Gợi ý giải Câu V, đề số 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất ( ) ( ) 3 4 1 2 1 2 1x x m x x x x m+ − + − − − = (1) • Định hướng giải: - Thoạt nhìn các số hạng 1x x+ − và ( ) 1x x− ta thấy được mối quan hệ sau ( ) 2 1 1 2 1x x x x   + − = + −   . Nên nếu đặt 1t x x= + − thì ta có ( ) 2 1 1 2 t x x − − = , còn ( ) 2 4 1 1 2 t x x − − = . {Điều kiện xác định của t các bạn tự tìm ra bằng cách đơn giản là khảo khát hàm số ( ) 1f x x x= + − trên đoạn [ ] 0;1 để tìm GTLN, GTNN . K.Quả là 1 2t≤ ≤ } Khi đó phương trình (1) đã cho trở thành 2 2 3 1 1 2 2 2 2 t t t m m − − + − = (2) • Lúc này nếu chuyển qua bài toán : Tìm m để phương trình (2) có nghiệm t duy nhất thì cũng đã ổn hay chưa ? Lý do là: Với một giá trị của t thì có mấy giá trị tương ứng của x ? Điều này cần được làm rõ trước khi chuyển qua phương trình (2) ẩn số t → để so sánh số giá trị của x với một giá trị có nghĩa của t ! Xét hàm số ( ) 1f x x x= + − trên đoạn [ ] 0;1 ta có ( ) 1 1 2 2 1 f x x x ′ = − − ( ) ( ) 1 0 1 2 1 x x f x x x x x − − ′ = = ⇔ − = − 1 1 2 x x x⇔ − = ⇔ = . Bảng biến thiên của hàm số ( ) f x : x 0 1 2 1 ( ) f x ′ + 0 − ( ) t f x= 1 2 1 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy vỡi mỗi 1 2t≤ < luôn có đúng hai giá trị của x để 1t x x= − − . Và chỉ có duy nhất một giá trị của 2t = là tồn tại tương ứng đúng một giá trị của 1 2 x = . Như vậy, có thể kết luận rằng phương trình (1) có nghiệm x duy nhất khi và chỉ khi phương trình (2) có đúng một nghiệm 2t = . Khi đó nghiệm duy nhất của (1) là 1 2 x = . Do Cao Long. http://caolong.net 1 Thay vào (1) ta được 3 4 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 m m     + − − − − − =  ÷  ÷     3 2 2m m⇔ + − = 3 0m m⇔ − = 0; 1m m⇔ = = ± . Nghĩa là, với mỗi giá trị của t chỉ có tương ứng duy nhất một giá trị của x sao cho 1t x x= − − . • Các em thấy thế nào. ------ Thử nghỉ theo cách khác một tý xem nào ? • Hãy để ý đến mối quan hệ sau và chú ý đến yêu cầu đề là “tìm nghiệm duy nhất”. Để ý rằng: Nếu 0 x là một nghiệm của (1), ta có ( ) ( ) 3 4 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1x x m x x x x m+ − + − − − = Hay viết cách khác là ( ) ( ) 3 4 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1x x m x x x x m− + + − − − = . Theo phương trình này ta thấy 0 1 x− cũng là một nghiệm của phương trình (1). Do đó, “điều kiện cần” để (1) có nghiệm duy nhất là hai nghiệm 0 x và 0 1 x− phải bằng nhau, tức là 0 0 1x x= − 0 1 2 x⇔ = . Thay vào (1) ta được 3 4 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 m m     + − − − − − =  ÷  ÷     3 2 2m m⇔ + − = 3 0m m⇔ − = 0; 1m m⇔ = = ± . • Nhiệm vụ của ta là phải kiểm tra lại xem, với giá trị nào của m (trong các kết quả 0m = , 1m = ± ) thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn. • Lời giải: Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình (1) là [ ] 0;1x∈ • Điều kiện cần: Giả sử [ ] 0 0;1x ∈ là một nghiệm của (1), ta có ( ) ( ) 3 4 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1x x m x x x x m+ − + − − − = Hay viết cách khác là ( ) ( ) 3 4 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1x x m x x x x m− + + − − − = . Theo phương trình này ta thấy 0 1 x− cũng là một nghiệm của phương trình (1). Do đó, “điều kiện cần” để (1) có nghiệm duy nhất là hai nghiệm 0 x và 0 1 x− phải bằng nhau, tức là 0 0 1x x= − 0 1 2 x⇔ = . Thay vào (1) ta được 3 4 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 m m     + − − − − − =  ÷  ÷     3 2 2m m⇔ + − = 3 0m m⇔ − = 0; 1m m⇔ = = ± . Do Cao Long. http://caolong.net 2 • Điều kiện đủ: * Với 0m = , (1) trở thành ( ) 4 1 2 1 0x x x x+ − − − = ( ) 2 4 4 1 0x x⇔ − − = 4 4 1 0x x⇔ − − = 4 4 1x x⇔ = − 1 1 2 x x x⇔ = − ⇔ = Trường hợp này (1) có nghiệm duy nhất 1 2 x = . * Với 1m = ta có (1) trở thành ( ) ( ) 4 1 2 1 2 1 1x x x x x x+ − + − − − = ( ) ( ) 4 1 2 1 1 2 1x x x x x x⇔ + − − − = − − ( ) ( ) 2 2 4 4 1 1x x x x⇔ − − = − − ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 4 4 4 4 1 1 1x x x x x x   ⇔ − − = − − + −   ( ) 4 4 2 4 4 1 0 1 1 x x x x  − − =  ⇔  + − =  4 4 4 4 1 0 1 1 x x x x  − − = ⇔  + − =   1 2 0; 1 x x x  = ⇔   = =  Vậy trường hợp này (1) có ba nghiệm phân biệt. * Với 1m = − , ta có (1) trở thành ( ) ( ) 4 1 2 1 2 1 1x x x x x x+ − − − − − = − ( ) ( ) 4 1 2 1 1 2 1x x x x x x⇔ + − − − = − + − ( ) ( ) 2 2 4 4 1 1x x x x⇔ − − = − − − ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 4 4 4 4 1 1 1x x x x x x   ⇔ − − = − − − + −   ( ) 4 4 2 4 4 1 0 1 1 x x x x  − − =  ⇔  + − = −  4 4 1 0x x x  − − = ⇔  ∈∅  1 2 x⇔ = Trường hợp này (1) có nghiệm duy nhất 1 2 x = . • Kết luận: Giá trị của m cần tìm thỏa yêu cầu bài toán là 0; 1m m= = − . Các em có thể giải theo cách đặt ẩn phụ như phân tích lúc đầu các em cũng tìm được ba giá trị của m. Tuy nhiên đến đây các em rất dễ không để ý việc thử lại (điều kiện đủ) để kiểm tra rồi kết luận. Đó là một điều rất cần chú ý về mặt phương pháp ở hai cách làm. Các em thử tự trình bày xem nhé ! Một điều mà các em cần chú ý là ( ) ( ) 2 4 4 4 1 2 1 1x x x x x x+ − − − = − − và ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 1 1x x x x x x x x− − = + − − − = − − . Do Cao Long. http://caolong.net 3