PHÒNG GD-ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU VĨNH LINH MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian 120 phút (không kể giao đề) Bài 1 (2,0 đ): Tìm hai số nguyên dương x và y sao cho tổng của mỗi số với 1 thì chia hết cho số kia. Bài 2 (1,75 điểm): Giải phương trình: x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1+ − − + + − − = Bài 3 (1,75 điểm): Cho a, b, c là các số lớn hơn 0. Chứng minh rằng: bc + ac + ab 9 abc a + b + c ≥ Bài 4 (1,50 điểm): Cho x > 0, y > 0. Chứng minh rằng: 1 1 4 x y x + y + ≥ Bài 5 (3,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Tính góc BMK ? HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1 (2,0 đ): Tìm hai số nguyên dương x và y sao cho tổng của mỗi số với 1 thì chia hết cho số kia. Theo giả thiết ta có: ( ) ( ) x + 1 y y + 1 x      M M (0,125 đ) Do đó ta có: ( ) ( ) x + 1 . y + 1 xyM (0,125 đ) ( ) xy + x + y + 1 xy   ⇒   M (0,125 đ) ( ) x + y + 1 xy⇒ M (0,125 đ) x + y + 1 = nxy⇒ (n Z∈ ) (*) (0,125 đ) 1 1 1 n x y xy ⇒ + + = (1) (0,125 đ) Giả sử 1 1 1 1 x y 1 khi ®ã ta cã ; x y xy y ≥ ≥ ≤ < Do đó: 1 1 1 1 1 1 3 x y xy y y y y + + ≤ + + = (0,125 đ) Hay: 1 1 1 3 x y xy y + + ≤ (2) (0,125 đ) Từ (1) và (2) ta suy ra: 3 n y 3 y ≤ ⇒ ≤ (0,125 đ) Vậy y = 1; 2; 3 (0,125 đ) + Với y = 1, thay vào (*) ta có x + 2 = nx x(n - 1) = 2⇔ (0,125 đ) Do đó: x = 1; 2 (0,125 đ) + Với y = 2, thay vào (*) ta có x + 3 = 2nx x(2n - 1) = 3⇔ (0,125 đ) Ta có x n; y = 2 nªn x n x = 3≥ ≥ ⇒ (0,125 đ) + Với y = 3 => x > 3 => 1 1 1 1 Do ®ã n < 1 (lo¹i) x y xy + + < (0,125 đ) Vậy bộ các số nguyên dương x, y là:(1;1); (1;2); (2;1); (3;2); (2;3) (0,125 đ) Bài 2 (1,75 điểm): Giải phương trình: x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1+ − − + + − − = Ta có: * x 3 4 x 1 (x - 1) - 4 x - 1 4+ − − = + (0,125 đ) ( ) 2 x - 1 2 x - 1 2= − = − (0,125 đ) * ( ) x 8 6 x 1 x - 1 6 x - 1 9+ − − = − + (0125 đ) ( ) 2 x - 1 3 x - 1 3= − = − (0,125 đ) Phương trình đã cho trở thành: x - 1 2 x - 1 3 1− + − = (0,25 đ) 2 x - 1 3⇔ ≤ ≤ (0,25 đ) 5 x 10⇔ ≤ ≤ (0,50 đ) Vậy nghiệm của PT đã cho là: 5 x 10⇔ ≤ ≤ (0,25 đ) Bài 3 (1,75 điểm): Cho a, b, c là các số lớn hơn 0. Chứng minh rằng: bc + ac + ab 9 abc a + b + c ≥ Để giải quyết bài toán trên, ta giải quyết bài toán sau: Cho a, b, c là các số lớn hơn 0. Chứng minh rằng: ( ) bc + ac + ab a + b + c 9 0 abc × − ≥ Tacó: ( ) bc + ac + ab a + b + c 9 abc × − ( ) ( ) bc + ac + ab a + b + c 9 abc × = − (0,25 đ) 2 2 2 2 2 2 abc + b c + bc a c +abc + ac a b + ab abc 9 abc + + + = − (0,125 đ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 c a b b c a a b c 3abc 9 abc + + + + + + = − (0,25 đ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b a c 6 ab ac bc c b+ + + = + + + (0,125 đ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b a c 2 2 2 ab ac bc c b       + + + = + + + + +                   (0,125 đ) = 2 2 2 2 2 2 a b 2ab a c 2ac b c 2bc ab ac bc + + + + + + + + (0,125 đ) = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a + b a + c b + c ab ac bc + + (0,125 đ) Vì ( ) 2 a + b 0 ab ≥ ; ( ) 2 a + b 0 ab ≥ ; ( ) 2 a + b 0 ab ≥ (0,125 đ) Nên: = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a + b a + c b + c 0 ab ac bc + + ≥ (0,125 đ) Suy ra ( ) bc + ac + ab a + b + c 9 0 abc × − ≥ (0,125 đ) Hay bc + ac + ab 9 abc a + b + c ≥ (0,25 đ) Bài 4 (1,50 điểm): Cho x > 0, y > 0. Chứng minh rằng: 1 1 4 x y x + y + ≥ Ta có: ( ) ( ) x + y y + x + y x - 4xy 1 1 4 x y x + y xy(x + y) + − = (0,25 đ) 2 2 xy + y + x + xy - 4xy xy(x + y) = (0,25 đ) 2 2 x - 2xy + y xy(x + y) = (0,25 đ) ( ) 2 x - y 0 xy(x + y) = ≥ (0,25 đ) Do đó: 1 1 4 0 x y x + y + − ≥ hay 1 1 4 x y x + y + ≥ (0,25 đ) Bài 5 (3,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Tính góc BMK ? Vẽ hình và ghi được GT,KL (0,5 đ) Gọi N là trung điểm của BH; Tia MN cắt BC tại E, ta có MN là đường trung bình của ABH ∆ => MN // AB và MN = 1 1 AB = CD (v× AB = CD) 2 2 (0,5 đ) Do đó MN // CK MNCK lµ h b×nh hµnh MN = CK  ⇒   (0,5 đ) => MK // CN (1) (0,25 đ) Tam giác BMC có BH MC BH lµ ®­êng cao⊥ ⇒ (0,25 đ) Mặt khác ME // AB mà AB BC nªn ME BC⊥ ⊥ hay ME là đường cao của tam giác BMC. (0,5 đ) Như vậy N là trực tâm của tam giác MBC. Do đó CN BM⊥ (2) (0,25 đ) Từ (1) và (2) suy ra MK · 0 BM t¹i M hay BMK 90⊥ = (0,25 đ) K E N M H C B D A . PHÒNG GD-ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU VĨNH LINH MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian 120 phút (không kể giao đề) Bài 1 (2,0 đ): Tìm hai số. số lớn hơn 0. Chứng minh rằng: bc + ac + ab 9 abc a + b + c ≥ Để giải quyết bài toán trên, ta giải quyết bài toán sau: Cho a, b, c là các số lớn hơn 0.