Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG §4 Thể tích khối đa diện Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tơ Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần tồn bộ: • Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí • Định hướng thực hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ định nghĩa, định lí • Chép lại ý, nhận xét • Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết yêu cầu theo mẫu: • Nơi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Mơn theo địa nhomcumon68@gmail.com để nhận giải đáp §4 T hể tích khối đa diện giảng theo chơng trình chuẩn Thế thể tích khối đa diện ? Định nghĩa Thể tích khối đa diện số dơng có tÝnh chÊt sau: a Hai khèi ®a diƯn b»ng th× cã thĨ tÝch b»ng b NÕu mét khèi đa diện đợc phân chia thành nhiều khối đa diện nhá th× thĨ tÝch cđa nã b»ng tỉng thĨ tÝch khối đa diện nhỏ c Khối lập phơng có cạnh tích Thể tích khối hộp chữ nhật Định lÝ 1: ThĨ tÝch cđa mét khèi hép ch÷ nhËt b»ng tÝch sè cđa ba kÝch thíc Nh vËy: Với khối hộp chữ nhật có ba kích thớc a, b, c th×: V = abc Khèi lËp phơng có cạnh a thì: V = a3 Thí dụ 1: Tổng diện tích mặt hình lập ph¬ng b»ng 96 TÝnh thĨ tÝch cđa khèi lËp ph¬ng Giải Gọi a cạnh hình lập ph¬ng, ta cã: 6a2 = 96 ⇔ a2 = 16 ⇔ a = Khi ®ã, thĨ tÝch cđa khèi lập phơng là: V = a3 = 43 = 64 (đvtt) Hoạt động Tổng diện tích mặt hình lập phơng 24 Tính thể tích khối lập phơng Diện tích mặt chéo hình lập phơng Tính thể tích khối lập phơng Thí dụ 2: Ba kích thớc hình hộp chữ nhật làm thành cấp số céng cã céng sai lµ vµ tỉng cđa ba kích thớc 12 Tính thể tích hình hộp Giải Gọi a, b, c ba kích thớc hình hộp chữ nhật, ta có: b = a + b = a + a = ⇔ c = + ⇔ b = c = + a + b + c = 12 a + (a + 2) + (a + 4) = 12 c = Khi ®ã, thĨ tÝch cđa khối hộp chữ nhật là: V = abc = 2.4.6 = 48 (đvtt) Hoạt động Ba kích thớc hình hộp chữ nhật làm thành cấp số cộng cã céng sai lµ vµ cã tỉng b»ng 14 TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh hép ThÝ dơ 3: TÝnh thể tích khối lập phơng có đỉnh trọng tâm mặt khối tám mặt cạnh a Giải Giả sử với khối bát diện ®Ịu SABCDS1, gäi M, N theo thø tù lµ träng tâm tam giác SAD SCD đoạn MN cạnh khối lập phơng Gọi M', N' theo thứ tự trung điểm AD CD, ta cã: S MN SM 2 a = = ⇔ MN = M ' N ' = AC = N M M ' N ' SM ' 3 3 B O C N' A Khi đó, thể tích khối lập phơng ®ã lµ: M' D a 2a V = MN = (đvtt) ữ = ữ 27 Hoạt động S1 Tính thể tích khối lập phơng có đỉnh trọng tâm mặt khối tám mặt c¹nh a ThĨ tÝch cđa khèi chãp §Þnh lÝ 2: ThĨ tÝch cđa khèi chãp b»ng tích diện tích đáy chiều cao Nh vậy, với khối chóp có diện tích đáy b vµ chiỊu cao b»ng h ta cã: V= b.h ThÝ dơ 4: TÝnh thĨ tÝch cđa khèi tø diện cạnh a Giải Xem tứ diện ABCD nh hình chóp đỉnh A đáy tam giác BCD có cạnh a Gọi G trọng tâm BCD, ta có: AG (BCD), A 2 a 3 2 a AG2 = AD2 − GD2 = AD − DE ÷ = a − ÷= ÷ B D Khi ®ã, ta cã: G E 1 a a a V = S ∆BCD AG = = C 3 12 Chó ý: C¸c em häc sinh h·y ghi nhớ công thức để thực nhanh tập trắc nghiệm Hoạt động Tính thể tích khối tứ diện đều, biết diện tích toàn phần cđa nã b»ng a TÝnh thĨ tích khối tứ diện đều, biết khoảng cách từ đỉnh đến mặt đối diện 2a TÝnh thĨ tÝch cđa khèi lơc diƯn ®Ịu c¹nh a ThÝ dơ 5: TÝnh thĨ tÝch cđa khối tám diện cạnh a Giải Với khối tám diện SABCDS1, chia thành hai khối chóp tứ giác S.ABCD S1.ABCD cạnh a S Gọi O tâm hình vuông ABCD, ta có: 1 SO2 = SA2 − OA2 = SA − AC ÷ A B C O D a a = a − = ÷ ÷ S1 Khi ®ã, ta cã: a a3 V = 2VS.ABCD = .S ABCD SO = a = 3 Hoạt động Tính thể tích khối tám diện ®Ịu, biÕt diƯn mét mỈt cđa nã b»ng a TÝnh thĨ tÝch cđa khèi mêi hai diƯn cạnh a Thể tích khối lăng trụ Định lí 2: Thể tích khối lăng trụ tích diện tích đáy chiều cao Nh vậy, với khối lăng trụ có diện tích đáy b vµ chiỊu cao b»ng h ta cã: V = b.h Thí dụ 6: Một khối lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 37, 13, 30 diƯn tÝch xung quanh b»ng 480 TÝnh thĨ tÝch khèi lăng trụ Giải Gọi h độ dài đờng cao lăng trụ, ta có: Sxq = h.CV® ⇔ 480 = h(37 + 13 + 30) ⇔ h = Gọi S diện tích đáy p lµ nưa chu vi cđa nã, ta cã: p = (37 + 13 + 30) = 40 S = p(p − 37)(p − 13)(p − 30) = 40.3.27.10 = 180 Khi ®ã, ta cã: V = S.h = 180.6 = 1080 Hoạt động Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 3, 4, diện tích xung quanh 72 Một khối lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình chữ nhật cạnh 2, diƯn tÝch mét mỈt chÐo b»ng 20 TÝnh thĨ tÝch khối lăng trụ Thí dụ 7: Cho hình hộp với sáu mặt hình thoi cạnh a, gãc nhän b»ng 600 TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh hép Giải Với hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' thỏa mÃn điều kiện đầu (các góc phẳng đỉnh A 600), ta có nhận xét A.A'BD hình chóp cạnh a nên: 2 A'H = A'A AH = A ' A − AO ÷ 3 2 D' 2 a 3 2a = a − = ÷ ÷ C' B' D a Thể tích V lăng hộp đợc cho bởi: A'H = V = SABCD.A'H = 2S∆ABD.A'H = A' C a O H A B 3 a a = Giáo án điện tử giảng giá: 1.200.000đ Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 ngày sau bạn nhận Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TO TRONG TIT DY tập lần Bài tập 1: Khi độ dài cạnh hình lập phơng tăng thêm 2cm thể tích tăng thêm 98cm3 Tính độ dài cạnh hình lập phơng đà cho Bài tập 2: Các đờng chéo mặt hình hộp chữ nhật , 10 , 13 Tình thể tích hình hộp Bài tập 3: Một hình chóp tam giác có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc Tính thể tích hình chóp Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác có diện tích đáy diện tích mặt bên Tính thể tích khèi chãp Bµi tËp 5: Cho khèi tø diƯn ABCD, E F lần lợt trung điểm hai cạnh AB CD Hai mặt phẳng (ABF) (CDE) chia khèi tø diƯn ABCD thµnh khèi tø diƯn a Kể tên bốn khối tứ diện b Chứng tá r»ng khèi tø diƯn ®ã cã thĨ tÝch b»ng c Chøng tá r»ng nÕu ABCD lµ khèi tứ diện bốn khối tứ diện nói b»ng Bµi tËp 6: Cho khèi chãp S.ABC cã đờng cao SA = a, đáy tam giác vuông cân AB = BC = a Gọi B' trung điểm SB, C' chân đờng cao hạ từ A cđa ∆SAC a TÝnh thĨ tÝch khèi chãp S.ABC b Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (AB'C') c TÝnh thĨ tÝch khèi chãp S.AB'C' Bµi tËp 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a Hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) ®Ønh H thuéc AC Gäi CM lµ ®êng cao SAC Chứng minh M đoạn AC, AH = trung điểm SA tính thể tích khèi chãp tø diƯn SMBC theo a Bµi tËp 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N lần lợt trung điểm cạnh AB AC, H giao ®iĨm cđa CN víi DM BiÕt SH vu«ng gãc víi mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đờng thẳng DMvà SC theo a Bài tập 9: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 19, 20, 37, chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích khối lăng trụ Bài tập 10: Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' Chứng minh sáu trung điểm sáu cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A' A'A nằm mặt phẳng mặt phẳng chia khối hộp thành hai phần cã thĨ tÝch b»ng Bµi tËp 11: Cho khèi lăng trục đứng ABC.A 1B1C1 có đáy tam giác ABC vuông à A, AC = b, ACB = 600 Đờng thẳng BC1 tạo với mp(AA1CC1) góc 300 a Tính độ dài đoạn thẳng AC1 b Tính thể tích khối lăng trụ đà cho Bài tập 12: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 13, 14, 15, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 300 có chiều dài Tính thể tích khối lăng trụ Bài tập 13: Tính thĨ tÝch cđa khèi hép ABCD.A'B'C'D' biÕt r»ng A.A'B'D' lµ khối tứ diện cạnh a Bài tập 14: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích đáy S AA' = h Một mặt phẳng (P) cắt cạnh AA', BB', CC' A1, B1 C1 BiÕt AA1 = a, BB1 = b, CC1 = c a Tính thể tích hai phần khối lăng trụ đợc phân chia mặt phẳng (P) b Với điều kiện a, b, c thể tích hai phần nhau? Bài tập 15: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a, điểm A1 cách ba điểm A, B, C, cạnh bên AA tạo với mặt phẳng đáy góc 600 a Tính thể tích khối lăng trụ b Chứng minh mặt phẳng bên BCC'B' hình chữ nhật c Tính tổng diện tích mặt bên hình lăng trụ ABC.A 1B1C1 (tổng gọi diện tích xung quanh hình (hoặc khối) lăng trụ đà cho) Bài tập 16: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy hình thoi ABCD cạnh a, góc  = 600 Chân đờng vuông góc hạ từ B xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai ®êng chÐo cđa ®¸y Cho BB1 = a a TÝnh góc cạnh bên đáy b Tính thể tích hình hộp Bài tập 17: Cho hình lập phơng có cạnh a Tính thể tích khối tám mặt mà đỉnh tâm mặt hình lập phơng đà cho Bài tập 18: Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Gọi E F lần lợt trung điểm BC CD a Dựng thiết diện tạo mặt phẳng (A1EF) hình lập phơng b Tính thể tích hai phần hình lập phơng mặt phẳng (A1EF) cắt Bài tập 19: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vuông đỉnh B AB = a Cạnh SA = b vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Bài tập 20: Cho điểm M nằm hình tứ diện ABCD Chứng minh tổng khoảng cách từ M tới bốn mặt hình tứ diện số không phụ thuộc vào vị trí điểm M Tổng cạnh tứ diện a? Bài tập 21: Một khối mời hai mặt H tích V diện tích mặt S Tính tổng khoảng cách từ điểm nằm H đến mặt Bài tập 22: Gọi x1, x2, x3, x4 khoảng cách từ điểm M tuỳ ý nằm tứ diện ABCD đến mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC), h 1, h2, h3, h4 đờng cao tơng ứng với đỉnh A, B, C, D cđa tø diƯn Chøng minh r»ng: x1 x x x + + + = h1 h h h Bµi tËp 23: Cho tø diƯn ABCD cã thĨ tÝch V Gọi B' D' lần lợt trung điểm AB AD Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích phần ®ã Bµi tËp 24: H·y chia mét khèi tø diƯn thµnh hai khèi tø diƯn cho tØ sè thĨ tÝch cđa hai khèi tø diƯn nµy b»ng mét sè k > cho tríc Bµi tËp 25: Cho khèi lăng trụ ABC.A'B'C' M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích phần Bài tập 26: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi M trung điểm cạnh AA' Mặt phẳng qua M, B', C chia khối lăng trụ thành hai phÇn TÝnh tØ sè thĨ tÝch cđa hai phÇn Bài tập 27: Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đờng thẳng SA, SB, SC lần lợt lấy ba điểm A', B', C' khác với S Gọi V V' lần lợt thể tích khối chãp S.ABC vµ S.A'B'C' Chøng minh r»ng V SA SB SC = V ' SA ' SB ' SC ' Bµi tËp 28: Khèi chãp S.ABCD cã đáy hình bình hành, M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (P) qua AM, song song với BD, chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Bài tập 29: Chứng minh có phép đồng dạng tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D' VA'B'C'D' = k3 VABCD Bài tập 30: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M, N, P lần lợt trung điểm AB, AD SC a Dựng thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) hình chóp b Tính tỉ số thể tích hai phần hình chóp đợc phân chia mặt phẳng (MNP) Chú ý: Các tập đợc trình bày phần Bài giảng nâng cao giảng nâng cao Bài toán 1: Thể tích khối hộp chữ nhật Phơng pháp áp dụng Sử dụng kết quả: Với khối hộp chữ nhật có ba kích thớc a, b, c thì: V = abc Khối lập phơng có cạnh a thì: V = a3 Ví dụ 1: Khi độ dài cạnh hình lập phơng tăng thêm 2cm thể tích tăng thêm 98cm3 Tính độ dài cạnh hình lập phơng đà cho 10 a HK = ( a 3) 2a 2a + ÷ 5 = 2a 57 19 Bài toán 3: Thể tích khối lăng trụ Phơng pháp áp dụng Sử dụng kết với khối lăng trụ có diện tích đáy b chiều cao h ta có: V = b.h Để tính đợc thể tích hình lăng trụ ta thờng thực theo bớc: Bớc 1: Xác định yếu tố giả thiết (nh khoảng cách, góc đờng thẳng với mặt phẳng, góc hai mặt phẳng ) theo phơng pháp đà biết Bớc 2: Dựa vào công thức, ta phân tích V thành biểu thức chứa đoạn thẳng phải tính Bớc 3: Tính đoạn thẳng cách sử dụng hệ thức lợng tam giác, tính chất đồng dạng Bớc 4: Suy giá trị V Ví dụ 1: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 19, 20, 37, chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích khối lăng trụ Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức phần phơng pháp giải toán Giải Gọi h độ dài đờng cao lăng trụ, ta có: V = S.h (1) Ta cã: 76 h = (19 + 20 + 37) = (2) 3 Gọi S diện tích đáy p nửa chu vi cña nã, ta cã: p = (10 + 20 + 37) = 38 S = p(p − 19)(p − 20)(p − 37) = 38.19.18.1 = 114 (3) Thay (2), (3) vào (1), ta đợc: 76 V= 114 = 2888 VÝ dô 2: Cho khèi hép ABCD.A'B'C'D' Chứng minh sáu trung điểm sáu cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A' A'A nằm mặt phẳng mặt phẳng chia khối hộp thành hai phÇn cã thĨ tÝch b»ng Híng dÉn: Xem lại kiến thức học Giải 17 a Gäi M, N, I, J, K, E theo thứ tự trung điểm sáu cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A' vµ A'A NhËn xÐt r»ng: D' J C' K MN, EF, KJ đôi song song với (v× chóng A' cïng song song víi AC) B' I M, O, I thẳng hàng O Từ đó, suy điểm M, N, I, J, K, E đồng phẳng E D C b Từ kết câu a), ta thấy mặt phẳng (MNIJKE) qua tâm N đối xøng O cđa khèi hép nªn (MNIJKE) chia khèi hép thành A B M hai phần tích Cho khối lăng trục đứng ABC.A1B1C1 có đáy tam giác ABC vuông à A, AC = b, ACB = 600 Đờng thẳng BC1 tạo với mp(AA1CC1) góc 300 c Tính độ dài đoạn thẳng AC1 d Tính thể tích khối lăng trụ đà cho Ví dụ 3: Híng dÉn: Thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: Bớc 2: Xác định góc cạnh BC1 với mặt phẳng (AA1CC1) việc sử dụng điều kiện BA(AA1CC1) Ta lần lợt: Với câu a), để tính độ dài AC1 hệ thức lợng tam giác vuông ABC1 Với câu b), thiết lập công thức tính thể tích hình lăng trụ, cụ thể: V = CC1.SABC = AB.AC.CC1 (1) Tính toán giá trị (1) b»ng viƯc sư dơng c¸c kiÕn thøc vỊ hệ thức lợng tam giác vuông (2) Thay (2) vào (1) để nhận đợc kết cần tìm Gi¶i a Trong ∆ABC, ta cã: · AB = AC tan ACB = b.tan600 = b B1 C1 Trong ∆ABC1, ta cã: A1 · AC1 = AB co t AC1B = b cot300 = 3b b Trong ∆ACC1, ta cã: C1C2 = C1A2 − CA2 = 9b2 − b2 = 8b2 ⇔ CC1 = 2b B C Tõ ®ã, suy ra: 1 A V = AB.AC.CC1 = b b 2b = b 2 VÝ dô 4: Mét khèi lăng trụ tam giác có cạnh đáy 13, 14, 15, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy gãc 300 vµ cã chiỊu dµi b»ng TÝnh thĨ tích khối lăng trụ 18 Hớng dẫn: Từ giả thiết: "Độ dài cạnh đáy" việc sử dụng công thức Hêrông nhận đợc diện tích đáy (1) "Cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy mét gãc 300 vµ cã chiỊu dµi b»ng 8" chóng ta nhận đợc đồ dài đờng cao lăng trụ (2) Tõ (1) vµ (2) suy thĨ tÝch cđa lăng trụ Giải Gọi h độ dài đờng cao lăng trụ, ta có: V = S.h Gọi H hình chiếp vuông góc A1 xuống (ABC), ta cã: · A1 AH = 300 ⇒ h = A1H = AA1 = (2) Gäi S diện tích đáy p nửa chu vi cña nã, ta cã: p = (13 + 14 + 15) = 21 A (1) A1 B1 C H p(p − 13)(p − 14)(p − 15) S= C1 = 21.8.7.6 = 84 Thay (2), (3) vµo (1), ta đợc: V = 84.4 = 336 B (3) Tính thĨ tÝch cđa khèi hép ABCD.A'B'C'D' biÕt r»ng A.A'B'D' lµ khối tứ diện cạnh a Ví dụ 5: Hớng dẫn: Sử dụng giả thiết A.ABD khối tứ diện ta đợc: AG đờng cao khối hộp, với G trọng tâm ABD Khi ®ã: V = AG.SA'B'C'D' = 2AG.S∆A'B'D' = 2AG Giải Gọi G trọng tâm A'B'D' Từ giả thiết suy ra: AG⊥(A'B'D'), A 'B'2 D A B C a 3 2a a − AG = A'A − A'G = ÷ = ÷ 2 2 a C' ⇔ AG = Khi ®ã, thĨ tÝch cđa khèi hộp ABCD.A'B'C'D' đợc cho bởi: D' O G A' B' 19 V = AG.SA'B'C'D' = 2AG.S∆A'B'D' = a a2 a3 = Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích đáy S AA' = h Một mặt phẳng (P) cắt cạnh AA', BB', CC' A1, B1 C1 BiÕt AA1 = a, BB1 = b, CC1 = c c Tính thể tích hai phần khối lăng trụ đợc phân chia mặt phẳng (P) d Với điều kiện a, b, c thể tích hai phần nhau? Ví dụ 6: Giải a Giả sử a b c Khi qua A1 dùng thiÕt diƯn (A1B2C2) // (ABC) vµ gäi H hinh chiếu vuông góc A1 lên B2C2 A1H(B2C2C1B1) Thể tích V1 đa diện ABC.A1B1C1 đợc cho bëi: V1 = VACB.A1B C + VA1 B C C1B1 B' A' S B2C2 C1B1 A1H B1 = S∆ABC.AA1 + C' 1 = Sa + (B1B2 + C1C2).B2C2.A1H = Sa + B2 C1 A1 B C2 A 1 (b − a + c − a)S = (a + b + c)S 3 C ThĨ tÝch V2 cđa ®a diƯn A'B'C'.A1B1C1 ®ỵc cho bëi: 1 (a + b + c)S = (3h − a − b − c)S 3 V2 = V − V1 = Sh b Để thể tích hai phần nhau, ®iỊu kiƯn lµ: 1 (a + b + c)S = (3h − a − b − c)S ⇔ a + b + c = 3h − a − b − c 3 ⇔a+b+c= 3h Cho khèi lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a, điểm A1 cách ba điểm A, B, C, cạnh bên AA tạo với mặt phẳng ®¸y mét gãc 600 d TÝnh thĨ tÝch cđa khèi lăng trụ e Chứng minh mặt phẳng bên BCC'B' hình chữ nhật f Tính tổng diện tích mặt bên hình lăng trụ ABC.A 1B1C1 (tổng gọi diện tích xung quanh hình (hoặc khối) lăng trụ đà cho) Ví dụ 7: Híng dÉn: Tham kh¶o vÝ dơ Gi¶i a Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB, BC Gọi H tâm ABC, ta có: à A1H ⊥ (ABC) ⇒ A AH = 600 20 ThÓ tích V lăng trụ đợc cho bởi: V = SABC.A1H (1) Vì ABC cạnh a nên: SABC = a A1 C1 B1 (2) Trong A1HA vuông H, ta có: A C H M AA1 = 2AH = a = 2a , N 3 B · AH = AN.tan600 = a = a A1H = AH.tan A1 3 (3) Thay (2), (3) vào (1), ta đợc: V= b Ta cã: a2 a3 a = 4 BC ⊥ AH ⇒ BC ⊥ (AA H) ⇒ BC ⊥ AA BC ⊥ A1H 1 Mặt khác, ta có: AA1 // BB1 BC BB1 BCC1B1 hình chữ nhật c Gọi Sxq diện tích xung quanh lăng trụ, ta cã: Sxq = S ABB1A1 + S BCC1B1 = 2A1M.AB + BB1.BC = (2A1M + BB1)BC Trong ∆A1HM vu«ng t¹i H, ta cã: A1M = A1H + MH = 1 a a + 3 = a 39 , Tõ ®ã, suy ra: a 39 2a ( 13 + 2) a = a + Sxq = 2 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy hình thoi ABCD cạnh a, góc  = 60 Chân đờng vuông góc hạ từ B xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đờng chéo đáy Cho BB1 = a D1 c Tính góc cạnh bên đáy C1 d Tính thể tích hình hộp Ví dụ 8: Giải A1 a Gọi O giao điểm AC BD, ta có B1O (ABCD) à Từ đó, suy góc cạnh bên đáy B1BO Vì ABCD hình thoi cạnh a, góc  = 600 nên: B1 D A C O B 21 BD = a ⇒ OB = a Trong OB1B vuông O, ta cã: OB1 = BB1 − OB = · cos B1BO = a2 − a2 = a OB · = ⇒ B1BO = 600 BB1 Vậy, góc cạnh bên đáy lăng trụ 600 b Thể tích V lăng trụ đợc cho bởi: V = SABCD.B1O = 1 3a AC.BD.B1O = a a a = 2 2 Bài toán 4: Thể tích khối đa diện khác Phơng pháp ¸p dơng Sư dơng kiÕn thøc vỊ viƯc ph©n chia lắp ghép khối đa diện Cho hình lập phơng có cạnh a Tính thể tích khối tám mặt mà đỉnh tâm mặt hình lập phơng đà cho Ví dụ 1: Híng dÉn: Sư dơng tÝnh chÊt cđa h×nh lËp phơng khối tám mặt Giải Giả sử khối lập phơng có cạnh a, suy đờng chéo mặt có độ dài a Khi đó, tâm mặt khối lập phơng tạo thành S a khối đa diện có độ dài cạnh Ta cã: B O C A 2 2 D V = 2VS.ABCD = .S ABCD SO = AB SA − AO 3 2 a3 a a a = ÷ ÷ − ÷ = ÷ ÷ 2 S1 Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Gọi E F lần lợt trung điểm BC CD c Dựng thiết diện tạo mặt phẳng (A1EF) hình lập phơng d Tính thể tích hai phần hình lập phơng mặt phẳng (A1EF) cắt Ví dụ 2: 22 Hớng dÉn: Sư dơng viƯc tÝnh thĨ tÝch cđa c¸c khèi đa diện đặc biệt A Giải D1 a Ta lần lợt có: C1 B1 EF cắt AB, AD theo thứ tự M, N A1M cắt BB1 I J A1N cắt DD1 J D A Nèi IE vµ JF I O B Ta nhận đợc thiết diện A1IEFJ F b Đặt: E C V1 = VABCD A1B 1C1D1 , V2 = VA1B 1C 1D1 IEFJ M , N V3 = VABEFDJA1I , V4 = VM IBE , V5 = VN DFJ , V6 = VA1 AMN Ta cã ngay: V1 = a3 1 S∆IBE.BM = IB.EB.BM = 3 1 V6 = S∆AMN.AA1 = AM.AN.AA1 = 3 V4 = V5 = a a a a3 = 2 72 3a 3a 3a a = 2 3a a3 25a − = 72 72 25a 47a V2 = V1 − V3 = a3 − = 72 72 V3 = V6 2V4 = Vậy, mặt phẳng (A1EF) chia hình lập phơng thành hai phần tích là: 3 VA1B1C1D1IEFJ = 47a vµ VABEFDJA1I = 25a 72 72 Bài toán 5: Dùng cách tính thể tích để giải số toán hình học Phơng pháp ¸p dơng Dïng hai c¸ch ®Ĩ tÝnh thĨ tÝch cđa khối đa diện so sánh chúng với để rút đại lợng hình học cần tìm Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vuông đỉnh B AB = a Cạnh SA = b vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Ví dụ 1: Hớng dẫn: Ta cã: VS.ABC = 1 S∆ABC SA = S∆SBC d(A, (SBC)) ⇒ d(A, (SBC)) 3 S Gi¶i Tríc tiªn, ta cã: A C B 23 1 S ∆ABC SA = BA.BC.SA (1) MỈt kh¸c, víi nhËn xÐt: BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SBC) ⇒ BC ⊥ SB BC ⊥ SA Ta ®ỵc: 1 VS.ABC = S ∆SBC d(A, (SBC)) = SB.BC.d(A, (SBC)) Tõ (1) vµ (2), suy ra: 1 BA.BC.SA = SB.BC.d(A, (SBC)) 6 BA.SA ab BA.BC.SA ⇔ d(A, (SBC)) = = = SB.BC SA + AB a2 + b VS.ABC = (2) Cho điểm M nằm hình tứ diện ABCD Chứng minh tổng khoảng cách từ M tới bốn mặt hình tứ diện số không phụ thuộc vào vị trí điểm M Tổng cạnh tứ diện b»ng a? VÝ dơ 2: Híng dÉn: Chia nhá tứ diện ABCD thành bốn tứ diện nhận A khoảng cách từ M tới mặt làm đờng cao Gi¶i B a Gi¶ sư tø diƯn cã chiỊu cao h diện tích mặt B E Gọi M1, M2, M3, M4 theo thứ tự hình chiếu vuông góc C M lên bốn mặt tø diƯn, ®ã: 1 1 Vtød iÖn = hB = MM1 B + MM B + MM B + MM B 3 3 ⇔ MM1 + MM2 + MM3 + MM4 = h, kh«ng phơ thc M b Gäi G trọng tâm BCD, ta có: AG(BCD) AG = h, D G a 3 2a a AG = AD − DG = a − ⇔ AG = ÷ = ÷ 3 2 2 Mét khèi mêi hai mặt H tích V diện tích mặt S Tính tổng khoảng cách từ điểm nằm H đến mặt cđa nã VÝ dơ 3: Híng dÉn: Thùc hiƯn tơng tự ví dụ Giải Gọi H1, H2, , H12 theo thứ tự hình chiếu vuông góc M lên mời hai mặt H, đó: 24 1 MH1 S + MH1 S + + MH12 S 3 S 3V ⇔ V = ( MH1 + MH2 + + MH12) ⇔ MH1 + MH2 + + MH12 = S VH = Gäi x1, x2, x3, x4 lµ khoảng cách từ điểm M tuỳ ý nằm tứ diện ABCD đến mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC), h 1, h2, h3, h4 đờng cao tơng ứng với đỉnh A, B, C, D tứ diÖn Chøng minh r»ng: x1 x x x + + + = h1 h h h VÝ dơ 4: Híng dÉn: Sư dơng tØ lƯ thøc vỊ thĨ tÝch Gi¶i Gäi V, V1, V2, V3, V4 theo thø tù lµ thĨ tÝch cđa c¸c khèi tø diƯn ABCD, MBCD, MCDA, MDAB, MABC, ta cã: V1 x1 x1V V2 x x2 V = = ⇔ V1 = ; ⇔ V2 = ; V h1 h1 V h h2 V3 x x3V = ⇔ V3 = ; V h3 h3 Mặt khác, ta có: V = V1 + V2 + V3 + V4 = ⇔ V4 x x4 V = ⇔ V4 = V h4 h4 x x x1 V x V xV xV x x + + + = V + + + ÷ h1 h2 h3 h4 h1 h h h x1 x x x + + + = , đpcm h1 h h h Bài toán 6: Tỉ số thể tích Phơng pháp áp dụng §Ĩ tÝnh tØ sè thĨ tÝch hai phÇn cđa mét khối đa diện (H) đợc phân chia mặt phẳng ta lựa chọn hai cách: Cách 1: Ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: Dùng thiết diện tạo (H) Bớc 2: Dùng phơng pháp tính thể tích đa biết để tính thể tích V V2 hình (H1) (H2) (H) cắt V1 Bớc 3: TÝnh k = V2 C¸ch 2: Sư dơng kết quả: " Trên ba tia không đồng phẳng Sx, Sy, Sz lấy lần lợt cặp điểm A A1, B B1, C C1 ta lu«n cã: 25 VSABC SA SB SC = " SA1 SB1 SC1 VSA1B1C (*) Chó ý: Dùa vào kết (*) nhận thêm đợc c¸ch tÝnh thĨ tÝch Cho tø diƯn ABCD cã thĨ tích V Gọi B' D' lần lợt trung điểm AB AD Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích phần Ví dụ 1: Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức phần phơng pháp giải toán Giải Ta cã: VA.B'CD' AB ' AC AD ' V = = ⇒ VAB'CD' = VA.BCD AB AC AD 4 V 3V VCB'D'DB = VABCD − VAB'CD' = V − = 4 A D' B' B D C H·y chia mét khèi tø diÖn thµnh hai khèi tø diƯn cho tØ sè thĨ tÝch cđa hai khèi tø diƯn nµy b»ng mét sè k > cho tríc A Gi¶i VÝ dơ 2: Lấy điểm E thuộc cạnh AC cho AE = kCE Hạ AHA CHC vuông góc với mặt ph¼ng (BDE), ta cã: AH A S ∆BDE VA.BDE AH A AE = = = = k VC.BDE CH C CE CH C S ∆BDE E HC HA B C D Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích phần Ví dụ 3: Giải Gọi a cạnh lăng tru, ta cã: a3 VLT = Ta cã nhËn xÐt: B'C' // BC ⇒ (B'C'M)∩(ABC) = Mx//BC Gi¶ sư Mx cắt AC N, ta đợc thiết diện MNC'B' dễ thấy BM, CN, A'A đồng quy S, ta đợc: 1 a2 a3 VS.A'B'C' = SA '.S ∆A' B 'C' = 2a = 3 Sư dơng kÕt qu¶ vỊ tØ sè thÓ tÝch, ta cã: 26 B' C' A' B C M A S N VAMNB 'C ' A' V − VS.AMN V = S.A' B'C ' = − S.AMN VS.A' B 'C ' VS.A' B 'C ' VS.A' B 'C' = 1− SA SM SN 1 1 = 1− = 1− = SA ' SB ' SC ' 2 8 7a 3 ⇒ VAMNB'C ' A' = VS.A' B ' C ' = 48 a3 7a 3 5a 3 ⇒ VMNCBB'C'A' = VLT − VAMNB 'C' A ' = − = 48 48 Từ đó, ta đợc: 7a 3 VAMNB 'C ' A' = 48 = VMNCBB'C ' A' 5a 48 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi M trung điểm cạnh AA' Mặt phẳng qua M, B', C chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần B' A' Giải Thể tích khối lăng trụ đợc cho bởi: C' M Ví dô 4: a2 a3 H = B A 4 Hạ CH vuông góc với AB, ta cã: C 1 a 1 a a + ÷a = a V1 = VC.ABB'M = CH.SABB'M = 3 2 2 Khi ®ã: a3 VC.ABB' M V1 = = = VCC ' B ' A' M V − V1 a a3 − Ví dụ 5: Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đờng thẳng SA, SB, SC lần lợt V = AA'.SABC = a lấy ba điểm A', B', C' khác với S Gọi V V' lần lợt thể tích khối chóp S.ABC S.A'B'C' Chứng minh r»ng V SA SB SC = V ' SA ' SB ' SC ' Gi¶i Gäi H, H' theo thứ tự hình chiếu vuông góc A, A' lên mặt phẳng (SBC), ta thấy S, H, H' thẳng hàng chúng nằm hình chiếu vuông góc tia SA lêm mặt phẳng (SBC) S H' B' A' C' H A C B 27 Khi ®ã: AH.S ∆SBC V SA SB SC = = , ®pcm V ' A ' H '.S SA ' SB ' SC ' SB 'C ' Khối chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (P) qua AM, song song với BD, chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Ví dụ 6: Giải S Gọi O tâm hình bình hành ABCD G giao điểm SO với AM Trong (SBD) dựng Gx song song víi BD c¾t SB, SD theo thø tự N, P, suy ANMP thiết diện cần dựng Trong SAC, SO AM trung tuyến nên G N trọng tâm tam giác, suy ra: SG SN SP A = ⇒ = = O SO SB SD B Từ kết 17, ta có: VS.ANM VS.ANM 1 SA SN SM = = = ⇒ = VS.ABC VS.ABCD SA SB SC 3 VS.APM VS.ANM 1 SA SP SM = = = ⇒ = VS.ADC VS.ABCD SA SD SC 3 Tõ ®ã suy ra: VS.ANMP VS.ANM + VS.APM VS.ANMP 1 1 = = + = ⇒ = VS.ABCD VS.ABCD VABCDNMP 6 VÝ dô 7: P M D C Chøng minh r»ng có phép đồng dạng tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D' VA'B'C'D' = k3 VABCD Híng dÉn: Sư dơng tÝnh chÊt cđa phÐp đồng dạng Giải Gọi H, H' theo thứ tự hình chiếu vuông góc A lên (BCD) A' lên (B'C'D') Từ giả thiết suy ra: Đk(AH) = A'H' ⇒ A'H' = kAH §k(∆BCD) = ∆B'C'D' ⇒ S∆BCD = k2S∆B'C'D' Tõ ®ã, suy ra: AH.S ∆SBC VA'B'C'D' = = k3, ®pcm VABCD A ' H '.S ∆SB 'C' 28 Cho h×nh chãp tø giác S.ABCD Gọi M, N, P lần lợt trung điểm AB, AD SC a Dựng thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) hình chóp b Tính tỉ số thể tích hai phần hình chóp đợc phân chia mặt phẳng (MNP) Ví dụ 8: Giải a Ta lần lợt có: MN cắt BC, CD theo thø tù t¹i E, F PE cắt SB I PF cắt SD J Nối IM JN Ta nhận đợc thiết diện MNJPI b Đặt SO = h, AB = a vµ: V1 = VS ABCD , V2 = VSMANJPI , S P J C K I B H E M D O F N A V3 = VBCDNMIPJ , V4 = VI.BME, V5 = VJ.DNF, V6 = VP.CEF Ta cã ngay: a h 1 1 a a h a2h V4 = V5 = S∆BME.IH = BM.BE.IH = = 3 2 96 1 1 3a 3a h 3a h V6 = S∆CEF.PK = CE.CF.PK = = 3 2 16 V1 = 3a h a2h a2h − = 16 96 a2h a2h V2 = V1 − V3 = ah− = 6 V3 = V6 − 2V4 = V2 = V3 Vậy, mặt phẳng (A1EF) chia hình lập phơng thành hai phần tích b»ng 29 C bµi tËp rÌn lun Bµi tËp 31: NÕu ba kÝch thíc cđa mét khèi hép ch÷ nhật tăng lên k lần thể tích tăng lên lần ? Bài tập 32: Nếu hình chóp có chiều cao cạnh đáy tăng lên n lần thể tích tăng lên lần ? Bài tập 33: Tổng diện tích mặt hình lập phơng 96 Tính thể tích khối lập phơng Bài tập 34: Ba kích thớc hình hộp chữ nhật làm thành cấp số nhân có công bội Thể tích hình hộp đà cho 1728 Tính kích thức hình hộp Bài tập 35: Một hình chóp tam giác có cạnh đáy a cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc Tính thể tích hình chóp Bài tập 36: Đáy hình hộp hình thoi cạnh 6cm góc nhọn 450, cạnh bên hình hộp dài 10cm tạo với đáy góc 45 Tính thể tích hình hộp Bài tập 37: Cho tam giác ABC cố định ®iĨm S thay ®ỉi ThĨ tÝch khèi chãp S.ABC cã thay đổi hay không nếu: a Đỉnh S di chuyển mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) ? b Đỉnh S di chuyển mặt phẳng song song với cạnh đáy ? c Đỉnh S di chuyển đờng thẳng song song với cạnh đáy ? Bài tập 38: Cho khối tứ diện ®Ịu cã c¹nh b»ng a TÝnh thĨ tÝch cđa khèi tám mặt mà đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện đà cho Bài tập 39: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', với cạnh bên không vuông góc với mặt đáy Gọi () mặt phẳng vuông gócu u cạnh bên hình lăng trụ cắt chúng P, với u ur Q, R Phép tịnh tiến theo vectơ AA ' biến tam giác PQR thành tam giác P'Q'R' a Chứng minh thể tích V hình lăng trụ đà cho thể tích hình lăng trụ PQR.P'Q'R' b Chứng minh V = SPQR.AA', SPQR diện tích tam giác PQR Bài tập 40: Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đờng thẳng SA, SB, SC lần lợt lấy ba điểm A', B', C' khác với S Gọi V V' lần lợt thể tích khèi chãp S.ABC V SA SB SC = vµ S.A'B'C' Chøng minh r»ng V ' SA ' SB' SC' Bµi tËp 41: Cho tø diƯn ABCD cã thĨ tÝch V H·y tÝnh thĨ tÝch cđa h×nh tø diện có đỉnh trọng tâm mặt tứ diện đà cho Bài tập 42: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm AC, I giao ®iĨm cđa AM vµ A’C TÝnh thĨ tÝch khèi tø diện IABC khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) Bài tập 43: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có BB = a, góc đờng thẳng à BB mặt phẳng (ABC) 600, ABC vuông C BAC = 600 Hình chiếu vuông góc điểm B mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm cđa ∆ABC TÝnh thĨ tÝch khèi tø diƯn A’ABC theo a 30 Bài tập 44: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A D, AB = AD = 2a, CD = a, gãc gi÷a hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tÝch khèi chãp S.ABCD theo a Bµi tËp 45: Cho lăng trụ ABC.ABC có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc đỉnh A mặt phẳng (ABC) trung điểm cđa c¹nh BC TÝnh theo a thĨ tÝch cđa khèi chóp A.ABC tính côsin góc hai đờng thẳng AA, BC Bài tập 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lợt trung điểm AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN côsin góc hai đờng thẳng SM, DN Bài tập 47: Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông AB = AC = a, cạnh bên AA ' = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.ABC khoảng cách hai đờng thẳng AM, BC Bài tập 48: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N P lần lợt trung điểm cạnh SB, BC CD Chứng minh AM vuông gãc víi BP vµ tÝnh thĨ tÝch cđa khèi tø diện CMNP D hớng dẫn đáp số Bài tập 1: Ta cã: Khèi hép ch÷ nhËt ABCD.A'B'C'D' cã ba kÝch thøc a, b, c Khèi hép ch÷ nhËt A1B1C1D1.A1'B1'C1'D1' cã ba kÝch thøc ka, kb, kc Tõ ®ã, suy ra: VA1B1C1D1A1 ' B1 'C1 ' D1 ' (ka)(kb)(kc) = = k3 VABCDA' B 'C ' D ' abc Bài tập 2: Trớc tiên, biết hai đa giác A B (có diện tích S) đồng dạng tỉ số n thì: SA = n2S Khi ®ã, ta nhËn thÊy: 1 31 VA = hA.SA = nh.n2S = n h.S ÷ = n3V 3 3 VËt, thĨ tÝch cđa tăng lên n3 lần Bài tập 3: Gọi a cạnh hình lập phơng, ta có: 6a2 = 96 ⇔ a2 = 16 ⇔ a = Khi đó, thể tích khối lập phơng là: V = a3 = 43 = 64 31 ... thể tích khối đa diện ? Định nghĩa Thể tích khối đa diện số dơng có tính chất sau: a Hai khối đa diƯn b»ng th× cã thĨ tÝch b»ng b Nếu khối đa diện đợc phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thể. .. Hoạt động Tính thể tích khối tám diện đều, biết diện mặt b»ng a TÝnh thĨ tÝch cđa khèi mời hai diện cạnh a Thể tích khối lăng trụ Định lí 2: Thể tích khối lăng trụ tích diện tích đáy chiều cao... đa diện nhỏ thể tích tổng thể tích khối đa diện nhỏ c Khối lập phơng có cạnh có thĨ tÝch b»ng ThĨ tÝch cđa khèi hép chữ nhật Định lí 1: Thể tích khối hép ch÷ nhËt b»ng tÝch sè cđa ba kÝch thíc
