Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Hàm số và các bài toán liên quan"
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC THEO CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 hàm số và các bài toán liên quan Hàm đa thức bậc ba Với hàm số: y = f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, với a 0 ta lần lợt có: a. Tập xác định D = Ă . b. Sự biến thiên của hàm số: Giới hạn của hàm số tại vô cực: x lim y = x lim ax 3 (1 + b ax + 2 c ax + 3 d ax ) = khi a 0 khi a 0 + > < . Bảng biến thiên: y' = 3ax 2 + 2bx + c, y' = 0 3ax 2 + 2bx + c = 0. Lập bảng biến thiên: x + y' y Dựa vào bảng biến thiên đa ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số. Điểm uốn: y'' = 6ax + 2b, y'' = 0 6ax + 2b = 0 x = b 3a . Vì y" đổi dấu khi x qua điểm b 3a nên đồ thị hàm số có một điểm uốn I b b ; f( ) 3a 3a ữ . c. Đồ thị: Do có bốn trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm bậc ba có bốn dạng sau đây: Với a > 0 Với a < 0 Có hai cực trị Không có cực trị Có hai cực trị Không có cực trị 2 y x O b/3a I y x O b/3a I y x O b/3a I y x O b/3a I Một số tính chất của hàm số đa thức bậc ba Tích chất 1: Hàm số đồng biến trên R khi : a 0 ' 0 > . Tích chất 2: Hàm số nghịch biến trên R khi : a 0 ' 0 < . Tích chất 3: Hàm số có cực đại, cực tiểu khi : ' = b 2 3ac > 0. Để tìm giá trị cực trị của hàm số tại điểm x 0 trong trờng hợp x 0 là số lẻ, thực hiện phép chia đa thức y cho y' ta đợc: y = y'.g(x) + h(x). Suy ra: y 0 = y(x 0 ) = y'(x 0 ).g(x 0 ) + h(x 0 ) = h(x 0 ). Khi đó, "Phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số có dạng y = h(x) ". Tích chất 4: Đồ thị nhận điểm uốn U làm tâm đối xứng. Thật vậy, dời trục bằng tịnh tiến về gốc U(x 0 , y 0 ), trong đó: 0 3 2 0 0 0 0 b x 3a y ax bx cx d = = + + + . theo công thức dời trục là: 0 0 x X x y Y y = + = + . Thay x, y vào phơng trình hàm số ta đợc: Y + y 0 = a(X + x 0 ) 3 + b(X + x 0 ) 2 + c(X + x 0 ) + d Y = aX 3 + g(x 0 )X. Hàm số này là hàm lẻ nên đồ thị nhận U làm tâm đối xứng. Tích chất 5: Tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất nếu a > 0 và hệ số góc lớn nhất nếu a < 0 trong các tiếp tuyến của đồ thị. Thật vậy, ta có: y' = 3ax 2 + 2bx + c, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại x = x 0 là: k = y'(x 0 ) = 3a 2 0 x + 2bx 0 + c = 3a 2 0 b x 3a + ữ + 2 3ac b 3a . Với a > 0, thì k Min = 2 3ac b 3a đạt đợc khi x 0 = b 3a . 3 Với a < 0, thì k Max = 2 3ac b 3a đạt đợc khi x 0 = b 3a . Mà y'' = 6ax + 2b nên x 0 = b 3a chính là hoành độ điểm uốn, từ đó suy ra điều phải chứng minh. Tích chất 6: Nếu đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành. Thật vậy, hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với Ox là nghiệm của phơng trình: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d = 0. (1) Đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm A, B, C cách đều nhau khi: (1) có ba nghiệm phân biệt x 1 < x 2 < x 3 thoả mãn: 1 3 x x 2 + = x 2 x 1 + x 3 = 2x 2 . (2) Mặt khác theo định lí Vi - ét ta có: x 1 + x 2 + x 3 = b a . (3) Từ (2) và (3) suy ra: x 2 = b 3a và vì f(x 2 ) = 0 f( b 3a ) = 0. Ta có : y' = 3ax 2 + 2bx; y'' = 6ax + 2b, y'' = 0 x = b 3a , đó là hoành độ điểm uốn U của đồ thị hàm số, mà f( b 3a ) = 0, suy ra U( b 3a ; 0)Ox. Chú ý: Kết quả trên cho ta điều kiện cần để đồ thị hàm bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm cách đều nhau (hoặc "đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng"). Khi áp dụng điều kiện cần đã nêu trên, ta cần thử lại để có điều kiện cần và đủ. Tích chất 7: Với phơng trình bậc ba: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, với a 0. (1) a. Dự đoán nghiệm và phân tích thành nhân tử Nếu a + b + c + d = 0 thì (1) có nghiệm x = 1. Nếu a b + c d = 0 thì (1) có nghiệm x = 1. Nếu a, b, c, d nguyên và (1) có nghiệm hữu tỷ p q thì p, q theo thứ tự là ớc của d và a. Nếu (1) có nghiệm x 0 , thì (1) (x x 0 )(ax 2 + b 1 x + c 1 ) = 0. 4 b. Các phơng pháp xác định điều kiện của tham số để phơng trình bậc ba có k nghiệm phân biệt đồ thị hàm số cắt Ox tại k điểm phân biệt Phơng pháp 1 : Đại số Đoán nghiệm x 0 của (1). Phân tích (1) thành : (x x 0 )(ax 2 + b 1 x + c 1 ) = 0 0 2 1 1 x x g(x) ax b x c 0 (2) = = + + = . Vậy, ta thấy: (1) có nghiệm duy nhất (khi đó, đồ thị hàm số cắt Ox tại 1 điểm) 0 (2)vônghiệm (2)có nghiệm képx g g 0 0 0 g(x ) 0 < = = . (1) có đúng hai nghiệm phân biệt (khi đó, đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox) khi : 0 0 (2)có nghiệm kép khácx (2)có hai nghiệm và một nghiệm là x g 0 g 0 0 g(x ) 0 0 g(x ) 0 = > = . (1) có ba nghiệm phân biệt (khi đó, đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt) khi : (2) có hai nghiệm phân biệt khác x 0 g 0 0 g(x ) 0 > . Phơng pháp 2 : Hàm số dạng I Biến đổi (1) về dạng: g(x) = h(m). Lập bảng biến thiên của hàm số y = g(x). Dựa vào bảng biến thiên biện luận vị trí tơng đối của đờng thẳng y = h(m) với đồ thị hàm số y = g(x). Phơng pháp 3 : Hàm số dạng II Xét hàm số (C) : y = ax 3 + bx 2 + cx + d. (1) có nghiệm duy nhất khi: (C) cắt Ox tại một điểm C Đ CT Hàmsố luônđơnđiệu Hàmsố cóC Đ,CT tho ả mãn y .y 0 > y' y' C Đ CT 0 0 y .y 0 > > . 5 (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi : (C) cắt Ox tại hai điểm ((C) tiếp xúc với Ox) Hàm số có cực đại, cực tiểu và y CĐ .y CT = 0 1 2 1 2 y' 0có2 nghiệmx ,x phânbiệt y(x ).y(x ) 0 = = . (1) có ba nghiệm phân biệt khi : (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt Hàm số có cực đại, cực tiểu và y CĐ .y CT < 0 1 2 1 2 y' 0cóhai nghiệm x ,x phânbiệt y(x ).y(x ) 0 = < . Ví dụ 1: Cho hàm số: y = x 3 + 3mx 2 4. 1. Với m = 1: a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b. Tuỳ theo giá trị của n hãy biện luận số nghiệm của phơng trình: x 3 3x 2 + 4 + n = 0. c. Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị. d. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn. e. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của nó với trục hoành. f. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của nó với trục tung. g. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua điểm E(2; 9). h. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng x 3y + 1 = 0. i. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng 3x + y + 3 = 0. 2. Tìm m để hàm số: a. Đồng biến trên .Ă b. Có hai cực trị. c. Đạt cực đại tại điểm x = 4. d. Cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. e. Cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. f. Cắt trục hoành tại đúng một điểm. Giải 1. Với m = 1 hàm số có dạng: y = x 3 + 3x 2 4. 6 a. Ta lần lợt có: 1. Hàm số xác định trên D = Ă . 2. Sự biến thiên của hàm số: Giới hạn của hàm số tại vô cực: x lim y = x lim [x 3 (1 + 2 3 x 3 4 x )] = khi x khi x + + . Bảng biến thiên: y' = 3x 2 + 6x, y' = 0 3x 2 + 6x = 0 x 0 x 2 = = . x 2 0 + y' + 0 0 + y CĐ 0 4 CT + Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (; 2) và (0; +). Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 0). Hàm số đạt cực đại tại điểm (2; 0) và cực tiểu tại điểm (0; 4). 3. Đồ thị của hàm số: Điểm uốn: y'' = 6x + 6, y'' = 0 6x + 6 = 0 x = 1. Vì y" đổi dấu khi x qua điểm 1 nên đồ thị hàm số có một điểm uốn là U(1; 2). Giao của đồ thị hàm số với trục tung là C(0; 4). Giao của đồ thị hàm số với trục hoành: x 3 + 3x 2 4 = 0 (x 1)(x 2 + 4x + 4) = 0 x 1 x 2 = = A(1; 0) và B(2; 0). b. Viết lại phơng trình dới dạng: x 3 + 3x 2 4 = n. Khi đó, số nghiệm của phơng trình chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số với đờng thẳng y = n, do đó ta có kết luận: Với n < 4 hoặc m > 0 phơng trình có nghiệm duy nhất. Với n = 4 hoặc m = 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt. Với 4 < n < 0 phơng trình có ba nghiệm phân biệt. c. Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI uur là: X x 1 Y y 2 = + = + x X 1 y Y 2 = = 7 y x O U 2 4 2 1 và khi đó trong hệ tọa độ IXY (C) có phơng trình: Y 2 = (X 1) 3 + 3(X 1) 2 4 Y = X 3 3X. Nhận xét rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số Y = X 3 3X là hàm số lẻ dó đó nó nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng. Vậy, điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị. d. Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U có dạng: (d U ): y + 2 = y'(1)(x + 1) (d U ): y = 3x 5. e. Đồ thị hàm số cắt Ox tại hai điểm A(1; 0) và B(2; 0) và ta lần lợt có: Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm A có dạng: (d A ): y = y'(1)(x 1) (d A ): y = 9x 9. Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm B có dạng: (d B ): y = y'(2)(x + 2) (d B ): y = 0. f. Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm C(0; 4) vàphơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm C có dạng: (d C ): y + 4 = y'(0).x (d C ): y = 4. g. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = x 0 , khi đó phơng trình tiếp tuyến tại tiếp điểm có dạng (d): y = y(x 0 )(x x 0 ) + y(x 0 ) ( ) ( ) = + + + 2 3 2 0 0 0 0 0 (d) : y 3x 6x x x x 3x 4 . (1) Điểm E(2; 9)(d) khi: ( ) ( ) = + + + 2 3 2 0 0 0 0 0 9 3x 6x 2 x x 3x 4 + = 3 2 0 0 0 2x 6x 12x 13 0 0 0 x 0 x 6 = = . Khi đó, ta lần lợt có: Với x 0 = 0, thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến (d 1 ): y = x 1. Với x 0 = 6, thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến (d 2 ): y = 1 4 x + 7 2 . Vậy, qua A kẻ đợc hai tiếp tuyến (d 1 ), (d 2 ) tiếp xúc với đồ thị. Cách 2: Phơng trình tiếp tuyến đi qua A(6; 5) có dạng (d): y = k(x + 6) + 5. (2) Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm: 2 4 1 k(x 6) 5 x 2 4 k (x 2) + = + + = 2 4 1 k(x 2) 8k 5 x 2 4 k (x 2) + = + + = 8 2 4 4 1 8k 5 x 2 x 2 4 k (x 2) + = + + = ( ) 2 2 2k 1 x 2 2k 1 k = + + = k 1 1 k 4 = = Khi đó, ta lần lợt có: Với k 1 = 1, thay vào (2) đợc tiếp tuyến (d 1 ): y = x 1. Với k 2 = 1 4 thay vào (2) đợc tiếp tuyến (d 2 ): y = 1 4 x + 7 2 . Vậy, qua A kẻ đợc hai tiếp tuyến (d 1 ), (d 2 ) tiếp xúc với đồ thị. 2. Hàm số xác định trên Ă . Ta có: y = 3x 2 + 6mx. Tiếp theo bạn đọc tự thực hiện. Ví dụ 2: Cho hàm số: y = x 3 3mx 2 + 3m (1), m là tham số. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho OABC có diện tích bằng 48. Giải h. Với m = 1, hàm số có dạng: y = x 3 3x 2 + 3. Ta lần lợt có: 1. Hàm số xác định trên D = Ă . 2. Sự biến thiên của hàm số: Giới hạn của hàm số tại vô cực: x lim y 3 3 x 3 3 lim x 1 x x = + ữ khi x . khi x + + = Bảng biến thiên: y' = 3x 2 6x, y' = 0 3x 2 6x = 0 x 0 . x 2 = = x 0 2 + y' + 0 0 + y CĐ 3 1 CT + Điểm uốn: y'' = 6x 6, y'' = 0 6x 6 = 0 x = 1. Vì y" đổi dấu khi x qua điểm 1 nên đồ thị hàm số có một điểm uốn là I(1; 1). 9 3. Đồ thị của hàm số: Lấy thêm hai điểm A(1; 1) và B(3; 3). Bạn đọc tự vẽ hình. i. Đánh giá và định hớng thực hiện Với dạng toán "Tìm thuộc tính các điểm cực trị của hàm số" ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1: Thực hiện: Miền xác định D = Ă . Tính đạo hàm rồi thiết lập phơng trình y' = 0. (1) Bớc 2: Hàm số có hai điểm cực trị A, B (1) có hai nghiệm phân biệt. Bớc 3: Tìm hai nghiệm của (1) và toạ độ hai điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số. Sử dụng điều kiện: S OAB = 48 Giá trị của tham số. Bớc 4: Kết luận. lời giải chi tiết: Miền xác định D = Ă . Đạo hàm: y' = 3x 2 6mx, y' = 0 3x 2 6mx = 0 x 0 . x 2m = = Hàm số có hai điểm cực trị A, B khi: 2m 0 m 0. Khi đó, toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0; 3m 3 ), B(2m; m 3 ). Ta có S OAB = 48 khi: 4 1 6m 48 2 = m 4 = 16 m = 2, thoả mãn điều kiện. Vậy, với m = 2 thoả mãn điều kiện đầu bài. Ví dụ 3: Cho hàm số: 3 2 2 2 2 y x mx 2(3m 1) 3 3 = + (1), m là tham số. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị với hoành độ x 1 và x 2 sao cho x 1 x 2 + 2(x 1 + x 2 ) = 1. Giải a. Với m = 1, hàm số có dạng: 3 2 2 2 y x x 4x . 3 3 = + 10 . uuur ( ) ( ) 2 2 m 1; m 2m 1 m 1; m 2m 1 0 + + = (m + 1) + (m + 1) 4 = 0 (m + 1) [1 + (m + 1) 3 ] = 0 (*) 3 (m 1) 1 + = m + 1 = 1 m = 0. Vậy, với. trị x 1 , x 2 thoả mãn hệ thức Viet: ( ) 1 2 2 1 2 x x m . x x 3m 1 + = = Ta có x 1 x 2 + 2(x 1 + x 2 ) = 1 tơng đơng với: (3m 2 1) + 2m = 1 3m
