ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009 Môn thi toán, khối A Thời gian làm 180 phút( không kể thời gian phát đề) A PHẦN CHUNG CHO CÁC THÍ SINH (7điểm): Câu I: Cho hàm số y = x3 − 3m x + 2m (Cm) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt Câu II: a) Giải phương trình: (sin x − sin x + 4) cos x − =0 2sin x + b) Giải phương trình: x + = x+1 − π Câu III: Tính tích phân sau: I = ∫ sin xdx (sin x + cos x)3 Câu IV: Khối chóp SABC có SA ⊥ (ABC), ∆ ABC vng cân đỉnh C SC = a Tính góc ϕ mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích khối chóp lớn Câu V: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt: − x − + x − (2 − x)(2 + x) = m B PHẦN RIÊNG (3điểm): Thí sinh làm phần Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a: 1) Trong mp(Oxy) cho điểm M(3;1) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt tia Ox,Oy A B cho (OA+3OB) nhỏ 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x − y + z − = để ∆ MAB tam giác biết A(1;2;3) B(3;4;1) Câu VII.a: Tìm hệ số x 20 khai triển Newton biểu thức ( n biết rằng: Cn − Cn + Cn + + (−1) x + x5 ) n 1 n Cn = n +1 13 Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: 1) Trong mp(Oxy) cho điểm A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng (∆) : x − y − = cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích 2) Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (∆1 ) có PT { x = 2t; y = t ; z = 4} ; (∆ ) giao tuyến 2mp (α ) : x + y − = ( β ) : x + y + z − 12 = Chứng tỏ ∆1 , ∆ chéo viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vng góc chung ∆1 , ∆ làm đường kính Câu VII.b: Cho hàm số y = x + (2m + 1) x + m + m + Chứng minh với m hàm số có 2( x + m) cực trị khoảng cách hai điểm cực trị số không phụ thuộc m ============Hết============ Họ tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh:…………… Câu Ia) 1điểm Đáp án y = x − 3m x + 2m (Cm) m = ⇒ y = x − x + (C) Điểm 0.25 TXĐ: D=R, y ' = 3x − 3, y ' = ⇔ x = ±1 HS đồng biến ( −∞; −1) ( 1; +∞ ) ; nghịch biến ( −1;1) 0.25 HS đạt cực đại x = −1; yCD = , đạt cực tiểu x = 1; yCD = Giới hạn: lim = +∞, lim = −∞ x →+∞ x →−∞ Bảng biến thiên: Đồ thị:(C) ∩ Ox A(1;0) B(-2;0), :(C) ∩ Oy C(0;2) x f’(t) f(t) -∞ + -1 - -∞ 0.25 0.25 +∞ + +∞ Ib) (Cm) có hệ số x 1, khơng có cực trị ln đồng biến, để cắt trục 1điểm hồnh điểm (Cm) phải có cực trị ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ x − 3m = có 2ng pb Khi m ≠ y ' = ⇔ x = ± m (Cm) cắt Ox điểm phân biệt ⇔ yCĐ = yCT = y ( −m) = ⇔ 2m3 + 2m = ⇔ m = (loại) ⇒ KL: m = ±1 y ( m ) = ⇔ −2 m + m = ⇔ m = ∨ m = ± IIa) (sin x − sin x + 4) cos x − = (sin x − sin x + 4) cos x −  =0 ⇔ 1điểm 2sin x + 2sin x + ≠  0.5 0.5 1.0 (2 cos x − 1)(sin x cos x + 2) = 2 cos x = π   ⇔ ⇔ ⇔ x = + k 2π 2sin x + ≠ 2sin x ≠ −   IIa) 1điểm Đặt x = u > 0; x +1 − = v x + = 2 x+1 − u + = 2v u + = 2v u = v >   ⇒ ⇔ ⇔ 2 v + = 2u (u − v)(u + uv + v + 2) = u − 2u + =   ⇒ x = 0; x = log −1 + 0.5 0.5 III π π π Đặt x = − t ⇒ dx = − dt ; x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 1điểm 2 I= π sin xdx ∫ (sin x + cos x)3 ⇒I= π π π cos tdt 0.5 cos xdx ∫ (sin t + cos t )3 = ∫ (sin x + cos x)3 0 π π 1 dx π ⇒ 2I = ∫ = ∫ = − cot( x + ) = ⇒ I = 2 sin ( x + π ) 0 (sin x + cos x) · IV π 1điểm AC ⊥ BC ⇒ SC ⊥ BC (đlý đg vng góc) ⇒ ϕ = SCA ∈ (0; ) a3 ⇒ SA = a sin ϕ , AC = BC = a cos ϕ ⇒ VSABC = (sin ϕ − sin ϕ ) π Xét hàm số y = sin x − sin x khoảng (0; ) , lâp BBT 3 π a a sin ϕ = , ϕ ∈ (0; ) ⇒ (VSABC ) max = ymax = V −1 − ⇒ f(t) đồng biến ⇒ u = v ⇒ u + u + = 3u ⇔ u − log3 (u + u + 1) = (2) Xét hàm số: g (u ) = u − log (u + u + 1) ⇒ g '(u ) > ⇒ g(u) đồng biến Mà g (0) = ⇒ u = nghiệm (2) KL: x = y = nghiệm hệ PT 10 0.5 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009 Môn thi tốn, khối D Thời gian làm 180 phút( khơng kể thời gian phát đề) A PHẦN CHUNG CHO CÁC THÍ SINH (7điểm): Câu I: Cho hàm số y = x3 − 3mx − 3x + 3m + (Cm) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để (Cm) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 , x3 thỏa mãn 2 x1 + x2 + x3 ≥ 15 Câu II: a) Giải bất phương trình: log x (log (2 x − 4)) ≤ ( ) b) Giải phương trình: cos x + cos x tan x − = π Câu III: Tính tích phân : I = cos x cos xdx ∫ ∧ Câu IV: Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a BAC = 120o Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM) Câu V: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x − 2(m + 4) x + 5m + 10 − x + = B PHẦN RIÊNG (3điểm): Thí sinh làm phần Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a: 1)Trong mp toạ độ (Oxy) cho đường thẳng: (d1): x − y + 17 = , (d2): x + y − = Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với (d1),(d2) tam giác cân giao điểm (d1),(d2) 2) Trong khơng gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có A ≡ O, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1) Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’ Câu VII.a: Một kệ sách có 15 sách (4 toán khác nhau, lý khác nhau, văn khác nhau) Người ta lấy ngẫu nhiên sách từ kệ Tính xác suất để số sách lấy không đủ môn Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: Trong khơng gian Oxyz cho điểm M(0;1;1) đường thẳng: (d1): x −1 y + z = = ; (d2) giao tuyến mp có PT: x + = x + y − z + = 1) Chứng tỏ đường thẳng d1, d2 chéo tính khoảng cách chúng 2) Viết PT đường thẳng (d) qua M vng góc (d1) cắt (d2) ( Câu VII.b: Tìm hệ số x8 khai triển Newtơn biểu thức P = + x − x3 Câu Đáp án 11 ) Điểm Ia) 1điểm y = x3 − 3mx − x + 3m + (Cm) m = 1/ 30 ⇒ y = x − x − x + (C) TXĐ: D=R, y ' = 3x − x − 3, y ' = ⇔ x = 0.25 ± 10   + 10  − 10  ; +∞ ÷ ; nghịch biến / ( x1 ; x2 ) HS đồng biến  −∞; ÷    ÷ ÷     HS đạt cực đại x = x1 ; yCD = , đạt cực tiểu x = x2 ; yCD = 0.25 Giới hạn: xlim = +∞, xlim = −∞ →+∞ →−∞ Bảng biến thiên: Đồ thị:(C) ∩ Ox A(1;0) B(x3;0), D(x4;0), :(C) ∩ Oy E(0;3) x f’(t) f(t) -∞ + x1 yCD -∞ - x2 +∞ + +∞ yCT Ib) Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 − 3mx − 3x + 3m + = 1điểm ⇔ ( x − 1)[x − (3m − 1) x − 3m − 2]=0 ⇔ x = ∨ x − (3m − 1) x − 3m − = (2) (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 , x3 với x3 =  x1 + x2 = 3m − x1, x2 nghiệm khác PT (2) Theo đlý viet ta có:   x1 x2 = −3m − ∆ > 9m + 6m + > 2  Để thoả mãn đk thì: 1 − (3m − 1).1 − 3m − ≠ ⇔ m ≠   2 9m − ≥  x1 + x2 + x3 ≥ 15 ⇔ m ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞) IIa) 1điểm 0.25 0.25 0 < x ≠  x log x (log (2 x − 4)) ≤ Đk: log (2 − 4) > ⇔ x > log  x 2 − > 12 0.5 0.5 0.25 Do x > ⇒ PT ⇔ log (2 x − 4) ≤ x ⇔ x − ≤ x ⇔ x − x + ≥ với x Do BPT có nghiệm: x > log IIa) 1điểm ( ) cos x + cos x tan x − = , Đk: cos x ≠ ⇔ x ≠ π / + kπ PT ⇔ (2 cos x − 1) + cos x[2( 0.5 − 1) − 1] = cos x ⇔ cos3 x − 3cos x − 3cos x + = cos x =  x = π + k 2π cos x = 1/ ⇔  ⇔ (cos x + 1)(2 cos x − 5cos x + 2) = ⇔   x = ± π + k 2π cos x = 2(VN )   III 1điểm π I = ∫ cos x cos xdx = π 0.5 π 1 ∫ (1 + cos x) cos xdx = ∫ (1 + cos x + cos x)dx 20 1 π ( x + sin x + sin x) |π /2 = 4 IV Theo đlý cosin ta có: BC = a 1điểm Theo Pitago ta được: MB = 3a ; MA1= 3a 0.5 = Vậy MB Ta lại có: + MA1 = BA1 = 21a ⇒ MA1 ⊥ MB 1 VABA1M = d ( M , ( ABA1 )).S ABA1 = d S MBA1 3 d ( M , ( ABA1 )) = d (C , ( ABA1 )) = a S ABA1 = AB AA1 = a a S MBA1 = MB.MA1 = 3a ⇒ d = V 1điểm 0.5 0.5 0.5 A1 C1 B1 M A 0.5 C B x − 2(m + 4) x + 5m + 10 − x + = ⇔ x − 2(m + 4) x + 5m + 10 = x − x ≥ x − ≥   ⇔ ⇔ x2 − 2x + 2 x − 2(m + 4) x + 5m + 10 = ( x − 3) m=    2x −  x − x + ⇒ f '( x) = 2( x − x ) Xét hàm số, lập BBT với f ( x) = (2 x − 5) 2x − Khi ta có: Bảng biến thiên: x -∞ 5/2 y’ + 0 y 24/5 13 0.25 0.5 +∞ + +∞  24  Phương trình có nghiệm m ∈   ∪ (8; +∞) 5 Phần riêng: 1.Theo chương trình chuẩn VIa.1 Phương trình đường phân giác góc tạo d1, d2 là: 1điểm x − y + 17 x + y −5  x + y − 13 = (∆1 ) = ⇔  x − y − = (∆ ) 12 + (−7) 12 + 12 PT đường cần tìm qua M(0;1) song song với ∆1 , ∆ KL: x + y − = x − y + = VIa.2 Kẻ CH ⊥ AB’, CK ⊥ DC’ Ta chứng 1điểm minh CK ⊥ (ADC’B’) nên tam A’ giác CKH vuông K 49 B’ ⇒ CH = CK + HK = 10 A H Vậy PT mặt cầu là: 49 B ( x − 3)2 + ( y − 2)2 + z = 10 0.25 0.5 0.5 D’ C’ K 0.5 D C 0.5 VII Số phần tử không gian mẫu là: Ω = C15 = 1365 1điểm Gọi A biến cố lấy sách đủ mơn ( có trường hợp: (2 toán, lý, văn); (1 toán, lý, văn);(1 tốn, 1lý, văn)) có số phần tử là: 1 1 A = C4 C5C6 + C4 C5 C6 + C4 C5C6 = 720 720 48 = ≈ 0.527 1365 91 43 Vậy xác suất cần tìm là: P = − P ( A ) = 91 Theo chương trình nâng cao: ur u VIb.1 Ta có: ∆1 qua M1 = (1;-2;0), có vectơ phương u1 = (3; 2;1) uu r 1điểm Ta tìm ∆ qua M2 = (-1;-1;0), có vectơ phương u2 = (0;1;1) ur uu u r ur uu uuuuuur u r ⇒ u1 , u2  = (1; −3;3); u1 , u2  M1M = ≠ ⇒ ∆1 , ∆ chéo     ur uu uuuuuur u r u1, u2  M1M ur uu u r  ⇒ u1, u2  = 19 ⇒ d (d1 , d ) =  = ur uu u r   19 u1 , u2    VIb.2 Mp(P) qua M(0;1;1) vuông góc với d1 có PT: x + y + z − = 1điểm 3 x + y + z − =  x = −1   ⇔ y = / Giao điểm A d2 (P) nghiệm hệ  x + = x + y − z + = z = /   Xác suất để xảy A là: P ( A) = ĐT cần tìm AM có PT: x y −1 z −1 = = 14 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 VII 1điểm Ta có: P = + x (1 − x) ( ) = k k =0 i =0 ∑ C8k x 2k (1 − x)k Mà (1 − x)k = ∑ Cki (−1)i xi Để ứng với x8 ta có: 2k + i = 8;0 ≤ i ≤ k ≤ ⇒ ≤ k ≤ 0.5 Ta có: k i Loại Loại Loại TM là: a = C 3C ( −1) + C 4C ( −1)0 = 238 Do hệ số x 8 15 TM 0.5 ... vượt số điểm câu hỏi Học sinh làm phần riêng, làm phần không chấm phần riêng ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009 Mơn thi tốn, khối B Thời gian làm 180 phút( không kể thời gian phát đề) A PHẦN CHUNG... g(u) đồng biến Mà g (0) = ⇒ u = nghiệm (2) KL: x = y = nghiệm hệ PT 10 0.5 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009 Mơn thi tốn, khối D Thời gian làm 180 phút( không kể thời gian phát đề) A PHẦN CHUNG... −m , ta có: y = x + m + + x + m ⇒ y '' = − ( x + m) y '' = ⇔ x = − m − ∨ x = − m + Ta có bảng biến thi? ?n: −m − −m + x -∞ -m +∞ 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 y’ y + - - KL: