ĐỒ HỌA MÁY TÍNH CHƯƠNG III ĐỒ HỌA BA CHIỀU Bài – Các phép biến đổi 3D  Bài – Biểu diễn đối tượng 3D  Bài – Các thuật toán khử mặt khuất  Bài – Biểu diễn đường mặt cong  Bài – Tô bóng đối tượng  Bài CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI 3D I Các phép biến đổi hình học sở  II Phép biến đổi ngược  III Kết hợp phép biến đổi  Đại số véctơ P2 V • Biểu diễn véctơ P1 – Đoạn thẳng có hướng hai điểm xác định • Cộng hai véctơ V1 + V2 = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) y • Nhân hai véctơ – Tích vơ hướng hay tích điểm V1+V2 V2=(x2,y2,z2) V1.V2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 V1.V2 = V1 V2 cos θ V1=(x1,y1,z1) x z V2 – Độ dài véctơ θ V = V.V = ( x + y + z ) Chiếu V2 V1 V1 Đại số véctơ • Tích có hướng hai véctơ – Kết véctơ vng góc với mặt phẳng tạo hai véctơ – Véctơ đơn vị u V1 x V2 V2 u θ • Có độ dài • Xác định hướng véctơ kết – Quy tắc bàn tay phải • Nắm tay phải, để cong ngón tay từ A đến B (nếu AxB), lịng bàn tay hướng gốc, ngón trỏ theo hướng u • Véctơ kết AxB = u A B sin θ V1 Baøi – CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI 3D Hệ toạ độ Trong hệ toạ độ nhất, điểm (x, y, z) hệ toạ độ Descartes biểu diễn toạ độ không gian (hx, hy, hz, h) Để tiện lợi, cho h=1 Như vậy, điểm (x, y, z) hệ toạ độ Descartes biến thành điểm (x, y, z, 1) hệ toạ độ Còn điểm (x, y, z, w) hệ toạ độ (với w≠0) ứng với điểm (x/w, y/w, z/w) hệ toạ độ Descartes Xét hệ toạ độ nhất, phép biến đổi affine 3D biến điểm P(x,y,z,1) thành điểm Q(x’, y’, z’,1) có dạng: Q=P.M Trong đó, ma trận biến đổi M có daïng: a  d M = g   trx  b c e f h i try trz 0 ÷ 0÷ 0÷ ÷ 1÷  Quay , tỉ lệ, biến dạng Tịnh tiến Một số tính chất phép biến đổi chiều  Tính chất đường thẳng bảo toàn Nghóa đường thẳng không gian chiều biến đổi thành đường thẳng  Tính chất song song bảo toàn: hai đường thẳng song song biến đổi thành đường thẳng song song  Tính tỉ lệ khoảng cách bảo toàn: ảnh điểm P chia đoạn thẳng AB theo tỉ lệ f, chia đoạn thẳng A’B’ theo tỉ lệ f, với A’B’ ảnh đoạn thẳng AB I Các phép biến đổi hình học sở Phép tịnh tiến (translation) Trong phép biến đổi tịnh tiến 3D, điểm dịch khoảng tx, ty, tz theo ba trục toạ độ Ma trận phép biến đổi tịnh tiến là: y 1  0 M= 0   tx  0 0 ty tz 0 ÷ 0÷ 0÷ ÷ 1÷  Q(x’,y’,z’) P(x,y,z) tr=(trx,try,trz) x z I Các phép biến đổi hình học sở Phép đối xứng Đối xứng qua mặt phẳng xy: 1  0 M= 0  0  Đối xứng qua mặt phẳng xz: 1  −1 M = 0  0  Đối xứng qua mặt phẳng yz: 0 0 −1 0  −1  0 M= 0  0  0 0 ÷ 0÷ 0÷ ÷ 1÷  0 ÷ 0÷ 0÷ ÷ 1÷  0 0 ÷ 0÷ 0÷ ÷ 0 1÷  I.Các phép biến đổi hình học sở 2.Phép đối xứng Đối xứng qua qua gốc tọa độ:  −1 0  −1 M =  0 −1  0 0 0 0  0  1 10 3.Các mặt tròn xoay: b.Mặt Ellipsoid: Phương trình:  X (u, v) = Rx cos(u ).cos(v)  Y (u , v ) = Ry sin(u ).cos(v)   Z (u, v) = Rz sin(v) với c.Mặt Hypeboloid: Phương trình: c.Hình xuyến: Phương trình: −π / ≤ v ≤ π /  0 ≤ u ≤ 2π  X (u , v) = u Y (u , v ) = v   Z (u , v) = u − v  −1 ≤ u , v ≤   X (u, v) = ( R + a.cos(v)).cos(u ) Y (u, v) = ( R + a.cos(v)).sin(u )    Z (u , v) = a.sin(v) 0 ≤ u ≤ 2π ; −π / ≤ v ≤ π /  82 3.Các mặt tròn xoay: Phương pháp vẽ đường đồng mức theo u v Để vẽ đường đồng mức u giá trị u’ v chạy từ VMin đến VMax ta làm sau: -Tạo tập hợp giá trị v[i] ∈ [VMin ,VMax], xác định vị trí P[i] = (X(u’,v[i]), Y(u’,v[i]), Z(u’,v[i])) -Chiếu điểm P[i] lên mặt phẳng -Vẽ đường gấp khúc dựa điểm 2D P’[i] 83 3.Các mặt tròn xoay: TĨM LẠI: Muốn vẽ mặt cong, ta thực bước sau -Nhập hệ số phương trình mặt: a, b, c, d, Umin, Umax, Vmin, Vmax -Tính hàm biến: X(u,v), Y(u,v), Z(u,v) -Khởi tạo phép chiếu: Song song/Phối cảnh -Vẽ họ đường cong u -Vẽ họ đường cong v 84 BÀI TÔ BÓNG ĐỐI TƯNG I Kỹ thuật tơ bóng Lambert II Kỹ thuật tơ bóng Gauraud III Kỹ thuật tơ bóng Bùi Tưởng Phong 85 TÔ BÓNG ĐỐI TƯNG • Các vấn đề liên quan tơ bóng (shading) – Mơ tả nguồn sáng: • vị trí, cường độ sáng – Đặc điểm bề mặt tô – Khoảng cách mặt tô nguồn sáng • Hai loại nguồn sáng – Nguồn sáng điểm hay ngsáng định hướng • ánh sáng từ điểm chiếu lên vật thể, theo hướng định – Nguồn sáng mơi trường hay ngsáng xung quanh • ánh sáng đến từ hướng, không quan tâm đến vị trí nguồn sáng • Nhiệm vụ – Tính cường độ ánh sáng điểm ảnh đối tượng 86 I Kỹ thuật tơ bóng Lambert • Gọi: – Tia sáng chiếu vào đối tượng P – Góc tia sáng tạo véctơ pháp n θ – Véctơ đơn vị tia phản xạ L Tia sáng n θ L P Áp dụng định luật phản xạ ánh sáng Lambert: Bức xạ lý tưởng tia sáng I = Iskd cos θ Is - cường độ điểm nguồn kd - hệ số phản xạ có giá trị khoảng [0 1] 87 Nguồn sáng I Kỹ thuật tơ bóng Lambert n Bức xạ lý tưởng tia sáng P I = Iskd cos θ Is - cường độ điểm nguồn kd - hệ số phản xạ có giá trị khoảng [0 1] • Khi quan tâm đến – nguồn sáng môi trường I = Iaka đối tượng θ – khoảng cách giữa+ Iskd cos nguồn sáng I s kd cos θ I = I a ka + - tham số ánh sáng môi trường d2 Ia - cường độ ka D - khoảng cách từ nguồn sáng tới vật thể 88 θ Tia sáng L Nguồn sáng I Kỹ thuật tô bóng Lambert n P • Với nguồn sáng mơi trường nhiều nguồn sáng ta có m I = I a ka + ∑ I j kd cos θ j j =1 j Ia = cường độ ánh sáng môi trường D θ m I j kd (i j L j ) j =1 D2 j =I a ka + ∑ Ij= cường độ ánh sáng nguồn • Nhận xét – Nếu đối tượng cấu tạo mặt đa giác phương pháp tạo cường độ sáng cho điểm mặt • có ảnh bao gồm nhiều sáng – Giải pháp có tốc độ nhanh 89 Tia sáng L Nguồn sáng I Kỹ thuật tơ bóng Lambert Tia sáng n θ Nguồn sáng L P Ví dụ: Cho ba điểm A(0,0,1), B(1,0,0) C(0,1,0) nguồn sáng có cường độ đặt khoảng cách xa theo hướng: ( 2, 3,4) Hãy xác định cường độ xạ lý tưởng tơ bóng với hệ số phản chiếu 0.25 90 II Kỹ thuật tơ bóng Gauraud Phương pháp Henry Gouraud đưa năm 1971 • Khắc phục nhược điểm phương pháp Lambert • Kỹ thuật Gauraud: cường độ sáng tính tốn điểm – Cường độ đỉnh pha trộn làm mịn toàn bề mặt • Tính cường độ đỉnh chung nhiều đa giác: – lấy trung bình pháp tuyến đa giác có chung đỉnh ni pháp tuyến đơn vị mặt chung đỉnh • Nội suy tuyến tính cường độ cho điểm tơ bóng đa giác từ cường độ đỉnh • Nhận xét Véctơ pháp tuyến đỉnh Véctơ pháp tuyến mặt – Hiệu quả, ảnh mịn 91 II Kỹ thuật tô bóng Gauraud Gọi P đỉnh chung k mặt phẳng Pháp tuyên P tính : r r r r n p = ( n1 + n2 + L + nk ) / k Vector trung bình cộng trung bình cộng vector pháp tuyến lận cận 92 II Kỹ thuật tơ bóng Gauraud Phương pháp nội suy cường dộ sáng điểm biên sau điểm mặt xét Gọi 1(x1, y1) , 2(x2, y2), 3(x3, y3) hình chiếu đỉnh A, B, C tạo nên mặt đôùi tượng Giả sử cường độ sáng đỉnh A, B, C I1, I2, I3 Ta có: Y y − y2 y1 − y4 I = I1 + I2 y1 − y2 y1 − y2 Tương tự: y5 − y2 y3 − y5 I5 = I3 + I2 y3 − y2 y3 − y2 x5 − x6 x6 − x4 I6 = I4 + I5 x5 − x4 x5 − x4 93 X II Kỹ thuật tơ bóng Gauraud Ví dụ: Một mặt phẳng chữ nhật tạo A(0,0), B(1,0), C(1,1) D(0,1) Hãy tính cường độ phản chiếu điểm P(0.5, 0.5) kỹ thuật tơ bóng Gauraud Cường độ trung bình ánh sáng phản chiếu bốn đỉnh là: IA=8, IB=9, IC=2, ID=4 94 II Kỹ thuật tơ bóng Bùi Tưởng Phong • Tính cường độ ánh sáng tơ cho pháp tuyến vừa nội suy • Thực nội suy pháp tuyến thay cho nội suy cường độ tô bóng Gauraud – Tính véctơ pháp tuyến đỉnh lưới đa giác mô bề mặt – Nội suy tuyến tính để tính véctơ pháp tuyến điểm – Tính cường độ ánh sáng tô cho pháp tuyến vừa nội suy 95 III Kỹ thuật tơ bóng Bùi Tưởng Phong NC ND • Thí dụ NP – Tính cường độ ánh sáng tơ cho điểm M tứ giác ABCD NA NQ D P A • Giải C M Q NB B – Tính véctơ pháp tuyến đỉnh A, B, C, D – Tính cường độ ánh sáng đỉnh – Nội suy véctơ pháp tuyến P Q  Nếu P chia AD theo tỷ lệ m (AP/PD=m) Q chia BC theo tỷ lệ n (BQ/QC=n) véctơ pháp tuyến P Q NP = m NA + (1-m) ND NQ = n NB + (1-n) NC  Nếu M chia PQ với tỷ số x (MP/MQ=x) thì: NM = x NP + (1-x) NQ NM = x (m.NA + (1-m) ND)+ (1-x)(n.NB + (1-n) NC) = x n.NA + x(1-m) ND+ n(1-x)NB + (1-x)(1-n)NC 96  Tính độ sáng tơ theo véctơ pháp tuyến N ... (-1,1,0) 1 Y (1,1,0) (-1,-1, -3) (-1,1, -3) (1,1, -3) Danh sách đỉnh Đỉnh X Y Z 1 -3 -1 -3 -1 -1 -3 -1 -3 1 -1 -1 -1 -1 -1 10 -1 -1 11 -1 12 -1 -1 Danh sách cạnh Cạnh Đầu Cuối 1 2 3 12 4 11 5 6 7 8 9 10... vật thể hình vẽ sau: Mặt Danh sách đỉnh Đỉnh X x1 x2 x3 x4 x5 x6 Y y1 y2 y3 y4 y5 y6 Z z1 z2 z3 z4 z5 z6 Danh sách mặt mặt 1 ,3, 2 4,5,6 1,4,6 ,3 3,6,5,2 1,2,5,4 Mặt Mặt Mặt 25 Mặt II Mô hình mặt đa... Trong đồ họa máy tính thường sử dụng biến đổi 3D -> 2D • Các khái niệm liên quan – Tia chiếu: qua điểm đối tượng đến mặt phẳng để tạo ảnh 2D – Mặt phẳng chiếu: nơi hình thành ảnh 2D đối tượng 3D