đề tài dãy TRUY hồi

23 42 0
  • Loading ...
1/23 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 25/02/2019, 21:55

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN – ĐHQG TP.HCM Khoa Toán- Tin học ĐẠI SỐ SƠ CẤP Đề tài: DÃY TRUY HỒI Giảng viên : TS Tạ Thị Nguyệt Nga X Lời Mở Đầu uất phát từ nhiều đam mê u thích với lĩnh vực tốn học, chúng em ln có mong muốn tìm tòi, tổng hợp tốn có lời giải đẹp khó tạp chí tốn nước nước ngồi Trên sở tốn sưu tầm được, chúng mở rộng theo nhiều hướng khác để toán lạ hơn, hấp dẫn Nhằm giúp bạn học sinh , sinh viên ơn luyện có thêm tài liệu hỗ trợ cho việc giải tốn mình, chúng em xin viết đề tài: DÃY TRUY HỒI Mong qua đề tài này, bạn tìm thấy niềm vui cảm xúc riêng trước dạng toán, toán hay mà lâu giáo trình bạn gặp Với kinh nghiệm non trẻ nhóm sinh viên buổi đầu tìm hiểu, chắn kiến thức chúng em tìm hiểu nhiều sai sót, mong dạy thêm cơ, đóng góp bạn học sinh-sinh viên yêu thích tốn để chúng em rút nhiều kinh nghiệm quý báu Cuối nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn TS Tạ Thị Nguyệt Nga giảng viên khoa Toán-Tin, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM động viên tạo điều kiện cho nhóm chúng em nghiên cứu đề tài TRANG MỤC LỤC TRANG Giới thiệu dãy truy hồi 1.1 Dãy dãy truy hồi Dãy (sequence) tập số liệt kê theo thứ tự Nếu việc liệt kê có kết thúc dãy hữu hạn (finite sequence), ngược lại, dãy vô hạn (infinite sequence) Một cách hình thức: - dãy hữu hạn dãy vơ hạn Ta thường kí hiệu a(n) an gọi số hạng thứn hay số hạng tổng qt dãy Khi dãy viết với hay Các phần tử liệt kê a1, a2, a3, …, an, … gọi khai triển dãy Ví dụ: - 1, 2, 3, 4, 5, …, 1, 3, 5, 7, 9, …, 2, 4, 6, 8, 10, …, 1, 2, 4, 8, 16, …, 2, 6, 18, 54, 162, …, 1, 2, 6, 24, 120, …, 1, 3, 6, 10, 15, 21, …, 1, 4, 9, 16, 25, …, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …, Những dãy mà số hạng có liên quan đến số hạng trước thường định nghĩa cách tự nhiên đệ qui (recursion) Ta gọi dãy dãy đệ qui hay dãy truy hồi (recursive sequence) Để định nghĩa dãy đệ qui, ta đưa qui tắc để xây dựng phần tử dãy phần tử trước Hơn nữa, ta cần tường minh phần tử ban đầu dãy Nguyên lý qui nạp toán (mathematical induction principle) dùng để chứng minh tồn dãy định nghĩa Hơn nữa, nguyên lý qui nạp toán thường dùng để chứng minh tính chất dãy truy hồi Ví dụ: TRANG - 1, 2, 3, 4, 5, …, 1, 3, 5, 7, 9, …, 2, 4, 6, 8, 10, …, 1, 2, 4, 8, 16, …, 2, 6, 18, 54, 162, …, 1, 2, 6, 24, 120, …, 1, 3, 6, 10, 15, 21, …, 1.2 Xác định quan hệ truy hồi cho dãy Một câu hỏi đặt từ công thức tường minh số hạng tổng quát dãy đưa định nghĩa đệ qui cho dãy hay ngược lại từ định nghĩa đệ qui dãy, có tìm công thức tường minh cho số hạng tổng quát dãy hay khơng? Thật có trường hợp khó cho hai chiều Ví dụ: - Tìm định nghĩa truy hồi cho dãy có số hạng tổng quát: - Tìm cơng thức cho số hạng tổng qt dãy truy hồi: Tuy nhiên đa số trường hợp thơng thường ta tìm cơng thức tường minh cho số hạng tổng quát dãy truy hồi ngược lại Chẳng hạn trường hợp hay gặp dãy có số hạng thứ n đa thức theo n Trong trường hợp ta dễ dàng đưa định nghĩa đệ qui cho dãy kĩ thuật sai phân hữu hạn (finite difference) Ta tìm hiểu kĩ thuật ví dụ: tìm định nghĩa đệ qui dãy có số hạng tổng quát Trước hết ta định nghĩa: Gọi sai phân cấp Cụ thể với dãy cho ta có: Lưu ý bậc so với bậc Tiếp tục, ta lấy sai phân ta sai phân cấp hai là: Tương tự ta có sai phân cấp ba Một cách tổng quát, đa thức bậc m có sai phân cấp đa thức bậc m – 1, sai phân cấp hai đa thức bậc m – 2, …, sai phân cấp m sai phân cấp m + Mặt khác ta có nhận xét: TRANG Ta để ý hệ số sai phân hệ số tam giác Pascal (Pascal triangle) với dấu đan luân phiên Từ ta có: Do đó: quan hệ đệ qui cho dãy cho Thật đa thức bậc có sai phân cấp nên quan hệ đệ qui cho dãy có số hạng đa thức bậc n Chẳng hạn dãy 1, 4, 9, 16, 25, …, định nghĩa đệ qui là: Và dãy tổng số nguyên dương đầu: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …, định nghĩa tương tự, khác giá trị ban đầu: Trường hợp cho đa thức bậc theo n ta có hay Chẳng hạn dãy số lẻ: 1, 3, 5, 7, 9, …, định nghĩa đệ qui là: Và dãy số chẵn: 2, 4, 6, 8, 10, …, định nghĩa tương tự, khác giá trị ban đầu: Thật khơng có cách chung để tìm định nghĩa đệ qui cho dãy Trường hợp dãy giai thừa: 1, 2, 6, 24, 120, …, ; giả sử ta muốn tìm quan hệ truy hồi (pure recursion relation), nghĩa quan hệ xác định số hạng dãy theo số hạng trước đó; ta khử n nhận xét: Do đó: Vậy, dãy giai thừa 1, 2, 6, 24, 120, …, định nghĩa truy hồi là: Với dãy nghịch đảo: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …, ta có: TRANG Do đó: Vậy, dãy nghịch đảo định nghĩa truy hồi là: 1.3 Bài tập Tìm cơng thức tường minh cho số hạng thứ n định nghĩa truy hồi cho dãy: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, … Tìm cơng thức tường minh cho số hạng thứ n định nghĩa truy hồi cho dãy: 1, 4, 7, 10, 13, 16, … Tìm cơng thức tường minh cho số hạng thứ n định nghĩa truy hồi cho dãy: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, … Cho dãy truy hồi: , tìm cơng thức tường minh cho số hạng thứ n dãy Tìm định nghĩa truy hồi cho dãy có số hạng thứ n cho bởi: Xây dựng quan hệ truy hồi cho dãy có số hạng thứ n cho đa thức bậc theo n Tìm định nghĩa truy hồi cho dãy Tìm định nghĩa truy hồi cho dãy TRANG Một số dãy truy hồi tiêu biểu 2.1 Cấp số cộng Dãy truy hồi có quan hệ gọi cấp số cộng (arithmetic progression) với công sai số hạng đầu Ví dụ dãy số lẻ 1, 3, 5, 7, 9, … cấp số cộng với cơng sai số hạng đầu dãy số chẵn 2, 4, 6, 8, 10, … cấp số cộng với công sai số hạng đầu Ta dễ dàng thấy số hạng tổng quát dãy cho tường minh công thức: Hay tổng qt ta có: Một tính chất quan trọng cấp số cộng với số hạng kề số hạng trung bình cộng (arithmetic mean) hai số hạng hai bên, tức là: Gọi tổng n số hạng đầu dãy , tức Với cấp số cộng có cơng sai d số hạng đầu , ta có: Ví dụ: dãy số ngun dương 1, 2, 3, 4, … cấp số cộng với công sai số hạng đầu , có tổng n số hạng đầu 2.2 Cấp số nhân Dãy truy hồi có quan hệ gọi cấp số nhân (geometric progression) với công bội số hạng đầu Ví dụ dãy 1, 2, 4, 8, 16, …, cấp số nhân với công bội số hạng đầu dãy 2, 6, 18, 54, 162, …, cấp số nhân với công bội số hạng đầu Ta dễ dàng thấy số hạng tổng quát dãy cho tường minh công thức: Hay tổng qt ta có: Một tính chất quan trọng cấp số nhân với số hạng kề số hạng trung bình nhân (geometric mean) hai số hạng hai bên, tức là: Ta có: TRANG Ví dụ: dãy 1, 2, 4, 8, 16, … cấp số nhân với cơng bội số hạng đầu , có tổng n số hạng đầu Lưu ý: cấp số cộng với cơng sai , tức nên dãy cấp số nhân với cơng bội ; ngược lại, cấp số nhân với công bội , tức nên dãy cấp số cộng với công sai 2.3 Lãi kép Khi đầu tư dài hạn, nhà đầu tư mong muốn khoản lãi thu lại tiếp tục sinh lãi cách nhập khoản lãi thu vào vốn đầu tư cách đặn Chẳng hạn, với lượng vốn 1000000đ đầu tư vào tài khoản lãi suất 9.6%, ta có giá trị nhận sau năm đ Nếu sau tháng, nhà đầu tư rút tiền ra, giá trị nhận Nếu khoản tiền đầu tư trở lại vào tài khoản sau tháng giá trị nhận đ Nếu sau tháng, nhà đầu tư rút vốn lẫn lời đầu tư trở lại, sau tháng đầu, giá trị nhận lượng vốn đầu tư cho tháng đ Tương tự, giá trị nhận sau tháng, tháng năm đ, đ đ Rõ ràng đặn nhập chung lãi chu kỳ trước vào vốn tính lãi cho chu kỳ sau, giá trị nhận lớn dần chu kỳ nhập lãi vào vốn giảm dần Phương thức gọi tính theo lãi kép: lãi mẹ đẻ lãi Chính xác hơn, dịch vụ tài gọi tính theo lãi kép (compound interest) vào cuối chu kỳ xác định trước, tiền lời vốn đầu tư tính theo lãi đơn chu kỳ nhập vào vốn nhằm sinh lãi chu kỳ Gọi V0 lượng vốn đầu tư thời điểm t = 0, n thời gian đầu tư tính số chu kỳ, i lãi suất chu kỳ, Vn giá trị nhận lượng vốn V0 sau n chu kỳ đầu tư tính theo lãi kép, ta có: Do cấp số nhân với cơng bội Từ cơng thức tính số hạng tổng quát cấp số nhân phần ta có giá trị nhận lượng vốn V0 sau n chu kỳ đầu tư tính theo lãi kép với lãi suất chu kỳ i là: 2.4 Dãy Fibonacci Dãy Fibonacci (Fibonacci numbers) dãy định nghĩa truy hồi sau: Dãy Fibonacci có khai triển là: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … TRANG Dãy Fibonacci lời giải cho toán đếm số cặp thỏ: có cặp thỏ sinh đem lên đảo vắng, sau tháng trưởng thành, cặp thỏ sinh cặp thỏ kể từ tháng thứ hai Giả sử cặp thỏ không chết cặp thỏ sinh cặp thỏ tháng kể từ tháng thứ hai sau chúng sinh Câu hỏi đặt sau tháng thứ n (chẳng hạn sau năm, n = 12) có cặp thỏ? Gọi số cặp thỏ sau tháng thứ n, hình ảnh sau gợi ý quan hệ truy hồi dãy Rõ ràng, số cặp thỏ cuối tháng n bao gồm số cặp thỏ có cuối tháng trước (tháng n – 1) cộng thêm số cặp thỏ sinh, mà số cặp thỏ sinh với số cặp thỏ cha mẹ chúng, số cặp thỏ tháng n – Vậy ta có quan hệ truy hồi: , số lượng cặp thỏ sau tháng thứ n lập thành dãy Fibonacci Ta xác định công thức tường minh cho số hạng tổng quát sau (Xem phần 3.2): với nghiệm phương trình bậc 2: Đặc biệt số có ý nghĩa mỹ thuật nhiều lãnh vực khác gọi tỉ lệ vàng (golden ratio) Cũng lưu ý là: TRANG 10 Hình minh họa việc sinh sản cặp thỏ (Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/FibonacciRabbit.svg/1024 px-FibonacciRabbit.svg.png) Một dãy số gần gũi với dãy Fibonacci dãy Lucas (Lucas numbers) Dãy có quan hệ truy hồi dãy Fibonacci khác số hạng đầu: Dãy Lucas có khai triển là: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, … Cũng dãy Fibonacci, tỉ lệ hai số hạng kề dãy Lucas hội tụ tỉ lệ vàng 2.5 Bài tốn Tháp Hà Nội Bạn có biết số phận ta (hay chí vũ trụ) nằm tay nhà sư không? Tương truyền tháp Hà Nội (Tower of Hanoi) có nhà sư ngày đêm chuyển 64 đĩa vàng mà hoàn thành lúc tận Cụ thể có n = 64 đĩa kích thước tăng dần có chồng đĩa mà ban đầu n đĩa đặt chồng với đĩa lớn dưới, nhỏ Nhà sư phải tìm cách chuyển tồn n đĩa chồng sang chồng (có thể dùng chồng làm trung gian) theo qui định: - Mỗi lần di chuyển đĩa từ đỉnh chồng sang đỉnh chồng - khác Không để đĩa lớn đĩa nhỏ Bài toán giải theo nhiều cách cách giải đệ qui hay Để chuyển n đĩa từ chồng nguồn sang chồng đích (lấy chồng làm trung gian) ta làm đệ qui sau: - Chuyển n – đĩa (ở trên) từ chồng sang chồng (lấy chồng làm trung gian) - Chuyển đĩa (dưới cùng) từ chồng sang chồng - Chuyển n – đĩa (trước đó) từ chồng sang chồng (lấy chồng làm trung gian) Hình minh họa bước chuyển đĩa với n = Điều ta quan tâm thời gian đến ngày tận thế, tức thời gian để nhà sư chuyển xong n đĩa Gọi số bước để chuyển n đĩa từ chồng nguồn sang chồng đích theo qui định Từ cách làm ta dễ thấy định nghĩa truy hồi sau cho : Bằng cách tính thử số hạng đầu dãy, ta có khai triển là: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, … Từ khai triển ta đốn cơng thức tường minh cho số hạng tổng quát dãy là: Ta dùng qui nạp để chứng minh khẳng định cách đặt nhận xét rằng: TRANG 11 Do lập thành cấp số nhân với công bội Từ công thức cấp số nhân ta có Giả sử truyền thuyết ngày tận thật ta đừng nên lo lắng Thật vậy, từ phân tích ta có số bước để nhà sư chuyển xong 64 đĩa Giả sử nhà sư tốn giây để chuyển đĩa nhà sư cần khoảng 585 tỉ năm để hoàn thành việc chuyển 64 đĩa Hú hồn!:) TRANG 12 Hình minh họa việc chuyển đĩa cho toán Tháp Hà Nội với n = (Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/20/Tower_of_Hanoi_recursio n_SMIL.svg/512px-Tower_of_Hanoi_recursion_SMIL.svg.png) 2.6 Các mơ hình dân số Một ứng dụng quan trọng dãy truy hồi sinh học mơ hình dân số mà qui mô dân số hệ phụ thuộc vào qui mơ dân số hệ trước Ta kí hiệu qui mơ dân số thời điểm (thế hệ) t Việc qui mô dân số thời điểm t phụ thuộc vào qui mô dân số thời điểm trước đó, t – 1, thể quan hệ truy hồi: với hàm f xác định phụ thuộc vào mơ hình dân số Quan hệ truy hồi gọi truy hồi bậc (first-order recursion) để xác định thời điểm t ta cần biết giá trị thời điểm trước đó, Mơ hình dân số đơn giản mơ hình cấp số nhân: Với cơng bội R số dương, gọi số tăng trưởng (growth constant) Ví dụ, mơ hình cho việc tăng trưởng quần thể vi khuẩn mà số lượng vi khuẩn nhân đôi sau chu kỳ thời gian mơ hình với R = Từ công thức cấp số nhân ta có nên mơ hình tăng trưởng gọi tăng trưởng mũ (exponential growth) Với mơ hình tăng trưởng mũ ta có: R> dân số tăng khơng ngừng, R = dân số khơng thay đổi ( x + 8) Đặt , ta thấy phương trình f ( x) = x có hai nghiệm 2; Lại f hàm tăng từ [0; ∞) vào f ([0; 2]) ⊂ [0; 2]; f ([2; 4]) ⊂ [2; 4]; f ([4; ∞)) ⊂ [4; ∞) f ( x) = Vì ta cần xét khả sau: - Khả 1: a ∈ [0; 2] - Khả 2: a ∈ [2; 4] Dễ thấy tăng Trường hợp dãy hội tụ - u1 = (a + 8) ≥ a = u0 , dãy cho dãy u1 = (a + 8) ≤ a = u0 dãy giảm, Khi dễ thấy hội tụ Và dễ thấy hội tụ Khả 3: a = Trường hợp số hạng dãy 4, hội tụ Khả 4: a ∈ [4; ∞) Lúc dãy tăng Vì hội tụ phải hội tụ b > Mặt khác b phải nghiệm phương trình f ( x) = x (gặp mâu thuẩn) Trường hợp dãy không hội tụ 3.4 Bài tập Hãy tìm hiểu mở rộng kết lý thuyết Tính số hạng tổng quát dãy xác định với Xác định số hạng tổng quát dãy biết ; với Tính số hạng tổng quát dãy số biết ; với Cho dãy số thực xác định với n nguyên dương Chứng minh dãy số nguyên dương Hãy sáng tác 10 đề toán thuộc loại Hãy lập luận cho học sinh phổ thông Trường hợp Trường hợp mà không dùng không gian vecto Khảo sát dãy (un )n≥0 cho bởi: b2 un +1 = (un + ) u = a > un với b > 0; a) u = un ; b) u = a un +1 = 7un − ; c) un +1 = u = a ≥ + un2 ; d) un+1 = − TRANG 20 Phương pháp bấm máy tính tìm dãy truy hồi Ví dụ 1: Cho dãy số xác định sau: với Tính Giải Với tốn cách tính thơng thường để tính tới ta tính từ Do máy tính khơng có biến nhớ u, nên dùng A, B, C thay cho Gán cho biến A; gán cho biến B Bấm máy tính • Bấm SHIFT STO • Bấm SHIFT STO • Bấm ALPHA C ALPHA = ALPHA B + ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = PLPHA B ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA C Sau bấm hết dòng hình máy tính C=B+A:A=B:B=C Giải thích: sau gán C=B+A ta lại gán A=B gán B=C, thuật toán lặp lại cộng dồn lên theo công thức truy hồi sau lần bấm dấu “=” Bấm CALC bấm = đến hình C=B+A lần đầu kết bấm liên tục cẩn thận đếm số lần xuất C=B+A Ví dụ 2: Cho dãy số xác định sau: Tính Giải Bấm máy tính • Bấm SHIFT STO TRANG 21 • Bấm SHIFT STO • Bấm ALPHA C ALPHA = 2ALPHA B + 3ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA C Bấm CALC bấm = đến hình C=2B+3A lần đầu kết bấm = liên tục ta có cẩn thận đếm số lần xuất C=2B+3A Bài tập áp dụng bấm máy tính Cho dãy số xác định sau: Tính TRANG 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Dương Quốc Việt, Đàm Văn Nhỉ, Giáo trình Đại Số Sơ Cấp, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2016 Claudia Neuhauser, Calculus for Biology and Medicine, Prentice Hall, 2011 Brother Alfred Brousseau, Linear Recursion and Fibonacci Sequences, The Fibonacci Asscociation, 1971 Graham, Knuth, Patashnik, Concrete Mathematics A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, 1994 Các tài liệu trang Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/) số trang khác TRANG 23 ... hệ truy hồi cho dãy có số hạng thứ n cho đa thức bậc theo n Tìm định nghĩa truy hồi cho dãy Tìm định nghĩa truy hồi cho dãy TRANG Một số dãy truy hồi tiêu biểu 2.1 Cấp số cộng Dãy truy hồi có... cứu đề tài TRANG MỤC LỤC TRANG Giới thiệu dãy truy hồi 1.1 Dãy dãy truy hồi Dãy (sequence) tập số liệt kê theo thứ tự Nếu việc liệt kê có kết thúc dãy hữu hạn (finite sequence), ngược lại, dãy. .. truy hồi cho dãy: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, … Cho dãy truy hồi: , tìm cơng thức tường minh cho số hạng thứ n dãy Tìm định nghĩa truy hồi cho dãy có số hạng thứ n cho bởi: Xây dựng quan hệ truy
- Xem thêm -

Xem thêm: đề tài dãy TRUY hồi , đề tài dãy TRUY hồi , 2 Xác định quan hệ truy hồi cho dãy, Một số dãy truy hồi tiêu biểu, 6 Các mô hình dân số, 3 Dãy truy hồi dạng

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn