Đang tải... (xem toàn văn)
Hướng dẫn và lời giải chi tiết đề thi đại học Khối D Môn Toán 2007
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa” GIẢI ĐỀ THI MƠI TỐN KHỐI D NĂM 2007 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Đánh giá định hướng” Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho liờn h 0936546689 đề thi môn toán khối D năm 2007 Phần chung cho tất thí sinh Câu I: (2 điểm): Cho hàm số: 2x x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm toạ độ điểm M thc (C), biÕt tiÕp tun cđa (C) t¹i M cắt hai trục Ox, Oy A, B OAB cã diƯn tÝch b»ng C©u II: (2 điểm) Giải phơng trình: y x x sin co s cos x 2 Tìm giá trị tham số m để hệ phơng trình sau có nghiệm thực: 1 x x y y 5 1 3 x y 15m 10 x3 y3 Câu III: (2 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(1; 2; 4) đờng thẳng () có phơng trình: x y2 z () : 1 Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua trọng tâm G OAB vuông góc với mặt phẳng (OAB) Tìm toạ độ điểm M thuộc ®êng th¼ng () cho MA2 + MB2 nhá nhÊt Câu IV: (2 điểm) e Tính tích phân I x ln x.dx b a Cho < b < a chøng minh r»ng 2a 1a 2b 1b PhÇn tù chän: Thí sinh chọn câu V.a câu V.b Câu V.a Theo chơng trình THPT không phân ban (2 điểm) TÝnh hƯ sè cđa x5 khai triĨn ®a thøc x(1 2x)5 + x2(1 + 3x)10 Trong mỈt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C) đờng thẳng (d) có phơng trình: (C): (x 1)2 + (y + 2)2 = 9, (d): 3x 4y + m = Tìm m để (d) có day điểm P mà từ kẻ ®ỵc hai tiÕp tun PA, PB tíi (C) (A, B tiếp điểm) cho PAB Câu V.b Theo chơng trình THPT phân ban (2 điểm) 1 Giải phơng trình log 4x 15.2x 27 log 0 4.2x Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A B, BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB Chứng minh SCD vuông tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Đánh giá định hớng thực Câu I Tham khảo định hớng câu I.1 đề toán khối B 2006 Với yêu cầu " Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (C): y = f(x) cho tiếp tuyến M thoả mÃn tÝnh chÊt K ", ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau: Bớc 1: Xét hàm số, suy đạo hàm y' = f'(x) Bíc 2: §iĨm M(C) M(a, f(a)) Phơng trình tiếp tuyến M có dạng: (d): y = f'(a)(xa) + f(a) Bíc 3: Sư dơng ®iỊu kiƯn K, ta xác định đợc a Bớc 4: Kết luận điểm M Cụ thể đề cần: Toạ độ giao điểm A (d) với Ox Toạ độ giao điểm B (d) víi Oy ThiÕt lËp ®iỊu kiƯn: 1 1 SOAB OA.OB OA.OB 4 C©u II Chóng ta cã ®¸nh gi¸: x x x x x x sin co s sin co s 2sin co s = + sinx 2 2 2 tøc ph¬ng trình có dạng: sin x cos x 2 sin x cos x 1 Đó phơng trình bậc sin cos Chúng ta có tổng quát: asinx + bcosx = c (1) lùa chän mét c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc theo c¸c bíc: Bíc 1: KiĨm tra: Nếu a2 + b2 < c2 phơng trình vô nghiƯm NÕu a2 + b2 c2, ®ã để tìm nghiệm phơng trình (1) ta thực tiếp bớc Bớc 2: Chia hai vế phơng trình (1) cho a b , ta đợc: a b c 2 sinx + 2 cosx = a b a b a b2 a b V× ( a b ) + ( a b )2 = nên tồn gãc cho a b cos , sin a b2 a b2 Khi đó, phơng trình (1) có dạng: c c sinx.cos + sin.cosx = a b sin(x + ) = a b Đây phơng trình sin Cách 2: Thực theo c¸c bíc: x Bíc 1: Víi cos = x = + 2k, kiểm tra vào phơng tr×nh x x Bíc 2: Víi cos 0 x + 2k, đặt t = tg , suy 2t 1 t2 sinx = t cosx = t Khi đó, phơng trình (1) có dạng: 2t t2 a t + b t = c (c + b)t22at + cb = (2) Bớc 3: Giải phơng trình (2) theo t Trớc tiên, nhận xét rằng: Đặt u x điều kiện u thì: x 2 2 1 1 x x = u3 3u x x x 1 Tơng tự, đặt v y điều kiện v th× y3 v3 3v y y Khi đó, hệ phơng trình có dạng: u v 5 3 u v 3(u v) 15m 10 Từ đó, cách từ phơng trình thứ vào phơng trình thứ hai hệ nhận đợc phơng trình theo ẩn u v f(u, m) = (*) Bài toán đợc chuyển "Tìm giá trị tham số m để phơng trình (*) có nghiệm thực tho¶ m·n u x3 Chó ý: NÕu em học sinh thực phép dạng: u3 + v3 = (u + v)3 3uv(u + v) nhận đợc hệ phơng trình: u v 5 uv 8 m suy u, v nghiệm phơng trình: t2 5t + m = (**) Bài toán đợc chuyển "Tìm giá trị tham số m để phơng trình (**) có hai nghiệm thực thoả mÃn t Câu III Đây yêu cầu đơn giản, em học sinh cần nhớ đợc công thức tìm toạ độ trọng tâm tam giác, cụ thĨ víi OAB lµ: x x B yA yB z A z B G A ; ; 3 Tõ ®ã, phơng trình đờng thẳng (d) đợc cho bởi: Qua G (d) : vtcp u OA, OB Tham khảo định hớng câu III.1 đề toán khối B 2006 Câu IV Đây tích phân hàm số hỗn hợp (đa thức siêu việt) thuộc dạng b I f (x).ln n x.dx nên phơng pháp đợc lựa chọn "Phơng pháp tích a phân phân" với cách lựa chọn: u ln n x dv f (x).dx Tríc tiªn hÃy đánh giá vai trò a, b bất đẳng thức đợc cho dới dạng hàm số mũ phép biến đổi đơn giản: a ab b 4 b 1 ab a b a 4a 1 4b 1 (*) 2 Tới đây, hiểu cần chuyển đổi a, b vế độc lập, mà để thực điều có thĨ dùa trªn tÝnh chÊt log a b n n log a b Do ®ã, lÊy loga hai vÕ (*), ta đợc: b a a b ln 4a 1 ln 4b 1 b.ln 1 a.ln 1 ln 4a 1 ln 4b 1 (**) a b Ci cïng, ®Ĩ chøng minh bÊt đẳng thức (**) cách sử dụng phơng ln x pháp hàm số với hàm đặc trng y D = (0; +) x Câu V.a Từ yêu cầu toán thấy có hai phần việc phải thực hiện: Phần 1: Tính hệ số x5 khai triÓn x(1 2x)5: 5 x 2x x C5k ( 2x) k Đáp số C1 k Phần 2: Tính hƯ sè cđa x5 khai triĨn x2(1 + 3x)10: 10 10 k x 3x x C10 (3x) k Đáp số C2 k 0 VËy, hƯ sè cđa x5 lµ C1 + C2 Trớc tiên, em học sinh hÃy phác thảo dần hình vẽ để hiểu đợc dẫn dắt sau: Vẽ đờng tròn (C) tâm I PAB (PA, PB tiếp tuyến (C)) Ta cã: PAB ®Ịu APB 600 API 300 ( d ) P A B I IP 2IA 2R không đổi P thuộc đờng tròn (C) tâm I bán kính 2R Vẽ đờng tròn (C) Nh P giao điểm (C) (d) Khi ®ã, ®Ĩ cã nhÊt mét ®iĨm P ®iỊu kiƯn lµ (d) tiÕp xóc víi (C’), suy ra: d(I, (d)) = 2R Câu V.b Phơng trình đợc giải theo bớc: Bớc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình Bớc 2: Sử dụng phép biến đổi tơng đơng để khử log, nhận đợc phơng trình mũ dạng: a.22x + b.2x + c = Bíc 3: Sư dơng ẩn phụ t = 2x để giải phơng trình Công việc: Chứng minh SCD vuông đợc thùc hiÖn b»ng chøng minh CD SC TÝnh khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) đợc thực việc nhận xét BH cắt mặt phẳng (SCD) S, đó: d(H, (SCD)) SH d(B, (SCD)) SB Mặt khác: 3VB.SCD SA.SBCD VB.SCD d(B, (SCD)).SSCD d(B, (SCD)) SSCD SSCD Đáp án chi tiết đề thi tuyển sinh môn toán khối B năm 2007 Câu I Bạn đọc tự làm Đạo hàm: (x 1) Điểm M(a; y(a))(C), phơng trình tiếp tuyÕn t¹i M cã d¹ng: y' (d): y = y'(a)(xa) + y(a) (d) : y 2a x (a 1) (a 1) Toạ độ giao điểm A tiếp tuyến (d) víi Ox lµ nghiƯm cđa hƯ: y 0 y 0 A( a2 ; 0) 2a y x y a (a 1) (a 1) Toạ độ giao điểm B tiÕp tun (d) víi Oy lµ nghiƯm cđa hƯ: x 0 x 0 2a 2 B 0; 2a 2a (a 1) y (a 1) x (a 1) y (a 1) Ta cã: 1 1 SOAB OA.OB OA.OB 4 2a a 2a a 4a = (a + 1) (a 1) 2 2a a M1 (1; 1) a 1 2a a 0 M2 ; a 2a a Vây, tồn hai điểm M1, M2 thoả mÃn điều kiện đầu Câu II Biến đổi phơng trình dạng: x x x x sin co s 2sin co s cos x 2 2 2 sin x cos x 2 sin x cos x 1 sin x cos x sin x 3 2 x 2k x 2k , k x 2k x 2k Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm Trớc tiên, ta có: Đặt u x điều kiện u thì: x 1 1 x x x = u3 3u x x x 1 Tơng tự, đặt v y điều kiện v th× y3 v3 3v y y Khi đó, hệ phơng trình có dạng: u v 5 u v 5 3 uv 8 m u v 3(u v) 15m 10 suy u, v lµ nghiƯm phơng trình: t2 5t + m = t2 5t + = m (1) Hệ đà cho có nghiệm phơng trình (1) có hai nghiệm thực thoả mÃn t XÐt hµm sè y = t2 5t + trªn tËp D = (; 2][2; +), ta cã: y’ = 2t 5, y’ = 2t = t Ta có bảng biến thiên: x 5/2 + y' + + y 22 7/4 Tõ bảng biến thiên hàm số suy hệ có nghiƯm vµ chØ khi: m hc m > 22 VËy, víi m m > 22 thoả mÃn điều kiện đầu Câu III Tam giác OAB có trọng tâm G(0; 2; 2) Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d) đợc cho bởi: x 2t Qua G Qua G(0; 2; 2) (d) : y 2 t , t (d) : (d) : z 2 t vtcp u(2; 1; 1) vtcp u OA, OB ChuyÓn phơng trình đờng thẳng () dạng tham số: x 1 t (): y t , t z 2t §iĨm M thuộc đờng thẳng () nên M(1 t; t 2; 2t), ®ã: MA2 + MB2 = (t)2 + (t 6)2 + (2t 2)2 + (2 t)2 + (t 4)2 + (2t 4)2 = 12t2 48t + 76 = 12(t 2)2 + 28 28 VËy, ta cã (MA2 + MB2)Min = 28, đạt đợc khi: t = t = M(1; 0; 4) C©u IV §Ỉt: ln x.dx du x v x u ln x dv x dx Khi ®ã: e e e 4 V = x ln x x3 ln xdx = e x ln xdx 21 1 4 (1) I Với I, ta đặt: dx du x x v u ln x dv x dx Khi ®ã: e e e 4 I = x ln x x3 dx = e x = 3e 41 4 16 16 (2) Thay (2) vµo (1), ta ®ỵc I 5e 32 BiÕn ®ỉi bất đẳng thức dạng: a b ab 4 b 1 ab a b a 4a 1 4b 1 (*) 2 LÊy loga hai vÕ cña (*), ta ®ỵc: b a a b ln 4a 1 ln 4b 1 b.ln 1 a.ln 1 10 ln 4a 1 a ln 4b 1 b (**) XÐt hµm sè y y' ln x 1 x trªn D = (0; +), ta cã: x.ln x x 1 ln x 1 x 4x 1 Hµm số nghịch biến D y(a) < y(b) điều cần chứng minh Câu V.a Ta lần lợt thực hiện: Trong khai triển: 5 x 2x x C5k ( 2x) k x C5k ( 2) k x k k 0 k 0 HÖ số x5 khai triển C ( 2) Trong khai triÓn: 10 10 10 k k k k x 3x x C10 (3x) k x C10 x k 0 k 0 3 10 Hệ số x khai triển C VËy, hƯ sè cđa x5 lµ: 3 C54 ( 2) C10 3320 Đờng tròn (C) có tâm I(1 ; 2) bán kÝnh R = Ta cã nhËn xÐt: PAB ®Ịu APB 600 API 300 IP 2IA 2R không đổi P thuộc đờng tròn (C) tâm I bán kính 2R Nh P giao điểm (C) (d) Khi đó, để có điểm P điều kiện (d) tiếp xóc víi (C’), suy ra: 3.1 4.( 2) m 6 m 11 30 d(I, (d)) = 2R 32 ( 4) m 11 30 m 19 m 11 30 m 41 Vậy, với m = 19 m = 41 thoả mÃn điều kiện đầu Câu V.b Điều kiện 4.2x > Biến đổi tơng đơng phơng trình dạng: (*) log 4x 15.2x 27 2log 4.2 x 3 0 log x 15.2 x 27 log 4.2 x 11 22x 15.2x 27 16.22x 24.2 x 15.22x 39.2x 18 (1) Đặt t = 2x, t > ta đợc: t 5t2 13t = t 3 2x = x = log23 Vậy, phơng trình có nghiệm x = log23 Bạn đọc tự vẽ hình a Chứng minh SCD vuông Gọi I trung điểm AD, ta cã: IA = IB = IC = a ACD vuông C CD AC Mặt khác, ta cã: CD SA CD (SAC) CD SC SCD vuông C b Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Nhận xét BH cắt mặt phẳng (SCD) S, đó: d(H, (SCD)) SH SH d(H, (SCD)) d(B, (SCD)) d(B, (SCD)) SB SB Ta lần lợt có: SH SA SA 2a 2 2 SB SB SA AB 2a a 3VB.SCD SA.SBCD VB.SCD d(B, (SCD)).SSCD d(B, (SCD)) SSCD SSCD 1 SBCD AB.BC a 2 1 SSCD SC.CD SA AB2 BC2 IC2 ID a 2 2 a Tõ ®ã, suy d(H, (SCD)) 12 ... phẳng (SCD) S, ®ã: d( H, (SCD)) SH d( B, (SCD)) SB Mặt khác: 3VB.SCD SA.SBCD VB.SCD d( B, (SCD)).SSCD d( B, (SCD)) SSCD SSCD Đáp án chi tiết đề thi tuyển sinh môn toán khối B năm 2007 Câu... 3VB.SCD SA.SBCD VB.SCD d( B, (SCD)).SSCD d( B, (SCD)) SSCD SSCD 1 SBCD AB.BC a 2 1 SSCD SC.CD SA AB2 BC2 IC2 ID a 2 2 a Tõ ®ã, suy d( H, (SCD)) 12 ... (SCD) Nhận xét BH cắt mặt phẳng (SCD) S, đó: d( H, (SCD)) SH SH d( H, (SCD)) d( B, (SCD)) d( B, (SCD)) SB SB Ta lần lợt có: SH SA SA 2a 2 2 SB SB SA AB 2a a 3VB.SCD SA.SBCD 
