TRƯỜNG THPT MÊ LINH KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ NHẤT Môn: TOÁN 12 Năm học: 2007-2008 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1:(1điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a. 2 7 6y x x= − + . b. 2sin .cos lny x x x= − . Câu 2: (1điểm) Tìm các tiệm cận của hàm số: a. 2 2 8 2 x x y x − + = − . b. 2 3 4 5 x y x + = − . Câu 3: (4điểm) Cho hàm số (Cm): 3 2 y x mx m= − + − . a. Khảo sát (C) khi m=3. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm A(-1; 1). c. Tìm m để phương trình sau có nghiệm t: 3 2 sin 3sin 0t t m− + − = . d. Tìm M ∈ (C) để qua M chỉ có 1 tiếp tuyến với (C). e. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. f. Tìm m để (Cm) đồng biến trên [1; 2]. Câu 4: (3điểm) Cho đường tròn (C): 2 2 4 2 4 0x y x y+ − − − = và đường thẳng (d): x – y = 0. a. Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của (C). b. Tìm phương trình (C’) đối xứng với (C) qua (d). c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với (d) góc 45 0 . Câu 5: (1điểm) (học sinh làm một trong hai câu sau theo đúng khối đăng ký thi): a.(Khối A và Khối B). Chứng minh rằng: 1 2 2007 cos cos2 . cos2007 0a x a x a x+ + = có nghiệm với mọi 1 2 2007 , , .,a a a ∈ ¡ b.(Khối D). Chứng minh rằng: cos cos 2 cos3 0a x b x c x+ + = có nghiệm với mọi a, b, c ∈ ¡ Họ và tên thí sinh……………………………………….Số báo danh………………. Ghi chú: Cán bộ coi thi khong giải thích gì thêm -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 x y HƯỚNG DẪN CHẤM (nếu học sinh làm cách khác đúng thì cho điểm tương ứng với phần đó) Câu Hướng dẫn Điểm Câu 1 1đ 1a 2 7 6y x x= − + . Tìm được TXĐ và tính được 2 2 7 ' 2 7 6 x y x x − = − + 0.5 điểm 1.b 2sin .cos lny x x x= − . Tìm được TXĐ và tính được 1 ' 2cos2y x x = − 0.5 điểm Câu 2 1đ 2a 2 2 8 2 x x y x − + = − Tìm được tiệm cận đứng x = 2 Tìm được tiệm cận xiên y = x 0.25 điểm 0.25 điểm 2b 2 3 4 5 x y x + = − Tìm được tiệm cận đứng x = 5/4 Tìm được tiệm cận ngang y= 1/2 0.25 điểm 0.25 điểm Câu 3 4đ 3a Khi m=3 thì 3 2 3 3y x x= − + − Tìm được TXĐ và tính được y’ = -3x(x-2) Xét dấu y’, tìm được khoảng đơn điệu, CT(0; -3); CĐ(2; 1), khoảng lồi , lõm, điểm uốn, giới hạn Lập được bảng biến thiên X -∞ 0 1 2 +∞ y’ - 0 + + 0 - Y +∞ 0 1 -1 -3 -∞ Vẽ đồ thị 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 3b Tính được tiếp tuyến y = - 9x – 8 Và y = 1 0.5đ 0.5đ 3c Đặt sint = x => -1≤ x ≤ 1 Số nghiệm phương trình là số giao điểm của 3 2 3 3y x x= − + − với y = m -3 trên [-1; 1]. Nên phương trình có nghiệm nếu: 3 3 [-1;1] [-1;1] ( 3 3) 3 ( 3 3)Min x x m Max x x− + − ≤ − ≤ − + − => m∈[0; 4] 0.25đ 0.25đ 3d Giả sử M(x 0 ; y 0 )∈(C). Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: 3 2 0 0 0 ( ) 3 3y k x x x x= − − + − (d). Vì qua M chỉ có 1 tiếp tuyến với (C) nên 3 2 3 2 0 0 0 2 3 3 ( ) 3 3 (1) 3 6 (2) x x k x x x x x x k  + − = − − + −   + =   chỉ có 1 nghiệm k 0.25đ (C) (d) Series 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 5 x f(x) Thay (2) vào (1) ta được 2 0 0 ( ) (2 3) 0x x x x− + − = => 0 0 3 2 x x − = => 0 1x = hay M(1;-1) 0.25đ 3e (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt  (C) có 2 CĐ và CT đồng thời . 0 CT y y < C§ . (C) có 2 cực trị  y’=0 có hai nghiệm phân biệt  m≠0. Từ . 0 CT y y < C§  4 2 4 3 3 - 0 | | 27 2 m m m+ < → > 0.25đ 0.25đ 3f Có 2 ' 3 2y x mx= − + . (Cm) đồng biến trên [1; 2] khi và chỉ khi y’ ≥0 ∀x∈[1; 2] 3 '(1) 0 3 '(2) 0 y y − ≤   − ≤  => m≥3 0.25đ 0.25đ Câu 4 3đ 4a (C): 2 2 ( 2) ( 1) 9x y− + − = Tâm I(2; 1) và bk R= 3 0.5đ 0.25đ 0.25đ 4b (C’) đối xứng (C) qua (d) nên (C’) có tâm I’ đối xứng với I qua (d) và bán kính R’=R =3. Tìm được I’(1; 2) (C’): 2 2 ( 1) ( 2) 9x y− + − = 0.25đ 0. 5đ 0.25đ 4c NX đường thẳng (d) tạo với hai trục tọa độ góc 45 0 nên các tiếp tuyến cần tìm có phương song song với Ox và Oy. Có phương song song Oy: 2 tiếp tuyến x=-1 và x= 5 Có phương song song Ox: 2 tiếp tuyến y=-2 và y=4 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Câu 5 1đ AB Xét hàm số 2007 2 1 ( ) sin sin 2 . sin 2007 2 2007 a a F x a x x x= + + + có đạo hàm và liên tục trên [0; ] π . Mặt khác: 1 2 2007 '( ) cos cos2 . cos2007 ( ) (0) 0 F x a x a x a x F F π = + + +   − =  Khi đó 0 (0; )x π ∃ ∈ sao cho: 0 ( ) (0) '( ) 0 F F F x π π − = − 1 0 2 0 2007 0 cos cos2 . cos2007 0a x a x a x↔ + + + = => phương trình có nghiệm x=x 0 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ D Xét hàm số ( ) sin sin 2 sin3 2 3 b c F x a x x x= + + có đạo hàm và liên tục trên [0; ] π . Mặt khác: '( ) cos cos2 cos3 ( ) (0) 0 F x a x b x c x F F π = + +   − =  Khi đó 0 (0; )x π ∃ ∈ sao cho: 0 ( ) (0) '( ) 0 F F F x π π − = − 0 0 0 cos cos2 cos3 0a x b x c x↔ + + = -> phương trình có nghiệm x=x 0 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ . TRƯỜNG THPT MÊ LINH KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ NHẤT Môn: TOÁN 12 Năm học: 2007-2008 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1:(1điểm). tiếp tuyến tạo với (d) góc 45 0 . Câu 5: (1điểm) (học sinh làm một trong hai câu sau theo đúng khối đăng ký thi) : a.(Khối A và Khối B). Chứng minh rằng: 1