CHIA HẾT SỐ NGUYÊN : I/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1/ a chia hết cho m, b chia hết cho m, c chia hết cho m, thì (a+b+c) chia hết cho m. 2/ a chia hết cho b  a = bq a không chia hết cho b  a = bq + r 3/ (a,b) = 1 và a.c chia hết cho b => c chia hết cho b 4/ c chia hết cho a, c chia hết cho b, và (a,b) = 1 => c chia hết cho a.b 5/ a chia hết cho m, b chia hết cho n, thì a.b chia hết cho m.n II/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI : 1/ Phương pháp 1 : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư khi chia n cho p Ví dụ : A(n) = n(n 2 +1)(n 2 +4) chia hết cho 5 n chia cho 5 có số dư là r =0,1,2,3,4,5 a/ Với r = 0 thì n chia hết cho 5 => A(n) chia hết cho 5 b/ Với r = 1 => n = 5k+1 => n 2 = 25k 2 +10k +1 thì (n 2 +4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5 c/ Với r = 2 => n = 5k+2 => n 2 = 25k 2 +20k +4 thì (n 2 +1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5 d/ Với r = 3 => n = 5k+3 => n 2 = 25k 2 +30k +9 thì (n 2 +1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5 e/ Với r = 4 => n = 5k+4 => n 2 = 25k 2 +40k +16 thì (n 2 +4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5 2/ Phương pháp 2 : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q a/ (p,q) = 1 ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q b/ Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau ta phân tích A(n) = B(n).C(n) và chứng minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q 3/ Phương pháp 3 : Để chứng minh A(n)  m có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử và chứng minh mỗi hạng tữ chia hết cho n. 4/ Phương pháp 4 : Để chứng minh A(n)  m ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có một nhân tử bằng m hoặc chia hết cho m: A(n) = m.B(n) + Thường ta sử dụng các hằng đẳng thức : a n – b n  a – b ( a ≠ b) n bất kỳ. a n – b n  a – b ( a ≠ - b) n chẵn. a n + b n  a + b ( a ≠ - b) n lẻ. 5/ Chứng minh bằng quy nạp toán học : 1/ Với n = 1 ta xét bài toán đúng hay không 2/ Giả sử bài toán đúng với n = k 3/ Ta chứng minh bài toán đúng với n = k + 1 ( Lưu ý thường là sử dụng điều giả sử 2/) Ví dụ CMR 16 n – 15n – 1  225 ∀ n ∈ N* + Với n = 1 ta có 16 – 15 – 1 = 0  225 + Giả sử bài toán đúng với n = k tức là ta có : 16 k – 15k – 1  225 Ta chứng minh bài toán đúng với n = k + 1 Thật vậy : 16 k+1 – 15(k+1) – 1 = 16.16 k – 15k – 15 – 1 = = ( 15+1 ) 16 k – 15k – 15 – 1 = = (16 k – 15k – 1) + 15. 16 k – 15 Theo giả thiết qui nạp thì : 16 k – 15k – 1  225 Còn 15. 16 k – 15 = 15(16 k – 1) Mà (16 k – 1)  ( 16 – 1) = 15  15(16 k – 1)  15.15 = 225  Vì vậy 16 k+1 – 15(k+1) – 1  225 Hay 16 n – 15n – 1  225 ∀ n ∈ N* B/ CHIA HẾT ĐA THỨC : 1/ Ta sử dụng đònh lý Bơ zu : Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhò thức x – a bằng giá trò của đa thức f(x) tại x = a. Từ đó ta có các hệ quả : + Đa thức f(x)  ( x – a) < = > f(a) = 0 tức là khi a là nghiệm của đa thức/ Từ đó suy ra : _ Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1 _ Đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì f(x)  ( x + 1) 2/ Đa thức bậc 2 trở lên : Cách 1 : Phân tích đa thức bò chia thành nhân tử trong đó có nhân tử chi hết cho đa thức chia. Cách 2 : Xét giá trò riêng. 3/ Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác : Cách 1 : Phân tích đa thức bò chia thành nhân tử trong đó có 1 thừa số chia hết cho đa thức chia. Cách 2 : Biến đổi đa thức bò chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia. Cách 3 : Sử dụng biến đổi tương đương : chứng minh f(x)  g(x) ta chứng minh : f(x) + g(x)  g(x) hoặc f(x) - g(x)  g(x). Cách 4 : Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bò chia ============================= MỘT SỐ BÀI TẬP - - - - - - - - - 1/ Chứng minh rằng : n(n 2 + 1)( n 2 + 4)  5 2/ Chứng minh rằng lập phương của một số nguyên n bất kỳ ( n>1) trừ đi 13 lần số nguyên đó thì chia hết cho 6. 3/ Chứng minh rằng : 2 4n – 1  15 4/ Chứng minh rằng : 2.7 n + 1  3; ∀ n ∈ N* 5/ Chứng minh rằng : m 3 + 20m  48; ∀ n ∈ N*, n chẵn 6/ Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9. 7/ Chứng minh rằng : 5.7 2(n+1) + 2 3n  41; ∀ n ∈ N* 8/ Phân tích ra thừa số : A = a 4 – 6a 3 + 27a 2 – 54a + 32 Từ kết quả đó suy ra rằng biểu thức : n 4 – 6n 3 + 27n 2 – 54n + 32 luôn là một số chẵn với mọi số nguyên dương n. 9/ Chứng minh rằng : n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n  24; ∀ n ∈ N 10/ Chứng minh rằng : A = n 3 (n 2 – 7) 2 – 36n  5040; ∀ n ∈ N 11/ Chứng minh rằng : a/ Một số chính phương chi cho 3 chỉ có số dư bằng 0 hay bắng 1. b/ Một số chính phương chia cho 4 chỉ có số dư bằng 0 hay bắng 1. c/ Các số sau có phải là số chính phương không ; M = 1992 2 + 1993 2 + 1994 2 N = 1992 2 + 1993 2 + 1994 2 + 1995 2 P = 1 + 9 100 + 94 100 + 1994 100 12/ Error! Not a valid link.16 n – 1  17 khi n ∈ N và n chẵn. 13/ Chứng minh rằng : ∀ a ∈ Z ta có : a/ a 2 – a  2 b/ a 3 – a  3 c/ a 5 – a  5 d/ a 7 – a  7 Từ bài toán này rút ra được điều gì ? 14/ Chứng minh rằng : a/ ( n 2 + n – 1) 2 – 1  24; ∀ n ∈ Z b/ n 3 + 6n 2 + 8n  48; ∀ n chẵn c/ n 4 - 10n 2 + 9  384; ∀ n lẻ 15/ a/ Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3, CMR : a 2 – 1  24 b/ CMR nếu a,b là các số nguyên tố lớn hơn 3,t hì : a 2 – b 2  24 c/ Tìm điều kiện số tự nhiên a để a 4 – 1  240 16/ Tìm số nguyên n để giá trò biểu thức A chia hết cho giá trò biểu thức B : A = n 3 + 2n 2 – 3n + 2 ; B = n 2 – n 17/ a/ Tìm số nguyên dương n để n 5 + 1  n 3 + 1 b/ giải bài toán trên với n là số nguyên 18/ Tìm giá trò n ∈ N để n + 7  n – 2 19/ Tìm n ∈ Z để : a/ n 2 + 2n – 4  11 b/ 2n 3 + n 2 + 7n +1  2n – 1 c/ n 3 – 2  n – 2 d/ n 3 - 3n 2 + 3n - 1  n 2 +n + 1 e/n 4 – 2n 3 + 2n 2 – 2n + 1  n 4 – 1 20/a/ CMR nếu n + 1 và 2n + 1 (n ∈ N) đều là số chính phương thì n  24 b/ CMR nếu 2n + 1 và 3n + 1 (n ∈ N) đều là số chính phương thì n  40 21/ Các số p, p + 14, p + 10 là những số nguyên tố; tìm p 22/ CMR 3 2n+2 – 8n – 9  64; ∀ n ≥ 1 23/ Không thực hiện phép chia đa thức xét xem x 3 – 9x 2 + 6x + 16 có hay không chia hết cho : a/ x + 1; b/ x – 3; 24/ Tìm số dư phép chia x 99 + x 55 + x 11 +x + 7 cho x + 1 25/ CMR : a/ x 50 + x 10 + 1  x 20 + x 10 + 1 b/ x 2 - x 9 – x 1945  x 2 - x + 1 c/ x 10 - 10x + 9  (x – 1) 2 d/ 8x 9 - 9x 8 + 1  (x – 1) 2 26/ Tìm f(x); biết f(x) chia cho x – 3 thì dư 7; chia cho x – 2 thì dư 5; còn chia cho (x – 2)(x – 3) thì được thương là 3x và còn dư. 27/ Xác đònh a,b để : a/ x 4 – 9x 3 + 21x 2 + ax + b  x 2 – x – 2 b/ 6x 4 – 7x 3 + ax 2 + 3x + 2  x 2 – x + b 28/ Với điều kiện nào thì tổng 2 đa thức chia hết cho x – 1, nếu mỗi đa thức không chia hết cho x – 1 29/ Với điều kiện nào thì tích 2 đa thức chia hết cho x 2 – 1, mà mỗi đa thức không chia hết cho x 2 – 1 30/ Xác đònh a,b,c để : a/ P(x) = x 4 + ax 2 + bx + c  (x – 3) 3 b/ P(x) = x 3 – 5x 2 – 8x + a  x 2 +x + b c/ P(x) = x 3 + ax 2 + 2x + b  x 2 +x + 1 1/ Cho A = ( a+b+c) 3 – a 3 – b 3 – c 3 ( a,b,c là các số nguyên ) a/ Phân tích A thành nhân tử ? b/ CMR : Nếu a,b,c cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì A  24 ? 2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình : a/ x 2 - y 2 = 105. b/ x 2 – 3y 2 = 17 3/ Giải phương trình a/ x x mx x 2 1 3 + = −+ + b/ ( x – 1)m 2 – (5x – 1)m + 2(3x + 1) = 0 4/ Cho Q = 3 2n+1 + 2 n+2 ( n là số tự nhiên ). Chứng minh rằng Q chia hết cho 7 5/ Cho điểm D trong ∆ ABC đều. Vẽ các ∆ BDE, ∆ CDF đều ( E, F, D nằm cùng phía đối với BC). Chứng minh AEDF là hình bình hành 2/ Cho B = n 3 + 3n 2 + 2n với n là các số nguyên. Chứng minh rằng B chia hết cho 6 3/ Cho n lẻ và C = n 3 – n ; D = n 2 + 4n – 5 . Chứng minh rằng C 24 và D 8. 4/ Cho F = n 4 – 4n 3 – 4n 2 + 16n ( n: chẵn ). Chứng minh rằng F chia hết cho 384. 5/ Cho K = 52 8 − + n n ( n là số nguyên). Tìm n để K là số nguyên. 1/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x 2 + 2y 2 = 1 2/ Tìm hình chữ nhật biết các cạnh là những số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi ? 3/ Tìm tất các các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của p 4 là một số chính phương ? 4/ Tìm các chữ số x,y,z sao cho : xyz + xzy = zzz 5/ Tìm số nguyên tố p sao cho 4p + 1 là số chính phương ? 6/Tìm nghiệm nguyên dương của x 2 - y 2 = 105. 7/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 - y 2 = 93. 8/ CMR phương trình x 2 – 3y 2 = 17 không có nghiệm nguyên 9/ Giải và biện luận phương trình : a/ a 2 x = a 2 (x + b) – b. b/ ( x – 1)m 2 – (5x – 1)m + 2(3x + 1) = 0 c/ x x mx x 2 1 3 + = −+ + ; d/ 2 = − + − bx x ax x e/ 22 2 22 2 2 bx x a xb b xax − =+ − −− . CHIA HẾT SỐ NGUYÊN : I/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1/ a chia hết cho m, b chia hết cho m, c chia hết cho m, thì (a+b+c) chia hết cho m. 2/ a chia hết cho. cho b  a = bq a không chia hết cho b  a = bq + r 3/ (a,b) = 1 và a.c chia hết cho b => c chia hết cho b 4/ c chia hết cho a, c chia hết cho b, và (a,b)