Chuyờn : Tỡm giỏ tr ln nht giỏ tr nh nht I) Các bài tập về tìm giá trị nhỏ nhất Bi tp1: Cho biu thc A = a 3 +b 3 + c 3 +a 2 (b+c)+b 2 (c+a)+c 2 (a+b) Cho a+b+c = 1 .Hóy tỡm giỏ tr nh nht ca A Gii: Ta cú : A = a 3 +b 3 + c 3 +a 2 (b+c)+b 2 (c+a)+c 2 (a+b) = a 2 (a+b+c) + b 2 (a+b+c)+c 2 (a+b+c) = (a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 ) V i a+b+c = 1 th ỡ A = a 2 +b 2 +c 2 Ta c ú a 2 +b 2 2ab a 2 + c 2 2ac b 2 + c 2 2bc 2(a 2 + b 2 +c 2 ) 2(ab + bc + ac) (1) Cng thờm vo hai v ca (1) vi a 2 + b 2 + c 2 3(a 2 + b 2 + c 2 ) (a+b+c) 2 3A 1 A 3 1 Du = xy ra khi a= b =c M a+b+c = 1 nờn a =b=c = 3 1 Do ú A t giỏ tr nh nht l 3 1 khi a =b=c = 3 1 Bài 2: Cho x+y = 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 +y 2 Giải: Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski : (ac+bd) 2 (a 2 + b 2 )(c 2 +d 2 ) dấu = xảy ra d b c a = (*) Chọn a = x ; c=1 ; b=y d =1 Ta có : (x.1+y.1) 2 (x 2 +y 2 )(1+1) (x+y) 2 (x 2 +y 2 )(1+1) 4 (x 2 +y 2 ).2 2 (x 2 +y 2 ) Vậy B 2 Dấu = xẩy ra khi x=y = 1 Vậy Min B = 2 khi x = y =1 Cách 2: Ta có : x+y =2 y =2- x Do đó: B = x 2 + (2-x) 2 = x 2 +x 2 - 4x + 4 = 2x 2 4x + 4 = 2(x 2 2x+1 +1) = 2(x-1) 2 +2 2 Vậy Min B = 2 khi x-1 =0 hay x= 1 ; y =1 Giáo viên : Nguyễn Thị Phơng Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x 2 + 2y 2 – 2xy – 4y + 5 Giải: Ta có : C = (x 2 - 2xy + y 2 ) + ( y 2 – 4y+4)+1 = (x –y) 2 + (y -2) 2 + 1 Vì (x – y) 2 ≥ 0 ; (y-2) 2 ≥ 0 Do vậy: C ≥ 1 với mọi x;y Dấu “ = ” Xảy ra khi x-y = 0 và y-2 =0 ⇔ x=y =2 Vậy: Min C = 1 khi x = y =2 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức D = 2x 2 – 2xy +5y 2 + 5 Giải: Ta có : D = x 2 – 4xy + 4y 2 + x 2 +2xy +y 2 +5 D = (x - 2y) 2 + (x+y) 2 + 5 Ta thấy : (x-2y) 2 ≥ 0 ; (x+y) 2 ≥ 0 Nên: D ≥ 5 Dấu “ = ” Xảy ra khi : x – 2y = 0 x+ y = 0 ⇔ x = y = 0 Vậy Min D = 5 khi x = y =0 Bài 5: Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 5x 2 +8xy + 5y 2 – 2x + 2y Giải: Ta có : E = (4x 2 + 8xy +4y 2 )+(x 2 - 2x +1) + (y 2 +2y +1) – 2 E = (2x +2y) 2 +(x- 1) 2 +( y+1) 2 - 2 Do đó E ≥ - 2 Dấu “ = ” xảy ra khi    −= = ⇔      =+ =− =+ 1 1 01 01 022 y x y x yx Vậy Min B = -2 khi x =1 và y =-1 Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = a 3 + b 3 + ab ; Cho a + b = 1 Giải: Ta có : F = (a+b)(a 2 –ab+b 2 ) +ab Thay a+ b =1 vào F ta được F = a 2 – ab +b 2 + ab F = a 2 +b 2 F = (a+b) 2 – 2ab Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ Ph¬ng Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất F = 1 – 2ab Do a+b =1 ⇔ a = 1-b thay vào F ta có : F = 1- 2(1-b)b F = 1 -2b+2b 2 F = 2(b 2 – b+ 4 1 ) + 2 1 F = 2(b - 2 1 ) 2 + 2 1 ≥ 2 1 Với mọi b Dấu “ = ” xảy ra khi : b - 2 1 = 0 ⇔ b = 2 1 và a = 2 1 Vậy Min F = 2 1 Khi a =b = 2 1 Bài 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : G (x) = x + x4 1 cho x > 0 Giải: Ta có: G = x + x4 1 = x x 4 14 2 + = x xx x xxx 4 4)12( 4 4144 22 +− = ++− = 1+ x x 4 )12( 2 − V ì x > 0 Nên G ≥ 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của G là 1 khi : x x 4 )12( 2 − = 0 ⇔ (2x -1) 2 = 0 ⇔ x = 2 1 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: H = x(x+1)(x+2)(x+3) Giải: Ta có: H = x(x+3)(x+1)(x+2) H = (x 2 + 3x)(x 2 + 3x +2) H = (x 2 +3x) 2 + 2(x 2 +3x) H = (x 2 +3x) 2 + 2(x 2 +3x)+1 – 1 H = (x 2 + 3x +1) 2 – 1 ⇔ H ≥ - 1 , Dấu ‘ = ’ xảy ra khi x 2 + 3x +1 = 0 ⇔ x = 2 53 ±− Vậy giá trị nhỏ nhất của H là -1 khi x = 2 53 ±− Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : I(x) = 1 1 2 2 + − x x Giải : Ta có : I(x) = 1 1 2 2 + − x x = 1- 1 2 2 + x Do vậy, I(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi biểu thức 1 2 2 + x đạt giá trị lớn nhất nghĩa là x 2 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất . Ta có : x 2 + 1 ≥ 1 Với mọi x  Min (x 2 + 1) = 1 tại x = 0  Min I(x) = 1- 2 = -1 Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ Ph¬ng Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất Vậy Min I(x) = -1 tại x = 0 Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : J = 3( x 2 + y 2 + z 2 + t 2 ) – 2(xy + yz + zt + tx) – ( x + y + z + t ) + 10 Giải : Ta có : J = ( x 2 – 2xy + y 2 ) + ( y 2 – 2yz + z 2 ) + (z 2 – 2zt + t 2 ) + ( t 2 – 2tx + x 2 ) + ( x 2 – x + 4 1 ) + ( y 2 – y + 4 1 ) + ( z 2 – z + 4 1 ) + ( t 2 – t + 4 1 ) + 9 = ( x – y) 2 + ( y – z ) 2 + ( z – t) 2 + (t – x) 2 + (x – 2 1 ) 2 + (y – 2 1 ) 2 + (z – 2 1 ) 2 + (t – 2 1 ) 2 + 9 Do vậy J ≥ 9 Với mọi x ; y ; z ; t Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = t = 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của J là 9 khi x = y = z = t = 2 1 Bài 11: Cho biểu thức : K = x 2 + y 2 + 2z 2 + t 2 Với x ; y ; z ; t là các số nguyên không âm . Tìm giá trị nhỏ nhất của K và các giá trị tương ứng của x ; y ;z và t , biết rằng : x 2 – y 2 + t 2 = 21 x 2 + 3y 2 + 4z 2 = 101 Giải: Theo giả thiết , ta có : x 2 – y 2 + t 2 = 21 x 2 + 3y 2 + 4z 2 = 101  x 2 – y 2 + t 2 + x 2 + 3y 2 + 4z 2 = 122  2x 2 + 2y 2 + 4z 2 + t 2 = 122  2K – t 2 = 122  2K = 122 + t 2 Do đó : 2K ≥ 122 ⇔ K ≥ 61 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi t = 0 Vậy K đạt giá trị nhỏ nhất là 61 tại t = 0 Ta có : x 2 – y 2 + t 2 = 21 (1) x 2 + 3y 2 + 4z 2 = 101 (2) Vì x ; y ∈ N nên từ (1) => x > y ≥ 0  x + y ≥ x – y > 0 . Do đó : (x + y)( x – y) = 21 . 1= 7 . 3 Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ Ph¬ng Chuyờn : Tỡm giỏ tr ln nht giỏ tr nh nht => = =+ 1 21 yx yx = = 10 11 y x hoc = =+ 3 7 yx yx = = 2 5 y x T (2) => 3y 2 101 => y 2 33 => 0 y 5 Ta chn x = 5 ; y = 2 (2) => z = 4 Vy Min K =61 ti x = 5 ; y = 2 ; z = 4 ; t = 0 II) Các bài tập về tìm giá trị lớn nhất Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3xy x 2 y 2 Biết x; y là nghiệm của phơng trình 5x+2y = 10 Giải: Từ : 5x +2y = 10 y = 2 510 x Thay y vào biểu thức A ta có: A = 3x. 2 510 x - x 2 ( 2 510 x ) 2 A = 4 2510010043060 222 + xxxx A = 4 1 (-59x 2 +160x-100) A = 4 1 .59 ( -x 2 + ) 59 100 59 160 x A = 4 1 .59 ++ 3481 6400 3481 5900 ) 3481 6400 2 1 59 80 .2( 2 xx A = + 3481 500 ) 59 80 ( 4 59 2 x A = 2 ) 59 80 ( 4 59 59 125 x 59 125 Vậy Max A = 59 125 Khi x = 59 80 và y = 2 510 x = 59 95 Bài 2: Cho biểu thức B = - a 2 b 2 +ab +2a+2b B đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu và khi nào? Giải: Ta có B = - a 2 b 2 +ab +2a+2b 2B = -2a 2 2b 2 +2ab +4a+4b = - (a 2 - 2ab +b 2 ) ( a 2 - 4a +4) (b 2 -4b +4) + 8 = 8 (a-b) 2 (a-2) 2 (b -2 ) 2 2B 8 B 4 Giáo viên : Nguyễn Thị Phơng Chuyờn : Tỡm giỏ tr ln nht giỏ tr nh nht Dấu = xảy ra khi a = b =2 Vậy B đạt giá trị lớn nhất là 4 khi a = b =2 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = - 5y 2 5x 2 + 8x 6y 1 Giải: C = - (5x 2 8x ) (5y 2 + 6y) 1 C = - 5( x 2 - ) 25 16 5 4 .2 + x - 5( y 2 +2. ) 25 9 5 3 + y + 4 C = 4 - 5 ++ 22 ) 5 3 () 5 4 ( yx Do đó ta có : C 4 Dấu = xảy ra khi ++ 22 ) 5 3 () 5 4 ( yx = 0 5 4 = x và y = 5 3 Vậy giá trị lớn nhất của C là 4 tại 5 4 = x và y = 5 3 Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = - 5x 2 2xy 2y 2 + 14x + 10y -1 Giải: Ta có D = - 5x 2 2xy 2y 2 + 14x + 10y -1 = - ( x 2 +2xy + y 2 ) (4x 2 - 14x + 4 49 ) (y 2 - 10 y +25) + 4 49 +25 1 = 222 )5() 2 7 2()( 4 145 + yxyx D 4 145 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi = = = = = =+ 5 4 7 05 0 2 7 2 0 y x yx y x yx ( không thỏa mãn ) Vậy giá trị lớn nhất của D không tồn tại Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = xx + 42 Giải: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski : (ac+bd) 2 (a 2 + b 2 )(c 2 +d 2 ) dấu = xảy ra d b c a = (*) Giáo viên : Nguyễn Thị Phơng Chuyờn : Tỡm giỏ tr ln nht giỏ tr nh nht Chọn: ax = 2 ; c =1 bx = 4 ; d =1 ĐKXĐ : 2 x 4 ta có y 2 = ( xx + 42 ) 2 [ ] )11()4()2( ++ xx y 2 4 y 2 Vì y > 0 nên ta có 0 < y 2 Dấu = xảy ra khi xx = 42 x -2 = 4 x x =3 ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy : Giá trị lớn nhất của hàm số là y là 2 tại x = 3 Giáo viên : Nguyễn Thị Phơng . Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x 2 + 2y 2 – 2xy – 4y + 5 Giải: Ta có : C = (x 2 - 2xy + y. 1- 2 = -1 Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ Ph¬ng Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất Vậy Min I(x) = -1 tại x = 0 Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của