Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG §4 Phép quay phép đối xứng tâm Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần toàn bộ: Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí Định hướng thực hoạt động Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: Đọc Hiểu Ghi nhớ định nghĩa, định lí Chép lại ý, nhận xét Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết yêu cầu theo mẫu: Nôi dung chưa hiểu Hoạt động chưa làm Bài tập lần chưa làm Bài tập lần chưa làm Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Mơn theo địa nhomcumon68@gmail.com để nhận giải đáp §4 phÐp quay phép đối xứng tâm giảng theo chơng chơng trình chuẩn định nghĩa phép quay Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định góc lợng giác không đổi Phép phép biến hình biến điểm M thành điểm M' cho OM = OM' (OM, OM') = đợc gọi phép quay t©m O víi gãc quay KÝ hiƯu Q O hay Q(O, ) A Hoạt động: Nêu cách tìm ảnh điểm M qua phép quay Q O Thí dụ 1: Với hình vuông ABCD, ta nhận thấy: Q ( A , 90 ) (B) = D; Q ( A , 90 ) (D) = B Q ( C , 90 ) (B) = D; Q ( C , 90 ) (D) = B D O B C Q ( O, 90 ) (A) = D; Q ( O, 90 ) (D) = C; Q ( O, 90 ) (C) = B; Q ( O, 90 ) (B) = A; Q ( O, 90 ) (ABCD) = DCBA Q ( O, 180 ) (A) = C; Q ( O, 180 ) (D) = B; Q ( O, 180 ) (C) = A; Q ( O, 180 ) (B) = D; Q ( O, 180 ) (ABCD) = CBAD Hoạt động: Phép đồng có phải phép quay không ? Định lí Định lí: Phép quay phép dời hình Hoạt động: HÃy chứng minh định lí.y chứng minh định lí Cho hình ngũ giác ABCDE tâm O HÃy chứng minh định lí.y số phép quay biến ngũ giác thành phép đối xứng tâm Định nghĩa: Phép đối xứng qua điểm O phép dời hình biến ®iĨm M thµnh M' ®èi xøng víi M qua O, tøc lµ OM + OM ' = KÝ hiƯu §O hay SO O ThÝ dơ 2: Víi hình vuông ABCD tâm O, ta nhận thấy: ĐO(A) = C, §O(B) = D, §O(C) = A, §O(D) = B ĐO(ABCD) = CDAB Hoạt động: Nêu cách tìm ảnh điểm M qua phép đối xứng tâm Hoạt động: Chøng tá r»ng phÐp quay t©m t©m O O, gãc quay = 1800 phép đối xứng Biểu thức toạ độ phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho điểm I(a; b) Phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M(x; y) thành ®iĨm M'(x'; y') víi: x ' 2a x y ' 2b y Ho¹t động: HÃy chứng minh định lí.y chứng minh kết Thí dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ điểm M điểm đối xứng với ®iĨm M(1; 2) qua: a Gèc O b §iĨm I(3; 1) c Điểm I(2; 3) Giải a Ta có M(1; 2) b Sử dụng công thức trung điểm ta đợc M(7; 0) c Sử dụng công thức trung điểm ta đợc M(3; 4) Thí dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (): ax + by + c = điểm I(x0; y0) Phép đối xứng tâm ĐI biến đờng thẳng () thành đờng thẳng (') Viết phơng trình ' Giải Với điểm M(x0; y0) () (tức Ax0 + By0 + C = 0), suy tồn điểm M’(x; y) (') cho: x 2 a x x 2 a x 2 b y y 2 b y y Do đó, đờng thẳng (') có phơng trình: ('): A(2a x) + B(2b y) + C = ('): Ax + ByC2aA2bB = T©m đối xứng hình: Điểm O đợc gọi tâm đối xứng hình H phép đối xứng tâm ĐO biến hình H thành nó, tức ĐO(H) = H Thí dụ 5: Chỉ tâm đối xứng hình sau đây: a Hình gồm hai đờng thẳng cắt b Hình gồm hai đờng thẳng song song c Hình gồm hai đờng tròn d Đờng elip e Đờng Hypecbol Giải a Tâm đối xứng giao điểm hai đờng thẳng b Tâm đối xứng điểm O nằm đờng thẳng song song cách hai đờng thẳng c Tâm đối xứng trung điểm đoạn thẳng nối hai tâm hai đờng tròn d Tâm đối xứng giao điểm hai trục đối xứng e Tâm đối xứng giao điểm cđa hai ®êng tiƯm cËn 0 0 ứng dụng phép quay Bài toán 1: Cho hai tam giác OAB OA'B' nh hình vẽ Gọi C D lần lợt trung điểm đoạn thẳng AA' BB' Chứng minh OCD tam giác Giải Xét phép quay Q tâm O với góc quay góc lợng giác (OA, OB) Rõ Q biến đoạn AA' thành đoạn BB' Do đó: OC = OD CÔD = 600 OCD ®Ịu A C A' B D O B' Bài toán 2: Cho đờng tròn (O ; R) hai điểm A, B cố định Với điểm M, ta xác định điểm M' cho MM' = MA MB Tìm quỹ tích điểm M' điểm M chạy (O ; R) Giải Bạn đọc tự vẽ hình Gọi I trung điểm AB I cố định MA MB =2 MI Do ®ã, MM ' = MA MB vµ chØ MM ' = MI , tøc lµ MM' nhËn I làm trung điểm hay phép đối xứng tâm Đ I biến điểm M thành M' Vậy M chạy đờng tròn (O ; R) quỹ tích M' ảnh đờng tròn qua ĐI Nếu ta gọi O' điểm đối xứng O qua điểm I quỹ tích M' đ ờng tròn (O ; R) Bài toán 3: Cho hai đờng tròn (O ; R) (O ; R1) lần lợt M M1 cho A trung điểm MM1 Giải Bạn đọc tự vẽ hình Giả sử ta đà dựng đợc đờng thẳng d thoả mÃn yêu cầu toán Gọi Đ A phép đối xứng qua A ĐA biến điểm M thành điểm M1 biến đờng tròn (O ; R) thành đờng tròn (O' ; R) Vì M nằm (O ; R) nên M1 nằm (O' ; R) Mặt khác, M1 lại nằm (O1 ; R1) nên M1 giao điểm khác A hai đờng tròn (O' ; R) (O1 ; R1) Từ đó, suy cách dựng: Dựng đờng tròn (O' ; R) đối xứng với (O ; R) qua A (O' điểm đối xøng víi O qua A) LÊy giao ®iĨm M1 hai đờng tròn (O' ; R) (O1 ; R1), M1 khác A Đờng thẳng d đờng thẳng qua A M1 Giỏo ỏn in tử giảng giá: 750.000đ Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 ngày sau bạn nhận Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIT DY B phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp Bài toán 1: Tìm phép quay (phép đối xứng tâm) biến hình (H1) thành hình (H2) Phơng pháp áp dụng Sử dụng định nghĩa tính chất phép quay (phép đối xứng tâm) Ví dụ 1: Cho hai đờng tròn (C1) (C2) lần lợt có tâm O1, O2 có bán kính R Tìm phép đối xứng tâm biến (C1) thành (C2) Hớng dẫn: Phép đối xứng tâm biến (C1) thành (C2) biến O1 thành O2, Giải phải phép đối xứng tâm O với O trung điểm O1O2 Gọi O trung điểm O1O2 M1 LÊy M1 tuú ý thuéc (C1) vµ gäi M2 ảnh M qua ĐO, ta có: OM1 = OM2, O MÔO1 = MÔO2 đối đỉnh O1 O2 OO1 = OO1, M1OO1 = M2OO2 (c.g.c) (C2) M2 (C1) O2M2 = O1M1 = R M2(C2) Ngợc lại: lấy M2 điểm tuỳ ý thuộc (C 2) gọi M1 tạo ảnh qua ĐO chứng minh tơng tự ta đợc M1(C1) Vậy (C2) ảnh (C1) qua Đo Bài toán 2: Giải toán định tính Phơng pháp áp dụng Ta thờng gặp dạng yêu cầu sau: Dạng 1: Chứng minh (H1) ảnh (H2) qua phép quay tâm O với góc quay (hoặc qua phép đối xứng tâm O), ta thực theo bớc: Bớc 1: LÊy ®iĨm M1 t ý thc (H1), ta ®i chøng minh: M2 = Q O (M1) (H2) (hc M2 = SO(M1) (H2)) Bớc 2: Ngợc lại, lấy ®iÓm M2 tuú ý thuéc (H2), ta ®i chøng minh: M1 = Q O (M2) (H1) (hc M1 = SO(M2) (H1)) D¹ng 2: Chøng minh tÝnh chÊt K, ta thực theo bớc: Bớc 1: Xác định nhiều phép quay (hoặc phép đối xứng tâm) để thiết lập mối liên kết yếu tố Bíc 2: Sư dơng c¸c tÝnh chÊt cđa phÐp quay để giải yêu cầu toán Ví dụ 1: Cho hai tam giác vuông cân OAB OA'B' có chung đỉnh O cho O nằm đoạn thẳng AB' nằm đoạn thẳng A'B (hình bên) Gọi G G' lần lợt trọng tâm tam giác OAA' OBB' Chứng minh GOG' tam giác vuông cân Hớng dẫn: Từ hình vẽ chóng ta dƠ nhËn thÊy r»ng cÇn sư dơng phÐp quay để thực toán Cụ thể: Q90 O (A) B 900 QO (A ') B' B A' Q90 O ( OAA ') OBB ' B' O A Gi¶i XÐt phÐp quay Q t©m O gãc quay 900, ta cã ngay: 0 OBB' = Q 90 (OAA') G' = Q 90 (G) O O GÔG' = 90 OG' = OG Vậy, ta đợc GOG' tam giác vuông cân Bài toán 3: Giải toán định lợng Phơng pháp áp dụng Bằng việc thiết lập đợc phép quay (phép đối xứng tâm) thích hợp, ta tính toán đợc yếu tố hình VÝ dơ 1: Cho ABC cã AM vµ CN lµ c¸c trung tuyÕn Chøng minh r»ng nÕu = BCN = 300 ABC BAM Hớng dẫn: Sử dụng phép đối xứng tâm Giải Tø gi¸c ACMN cã NA M = MCN = 30 nên nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R MON = NAM = 60 Xét phép đối xứng tâm N tâm M O1 B O2 S(N): A B (O) (O1) B( O1) A(O) S(M): C B vµ (O) (O2) B( O2) v× C(O) N M Trong OO1O2, ta cã nhËn xÐt: OO1 = OO2 = 2R, MON = BAM = 60 , C A O suy OO1O2 tam giác Mặt khác: O1B + O2B = R + R = 2R = O1O2 nªn B trung điểm O1O2 Từ suy hai ABC OO1O2 đồng dạng (vì đồng dạng với BMN) OO1O2 nên ABC Bài toán 4: Tìm tập hợp điểm M Phơng pháp áp dụng Bớc 1: Tìm phép quay Q O (hoặc phép đối xứng tâm SO), biến điểm E di động thành điểm M Bớc 2: Tìm tập hợp (H) điểm E Bớc 3: Kết luận tập hợp điểm M ảnh (H) phép quay Q O (hoặc phép đối xứng tâm SO) Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng () điểm I Tìm điểm A (O; R) điểm B cho I trung điểm đoạn thẳng AB Giải Ta thực nh sau: Dựng ' = ĐI() giả sử ' cắt (O; R) A Nối IA cắt B Khi I trung điểm đoạn thẳng AB Bài toán có nghiệm đờng thẳng ' cắt đờng tròn (O; R) Ví dụ 2: Cho hai điểm B C cố định đờng tròn (O ; R) điểm A thay đổi đờng tròn HÃy dùng phép đối xứng tâm ®Ĩ chøng minh r»ng trùc t©m H cđa ABC n»m đờng tròn cố định Hớng dẫn: Chúng ta ®· tõng sư dơng phÐp tÞnh tiÕn, phÐp ®èi xøng trục để thực toán quỹ tích trên, để tận dụng kết đà biết em cần tìm phép đối xứng tâm biến đờng tròn (O) thành đờng tròn (O') Giải A Gọi I trung điểm BC vẽ đờng kính AM Ta cã: H BH AC vµ MC AC BH // MC (1) CH AB vµ MB AB CH // MB (2) B C Tõ (1) (2) suy ra: I BHCM hình bình hành I trung điểm HM M Vậy, trực tâm H ABC nằm đờng tròn cố định (O'; R) = ĐI((O; R)) Ví dụ 3: Cho đờng tròn (O) dây cung AB cố định, M điểm di động (O), M không trùng A, B Hai đờng tròn (O1), (O2) qua M, theo thứ tự tiếp xúc với AB A B Gọi N giao điểm thứ hai (O 1), (O2) a Chứng minh đờng thẳng MN qua điểm cố định b Tìm tập hợp N M di động (O) Hớng dẫn: Ta lần lợt chứng minh: a MN cắt AB ®iĨm cè ®Þnh I b N (O') = S(I)(O) Giải M a Gọi I giao điểm MN vµ AB, ta cã: IA2 = IM IN = IB2 (1) O2 O1 IA = IB, I trung điểm AB O Vậy đờng thẳng MN qua điểm cố N định I trung điểm AB I A b Gọi P điểm chung thø hai cđa MN vµ (O), ta P B cã: O’ IP IM = IA IB = IA (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: IP IM = IM IN IP = IN N = S(I)(P) Vì tập hợp điểm P đờng tròn (O) qua hai điểm A B nên tập hợp điểm N đờng tròn (O') bỏ hai điểm A B với (O') = S (I)(O) Bài toán 5: Dựng hình Phơng pháp áp dụng Ta thực theo bớc ®· biÕt VÝ dơ 1: Cho phÐp quay Q t©m O với góc quay cho đờng thẳng d HÃy nêu cách dựng ảnh d' d qua phép quay Q Giải Lấy hai điểm phân biệt A, B đờng thẳng d, ta dựng: A' = QO(A) vµ B' = QO(B) Nèi A' vµ B', đờng thẳng d' Ví dụ 2: Cho phép đối xứng tâm Đ O đờng thẳng d không qua O HÃy nêu cách dựng ảnh d' đờng thẳng d qua ĐO Tìm cách dựng d' mà sử dụng compa lần thớc thẳng ba lần Giải a Lấy hai điểm phân biệt A, B đờng thẳng d, ta dựng: d d' A' = ĐO(A) B' = ĐO(B) A Nối A' B', đờng thẳng d' B' b Có thể thực đợc, cụ thể: O Lấy điểm A d, dùng thớc thẳng dựng tia AO Dùng compa dựng đờng tròn (O; OA), đờng tròn cắt A' B đờng thẳng d B tia AO A' Dùng thớc thẳng dựng tia BO cắt đờng tròn B' Dùng thớc thẳng nối A' với B' ta đợc đờng thẳng d' cần dựng Ví dụ 3: Cho hai đờng thẳng (d1) (d2), hai điểm A, G không thuộc (d 1), (d2) H·y dùng ABC cã träng t©m G hai đỉnh B C lần lợt thuộc (d1) (d2) Giải Phân tích: Giả sử đà dựng đợc ABC có trọng tâm G, hai đỉnh B C lần lợt thuộc (d1), (d2) Gọi M trung điểm cạnh BC M đợc xác định bởi: AM = AG A Thùc hiÖn phép đối xứng tâm M: S(M): C B, (d2) (d’2) Ta cã B(d’2) G VËy B lµ giao điểm (d2) (d1) Cách dựng: Ta lần lợt thùc hiÖn: B C M (d ) (d’2) (d2) - Dùng AM = AG - Dựng đờng thẳng (d2) với (d2) = S(M)[(d2)] giả sử (d2) cắt (d1) B - Dựng điểm C với C = S(M)(B) ABC tam giác cần dựng Chứng minh: Dựa vào cách dựng ta có: - B(d1); - B(d’2); - S(M)[(d’2)] = (d’2) vµ C = S(M)(B) C(d2) - M lµ trung điểm cạnh BC AM = AG G trọng tâm ABC Biện luận: Số nghiệm hinh toán số điểm chung (d1) (d2) Bài toán 6: Hệ toạ độ phép đối xứng tâm phép quay Phơng pháp áp dụng Sử dựng kết quả: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho điểm I(a; b) Phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') víi: x x ' 2 a y y ' b Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ điểm M điểm đối xứng với điểm M(1; 2) qua: a Gốc O b Điểm I(1; 2) c §iĨm I(4; 1) VÝ dơ 1: 10 Gi¶i a Ta cã M’(1; 2) b Sư dụng công thức trung điểm ta đợc M(1; 6) c Sử dụng công thức trung điểm ta đợc M(9; 4) Ví dụ 2: Tìm tọa độ ảnh điểm M(1; 0) qua phÐp quay: a T©m O gãc quay 900 b T©m O gãc quay 900 c T©m O gãc quay 135 Gi¶i y M1 a Tõ h×nh vÏ, ta suy Q 90 = M1(0; 1) O (M) b Tõ h×nh vÏ, ta suy Q O 90 (M) = M2(0; 1) M3 M x c Tõ h×nh vÏ, ta suy Q O 90 (M) = M3(x3; y3) víi: x3 = OM3.sin450 = OM.sin450 = = , 2 y3 = OM3.sin450 = OM.sin450 = = 2 2 ; Vậy, ta đợc M O M2 NhËn xÐt: Nh vËy, việc tìm toạ độ điểm qua phép quay phức tạp Ví dụ 3: hẳn so với phép đối xứng tâm Và gặp yêu cầu để tơng minh em học sinh tốt hÃy vẽ hình Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xác định phơng trình đờng thẳng (d1) đối xứng với đờng thẳng (d): x2y + = qua điểm I(1; 1) Hớng dẫn: Để nhận đợc phơng trình ®êng th¼ng chóng ta ®Ịu biÕt r»ng cã thĨ lùa chän mét ba c¸ch: a C¸ch 1: BiÕt mét điểm mà đờng thẳng qua phơng nã Nh vËy, ta sÏ thùc hiÖn: B»ng viÖc sử dụng công thức toạ độ phép đối xứng tâm ta tìm điểm mà (d1) qua Sử dụng tính chất phép đối xứng tâm biến đờng thẳng thành đờng thẳng song song trùng với nã, tøc (d 1) song song víi (d) b C¸ch 2: Biết hai điểm phân biệt mà đờng thẳng qua c Cách 3: Sử dụng phơng pháp quỹ tích Trờng hợp đặc biệt, tâm đối xứng I thuộc đờng thẳng (d) (d 1) trùng với (d) Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Lấy điểm A(0; 1)(d), gọi A1 điểm đối xứng với A qua I A1(2; 1) V× (d1)//(d): x2y + = (d): x2y + C = V× A1(d1) C = Vậy phơng trình đờng thẳng (d1): x2y = Cách 2: Lấy hai điểm A(0; 1) B(2; 2) thuộc (d) ta có: 11 ĐI(A) = A1(2; 1) ĐI(B) = B1(0; 0) Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi: qua A1 (2;1) x y (d1): (d1): (d1): x 2y = 0 0 qua B1 (0;0) Cách 2: Với đểm M(x, y)(d) tồn điểm M 1(x1, y1)(d1) nhận I làm trung điểm, ta đợc: x x x x 2 y y y 2 y (I) Thay (I) vào phơng trình (d), ta đợc: (2x1)2(2y1) + = x12y1 = (1) ViÕt l¹i (1) dới dạng: x2y = (2) Đó phơng trình đờng thẳng (d1) Ví dụ 4: 1 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình đờng thẳng (d1) ảnh đờng thẳng (d): x + y = qua phÐp quay tâm O góc quay 900 Giải Bạn đọc tự vẽ hình Ta có hai cách trình bày sau: Cách 1: Lấy hai điểm A(2; 0) B(0; 2) thuéc (d) vµ gäi: A1 = Q 90 A1(0; 2); B1 = Q 90 B1(2; 0) O (A) O (B) Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi: qua A1 (0; 2) x y (d1): (d1): 1 (d1): x y + = qua B ( 2;0) 2 0 Cách 2: Lấy điểm A(2; 0) (d) vµ Q 90 = A1(0; 2) O (A) Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi: qua A1 (0; 2) qua A1 (0;2) (d1): (d1): (d1): x y + = (d1 ) (d) vtpt n(1; 1) NhËn xÐt: Nh vËy, lời giải ví dụ để thuận lợi đà chọn Ví dụ 5: điểm giao điểm (d) với trục toạ độ Yếu cầu: Các em hÃy xây dựng phơng pháp tổng quát để thực dạng toán Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C): x2 + y24x2y + = Xác định phơng trình đờng tròn (C1) đối xứng với đờng tròn (C) qua điểm E(1; 2) Hớng dẫn: Để nhận đợc phơng trình đờng tròn ®Ịu biÕt r»ng cã thĨ lùa chän mét hai cách: a Cách 1: Biết toạ độ tâm độ dài bán kính Do đó, việc sử dụng công thức toạ độ phép đối xứng tâm ta tìm đợc toạ độ tâm I1 đờng tròn (C1) ảnh tâm I đờng tròn (C) qua phép đối xứng tâm E Từ đó: 12 Tâm I1 (C1 ) : , với R bán kính đờng tròn (C) Bkính R b Cách 2: Sử dụng phơng pháp quỹ tích Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Xét đờng tròn (C) có tâm I(2, 1) bán kính R = Gọi I1 tâm đờng tròn (C1) Vì (C) (C1) đối xứng qua điểm E nên E trung điểm II1, I1(0, 3) Phơng trình đờng tròn (C1) đợc cho bởi: tam I ( 0,3) (C1): (C1): x2 + (y3)2 = bkinh R Cách 2: Với M(x, y)(C1) M1(x1, y1)(C) cho M ®èi xøng víi M1 qua E x1, y1 tho¶ m·n: ( x 2) (y x x 2 y y 4 ( x 2) 2 x y 4 (y 1) 1) 2 2 x y x2 + (y3)2 = VËy ph¬ng trình đờng tròn (C1): x2 + (y3)2 = C tập rèn luyện Bài tập Cho tam giác ®Ịu ABC víi (AB, AC) = (BC, BA) = (CA, CB) = 60 HÃy kể tên phép dời hình biến tam giác ABC thành thành Bài tập HÃy phép dời hình biến hình vuông ABCD thành thành Bài tập Cho hai điểm phân biệt A, B Chứng minh nÕu phÐp dêi h×nh f cho f(A) = B, f(B) = A f phép đối xứng trục phép đối xứng tâm Bài tập Chứng minh hợp thành số phép quay với tâm quay trùng phép quay Bài tập Chứng minh rằng: a Hợp thành hai phép ®èi xøng trơc cã trơc ®èi xøng ®ång quy lµ phép quay b Mỗi phép quay xem hợp thành hai phép đối xứng trục có trục đối xứng cắt nhiều cách Bài tập Cho tam giác ABC với (AB, AC) = (BC, BA) = (CA, CB) = 600 Gäi QA, QB phép quay góc quay 600 Gọi f phép hợp thành QB QA a Phép f biến điểm A, B, C thành điểm ? b Phép f phép ? c Phép hợp thành QA QB phép ? Bài tËp Cho hai phÐp quay QA, QB cã t©m quay hai điểm phân biệt A, B có góc quay 900 Gọi f hợp thành Q A QB, f hợp thành Q B vµ QA H·y chøng tá r»ng f vµ f’ phép đối xứng tâm nêu rõ cách xác định tâm đối xứng phép Bài tập Về phía hình bình hành ABCD dựng hình vuông có cạnh lần lợt AB, BC, CD, DA Chứng minh bốn tâm hình vuông đỉnh hình vuông Bài tập Cho đờng tròn (O) điểm I không nằm đờng tròn Với điểm A thay đổi đờng tròn, ta xét hình vuông ABCD có tâm I Tìm quỹ tích điểm B, C, D Bài tập 10 Cho hai đờng thẳng (d) (d) song song điểm A không (d) (d) HÃy dựng điểm B (d) điểm C (d) cho ABC tam giác đều, có đỉnh đợc kí hiệu theo hớng dơng 13 Bài tập 11 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ điểm M điểm đối xứng với điểm M(2; 5) qua: a Gèc O b §iĨm I(2; 1) c Điểm I(1; 1) Bài tập 12 Tìm tọa độ ảnh điểm M(4; 0) qua phép quay: a Tâm O gãc quay 900 b T©m O gãc quay 900 c Tâm O góc quay 1350 Bài tập 13 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình đờng thẳng (d) đối xứng với đờng thẳng (d): x2y + = qua: a Gèc O b §iĨm I(2; 0) c Điểm I(1; 1) Bài tập 14 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình đờng thẳng (d1) ảnh đờng thẳng (d): x + 2y = qua phÐp quay t©m O gãc quay 900 Bài tập 15 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C): x2 + (y1)2 = Tìm phơng trình đờng tròn (C1) ảnh đờng tròn (C) qua phép quay tâm O góc quay 900 D hớng hớng dẫn đáp sốp số Bài tập Gọi f phép dời hình thoả mÃn điều kiện đầu bài, tức: f(ABC) {ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA}ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA} tõ ®ã, dƠ thấy có phép dời hình biến ABC thành tam giác kể Ta lần lợt có: Nếu f(ABC) = ABC f phép đồng Nếu f(ABC) = ACB f phép ®èi xøng qua ®êng trung trùc cđa c¹nh BC Nếu f(ABC) = BCA f phép quay tâm O (với O tâm ABC) góc quay 1200 Nếu f(ABC) = BAC f phép đối xứng qua đờng trung trực cạnh AB Nếu f(ABC) = CAB f phép quay tâm O (với O tâm ABC) góc quay 1200 Nếu f(ABC) = CBA f phép đối xứng qua đờng trung trực cạnh AC Bài tập Gọi O tâ hình vuông ABCD f phép dời hình thoả mÃn điều kiện đầu bài, tức: f(O) = O, f(A) {ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA}A, B, C, D} Ta lần lợt có: Nếu f(A) = A f phép đồng phÐp ®èi xøng trơc AC NÕu f(A) = B f phép đối xứng qua đờng trung trực cạnh AB phép quay tâm O góc quay (OA, OB) Nếu f(A) = C f phép đối xứng qua đờng thằng BD phép đối xứng tâm O Nếu f(A) = D f phép đối xứng qua đờng trung trực cạnh AD phép quay tâm O góc quay (OA, OD) = 3(OA, OB) Bµi tËp Gäi I lµ trung ®iĨm cđa AB vµ f(I) = I’, suy ra: AI BI ' I I’ BI AI ' A, B, I ' thẳng hàng Khi đó, gọi d đờng trung trực AB f(d) = d Víi hai ®iĨm C, C’ thc d đối xứng qua I, xảy trơng hợp: Nếu f(C) = C f(ABC) = BAC nên f phép đối xứng trục d Nếu f(C) = C f(ABC) = BAC nên f phép đối xứng tâm I 14 Bài tập kỳ: Với phép quay tâm O Q , Q , ta cã nhËn xÐt vỊ ®iĨm M bÊt (OM,OM1 ) (OM1 ,OM ) ; Q (M1) = M2 Q (M) = M1 OM OM1 OM1 OM Tõ ®ã, suy ra: (OM,OM ) Q ( Q (M)) = Q (M) OM OM Vậy, hợp thành hai phép quay Q , Q tâm O phép quay Kết luận hợp thành số phép quay với tâm quay trùng phép quay với tâm cã gãc quay b»ng tỉng c¸c gãc quay cđa c¸c phép quay đà cho Bài tập Bạn đọc tự vẽ hình theo thứ tự bớc thực a Gọi Đa, Đb theo thứ tự phép đối xøng trôc a, b cã a b = {ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA}O} f hợp thành Đa Đb Với hai điểm A, B theo thø tù thuéc a, b cho gãc AOB không tù đặt: = (OA, OB), = AOB góc a b Với điểm M khác O, giả sử Đa(M) = M1 Đb(M1) = M2 Gọi H, K theo thứ tự trung điểm MM 1, M1M2, ta có: OM = OM1 = OM2, (1) (OM, OM2) = (OM, OM1) + (OM1, OM2) = 2(OH, OM1) + (OM1, OK) = 2(OH, OK) = (2) Vậy, hợp thành f hai phép đối xứng trục Đa, Đb phép quay t©m O gãc quay 2 b Víi phÐp quay Q tâm O, lấy đờng thẳng a qua O gäi b Q (a) , ta cã ngay: Q Đ b (Đ a ) Và có nhiều cách chọn đờng thẳng a nên có nhiều phép đối xứng trục Đ a Đb có hợp thành lµ Tv Bµi tËp a Gäi C’ lµ điểm đối xứng với C qua AB, ta lần lợt cã: A C’ QB(A) = C’, QA(C’) = B f(A) = B O’ QB(B) = B, QA(B) = C f(B) = C O QB(C) = A, QA(A) = A f(C) = A tõ ®ã, kÕt luËn f biến điểm A, B, C thành B, C, A b Từ kết câu a) f(ABC) = BCA, gọi O tâm ABC B f làC phép quay tâm O góc quay 1200 c Thực tơng tự câu a), phép hợp thành QA QB phép quay tâm O góc quay 1200, O tâm ABC Bài tập Lấy điểm O nh hình bên cho OAB vuông cân O Ta lần lợt: a Với phép dời hình f, ta có: QA hợp thành hai phép đối xứng trục Đ AO ĐAB M2 QB hợp thành hai phép đối xứng trục Đ AB ĐBO Suy f hợp thành bốn phép đối xứng trục theo thứ tự ĐAO, ĐAB, ĐAB ĐBO, tức hợp thành hai phép B A đối xứng trục ĐAO ĐBO M Mặt khác, ta nhận thấy: M1 O 15 OA OB f phép quay tâm O góc quay 1800 f phép đối xứng tâm O Từ hình vẽ ta thấy điểm O đợc xác định cho OAB vuông cân O và: (AO, AB) = (BA, BO) = 450 nói cách khác (OB, OA) = 900 b Tơng tự, phép dời hình f phép đối xứng tâm O cho OAB vuông cân O (OA, OB) = 900 Bài tập Gọi O1, O2, O3, O4 lần lợt B1 tâm hình vuông có cạnh AB, BC, CD, O2 DA I tâm hình bình hành ABCD I tâm đối xứng ABCD vì: B C O1 A1B song song DC nên A1BC1D A1 hình bình hành, suy I trung điểm O1O3 I D O3 Tơng tự, I trung điểm O2O4 A Từ đó, suy O1O2O3O4 hình bình hành Mặt kh¸c, b»ng viƯc sư dơng phÐp quay O4 víi gãc quay 900 chóng ta dƠ nhËn thÊy D1 IO1O2 vu«ng cân I Vậy, ta đợc O1O2O3O4 hình vuông Bài tập Ta lần lợt có nhận xét: Đ I (A) C (C3) C (C1) = §I((C)) A D A (O) O Q90 I (A) B B (C ) Q90 I P I ((C)) (C1) A (O) Q I 90 (A) D C B D (C3 ) Q I 900 ((C)) (C ) A (O) Bài tập 10 Bạn đọc tự vẽ hình theo thứ tự bớc thực Phân tích: Giả sử đà dựng đợc tam giác ABC theo hớng dơng thực phép quay tâm A, góc 600 : B C Q 60 A (d) (d1) Vì B(d) nên C(d1) Vậy C điểm chung cđa (d1) vµ (d’) ta cịng cã B = Q A600 (C) Cách dựng: Ta lần lợt thực hiện: - Dựng đờng thẳng (d1) với (d1) = Q 60 (d1) đờng thẳng qua K A vuông góc với AK - (d1) cắt (d) C - Dùng ®iĨm B víi B = Q A60 (C) Tam giác ABC tam giác phải dựng Chứng minh: Theo c¸ch dùng ta cã: - B(d), C(d’) - AC = AB vµ ( AC , AB ) = 600 ABC tam giác ( AB , AC ) = 600 Biện luận: Vì (d)//(d) nên ta có điểm chung C củay (d 1) (d) Do toán có nghệm hình M3 M1 Bài tập 11 a M(2; 5) b M’(6; 3) c M’(0; 3) Bµi tËp 12 M O x 16 M2 C1 a Tõ h×nh vÏ, ta suy Q 90 = M1(0; 4) O (M) b Tõ h×nh vÏ, ta suy Q O 90 (M) = M2(0; 4) c Tõ h×nh vÏ, ta suy Q O 90 (M) = M3(x3; y3) víi: x3 = OM3.sin450 = OM.sin450 = = 2 , y3 = OM3.sin450 = OM.sin450 = = 2 Vậy, ta đợc M 2; 2 Bài tập 13 a Phép đối xứng tâm O biến điểm M(x; y) thành điểm M(x; y) Do ®ã b»ng viƯc thay x bëi x vµ y bëi y vào phơng trình (d), ta đợc: (x) 2(y) + = x 2y = Đó phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm b Nhận xét I thuộc (d) nên phép đối xứng tâm I biến đờng thẳng (d) thµnh chÝnh nã, tøc (d’): xy + = c Ta có cách trình bày sau: Cách Với đểm M(x; y)(d) tồn điểm M1(x1; y1)(d1) nhận I làm trung điểm, ta đợc: x x1 2 x 2 x1 (I) y y1 2 y 2 y1 Thay (I) vào phơng trình (d), ta ®ỵc: (2x1)2(2y1) + = x12y1 = (1) ViÕt l¹i (1) díi d¹ng: x2y = (2) Đó phơng trình đờng thẳng (d) Cách 2: Lấy điểm A(0; 1)(d), gọi A điểm đối xøng víi A qua I th× A’(2; 1) V× (d’)//(d): x2y + = (d): x2y + C = V× A’(d’) C = Vậy phơng trình đờng thẳng (d): x2y = Bài tập 14 Bạn đọc tự vẽ hình Ta có hai cách trình bày sau: Cách 1: Lấy điểm A(4; 0) (d) vµ Q 90 = A1(0; 4) O (A) Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bëi: qua A1 (0;4) qua A1 (0;4) (d1): (d1): (d1): 2x y + = (d1 ) (d) (d1 ) :2x y C Cách 2: Lấy hai điểm A(4; 0) vµ B(0; 2) thuéc (d) vµ gäi: A1 = Q 90 A1(0; 4); B1 = Q 90 B1(2; 0) O (A) O (B) Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi: qua A1 (0; 4) x y (d1): (d1): 1 (d1): 2x y + = qua B ( 2;0) Bài tập 15 Đờng tròn (C) có tâm I(0; 1) bán kính R = 90 Gäi I1 = Q O (I) , ta có I1(1; 0) Khi đó, phơng trình đờng tròn (C1) đợc xác định bởi: 0 0 17 T©m I1 ( 1; 0) (C1): (C1): (x + 1)2 + y2 = BkÝnh R 2 18 ... = T©m đối xứng hình: Điểm O đợc gọi tâm đối xứng hình H phép đối xứng tâm ĐO biến hình H thành nó, tức ĐO(H) = H Thí dụ 5: Chỉ tâm đối xứng hình sau đây: a Hình gồm hai đờng thẳng cắt b Hình gồm... hai phép quay Q , Q tâm O phép quay Kết luận hợp thành số phép quay với tâm quay trùng phép quay với tâm cã gãc quay b»ng tỉng c¸c gãc quay cđa c¸c phép quay đà cho Bài tập Bạn đọc tự vẽ hình. .. f(A) = B f phép đối xứng qua đờng trung trực cạnh AB phép quay tâm O góc quay (OA, OB) Nếu f(A) = C f phép đối xứng qua đờng thằng BD phép đối xứng tâm O Nếu f(A) = D f phép đối xứng qua đờng
