Đang tải... (xem toàn văn)
APMO là viết tắt của cụm từ "Asian Pacific Mathematics Olympiad", là một cuộc thi toán dành cho các học sinh THPT của khu vực châu Á Thái Bình Dương. Cuộc thi được bắt đầu từ năm 1989, diễn ra trong một ngày, trong mỗi bài thi có năm bài toán, thời gian làm bài là 4 tiếng.
` io we Asian Pacific CAC BAI Tel OLYMPIC TOAN CHAU A THALBINEH DUGNG (Phiên 1-230505) : Từ năm 1989 đến 2005 (©) Copyright 2005 by Ha Duy Hung and www.ddtoanhoc.net Tài liệu tác giả ban quản trị diễn đàn Toán học tai website www.ddtoanhoc.net giữ quyền Bất kì hình thức chép lại đăng tải website khác phải có cho phép tác giả ban quan trị diễn đàn nói (©) Had Duy Hung Các thi Olympic Toán Châu Á Thái Bình Dương Tơi nghe tơi qn Tơi nghĩ tơi nhớ Tơi học tơi hiểu (©) Had Duy Hung Các thi Olympic Tốn Châu Á Thái Bình Dương a ÉP Asian Pacific Hình 1: Logo thi Toán APMO APMO viết tắt cụm từ "Asian Pacific Mathematics Olympiad", thi Toán học dành cho học sinh cấp độ PTTH nước thuộc Châu Á Thái Bình Dương Cuộc thi bắt đâu từ nằm 1989, diễn ngày, thi có năm toán, thời gian làm tiếng, khơng sử dụng máy tính phịng thi Việt Nam tham dự APMO lần vào năm 1996 năm xếp hạng cao Do cố đề thi năm 2001 từ năm 2002 Việt Nam không tham gia kì thi Từ năm 1989 đến hết năm 2005 diễn thảy L7 thi có tổng cộng 17 x = 8ð toán từ thi Danh sách bạn đoạt huy chương vàng APMO năm tham dự (từ 1996 đến 2001): Ngô Đắc Tuấn: 1996 Khối chuyên ĐHKHTN thành phố Hà Nội, năm Lé Quang Nam: Khối chuyên ĐHKHTN Minh năm 1997, Doan Nhat Duong: Lê Thái Hoàng: Việt Nam qua thành phố Hồ Chí Truong PTTH chun Thái Bình, năm 1998 Khối THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 1999 Nguyễn Trung Lập: Trường PTTH chuyên Vĩnh Phúc, năm 2000 Vũ Hoàng Hiệp: Khối THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2001 Mục lục Cac bai thi từ thi APMO 1989 1.1 Lần thứ năm 1.2 Lần thứ hai, năm 1990 Ặ QẶ Q Ặ Ặ I3 Lân thứ ba,năm I99I1 1.4 Lanthttu,nim 1992 2.2.02.00000000000042 1.5 Lần thứ năm, năm 1993_ 10 1.6 Lần thứ sáu, năm I994 II 1.7 Lần thứ bẩy, năm 1995 Ặ 12 1.8 Lần thứ tám,năm 199% 14 1.9 Lần thứ chín, năm 1997 Ặ Ặ Ặ 15 1.10 Lần thứ mười, năm 1998 16 1.11 Lần thứ mười một, năm 1999_ 17 1.12 Lần thứ mười hai, năm 2000 18 1.13 Lần thứ mười ba,năm 2001 19 1.14 Lan thứ mười bốn, năm 2002 20 1.15 Lần thứ mười năm, năm 2003 21 1.16 Lần thứ mười sáu, năm 2004 22 1.17 Lần thứ mười bảy, năm 2005 23 Chương Cac thi từ thí APMO 1.1 Lân thứ nhất, năm 1989 Cho số thực dương #¡, #s, , z„ (ở mø số nguyên dương), đặt S—=7zi+zZa+ -+#„ Chứng minh ta có bất đẳng thức sau (L+21)-(L+22) -(L+an) S145 S Ss? tate t ơn Chứng minh phương trình 6(6aˆ + 302 + cˆ) = 5n” khơng có nghiệm số ngun ngồi nghiệm tầm thường a=b=c=n=0 Cho ba diém A,, Ao, Ag mat phang, va dé cho tién ta ki hiéu Ay = A; va As = Ao Voi n = 1,2 va 3, gia su rang B,, 1a trung diém đoạn thang A, Ani1, Va gia stt rang C,, 1a trung diém ctia doan thang A,,B,, Gia st rang AzŒ„i P„A„,› cắt 2„, 4„Ö„,¡ Ở„ Á„,› cắt „ Hãy tính tỉ số diện tích hai tam giác A2 ¿133 An Ha Hạ Kí hiệu Š tập hợp gồm có rm cặp số nguyên dương (ø, b) thoả mãn tính chất < ø < b < ø Chứng minh có Am- — h_4 on ba (a, b,c) céc s6 nguyên dương thoả mãn cặp (a, b); (b,c) va (c, a) roi vao S (©) Had Duy Hung Các thi Olympic Tốn Châu Á Thái Bình Dương Hãy xác định tất hàm số ƒ : —> ïÑ thoả mãn (a) f(x) la ham tang ngat, va ' (b) f(x) + g(x) = 2x véi moi x € R g(x) la ham nguoc cua ham f(x), nghia la ham s6 g : R —> R thoa man f(g(x)) = ax va g(f(x)) = x v6i moi x ER Khơng có việc khó Chỉ sợ lịng khơng bền Đào núi lấp biển Quyết chí nên Chủ tịch Hồ Chí Minh a we Asian 'Ham sé f : R — Pacific R duoc gọi tăng ngặt với z,ø c I§R z > y thi f(x) > f(y) (©) Had Duy Hung 1.2 Các thi Olympic Toán Châu Á Thái Bình Dương Lan thir hai, nam 1990 Cho tam giác AABC với G trọng tâm Gọi D, FE, F lan luot 1a trung diém cạnh ĐƠ, CA AB Với giá trị số đo góc BAC, c6 tam giác khơng đồng dạng mà 4#GF' tứ giác nội tiếp ? Cho a1, a2, , Gn số thực dương (với ø„ € Z.,), với k = 1,2, ,?› ta kí hiệu ,%„ tổng tất tích & số lấy từ SỐ ứ, đạ, , œ„ Hãy chứng minh Sn ` Sn—k > n (2) ŒỊ + G2 ` ' ' ấn với ÿ = 1,2, ,?z— Xét tất tam giác A ABC có cạnh AB cố định độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh Œ tam giác khơng đổi Hỏi tam giác đó, tam giác có tích độ dài ba đường cao đạt giá trị lớn ? Một tập hợp có 1990 người chia thành tập rời theo cách sau (a) Trong tập khơng có người quen tất người tập hợp đó, (b) Giữa ba người tập hợp con, ln có hai người khơng quen nhau, (c) Với hai người tập hợp mà khơng quen nhau, tồn người tập quen hai người 1) Chứng minh tập người có số người quen tập 2) Hãy xác định giá trị lớn số tập Chú ý Mỗi người xem quen người mà quen người ?Ư có nghĩa người ? quen người A Chứng minh với số nguyên + > tồn lục giác lồi mà chia thành n tam giác đồng dạng với ? Ở (ÿ) kí hiệu tổ hợp chập zn ø phần tử, công thức hệ số tổ hợp (") m) _ n! mi(n—m)! d6 k! = 1-2 -k, tich cla & s6 nguyên dương (©) Had Duy Hung 1.3 Các thi Olympic Toán Châu Á Thái Bình Dương Lan thir ba, nam 1991 Cho tam giác AABC v6i G trọng tâm M 1a trung diém đoạn thẳng BC Lấy điểm X Y đường thắng 4C 4Ö, tương ứng, cho ba điểm X, Y, Œ thẳng hàng đồng thời XY song song với BƠ Giả sit rang XC va GB cat điểm @Q Y8 GC cắt điểm P Chứng minh tam gidc AM PQ déng dang véi tam gidc AABC Trong mặt phẳng cho 997 điểm Giả sử hai điểm có đoạn thắng nối chúng trung điểm đoạn thẳng tô mầu đỏ Chứng minh mặt phẳng có 1991 điểm mầu đỏ xác định xem liệu chọn điểm cho cho có 1991 điểm mầu đỏ mặt phẳng hay khong ? Cho số nguyên dương ø 2n số thực dương ơi, øa, , dạ, 01, bo, ,bn thoả mãn GQ, +dg9+ -+ta, =6b, +bo.+ -+56, Chứng minh a a, : + a by dg ?—+ + + be a Gn Qa, + đ2 —th—>—— + by + + đụ Trong gid giai lao, n học sinh ngồi thành vòng tròn bao quanh thầy giáo họ để tham gia chơi Thầy giáo theo chiều ngược kim đồng hồ gần em học sinh đưa cho em cầm nến theo quy tắc sau Thầy giáo chọn học sinh trao cho học sinh nến, sau ơng bỏ qua học sinh lại đưa nên cho học sinh theo, ông lại bỏ qua hai học sinh đưa nến cho học sinh kế tiếp, ông lại bỏ qua ba em học sinh, thế Hãy xác định tất số nguyên dương ø cho sau số hữu hạn vịng học sinh có nến Cho hai đường tròn tiếp xúc với điểm ? nằm tiếp tuyến chung hai đường trịn mà vng góc với đường nối hai tâm đường tròn Hãy dùng thước kẻ compass để dựng tất đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn cho qua điểm P Không chiến thắng vinh quang chiến thắng thân VI Lenin (©) Had Duy Hung 1.4 Các thi Olympic Toán Châu Á Thái Bình Dương Lần thứ tư, năm 1992 Một tam giác với độ đài ba cạnh a, b c cho trước Kí hiệu s nửa chu vi cua tam giac d6, nghia la s = — * > “+7 z ~ ` a + b + C Dựng tiếp tam giác với ba + ^ “74 4,° cạnh s — ø, s — Ö s — c Quá trình làm tiếp tục dựng thêm tam giác Hãy xác định điều kiện cho tam giác ban đầu để q trình thực vơ hạn Cho đường trịn C có tâm @ bán kính r Hai đường trịn C¡ có tâm O; Cy c6 tam Ơ› nằm đường tròn C, tiếp xúc với C điểm tương ứng 4; 44s đồng thời hai tiếp xúc điểm 44 Chứng minh ba duéng thang OA, O, Ag va O2A, déng quy Cho ø số nguyên lớn Giả sử chọn ba số từ tap hop {1,2, , ø„} Sử dụng số ba số lần dùng phép toán cộng, nhân, dấu ngoặc đơn để tạo tất tổ hợp (a) Chứng minh ba số ta chọn lớn ?/2 giá trị tổ hợp nói khác (b) Cho p số nguyên tố thoả mãn p < 4⁄2 Chứng minh số tất cách chọn ba số cho số bé p giá trị tổ hợp tất phân biệt số tất ước dương p— Hãy xác định tất cặp số nguyên dương (h, s) thoả mãn tính chất sau đây: Nếu ta vẽ h đường nằm ngang s đường thẳng khác thoả mãn: (a) Chúng đường nằm ngang, (b) Khơng có hai đường thẳng chúng song song (c) Khơng có ba đường số J -L s đường thẳng đồng quy số miền tạo h + s đường thẳng 1992 Hãy xác định dãy số dài bao gồm số nguyên khác không thoả mãn tổng bảy số hạng liên tiếp dương tổng mười số hạng liên tiếp âm Mathematics is an art, as an art choses the beauty and freedom P Morse (©) Had Duy Hung 1.5 Các thi Olympic Tốn Châu Á Thái Bình Duong Lần thứ năm, năm 1993 Cho tứ giác A41 BŒD) thoả mãn tất cạnh số đo góc bang 60° Một đường thẳng (J) qua điểm 7D không cắt tứ giác (trừ D) Gọi Ƒ giao điểm đường thẳng (/) với hai đường thẳng BC tương ứng Gọi M 1a giao diém cha CE AF Hay chitng minh rang CA? = CM -CE Hãy xác định tất giá trị nguyên khác hàm số f(x) = [x] + [2a] + 3Ì +|3z] + |4z] mà biến thực z chạy đoạn thăng |0, 100] Cho hai đa thức hệ số thức khác khơng có dạng f(x) = ana” + anu"! + +++ + ag g(£) = Cae! + ena” +++ +9 va thoa man g(x) = («+ r)ƒ(z) với r số thực Kí hiệu ø = max{|az|, , |øo|} c = max{|ez+ii, ,|co|} Chứng minh ø < c(n + 1) Hãy xác định tất số nguyên dương ø thoả mãn phương trình "+ (2+z)"+(2—z)" =0 có nghiệm số ngun Cho 1993 điểm phân biệt P¡, P›, , Pss; mặt phẳng toạ độ thoả mãn tính chất sau (a) Tất toạ độ ; nguyên với ? = 1,2 , 1993 (b) Khơng có điểm khác 7; P,,¡ đoạn thẳng nối hai điểm ?; P;,¡ mà có hai hồnh độ tung độ số nguyên, với 1=0,1, ,1992 O dé Py = Pyg93 Chứng minh tìm duoc s6 nguyén nao đó, với < i < 1992, thoả mãn tồn diém Q có toa độ (u, ø) nằm đoạn thắng PP, cho 2u số nguyên lẻ We must know, we will know David Hilbert 10 (©) Had Duy Hung 1.6 Các thi Olympic Toán Châu Á Thái Bình Duong Lần thứ sáu, năm 1994 I Hãy xác định tất hàm số ƒ : ® —> Ñ thoả mãn đồng thời điều kiện sau ) ƒ(z) + ƒ0)+1> ƒ(z+) > ƒ(z) + ƒ(u) với z, + € R (b) f(0) > f(x) voi moi x € [0, 1) (c) ƒ(1) =1 ƒ(—1) = —1 Cho tam giác A4 BƠ không suy biến có Ĩ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trực tâm #7 bán kính đường trịn ngoại tiếp 7¿ ta có đánh giá OH < 3R Cho n 1a mot s6 nguyên dương có dang a? + b?, dé a va b 1a cdc s6 nguyén nguyên tố thoả mãn p 1a số nguyên tố không vượt + p ước œb Hãy xác định tất số nguyên dương ø Tồn hay khơng tập gồm có vơ hạn điểm cho khơng có ba điểm nao thang hang va khoảng cách hai điểm số hữu ty Chúng ta có ba danh sách 4, Œ Danh sách chứa tất ca số có dạng 10” viết sở 10, với & số nguyên dương tuỳ ý Danh sách C chứa số tương ứng viết sở tương ứng (xem ví dụ đây) A 10 100 1000 B 1010 1100100 1111101000 C 20 400 15000 Chứng minh với số nguyên dương ø > 1, có số hai danh sách Ư Œ thoả mãn số có ø chữ số Lucky better than clever Ngạn ngữ cổ Hy Lạp 11 (©) Had Duy Hung 1.7 Các thi Olympic Tốn Châu Á Thái Bình Duong Lần thứ bấy, năm 1995 I1 Xác định tất dãy số thực ơi, as, , ø¡oạ; thoả mãn điều kiện 2VWø„ạ —?+ Ở ta col 1996 — l1 > a„¿yi —?mCTÌ VỚI = 1,2, , 1995 Cho ø,ø›, , „ dãy số nguyên với giá trị từ đến 1995 thoả mãn (a) Bất kì hai số số nói nguyên tố nhau, nghĩa là, với 7, Jj € {1,2, , 1995} mà ¿ # gcd(œ, œ;) = (b) Với số hạng dãy số ngun tố tích số ngun tố phân biệt (c) Khơng có hai số nao day có ước nguyên tố Hãy xác định giá trị bé n dé dam bảo rang day chứa số nguyên tố Cho tứ giác PQŠ nội tiếp thoả mãn điều kiện PQ va RS khong song song Xét tập tất đường tròn qua hai điểm P va Q, va tap tat ca cAc đường tròn qua hai điểm R Š Hãy xác định tập hợp tất điểm tiếp xúc đường trịn hai tập hợp Cho C đường trịn với bán kính R va tam O, va Š điểm cố định bên C Cho Á4A' ư” dây cung vng góc với qua điểm Š Xét hình chữ nhật SA4A/B, SBN'A', SA'M'B', 12 (©) Had Duy Hung Các thi Olympic Toán Châu Á Thái Bình Duong SB'N A Hay xac định tập hợp tat ca cdc diém M, N’, M’ va N ma A chuyển động vòng quanh ca đường tròn Tìm số nguyên dương & bé thoả mãn tồn hàm số ƒ từ Z2 tập tất số nguyên đến tập hợp {1,2, , k} với tính chất f(x) F f(y) voi moi |+ — | € {5,7, 12} Trời có bốn mùa, đất có bốn phương, người có bốn đức ''Cần kiệm, liêm chính, chí cơng, vơ tư'' thiếu bốn đức khơng phải người cách mạng Chủ tịch Hồ Chí Minh a we Asian Pacific 13 (©) Had Duy Hung 1.8 Các thi Olympic Toán Châu Á Thái Bình Duong Lan thi tam, nam 1996 Cho tứ giác ABCD voi AB = BC = CD = DA Goi MN va PQ 1a đoạn thẳng vng góc với đường chéo 7) ` chúng bảng đ > BD a voi ME AD,N thoả mãn khoảng cách € DC, P € ABvaQ € BC Ching minh rang chu vi cua luc gidc AM NCQP khong phu thudéc vao vị trí MN va PQ) mà khoảng cách chúng số Cho cac số nguyên đương ?n ø thoả mãn thức 2”n} < (m+n)! ựn — m)l < < (m7 < n Chứng minh bất đẳng + m)" Cho bốn điểm P,, P2, P3, Py ctng nam trén đường tròn 7¡ tâm noi ti€ép cua tam gidc AP» P3P, Cac diém In, Iz, 1; xác định tương tự Chứng minh bốn điểm J,, Jo, Jz, I, 14 b6n dinh hình chữ nhật Hội đồng hôn nhân quốc gia muốn mời ø cặp tạo thành 17 nhóm điều kiện sau đây: (a) Tất thành viên nhóm phải có giới tính (b) Số người hai nhóm sai khác là (c) Tất nhóm có người (d) Mỗi người phải thuộc nhóm Hãy tìm tất số ø thoả mãn ø < 1996 mà việc chia nhóm thực Chứng minh trả lời bạn Cho a,ö, c độ dai ba cạnh tam giác Chứng minh Va+b—e+Vvb+c—a+Ve+a—b< Va+ Vb+ ve xác định xem đẳng thức xảy dấu Còn đường dẫn tới vinh quang khơng có dấu chân kẻ lười biếng Ngạn ngữ cổ 14 (©) Had Duy Hung 1.9 Các thi Olympic Tốn Châu Á Thái Bình Dương Lần thứ chín, năm 1997 Ta kí hiệu Š giá trị tổng S=1+ T7 l+3 1 Am l+ gt 1,1 l†+s+ạ+r''-'†assons mẫu số chứa tổng riêng dãy số tam giác nghịch đảo Chứng minh Š > 1001 Hãy xác định tất số nguyên dương ø thoả mãn 100 < ø < 1997 số 2"+2 n số nguyên Cho tam giac AABC kí hiệu Ma l= —, M,’ Mp h=—, ° M, = Me M, d6 m,, Mp, M, 1a độ dài đường phân giác Ä⁄ƒ„, M,, M, 1a độ dài đường phân giác tính từ đỉnh đến giao điểm với đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh TT sin’ A tin sin*B to n >3 sinŒ va dấu bang xảy va chi AABC 1a mot tam giác déu equilateral triangle Cho tam gidc AA, A Az vudng A3 Một dãy điểm xác định trình sau Từ điểm 4„ (ở » số nguyên dương, ø > 3) đường thẳng vng góc vẽ cất 4„ ;4„ ¡ Á„„¡ (a) Chứng minh trình nói vơ hạn, có điểm P nam tam giác AA„ s4„ ¡ 4„ với „ > (b) Cho 44¡ 4s; điểm cố định Xét tất khả 4; mặt phẳng, tìm quỹ tích điểm P Giả sử có ø người 1¡, 44¿, , 4„, › > 3) ngồi theo vòng tròn A; c6 a; vat thoa man a, +dg+-:-+a, =nN Đ số ngun dương Để người có số vật, người 4; đưa nhận số vật từ người ngồi bên cạnh 4;¡ 4;,¡ (ở ta lấy theo modulo ø, nghĩa hiểu 4„,; 4:, 4„ có nghĩa 4g) Hỏi phải chuyển đồ vật để tổng số đồ vật chuyển bé 15 (©) Had Duy Hung 1.10 Các thi Olympic Tốn Châu Á Thái Bình Dương Lần thứ mười, năm 1998 Ta kí hiệu Z tập tất cá gồm ø phần ttt (Aj, Ao, , An) thoa man 4; tập tập hợp {1,2, , 1998} Kí hiệu |⁄4| số phần tử tập hợp 41 Hãy xác định So [Ap U Ap U-+-U An Chứng minh với số nguyên dương a va số (36a + b)(36b + a) khơng thể luỹ thừa Cho số thực dương ø, b, c Chứng minh (+7) Cho tam giác A4BŒ +2) +Ÿ) > o(14 te") với D chân đường cao hạ từ đính 441 Cho FE va F nằm đường thẳng qua điểm thoả mãn 4# vng góc với BC, AF vng góc với Ƒ', cácđiểm # F' khác điểm D Lấy điểm M N trung điểm đoạn thắng ĐC FF, tương ứng Chứng minh vng góc với NẦ Hãy xác định số nguyên dương n lớn thoả mãn ø chia hết cho tất số nguyên dương bé ` Những phát minh bắt nguồn từ đâu ? Hồi tơi cịn học, bạn tơi ln hiểu nhanh cịn tơi khơng Vì học vấn đề phải học tập nhiều suy nghĩ lâu so với bạn, chí có nhiều vấn đề sau tơi hiểu Bởi lý vấn đề tơi thường hiểu sâu so với bạn Chỉ có thơi Albert Einstein 16 (©) Had Duy Hung 1.11 Các thi Olympic Tốn Châu Á Thái Bình Dương Lần thứ mười một, năm 1999 Hãy xác định số nguyên dương ø bé thoả mãn tính chất sau đây: không tồn cấp số cộng gồm 1999 số hạng mà chứa ø số nguyên Cho dãy số thực {a„};®) thoả mãn a;,¡ < œ; + ø; với ¡,j = 1,2, Chứng minh với số nguyên dương ñø Cho hai đường tròn T`¡ Ï'¿ cắt hai điểm P va Q Tiép tuyến chung hai đường tròn, điểm mà gần ? hơn, tiếp xúc với Ï`¡ điểm tiếp xúc với Ï`› điểm Tiếp tuyến Ï điểm P cat Fs điểm Œ khác với P, đường thắng 4P cắt BƠ điểm Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác A PQ)P tiếp xúc với BP va BR Hãy xác định tất cặp số nguyên (ø, b) thoả mãn tính chất: số a? + 4b va b? + 4a đồng thời số phương Cho Š tập hợp gồm có 2n.-+ điểm mặt phẳng thoả mãn khơng có ba điểm thẳng hàng khơng có bốn điểm nằm đường trịn Một đường trịn gọi /ố chứa ba điểm Š (tức có ba điểm nằm đường trịn đó), n — điểm nằm đường tròn + — điểm lại nằm ngồi đường trịn Chứng minh số đường trịn /ốf tính chắn lẻ với ? Mọi thứ đêu làm việc mà có Alex Ferguson 17 (©) Had Duy Hung 1.12 Các thi Olympic Toán Châu Á Thái Bình Duong Lân thứ mười hai, năm 2000 Hay xác định giá trị tổng 101 s=N)——— 213m + 3n) 4> ø¡ — or với i = 1,2, , 101 Cho tam giác mà đặt đường trịn hình vẽ Mỗi số 1, , viết vào đường trịn đó, cho đường tròn chứa số thoả mãn: (a) Tổng bốn số cạnh tam giác (b) Tổng bình phương bốn số cạnh Hãy xác định tất cách điền số thoả mãn yêu cầu Cho tam giác AAĐŒ Gọi M⁄ Ñ giao điểm đường trung tuyến đường phân giác với cạnh ØŒ, tương ứng Cho @Q P điểm đường vng góc điểm tới NA cất MA va AB, tuong ting, va O điểm mà đường vng góc điểm ? tới 3A cất AN Ching minh QỞ vng góc với BC Cho số nguyên dương ø & thoả mãn ? > k Chứng minh m+1 nn < n! < nn kk-(n—k)r-®& — kl-(n—k)! —k*-(n— k)"-Ẻ Cho hoán vị (ao, ø¡, , ø„) cua day 0,1, ,n Mot chuyén tri cdc a; va a; duoc goi 1a hop ly néu a; = véi i > 0, va a;_1 +1 = a; Hoan vi (a9, @1, -,Gn) duoc goi 1a chinh quy néu sau mot s6 cdc chuyén tri hợp lý trở thành (1,2, ,,0) Hỏi số ø phải thoả mãn điều kiện hoán vị (1,?,? — 1, , 3, 2, 0) quy? 18 (©) Had Duy Hung 1.13 Các thi Olympic Tốn Châu Á Thái Bình Dương Lan thir mudi ba, nam 2001 Với số nguyên dương ø ta kí hiệu Š(ø) tổng chữ số viết sở thập phân ø Bất kì số nguyên dương nhận cách bỏ số chữ số (ít phải có số bỏ đi) từ cuối bên phải biểu diễn thập phân n déu gọi gốc øœ Kí hiệu 7ø) tổng tất số gốc n Chứng minh » = S(n) + 9T'(n) Tìm số nguyên dương lớn thoả mãn số số nguyên tập hợp {1,2, , ý} chia hết cho với số số nguyên tập mà chia hết cho hoặc hai Cho hai đa giác » cạnh Š va T mặt phẳng thoả mãn giao chúng 2n giác (n > 3) Các cạnh đa giác Š tô mầu đỏ cạnh 7' tô mầu xanh Chứng minh tổng độ dài cạnh có mầu xanh đa giác S1 7' tổng độ dài cạnh tô mầu đỏ Một điểm mặt phẳng toạ độ gọi điểm hỗn fạp toạ độ hữu tỷ cịn lại vô tỷ Hãy xác định tất đa thức với hệ số thực thoả mãn đồ thị chúng không chứa điển hỗn tạp Hãy xác định số nguyên lớn n, thoả mãn có n+ diém A, B, C, D, Xị.,X;›, , X„ mặt phẳng với # 7D) thoả mãn điều kiện sau: với ¿ = 1,2, , + tam gidc AABX; va ACD X; 1a "Nếu phát chân lý mẻ Khoa học tơi khẳng định tất chân lý hệ trực tiếp năm hay sáu tốn chủ yếu mà tơi giải được, thuộc vào tốn đố tơi xem chúng chiến đấu niềm vui thắng lợi thuộc tơi", Decartes 19 (©) Had Duy Hung 1.14 Các thi Olympic Toán Châu Á Thái Bình Duong Lân thứ mười bốn, năm 2002 Cho số ơi, da, , ơ„ dãy số ngun khơng âm, ø số nguyên dương Đặt A,= Chứng minh a, + dg +++++ dy ? đ{] - gạt - - + gạ! > ([A,]!)" Hãy xác định tất số nguyên dương ø b thoa man a’ +b V bÙ2—q be +a ——- az —b đồng thời số nguyên Cho tam gidc AABC Điểm P nằm cạnh 4C @ nằm cạnh AB cho ca hai tam giác AA4BP AAŒC@) nhọn Kí hiệu ?‡ trực tam cua tam gidc AABP va S 1a trực tam cua tam gidc AACQ Goi T 1a điểm giao cla cdc doan thang BP va CQ Hay xác định tất giá trị góc ŒBP BC@ cho tam gidc ATRS 1a déu Cho số thực dương z, +, z thoả mãn Chứng minh V# + 9z + W + zz + Wz + zU > 0z + + + W + Vz Kí hiệu R 1a tap tất số thực Hãy xác định tất hàm số ƒ từ R vào ïR thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau (a) Có hữu hạn số thực s € R thoa man f(s) =0 (b) f(a*+y) =2° f(x) + f(f(y)) voi moi x,y ER Bạn không thiết phải tin vào Chúa, người bạn nên fin vào sách Paul Erdos 20 ... Hung Các thi Olympic Tốn Châu Á Thái Bình Dương Tơi nghe tơi qn Tơi nghĩ tơi nhớ Tơi học tơi hiểu (©) Had Duy Hung Các thi Olympic Tốn Châu Á Thái Bình Dương a ÉP Asian Pacific Hình 1: Logo thi Tốn... Had Duy Hung 1.13 Các thi Olympic Tốn Châu Á Thái Bình Dương Lan thir mudi ba, nam 2001 Với số nguyên dương ø ta kí hiệu Š(ø) tổng chữ số viết sở thập phân ø Bất kì số nguyên dương nhận cách bỏ... — Pacific R duoc gọi tăng ngặt với z,ø c IĐR nu z > y thi f(x) > f(y) (â) Had Duy Hung 1.2 Các thi Olympic Toán Châu Á Thái Bình Dương Lan thir hai, nam 1990 Cho tam giác AABC với G trọng tâm