GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 6 (Thời gian : 120 phút) Bài 1. Chứng minh A = 40 2 57 40 2 57− − + là số nguyên Bài 2. Cho biểu thức B = y 2 – xy – 12x 2 a) Phân tích B thành nhân tử b) Tìm các cặp số (x ; y) thỏa B = 0 và x – y + 4 = 0 Bài 3. Cho hàm số y = (m 2 – 6m + 12)x 2 a) Tìm giá trị của m biết x = 1 và y = 5 b) Chứng tỏ hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 Bài 4. Cho phương trình : 2x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m + 3 = 0 (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = – 5 b) Khi phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 phân biệt , tìm m để biểu thức M = 1 2 1 2 2 2 x x x x − − đạt giá trị lớn nhất Bài 5. Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AB. Đường thẳng qua trung điểm H của đoạn OB cắt đường tròn tại M và N, gọi I là trung điểm của MN, vẽ AK vuông góc với MN, BI cắt AK tại D. a) Tứ giác DMBN là hình gì ? b) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AMN. c) Biết AM.AN = 3R 2 và AN = R 3 . Tính diện tích tam giác AMN. GIẢI Bài 1. Chứng minh A = 40 2 57 40 2 57− − + là số nguyên Ta có : 40 2 57+ = 32 + 25 + 2.5.4 2 = (4 2 ) 2 + 2.5.4 2 + 5 2 = (4 2 + 5) 2 và 40 2 57− = 57 40 2− = 32 2.5.4 2 25− + = 2 2 (4 2) 2.4 2.5 5− + = 2 (4 2 5)− = 2 (4 2 5)− Vậy A = 4 2 5− − (4 2 + 5) = – 10 : là số nguyên Bài 2. Cho biểu thức B = y 2 – xy – 12x 2 a) Phân tích B thành nhân tử Ta có B = 2 2 2 1 1 49 2. 2 4 4 y xy x x− + − = 2 2 1 7 2 2 y x x     − −  ÷  ÷     = 1 7 1 7 2 2 2 2 y x x y x x    − + − −  ÷ ÷    = ( ) ( ) 3 4y x y x− − b) Tìm các cặp số (x ; y) thỏa B = 0 và x – y + 4 = 0 Ta có : ( ) ( ) 3 4 0 4 0 y x y x x y  − − =   − + =   ⇔ 3 0 4 0 4 0 y x y x x y  − =    − =    − + =  ⇔ 3 0 4 0 y x x y − =   − + =  hoặc 4 0 4 0 y x x y − =   − + =  ⇔ 2 6 x y =   =  hoặc 4 3 16 3 x y  =     =   Bài 3. Cho hàm số y = (m 2 – 6m + 12)x 2 a) Tìm giá trị của m biết x = 1 và y = 5 Với x = 1 và y = 5 thì ta có : 5 = m 2 – 6m + 12 ⇔ m 2 – 6m + 7 = 0 ⇔ 3 2 3 2 m m  = +  = −   b) Chứng tỏ hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 Ta có : y = ax 2 nếu a > 0, nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 Mà a = m 2 – 6m + 9 + 3 = (m – 3) 2 + 3 > 0 , với mọi giá trị m Vậy hàm số y = (m 2 – 6m + 12)x 2 nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x >0 Bài 4. Cho phương trình : 2x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m + 3 = 0 (1) (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = – 5 Ta có : m = – 5 thì pt trở thành : 2x 2 - 8x + 8 = 0 ⇔ 2(x 2 - 4x + 4) = 0 ⇔ 2(x - 2) 2 = 0 ⇔ x = 2 b) Khi phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 phân biệt , tìm m để biểu thức M = 1 2 1 2 2 2 x x x x − − đạt giá trị lớn nhất. Pt (1) có hai nghiệm x 1 ; x 2 phân biệt khi và chỉ khi ∆’ = (m + 1) 2 – 2(m 2 + 4m + 3) > 0 ⇔ – m 2 – 6m – 5 > 0 ⇔ m 2 + 6m + 5 < 0 ⇔ (m + 1)(m + 5) < 0 ⇔ – 5 < m < – 1 (*) Khi đó theo định lí Vi-et : 1 2 2 1 2 1 4 3 . 2 b m x x a c m m x x a  + = − = − −    + +  = =   Do đó : x 1 .x 2 – 2x 1 – 2x 2 = x 1 .x 2 – 2(x 1 + x 2 ) = 2 4 3 2 m m+ + 2( 1)m+ + = 2 8 7 2 m m+ + = ( 7)( 1) 2 m m+ + Vì m phải tìm thỏa (*) nên với điều kiện này thì (m + 7)(m + 1) < 0 Suy ra M = 2 8 7 2 m m+ + = 2 8 7 2 m m− − − = 2 9 ( 4) 9 2 2 m− + ≤ Vậy giá trị lớn nhất của M là 9 2 khi và chỉ khi m = – 4 thỏa (*) Bài 5. Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AB. Đường thẳng qua trung điểm H của đoạn OB cắt đường tròn tại M và N, gọi I là trung điểm của MN, vẽ AK vuông góc với MN, BI cắt AK tại D. a) Tứ giác DMBN là hình gì ? b) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AMN. c) Biết AM.AN = 3R 2 và AN = R 3 . Tính diện tích tam giác AMN. c) Biết AM.AN = 3R 2 và AN = R 3 ⇒ AM = R 3 = AN suy ra tam giác AMN cân tại A Trong tam giác vuông ABN có AN = R 3 ; AB = 2R ⇒ · 3 sin 2 AN ABN AB = = ⇒ · ABN = 60 o ⇒ · AMN = 60 o (cùng chắn cung AN) Vậy tam giác AMN cân có một góc 60 o là tam giác đều cạnh bằng R 3 Diện tích AMN = 2 3 3 4 R (đvdt) M' D K I N H A O B M a) Ta có : AK ⊥ MN Mà I là trung điểm MN nên OI ⊥ MN Suy ra : OI là ĐTB của ∆ADB ⇒ I là trung điểm của DB, tứ giác MDNB có hai đường chéo MN và DB cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường , nên DMBN là hình bình hành Do đó : MD // NB (1) b) · ANB = 90 o (chắn nửa đường tròn) ⇒ BN ⊥ AN, kết hợp với (1) Suy ra MD ⊥ AN MD, AK là hai đường cao của tam giác AMN, nên D là trực tâm của tam giác AMN . GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 6 (Thời gian : 120 phút) Bài 1. Chứng minh A = 40 2 57 40. (1) (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = – 5 Ta có : m = – 5 thì pt trở thành : 2x 2 - 8x + 8 = 0 ⇔ 2(x 2 - 4x + 4) = 0 ⇔ 2(x - 2) 2 = 0 ⇔ x = 2 b)