Phần chung Lí chọn đề tài 1.1 Cơ sở pháp chế Đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi công tác mũi nhọn ngành giáo dục & đào tạo Trong xu phát triển nay, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi nhu cÇu cÊp thiÕt cđa x· héi, nã gãp phÇn không nhỏ vào việc đào tạo, bồi dỡng nhân tài cho đất nớc Chính vậy, năm gần đây, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi đợc ngành giáo dục trọng 1.2 Cơ sở lý luận Toán học môn học giữ vai trò quan trọng suốt bậc học phổ thông Là môn học khó, đòi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, việc tìm hiểu cấu trúc chơng trình, nội dung SGK, nắm vững phơng pháp dạy học, để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu công việc mà thân giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán thờng xuyên phải làm Trong công tác giảng dạy môn Toán, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh có khiếu môn Toán Giúp cho em trở thành học sinh giỏi thực môn toán công tác mũi nhọn công tác chuyên môn đợc ngành giáo dục trọng Các thi học sinh giỏi cấp đợc tổ chức thờng xuyên năm lần đà thể rõ điều Chơng trình Toán bậc THCS có nhiều chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi, chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử chuyên đề giữ vai trò quan trọng, giúp cho học sinh hình thành kỹ biến đổi đồng biểu thức đại số Chẳng hạn, để thực rút gọn biểu thức đại số thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải phơng trình bậc cao gặp nhiều khó khăn học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, chí nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, nhiều năm có toán chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, Chính vậy, việc bồi dỡng cho học sinh chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề mà thân quan tâm 1.3 Cơ sở thực tiễn Năm học này, thân đợc Nhà trờng Phòng giáo dục giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi môn Giải toán máy tính Casio Đây hội để đa đề tài áp dụng vào công tác đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi Với tất lý nêu trên, định chọn đề tài Nhiệm vụ đề tài - Nghiên cứu lí luận phân tích đa thức thành nhân tử - Xây dựng hệ thống tập phân tích đa thức thành nhân tử với phơng pháp giải tập thích hợp cho - Thực nghiệm việc sử dụng phơng pháp giải tập phân tích đa thức thành nhân tử giảng dạy - Đề xuất số học kinh nghiệm trình nghiên cứu Giới hạn đề tài Đề tài đem áp dụng hai trờng: Trờng THCS Nguyễn Thái Học Trờng THCS Dân tộc Nội trú dành cho đối tợng học sinh giỏi môn Toán lớp Đối tợng nghiªn cøu Häc sinh giái líp cđa Trêng THCS Dân tộc nội trú Trờng THCS Nguyễn Thái Học Phơng pháp nghiên cứu Để thực đề tài này, sử dụng phơng pháp sau đây: a) Phơng pháp nghiên cứu lý luận b) Phơng pháp khảo sát thực tiễn c) Phơng pháp quan sát d) Phơng pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa e) Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm Thời gian nghiên cứu Từ ngày / / 2007 đến hết ngày 30 /12 / 2007 Tài liệu tham khảo Để thực đề tài này, đà sử dụng số tài liệu sau: - Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán - Chuyên đề bồi dỡng Đại số (Nguyễn Đức Tấn) - 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (NKTH) Nội dung đề tài Néi dung thùc hiƯn 1.1 C¬ së lÝ ln 1.1.1 Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử a) Định nghĩa + Nếu đa thức đợc viết dới dạng tích hai hay nhiều đa thức ta nói đa thức đà cho đợc phân tích thành nhân tử + Với đa thức ( khác ) ta biểu diễn thành tích nhân tử khác với đa thức khác Thật vậy: a a a anxn + an-1xn-1 + … + a + a0 = c( n xn + n  xn – + … + a + ) ( víi c 0, c ) c c c b) Định nghĩa Giả sử P(x) P x đa thức có bậc lớn Ta nói P(x) bất khả quy trờng P phân tích đợc thành tích hai đa thức bậc khác nhỏ bậc P(x) Trờng hợp trái lại P(x) đợc gọi khả quy phân tích đợc P 1.1.2 Các định lý phân tích đa thức thành nhân tử a)Định lý Mỗi đa thức f(x) trờng P phân tích đợc thành tích đa thức bất khả quy, phân tích sai khác thứ tự nhân tử nhân tử bậc 0. b) Định lý Trên trờng số thực R, đa thức bất khả quy bậc bậc hai với biệt thức < Vậy đa thức R có bậc lớn phân tích đợc thành tích đa thức bậc bậc hai với < c) Định lý 3( Tiêu chn Eisenten ) Gi¶ sư f(x) = a0 + a1x + … + a + anxn , n > 1, a n 0, đa thức hệ số nguyên Nếu tồn số nguyên tố p cho p ớc an nhng p ớc hệ số lại p2 ớc số hạng tự a0 Thế đa thức f(x) bất khả quy Q 1.2 Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Qua định lý trên, ta ®· chøng tá r»ng mäi ®a thøc ®Ịu ph©n tÝch đợc thành tích đa thức trờng số thực R Song mặt lí thuyết , thực hành khó khăn nhiều , đòi hỏi kĩ thuật , thói quen kĩ sơ cấp Dới qua ví dụ ta xem xét số phơng pháp thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử 1.2.1 Phơng pháp đặt nhân tử chung Phơng pháp vận dụng trực tiếp tính chất phân phối phép nhân phép cộng (theo chiều ngợc) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Gi¶i: Ta cã : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax – by) =2x2(2ax + by) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) Gi¶i: Ta cã: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x – 4a)a Bµi 3: Phân tích đa thức thành nhân tử B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2 Gi¶i: Ta thấy hạng tử có nhân tử chung y – 2z Do ®ã : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z)) =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) Bµi : phân tích đa thức sau thành nhân tử C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d) Gi¶i: Ta cã: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax) = (5c + 2d)(ax – 4a2) = a(5c + 2d)(x – 4a) Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy Gi¶i: Ta cã: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2) = 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z 1) Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử: A = 16x2(y 2z) – 10y( y – 2z) Gi¶i: Ta cã : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = (y 2z)(16x2 10y) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x3 + 3x2 + 2x + Gi¶i: Ta cã : B = x3 + 3x2 + 2x + = x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 Gi¶i: Ta cã : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z2 + 1) 1.2.2 Phơng pháp nhóm hạng tử Phơng pháp vận dụng cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp phép cộng, để làm xuất nhóm hạng tử có nhân tử chung, sau vận dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng Sau số ví dụ : Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = xy2 xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 Gi¶i: Ta cã : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2)) = (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x) Bµi 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 Gi¶i: Ta cã : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3) Bµi 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x6 + x4 + x2 + Gi¶: Ta cã : B = x6 + x4 + x2 + = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1) Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x2 + 2x + – y2 Gi¶i: Ta cã: B = x2 + 2x + – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2 =(x +1 – y)(x + + y ) Bµi 13 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz Gi¶i: Ta cã : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y) = (x + y)(x + y z) Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư P = 2xy + z + 2x + yz Gi¶i: Ta cã : P = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = xm + + xm + – x - Gi¶i: Ta cã : A = xm + + xm + – x – = xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + 1) Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y z) + y2(z - x) + z2(x – y) Gi¶i: Khai triển hai số hạng cuối nhóm số hạng lµm xt hiƯn thõa sè chung y - z Ta cã : P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2 = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z) = (y – z)((x2 + yz – x(y + z)) = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z) NhËn xÐt : dÔ thÊy z – x = -((y – z) + (x – y) nªn : P = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y) =(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2) = (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y) = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y)) = (y – z) (x y)(x z) Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc Gi¶i: Ta cã : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b) = ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a) Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc Gi¶i: Ta cã : Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc = (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc) = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c) = ( a + b + c)(ab + bc + ca) Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc Gi¶i: Ta cã : A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc = (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc) = 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b) = (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc) = (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c)) = (a + 2b)(2b c)(a c) Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) Gi¶i: Ta cã : P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3)) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2)) = (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2) = (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z)) = (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2) = (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z)) = (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz) 1.2.3 Phơng pháp dùng đẳng thức đáng nhớ Phơng pháp dùng đẳng thức để đa đa thức dạng tích, luỹ thừa bậc hai, bậc ba đa thức khác Các đẳng thøc thêng dïng lµ : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 A2 - B2 = (A + B) (A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) Sau số tập cụ thể: Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2y2 + y4 Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy) Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 Gi¶i: Ta cã : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 = (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1)) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1) Bµi 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Gi¶i: Ta cã : M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + + x2 – x + 1) = 2(x2 x + 1)(x2 + 1) Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 Gi¶i: Ta cã: A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 = (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz) = (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 ) = (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z) Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tư A = (x + y)3 +(x - y)3 Gi¶i: Dựa vào đặc điểm vế trái áp dụng đẳng thức ta có cách khác giải nh sau : C¸ch 1: A = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) = 8x3 – 3.2x(x2 – y2) = 2x(4x2 – 3(x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) C¸ch 2: A = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Bµi 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 16x2 + 40x + 25 Gi¶i: Ta cã: A = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 = (4x + 5)2 Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 Gi¶i: DƠ thÊy : x – y =(x – z) + (z – y) Tõ ®ã ta cã : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y)) = - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y) = 3(z – x)(y – z)(x y) Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (a + b+ c) (a3 + b3+ c3) Gi¶i: Ta cã: A = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c) = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x8 – 28 Gi¶i: Ta cã : P = x8 – 28 = (x4 + 24) (x4 - 24) = (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2) Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = (x3 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) Gi¶i: Ta cã: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) = (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1) = (x – 1)( x2 + x + + 5x + + 3) = (x – 1)( x2 + 6x + 9) = (x – 1)(x + 3)2 1.2.4 Phơng pháp thực phép chia: Nếu a nghiệm đa thức f(x) có phân tích f(x) = (x a).g(x) ,g(x) đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x a) Sau lại phân tích tiếp g(x) Sau số ví dụ cụ thể: Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + Gi¶i: DƠ thÊy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + = Nên chia f(x) cho (x + 2), ta đợc: f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x) DÔ thÊy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + cã g(-2) = Nªn chia g(x) cho (x + 2), ta đợc: g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + Ta cã: h(-2) = Nªn chia h(x) cho(x + 2), đợc: h(x) = (x + 2)(x2 + 1) VËy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1) = (x + 2)3(x2 + 1) Khi thùc hiÖn phÐp chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta cã thĨ sư dơng sơ đồ Hoocne để thực phép chia đợc nhanh h¬n VÝ dơ chia f(x) cho (x + 2) nh sau : -2 1 13 14 12 VËy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + cho (x + 2) nh sau : -2 1 4 VËy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Chia x3 + 2x2 + 2x + cho (x + 2) nh sau : -2 1 2 VËy x3 + 2x2 + 2x + = (x + 2)(x2 + 1) VËy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1) Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x4 2x3 11x2 + 12x + 36 Giải: Tìm nghiệm nguyên đa thøc (nÕu cã) c¸c íc cđa 36 : 1; 2; 3; 4; 6 ; 9; 12; 18; 36 Ta thÊy : x = -2 P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = Ta cã: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36 = x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2) = (x + 2)(x3 4x2 3x + 18) Lại phân tích Q = x3 4x2 3x + 18 thành nhân tö Ta thÊy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = Nªn chia Q cho (x + 2), ta đợc : Q = (x + 2)(x2 6x + 9) = (x + 2)(x – 3)2 VËy: P = (x + 2)2(x 3)2 1.2.5 Phơng pháp đặt ẩn phụ Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi biến) ta đa đa thøc víi Èn sè cång kỊnh , phøc t¹p vỊ đa thức có biến mới, mà đa thức dễ dàng phân tích đợc thành nhân tử Sau số toán dùng phơng pháp đặt ẩn phụ Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12 Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đà cho trở thành : A = y2 + 4y – 12 = y2 – 2y + 6y – 12 = y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vµo (1) ta ®ỵc : A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x 6) Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Gi¶i: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Đặt y = (x2 + x + 1) Đa thức đà cho trở thành : A = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) (*) Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta đợc : A = (x2 + x + - 3)(x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6) Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x12 3x6 + Giải: B = x12 3x6 + Đặt y = x6 (y ) Đa thức đà cho trở thành : B = y2 – 3y + = y2 – 2y + – y = (y – 1)2 – y = (y – - y )(y + + y ) (*) Thay : y = x6 vào (*) đợc : B = (x6 - x )( y   x ) = (x6 – – x3)(x6 + + x3) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x3 - x2 + 3x + - Giải: Đặt : y = x - , ta cã x = y + A = (y + )3 - (y + )2 + 3(y + ) + - = y3 + 3y2 + 3y.2 + 2 - (y2 + 2 y + 2) + 3(y + = y3 - 3y – = y3 - y – 2y – = y(y2 – 1) – 2(y + 1) = y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(y(y – 1) – 2) = (y + 1)(y2 – y – 2) = (y + 1)(y + 1)(y – 2) = (y + 1)2(y – 2) (*) Thay : y = x - vào (*), đợc : A = (x - + 1)2(x - - 2) Bµi 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Gi¶i: Ta cã: M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 Đặt : y = (x2 + 8x + 7) Đa thức đà cho trở thành : M = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 3y + 5y + 15 = y(y + 3) + 5(y + 3) = ( y + 3)(y + 5) Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta đợc : M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) = (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12) = (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2)) = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) )+ -2 NhËn xét: Từ lời giải toán ta giải toán tổng quát sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m NÕu a + d = b + c Ta biÕn ®ỉi A thµnh : A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1) B»ng c¸ch biến đổi tơng tự nh 36, ta đa đa thức (1) đa thức bậc hai từ phân tích đợc đa thức A thành tích nhân tử Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tö A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Gi¶i: Gi¶ sư x 0 , ta viÕt ®a thøc díi d¹ng : 1 A = x2((x2 + ) + 6( x )+7) x x 1 Đặt y = x x2 + = y2 + x x Do ®ã : A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2( y + 3)2 = (xy + 3x) , ta ®ỵc x A =  x( x  )  3x  x   Thay y = x - = (x2 + 3x 1)2 Dạng phân tích với x = Nhận xét : Từ lời giải tập này, ta giải tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = a0x2n + a1xn – +… + a… + a.+ an – 1xn – +anxn + an – 1xn – + … + a + a1x + a0 B»ng c¸ch đa xn làm nhân tử A, hay : a a a A = xn(a0xn + a1xn – + … + a… + a.+ an – 1x + an + n  +… + a + n1 + 0n x x x Sau đặt y = x + x ta phân tích đợc A thành nhân tử cách dễ dàng nh tập Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tö A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12 Gi¶i: Ta cã: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 = (x + y)2 – (x + y) – 12 - Đặt X = x + y, đa thức trë thµnh : A = X2 – X – 12 = X2 - 16 – X + = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + - 1) = (X - 4)(X + 3) (1) - Thay X = x + y vào (1) ta đợc : A = (x + y 4)( x + y + 3) Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Gi¶i: A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Đặt : x2 + y2 + z2 = a xy + yz + zx = b  ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b Đa thức A trở thành : A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (*) Thay : a = x2 + y2 + z2 b = xy + yz + zx vào (*) ta đợc : A = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2 Bài 40: Phân tích đa thức sau thành nhân tö P = (x – y)3 + (y – z)3 + (z x)3 Giải: Đặt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x Ta cã : A + B + C = Nên A+B=-C Lập phơng hai vế : (A + B)3 = - C3  A3 + 3AB(A + B) + B3 = - C3  A3 + B3 + C3 = - 3AB(A + B)  A3 + B3 + C3 = 3ABC Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z x, ta đợc : (x y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x y)(y z)(z x) 1.2.6 Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ ( tách số hạng) Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ phơng pháp thêm, bớt hạng tử đa thức để làm xuất đa thức đa đẳng thức đáng nhớ Sau số ví dụ : Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tư A = x2 – 6x + Gi¶i: Ta giải toán số c¸ch nh sau: C¸ch 1: A = x2 – 6x + = x2 – x – 5x + = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + = (x2 - 2x + 1) – 4x + = (x – 1)2 – 4(x – 1) = (x – 1)(x – - 4) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3)2 – = (x – – 2) (x – + 2) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + = (x2 – 1) – 6x + = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)( x + – 6) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1) = 3(x – 1)(3(x – 1) – ( x + 1)) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + = (x – 1)2 – 4x(x – 1) = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x)) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + = (6x2 – 6x) – 5x2 + = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1)(6x – 5(x + 1)) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + Đặt f(x) = x2 6x + DƠ thÊy tỉng c¸c hƯ sè cđa f(x) b»ng hay f(x) = nªn f(x) chia hÕt cho (x- 1) Thực phép chia f(x) cho (x 1) đợc thơng (x 5) Vậy A = (x 1)(x 5) Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c 0) phơng pháp tách số hạng ta làm nh sau : Bớc : lÊy tÝch a.c = t Bíc : ph©n tích t thành hai nhân tử ( xét tất trờng hợp) t = pi.qi Bơc : tìm cặp nhân tử pi, qi cặp pa, qa cho : pa + qa = b Bíc : viÕt ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c Bíc : tõ nhóm số hạng đa nhân tủ chung dấu ngoặc Bài 42: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 + 2x2 - Giải: Cách 1: B = x4 + 2x2 - = x4 – x2+ 3x2 – = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) C¸ch 2: B = x4 + 2x2 - = x4 + 3x2 – x2– = x2(x2 + 3) - (x2 + 3) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) C¸ch : B = x4 + 2x2 - = (x4 ) + 2x2 – – = (x4 – 1) + 2x2– = (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) C¸ch : B = x4 + 2x2 - = (x4 + 2x2 + 1) - = (x2 + 1)2 – = (x2 + 1)2 – 22 = (x2 + – 2)(x2 + + 2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) C¸ch : B = x4 + 2x2 - = (x4 – 9) + 2x2 + = (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3) = (x2 + 3)( x2 - + 2) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) C¸ch : B = x4 + 2x2 - = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1) = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x 1)(x + 1)(x2 + 3) Bài 43: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2 + Giải: Cách : A = x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + - x)(x2 + + x) C¸ch : A = x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = (x2 + - x)(x2 + + x) C¸ch : A = x4 + x2 + = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = 5x2 + 6xy + y2 Giải: C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2) = 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2 = (6x2 + 6xy) – (x2 - y2) = 6x(x + y) – (x – y)(x + y) = (x + y)(6x – x + y) = (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2 = (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 ) = 4x(x + y) + (x + y)2 10 = (x + y)(4x + x + y) = (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2 = (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 ) = 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 ) = (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y) = (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 10xy + y2) – (4xy + 4y2) = 5(x + y)2 – 4y(x + y) = (x + y)(5(x + y) – 4y)) = (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 - 5y2) + (6xy + y2) = 5(x2 – y2) + 6y(x + y) = 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y) = (x + y)(5x – 5y + 6y) = (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2 = (9x2 + 6xy + y2) – 4x2 =(3x + y)2 – 4x2 = (3x + y – 2x)(3x + y + 2x) = (x + y)(5x + y) Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x4 + x2y2 + y4 Gi¶i: Ta cã : P = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2 = (x2 + y2)2 – (xy)2 = (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy) Bài 45: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 = x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x = (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1)) = (x2 – x + 1)(2x2 + 2) Bài 46: Phân tích đa thức sau thành nhân tư P = 4x4 + 81 Gi¶i: Ta cã : P = 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 =(2x2 + – 6x)(2x2 + + 6x) Bµi 47: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 3x3 – 7x2 + 17x - Gi¶i: Ta cã : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - = 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – = x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) Bài 48: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư A = x3 – x2 – x - Gi¶i: Ta cã : A = x3 – x2 – x - = x3 – – (x2 + x + 1) = (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – – 1) = (x2 + x + 1)(x 2) Bài 49: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x3 + x2 – x + Gi¶i: Ta cã : B = x3 + x2 – x + = (x3 + 1) + (x2 - x + 1) = (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x + 1+ 1) = (x2 - x + 1)(x + 2) Bµi 50: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x3 – 6x2 – x + 30 11 Gi¶i: Ta cã : C = x3 – 6x2 – x + 30 = x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30 = x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2) = (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1) = (x + 2)((x – 4)2 – 1)) = (x + 2)(x – – 1)(x – + 1) = (x + 2)(x 5)(x 3) 1.2.7 Phơng pháp hệ số bất định Phơng pháp dựa vào định nghĩa hai đa thức nhau, ta tính đợc hệ số biểu diễn đòi hỏi cách giải hệ phơng trình sơ cấp Sau số ví dụ : Bài 51 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + Gi¶i: BiĨu diễn đa thức dới dạng : x4 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng hai đa thức, ta đợc hệ điều kiÖn :  c  16 a   b  d  12  ac   bc  14  ad b d 3  XÐt bd = víi b, d  Z , b HƯ ®iỊu kiƯn trë thµnh :  1;3  víi b = 3; d =  a  c  8  ac    14  a  3c Suy 2c = - 14 + = - 8, Do ®ã c = - , a = -2 VËy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 – 2x + 3)(x2 4x + 1) Bài 52: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Gi¶i: BiĨu diƠn ®a thøc díi d¹ng : A = ( ax + by + c )( dx + ey + g ) = adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg = adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Đồng hai đa thức, ta ®ỵc hƯ ®iỊu kiƯn : a d a e  a g  b e   b g  c g  a  b  c  d e   g  3  b d  c d 7  c e   2  1 3  3    7  VËy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 = ( 3x + y + )( x + 7y + ) Bài 53: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 8x + 63 Gi¶i: Ta cã thĨ biĨu diƠn B díi d¹ng : B = x4 – 8x + 63 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd §ång nhÊt hai ®a thøc ta ®ỵc hƯ ®iỊu kiƯn:  c 0 a   b  d 0  ac   bc   ad bd 63   a  b  c d   7 4 9 VËy : B = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9) 1.2.8 Phơng pháp xét giá trị riêng Đây phơng pháp khó, nhng áp dụng cách linh hoạt phân tích đa thức thành nhân tử nhanh Trong phơng pháp ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số lại Sau số ví dụ : Bài 54: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) Giải: Thử thay x y P = y2(y – z) + y2(z – y) = Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z x P không đổi ( ta nói đa thức P hoán vị vòng quanh x  y  z  x Do ®ã nÕu P chøa thõa sè x – y th× cịng chøa thõa sè y – z, z – x VËy P cã d¹ng : k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải số, P có bậc tập hợp biến x, y, z, tích (x y)(y z)(z x) có bậc ba tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức x2(y z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) ®óng víi mäi x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = (*), ta đợc: 12 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) = -2k k = -1 VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Chú ý: (*) giá trị x, y, z chọn tuỳ ý cần chúng đôi khác để (x y)(y z)(z x) Bài 55: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư P = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(y – z) Gi¶i: Thay x = y th× P = y2z2(z – y) + z2x2(y – z) = Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta thấy đa thức P hoán vị vßng quanh x  y  z  x Do ®ã nÕu P chøa thõa sè x – y th× còng chøa thõa sè y – z, z – x VËy P cã d¹ng : k(x – y)(y – z)(z x) Mặt khác P đa thức bậc ba x, y, z, nên phép chia A cho (x – y)(y – z)(z – x) th¬ng lµ h»ng sè k, nghÜa lµ : P = k(x – y)(y – z)(z – x) , k lµ h»ng sè Cho : x = 1; y = -1; z = ta đợc : 12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k 2.(-1).(-1) -2 = 2k k = -1 VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Bài 56: Phân tích đa thức sau thành nhân tö A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c a) Giải: Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, A không thay đổi Thay a=b vµo A ta cã: A = + bc(b – c) + cb(c – b) = Do ®ã A (a – b) Suy A (b – c) A (c a) Từ : A (a b)(b c)(c a) Mặt khác A đa thức bậc ba a, b, c, nªn phÐp chia A cho (a – b)(b – c)(c a) thơng số k, nghĩa : A = k(a – b)(b – c)(c – a) Cho a = 1; b = 0; c = ta đợc = -2k hay k = - A = -1(a – b)(b – c)(c – a) = (a b)(b c)(a c) Bài 57: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) Giải: Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh x, y, z P không thay đổi Thay z = y vµo P ta cã: P = + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = Do ®ã : P (y – z) Suy P (z – x) vµ P (x – y) Tõ ®ã : P (y – z)(z x)(z x) Mặt khác P đa thức bậc ba x, y, z nên phép chia P cho (y z)(z x)(z x)đợc thơng số k, nghĩa : P = k(y – z)(z – x)(z – x) Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta đợc : 2.13 + 1.(-2)3 + = k.1.(-2) - = - 2k k=3 VËy P = 3(y – z)(z – x)(z – x) Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z x)(z x) Bài 58: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = a(b +c a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a b) Giải: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, M không thay đổi Thay a = vµo M ta cã : M = + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = Do ®ã M a Suy M b M c Từ : M abc Mặt khác M đa thức bậc ba ®èi víi a, b, c nªn phÐp chia M cho abc th ơng số k, nghĩa : 13 M = k.abc Cho a = b = c = 1, ta đợc : 1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1 k=4 VËy M = 4.abc Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc KÕt qu¶ Tôi đà ứng dụng nội dung nêu vào việc bồi dỡng học sinh giỏi môn Giải toán máy tính Trờng THCS Nguyễn Thái Học Trờng THCS Dân tộc Nội trú Kết mà đà thu ®ỵc nh sau: - CÊp Hun: Cã 11 häc sinh tham dự Kết quả: giải nhất, giải nhì, gi¶i ba, gi¶i khuyÕn khÝch - CÊp TØnh: Cã häc sinh tham dù KÕt qu¶: gi¶i nhất, giải nhì, giải ba, giải khuyến khÝch - CÊp Quèc gia: Cã häc sinh tham dự Kết quả: giải khuyến khích Bài học kinh nghiệm giải pháp thực Trong trình thực đề tài thân ngời trùc tiÕp thùc hiƯn viƯc båi dìng häc sinh giái Tôi đà rút số học kinh nghiệm giải pháp thực nh sau: - Để thực tốt công tác bồi dỡng học sinh giỏi, trớc hết giáo viên cần phải có trình độ chuyên môn vững vàng, nắm vững thuật toán, giải đợc toán khó cách thành thạo Cần phải có phơng pháp giảng dạy phù hợp kích thích đợc tò mò, động, sáng tạo, tích cực học sinh - Toán học môn khó, vấn đề toán rộng Chính vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành giáo trình ôn tập bao gồm tất chuyên đề Với chuyên đề cần phải chọn lọc toán điển hình, để học sinh từ phát huy khả mình, vận dụng cách sáng tạo vào giải toán khác thể loại - Trong trình bồi dỡng học sinh giỏi cần thờng xuyên bám sát đối tợng học sinh, theo dõi động viên kịp thời cố gắng, nỗ lực học sinh Đồng thời, kích thích em phát huy tối đa khả trình ôn luyện, học tập Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời sai sót mà học sinh mắc phải, giúp em có niềm tin, nghị lực tâm vợt qua khó khăn bớc đầu học tập chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi mà giáo viên đa - Trong trình bồi dỡng học sinh giỏi cần tránh cho học sinh biểu tự đắc, cho giỏi Điều làm cho em khó tránh khỏi thất bại tham dự thi lớn Chính vậy, giáo viên cần có toán khó, yêu cầu cao để em thấy đợc trình học bồi dỡng học sinh giỏi trình diễn ngày một, ngày hai, mà trình lâu dài, thờng xuyên, liên tục Tuy nhiên, cần tránh cho học sinh tự ti, liên tục không giải đợc toán khó gây cho em nản chí, niềm tin vào khả KÕt luËn Båi dìng häc sinh giái cho häc sinh bậc THCS trình lâu dài, bền bỉ Bởi em đà có trình năm học toán Để có đợc học sinh giỏi, cần phải tập trung bồi dỡng cho em từ năm học lớp Với năm liên tục, với nỗ lực thầy lẫn trò, chắn có đợc học sinh giỏi thực môn Toán Do lực hạn chế, năm học năm học thứ hai thân tham gia việc bồi dỡng học sinh giỏi, nên đề tài tránh đợc thiếu sót, thân mong có đóng góp, bổ xung bạn đồng nghiệp, nhà quản lý giáo dục để đề tài hoàn thiện Trên đây, đề tài míi chØ ®Ị cËp ®Õn mét vÊn ®Ị nhá trình bồi dỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, theo mạch kiến thức trọng tâm chơng trình toán Cuối xin chân thành cảm ơn tới BGH, đồng nghiệp Trờng THCS Nguyễn Thái Học Trờng THCS Dân tộc Nội trú đà có ý kiến đóng góp, đạo thực giúp hoàn thành đề tài Kiến nghị đề xuất - Tăng thêm thời gian bồi dỡng cho học sinh giỏi môn Toán thời gian tuần buổi không đủ thời gian để thực công tác bồi dỡng - Nếu chọn lọc từ đầu vào nên chọn hai lớp: Chuyên môn tự nhiên lớp chuyên môn xà hội đánh giá, nhận xét tổ chuyên môn nhµ trêng 14 15 ... nh 36, ta đa đa thức (1) đa thức bậc hai từ phân tích đợc đa thức A thành tích nhân tử Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Gi¶i: Gi¶ sư x , ta viết đa thức dới... 1.1.1 Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử a) Định nghĩa + Nếu đa thức đợc viết dới dạng tích hai hay nhiều đa thức ta nói đa thức đà cho đợc phân tích thành nhân tử + Với đa thức ( khác )... ớc số hạng tự a0 Thế đa thức f(x) bất khả quy Q 1.2 Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Qua định lý trên, ta đà chứng tỏ đa thức phân tích đợc thành tích đa thức trờng số thực R