Giải một số bài trong đề số 09. Câu II.2. Giải phương trình Phân tích: Với dạng này ta thương để ý đến các dạng tổng quát sau: D1: , trong đó Cách giải: Đặt , ta có D2: , trong đó Cách giải: Nhận xét, từ ta có . Chia hai vế của phương trình cho ta được: . Ph/trình này có dạng D1. Tuy nhiên, phương trình đã cho không thuộc hai dạng trên. Như vậy ta sẽ dùng PP hàm số (tính đơn điệu của hàm số ) để giải nó. Nhận xét: Và Do đó và . Ph/trình đã cho trở thành (2) ***Dự đoán thấy, là nghiệm của p/trình (2). Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Chia hai về của (2) cho , được . Nhận xét: Vế phải là hàm nghịch biến trên . Nên là nghiệm duy nhất của p/trình. Các bạn tự làm rõ điều này nhé ! Câu V: Cho tam giác . Gọi là chân đươgnf phân giác trong vẽ từ đỉnh của tam giác , là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng nếu thì ta có . Gợi ý giải: Hình vẽ: Theo định lí sin, ta có . Do dó Trong tam giác , ta có , suy ra Tương tự, ta có . Khi đó . Hạ bậc, ta được ___(đpcm) Câu IV. Cho hình chóp có , gọi lần lượt là hình chiếu của trên các cạnh . Biết rằng . Hãy tính thể tích khối chóp theo . Gợi ý, định hướng giải: Xem hình: Nhận xét. Dễ thấy, thể tích khối chóp bằng thể tích khối chóp trừ đi thể tích khối chóp màu vàng . Việc tính thể tích của không khó. Diện tích đáy được tính theo công thức Hêrông, còn chiều cao bằng . Bài toán đến đây chỉ còn việc tính thể tích khối chóp . Vậy ta cần chọn mặt nào là mặt đáy ? Nếu chọn làm đáy thì dễ tính thể tích. Nhưng liệu có thể xác định chiều cao không nhỉ ? Lúc này, chiều cao phải hạ từ đỉnh . Có thể xác định và tính được không ? Hãy dựa vào để xác định “phương” vuông góc với . Kẻ , do góc tù (tự kiểm chứng) nên ở ngoài đoạn . Ta c/m được Hình vẽ. Ta có thể tính (trong tam giác ) Với . Kẻ , khi đó . Do đó, là chiều cao của hình chóp . Tính ? , suy ra . (1) Dễ tính được . Còn dùng t/chất giữa mói quan hệ đường xiên-hình chiếu trong tam giác vuông , ta có: . Suy ra . Thay vào (1) được Diện tích tam giác các bạn tự tính. Rồi suy ra thể tích khối chóp . Câu VI.a.1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho đường tròn và điểm . Đường tròn đi qua và tiếp xúc với . Tìm quỹ tích tâm của . Gợi ý – cách giải: - Thay tọa độ của vào vế trái phương trình của , ta được: Điều này chứng tỏ điểm ở phía trong đường tròn . Do đó, đường tròn đi qua và tiếp xúc với thì chỉ có thể tiếp xúc trong với . - Đường tròn có tâm , bán kính . - Gọi tọa độ tâm của là , khi đó bán kính của là . - Điều kiện để tiếp xúc trong với là : Bình phương hai vế ta được Chia hai vế của (3) cho , ta được Đây là phương trình của elip có tâm là gốc tọa độ , trục lớn bằng , trục bé bằng . - Nhận thấy, với mọi , ta có . Tức là luôn thỏa mãn điều kiện . - Kết luận: Quỹ tích điểm cần tìm là elip có phương trình Lời bình: Các em có thể dùng hình vẽ minh họa để thấy được điểm nằm trong . Ghi nhớ điều kiện để hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau là “khoảng cách giữa hai tâm bằng giá trị tuyệt đối của hiệu hai bán kính”. Câu VI.a.2: Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm , , . Viết phương trình của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện , ( là gốc tọa độ). Và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Gợi ý- Giải: - Nhận xét: Các điểm $atex A,\;B,\;C$ nằm trên các trục tọa độ là một thuận lợi để sử dụng phương trình tổng quát của mặt cầu. - Giả sử mặt cầu có phương trình dạng: . - Mặt cầu đí qua 4 điểm nên tạo độ các điểm đó thỏa mãn phương trình của . Thay tọa độ bốn điểm vào phương trình của , ta có hệ: - Thay vào phương trình ban đầu ta được Vậy, phương trình mặt cầu là . Mặt cầu có tâm , bán kính . *** Mặt phẳng viết dưới dạng phương trình đoạn chắn có dạng: . Hay - Khoảng cách từ tâm của đến mặt phẳng bằng: - Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng Hay . Câu VII.a: Tìm các điểm cực trị của hàm số . Giải: - Tập xác định của hàm số: - Đạo hàm: - Ta có - Với , ta có . Suy ra, hàm số đạt cực tiểu tại các điểm - Với , Làm tương tự, ta chứng tỏ được . Suy ra, hàm số đạt cực đại tại các điểm - Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại các điểm Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm (ta hiểu rằng ). Câu VII.b: Tìm để tiệm cận xiên của đồ thi hàm số tiếp xúc với đồ thị của hàm số . Giải: - Chia tử cho mãu ta được: - Hàm số có tập xác định: . Ta có: Suy ra đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số , với mọi giá trị của . Điều kiện để tiếp xúc với là hệ sau có nghiệm: Giải được hai nghiệm - Với , thay vào được - Với , thay vào được * Kết luận: Có hai giá trị của phải tìm thỏa yêu cầu bài toán là . Câu I.2: Chứng minh rằng đường thẳng là trục đối xứng của đồ thị Giải: - Ta có : - Tập xác định của hàm số : . Xét điểm Bây giờ ta sẽ tìm điểm đối xứng của qua , theo PP hình học giải tích. - Đường thẳng qua và vuông góc với nhận vecto chỉ phương của là làm vecto pháp tuyến. - Phương trình tổng quát của : . Xét hệ Giải hệ ta được - Suy ra tọa độ giao điểm của và là - Điểm đối xứng của qua đường thẳng nhận điểm làm trung điểm. Do đó ta có Hay Tọa độ của là Hay - Ta có: * Điều này chứng tỏ tọa độ của thỏa mãn phương trình , nghĩa là cũng thuộc đồ thị hàm số . * Do hai điểm và đối xứng nhau qua đường thẳng và điểm được xét tùy ý nên đường thẳng là trục đối xứng của đồ thị hàm số . Câu II.1: Giải phương trình Giải: - Điều kiện xác định: , . - Khi đó Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện đã nếu. * Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm cho bởi công thức , . Câu III: Tính giới hạn Giải: - Sử dụng kết quả để tính các bạn nhé ! - Đầu tiên ta cần làm sao để xuất hiện . Ta thấy, , nên chỉ cần đặt thì sẽ có được ngay điều đó. Lời giải: - Đặt , ta có - Do nên Ta có . -Ta biết rằng, khi thì , do đó ta viết được . Lại có . Suy ra . Giải một số bài trong đề số 09. Câu II.2. Giải phương trình Phân tích: Với dạng này ta thương để ý đến các dạng tổng quát sau: D1: , trong đó Cách giải: . VII.a: Tìm các điểm cực trị của hàm số . Giải: - Tập xác định của hàm số: - Đạo hàm: - Ta có - Với , ta có . Suy ra, hàm số đạt cực tiểu tại các điểm - Với