (*) X + x0 + X + x0 + y = 3− §Ĩ I(x0; y0) tâm đối xứng đồ thị hàm số điều kiện hàm số (*) phải hàm lẻ, suy ra: x + = x = −1 ⇔ ⇒ I(−1; 3) 3 − y = y = Vậy, tâm đối xứng đồ thị hàm số I(1; 3) Bài toán 2: Tìm điều kiện tham số để đồ thị hàm số nhận điểm I làm tâm đối xứng đồ thị Phơng pháp áp dụng Để tìm điều kiện tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(x0; y0) làm tâm đối xứng, ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: Víi phép biến đổi toạ độ: X = x x x = X + x0 ⇔ Y = y − y0 y = Y + y0 hµm sè cã d¹ng: Y + y0 = f(X + x0) Y = F(X) (*) Bớc 2: Đồ thị hàm số nhận điểm I(x0; y0) làm tâm đối xứng điều kiện là: (*) hàm số lẻ Giá trị tham số Chú ý: Với hàm số sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tìm điều kiện cho tham sè Cho hµm sè: y = x3 + 3mx2 + 6mx + 5(m + 1) a Xác định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 6) làm tâm đối xứng b Với m tìm đợc câu a) tìm khoảng tăng, giảm cực trị đồ thị hàm số Ví dụ 1: Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức phần phơng pháp giải toán 14 Giải a Ta lựa chọn cách giải sau: Cách 1: Với phép biến đổi toạ độ: X = x + x = X − ⇔ Y = y − y = Y + hàm số có dạng: Y + = (X − 1)3 + 3m(X − 1)2 + 6m(X − 1) + 5(m + 1) ⇔ Y = X3 + 3(m − 1)X2 + 3X + 2m − Hàm số (*) hàm số lẻ điều kiện lµ: 3(m − 1) = ⇔ m = 2m − = VËy, víi m = đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 6) tâm đối xứng (*) Cách 2: Ta có: y' = 3x2 + 6mx + 6m, y" = 6x + 6m, y" = ⇔ 6x + 6m = ⇔ x = −m ⇒ §iĨm n I(−m; 2m3 − 6m2 + 5m + 5) Vì đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng nên ta cã: − m = −1 ⇔ m = 2m − 6m + 5m + = Vậy, với m = đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 6) làm tâm đối xứng b Bạn đọc tự thực Ví dụ 2: Cho hµm sè: y= mx − x − 2m a Xác định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng b Với m tìm đợc câu a) xét biến thiên hàm số Giải a Ta lựa chọn cách giải sau: Cách 1: Với phép biến đổi toạ độ: X = x x = X + ⇔ Y = y − y = Y + hàm số có dạng: m(X + 2) − (m − 1)X + 4m − Y +1= ⇔ Y= (X + 2) − 2m X + − 2m Hµm sè (*) lµ hµm số lẻ điều kiện là: m = ⇔ m = VËy, víi m = ®å thị hàm số nhận điểm I(2; 1) tâm đối xứng (*) 15 Cách 2: Giao điểm hai đờng tiệm cận đồ thị I(2m; m) Vì đồ thị hàm số nhận điểm giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng nên ta có: 2m = ⇔ m = m = Vậy, với m = đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng b Bạn ®äc tù thùc hiƯn VÝ dơ 3: Cho hµm sè: y = 2x + m + x−m a Xác định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 3) làm tâm đối xứng b Với m tìm đợc câu a) tìm khoảng tăng, giảm cực trị đồ thị hàm số Giải a Ta lựa chọn cách giải sau: Cách 1: Với phép biến đổi toạ độ: X = x − x = X + ⇔ Y = y − y = Y + hµm sè cã d¹ng: 1 Y + = 2(X + 1) + m + ⇔ Y = 2X + m − + (*) (X + 1) − m X +1− m Hµm sè (*) lµ hµm sè lẻ điều kiện là: m = m = Vậy, với m = đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 3) tâm đối xứng Cách 2: Giao điểm hai đờng tiệm cận đồ thị I(m; 3m) Vì đồ thị hàm số nhận điểm giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng nên ta có: m = m = 3m = VËy, víi m = đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 3) tâm đối xứng b Bạn đọc tự thực Bài toán 3: Tìm điều kiện tham số để đồ thị hàm số nhận đờng thẳng song song với trục Oy làm trục đối xứng đồ thị Phơng pháp áp dụng Để tìm điều kiện tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận đờng thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau: 16 Bíc 1: Bíc 2: Với phép biến đổi toạ độ: X = x − a x = X + a ⇔ Y = y y = Y hàm số có dạng: Y = f(X + a) ⇔ Y = F(X) (*) §å thị hàm số nhận đờng thẳng x = a làm trục đối xứng điều kiện là: (*) hàm số chẵn Giá trị tham số Cho hàm số: y = x4 + 4x3 + mx2 a Xác định m để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy b Với m tìm đợc câu a) tìm khoảng tăng, giảm cực trị đồ thị hàm số Ví dụ 4: Giải a Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xøng song song víi Oy lµ x = a (a 0) Khi đó, với phép biến đổi toạ độ: X = x − a ⇔ Y = y x = X + a y = Y hµm sè Y = (X + a)4 + 4(X + a)3 + m(X + a)2 hàm số chẵn Ta có: Y = (X + a)4 + 4(X + a)3 + m(X + a)2 = X4 + 4(a + 1)X3 + 2(3a2 + 6a + m)X2 + + 2(2a3 + 6a2 + am)X + a4 + 4a3 + ma2 Hµm sè (1) hàm số chẵn 4(a + 1) = ⇔ ⇔ m = 2(2a + 6a + am) = (1) VËy, víi m = đồ thị hàm số có trục đối xứng song song víi Oy b Víi m = hµm sè cã dạng: y = x4 + 4x3 + 4x2 Ta lần lợt có: Miền xác định D = Ă Đạo hàm: y' = 4x3 + 12x + 8x, y' = ⇔ 4x3 + 12x + 8x ⇔ 4x(x2 + 3x + 2) = ⇔ x = 0, x = −1, x = −2 Giíi h¹n: 17 lim y = lim [x4(1 − + x x x2 Bảng biến thiên: x −2 y' + − y +∞ CT B¹n ®äc tù kÕt luËn ) = +∞ x4 −1 C§ − 0 CT +∞ + + Bài toán 4: Đồ thị hàm số y = f(x + a) + b Phơng pháp áp dụng Từ ®å thÞ y = f(x) ®Ĩ suy ®å thÞ y = f(x + a) + b chóng ta thùc phép tịnh r tiến theo vectơ v (a ; b) (trong thùc tÕ ta thùc liªn tiÕp hai phép tịnh tiến theo trục tọa độ), cụ thể lựa chọn hai lợc đồ sau: Tõ y = f(x) suy y = f(x + a) = g(x) lại từ y = g(x) suy ra: y = g(x) + b = f(x + a) + b Tõ y = f(x) suy y = f(x) + b = h(x) lại từ y = h(x) suy ra: y = h(x + a) = f(x + a) + b r Khi đó, vectơ v (a ; b) đợc gọi vectơ tịnh tiến Chúng ta tìm đợc vectơ phơng pháp số bất định Cho hàm số: y = f(x) = 2x2 r r HÃy tìm vectơ v (a; b) cho đồ thị y = f(x) tịnh tiến theo v ta có đồ thị hàm số y = g(x) = 2x2 − 3x + VÝ dô 1: Hớng dẫn: Giải r Giả sử tồn vectơ v (a; b) để tịnh tiến đồ thị y = f(x) thành đồ thị y = g(x) Khi đó: g(x) = f(x + a) + b ⇔ 2x2 − 3x + = 2(x + a)2 + b = 2x2 + 4ax + 2a2 + b suy ra: r 4a = −3 a = −3 / ⇔ ⇒ v − ; − ÷ 8 b = −1/ 2a + b = C bµi tËp rÌn lun Bµi tËp 1: Cho parabol: (P): y = 2x2 − 3x + 18 a Xác định đỉnh I parabol (P) uu r b Viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI viết phơng trình parabol (P) hệ toạ độ IXY Từ đó, phơng trình trục đối xứng cđa parabol (P) Bµi tËp 2: Cho hµm sè: f(x) = x3 3x2 + a Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) hàm số đà cho biết hoành độ điểm I nghiệm phơng trình f"(x) = uu r b Viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI viết phơng trình đờng cong (C) ®èi víi hƯ to¹ ®é IXY Tõ ®ã, suy I tâm đối xứng đờng cong (C) c Viết phơng trình tiếp tuyến đờng cong (C) điểm I hệ tọa độ Oxy Chứng minh khoảng(; 1) đờng cong (C) nằm dới tiếp tuyến I (C) khoảng (1; +) đờng cong (C) nằm tiếp tuyến Bài tËp 3: Cho hµm sè: x +1 x −1 Chøng minh đồ thị hàm số nhận điểm I(1 ; 1) làm tâm đối xứng Bài tập 4: Cho hàm số: (H): y = điểm I(2; 2) x+2 uu r Viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI viết phơng trình đờng cong (H) hệ toạ độ IXY Từ đó, suy I tâm ®èi xøng cđa ®êng cong (H) Bµi tËp 5: Cho hµm sè: c (H): y = ax + b + , x − x0 y= ®ã a ≠ 0, c điểm I(x0; y0) uu mÃn y0 = ax0 + b ViÕt c«ng thøc chun hƯ tháa r toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI viết phơng trình đờng cong (C) hệ toạ độ IXY Từ đó, suy I tâm đối xứng đờng cong (C) Bài tập 6: Cho hµm sè: y = − x3 + 3mx2 m Xác định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 0) làm tâm đối xứng Bµi tËp 7: Cho hµm sè: 2x + (m − 4)x − 2m + y= x−2 T×m m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng +1 Bài tập 8: Xác định tâm đối xứng đồ thị hàm số y = x −1 Bµi tËp 9: Cho hµm sè y = f(x) = x3 + 3x + 19 r r HÃy tìm vectơ v (a; b) cho đồ thÞ y = f(x) tÞnh tiÕn theo v ta cã đồ thị hàm số y = g(x) = x3 3x2 + 6x − r x2 Bµi tËp 10:Cho hàm số y = f(x) = HÃy tìm vectơ v (a, b) cho đồ thị y = f(x) x−2 r x + 17x + 70 tÞnh tiÕn theo v ta có đồ thị y = g(x) = x+6 D hớng dẫn đáp số Bài tập 1: 3 1 a Täa ®é ®Ønh I ; ữ uu r b Công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI là: 3 X = x − x = X + ⇔ Y = y + y = Y − 8 hệ tọa độ IXY parabol (P) có phơng trình: 3 3 (P): Y − = X + ÷ − X + ÷ + ⇔ (P): Y = 2X2 4 4 NhËn xÐt r»ng, hƯ täa ®é IXY hàm số Y = 2X2 hàm số chẵn dó đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = làm trục đối xứng Bài tập 2: a I(1; −1) uu r b C«ng thøc chun hƯ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI là: X = x − x = X + ⇔ Y = y + y = Y hệ tọa độ IXY đờng cong (C) có phơng trình: (C): Y = (X + 1)3 − 3(X + 1)2 + ⇔ (C): Y = X3 − 3X NhËn xÐt r»ng, hệ tọa độ IXY hàm số Y = X3 3X hàm số lẻ dó nhận điểm I làm tâm đối xứng c Phơng trình tiếp tuyến đờng cong (C) điểm I hệ tọa độ Oxy, có dạng: (d): y = f'(xI)(x − xI) + f(xI) ⇔ (d): y = −3x + XÐt hiÖu H = x3 − 3x2 + − (−3x + 2) = x3 − 3x2 + 3x − = (x − 1)3 Tõ ®ã, suy ra: NÕu H > ⇔ (x − 1)3 > x > Tức là, khoảng(1; +) ®êng cong (C) n»m trªn tiÕp tuyÕn (d) NÕu H < ⇔ (x − 1)3 < ⇔ x < Tức là, khoảng(; 1) đờng cong (C) n»m díi tiÕp tun (d) Bµi tËp 3: Víi phép biến đổi toạ độ 20 X = x x = X + ⇔ Y = y − y = Y + ®ã hàm số có dạng: (X + 1) + (X + 1) + Y+1= ⇔Y= −1 ⇔Y= (*) (X + 1) − (X + 1) − X Hàm số (*) hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận điểm I(1, 1) làm tâm đốiuu xứng r Bài tập 4: Công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI là: X = x + x = X − ⇔ Y = y − y = Y + hệ tọa độ IXY hàm số có phơng trình: 1 Y+2=2 Y= (*) (X − 2) + X NhËn xÐt r»ng, hệ tọa độ IXY hàm số (*) hàm số lẻ dó nhận điểm I làm tâm đối xứng uu r Bài tập 5: Công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI lµ: X = x − x x = X + x ⇔ Y = y − y y = Y + y hệ tọa độ IXY hàm số có phơng trình: c c Y + y0 = ax0 + b + ⇔Y= (*) X + x0 − x0 X NhËn xét rằng, hệ tọa độ IXY hàm số (*) hàm số lẻ dó nhận điểm I làm tâm đối xứng Bài tập 6: m = Bµi tËp 7: m = −4 Bµi tËp 8: Gọi I(x0; y0) tâm đối xứng đồ thị hàm số, công thức chuyển hệ uu r toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI là: X = x − x x = X + x ⇔ Y = y − y y = Y + y hệ tọa độ IXY hàm số có phơng trình: 2 +1 ⇔ Y = + − y0 Y + y0 = (*) X + x0 − X + x0 Để I(x0; y0) tâm đối xứng đồ thị hàm số điều kiện hàm số (*) phải hàm lẻ, suy ra: x − = x = ⇔ ⇒ I(1; 1) y − = y = Vậy, tâm đối xứng đồ thị hàm số điểm I(1; 1) r Bài tập 9: v (1; 2) 21 r Bài tập 10: Giả sử tồn vectơ v (a; b) để tịnh tiến đồ thị y = f(x) thành đồ thị y = g(x) Khi ®ã: a = r (x + a)2 x + 17x + 70 f(x + a) + b = g(x) ⇔ +b= ⇔ ⇒ v (8; 1) (x + a) − x+6 b = 22 ... nhomcumon86@gmail.com để nhận giải ỏp Đ4 đồ thị hàm số Phép tịnh tiến hệ toạ độ A giảng phép tịnh tiến hệ toạ độ công thức chuyển hệ tọa độ Cho điểm I(x0; y0) điểm M(x; y) hệ toạ độ Oxy, hệ toạ ®é IXY ®iĨm... xứng đồ thị hàm số điều kiện hàm số (*) phải hàm lẻ, suy ra: x + = x = −1 ⇔ ⇒ I(−1; 3) 3 − y = y = Vậy, tâm đối xứng đồ thị hàm số I(1; 3) Bài toán 2: Tìm điều kiện tham số để đồ thị hàm. .. rằng: a Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng b Qua I không kẻ đợc tiếp tuyến tới đồ thị hàm số Bài tập 4: Cho hµm sè: y = x4 − 4x3 − 2x2 + 12x Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng