Đề thi phương trình bất phương trình mũ logarit (2002 2009)

1. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình: 2. *CĐ-2009. Cho 0  xy >  x =  x = −2   ⇔ ∨  x + y = xy ⇔  x = y  y =  y = −2  x + y − xy =  x + y − xy =   *CĐ-2009 Cho 0 lnx x − 3x + ≥0 ĐH-B-08 Giải bất phương trình: log x  x − 3x + 0 < x < ∨ x > 0 < x < ∨ x > >0  x − 3x +    x log ≥0 ⇔ ⇔  x − 4x + ⇔  x2 − x + x ≤0 ≤0  x − 3x + ≤   x x    x  HD: 0 < x < ∨ x >  ⇔ ⇔ 2− ≤ x HD: BPT tương đương  log (4 x − 3) − log (2 x + 3) ≤  3     x > x > x > x>     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < x≤3 2 log (4 x − 3) ≤  (4 x − 3) ≤ 8 x − 21x − ≤  − ≤ x ≤     2x +  2x +   *ĐH-B-07 Giải phương trình: HD: Đặt t = ( ) ( ) ( x −1 + ) x +1 − 2 = x + ta PT: t + = 2 ⇔ t − 2t + = ⇔ t = − ∨ t = + ⇔ x = −1 ∨ x = t x x *ĐH-D-07 Giải phương trình: log (4 + 15.2 + 27) + log 4.2 x − =0 HD: Đặt t=2x, t>0 ta được:   t > t > ⇔ log (t + 15t + 27) + log =0 ⇔  4t − t + 15t + 27 = 4t − t + 11t + 30 =   Phương trình vơ nghiệm t nên phương trình cho vơ nghiệm x *Tham khảo 2007 Giải BPT: ( log x + log ) x log 2 x ≥ HD: ĐK: x>0, x≠1 Đưa 3log x + log x = 1 + log x ⇔ + 2t = + t 2 t (t = log x) ⇔ t − t + = ⇔ t = ∨ t = −2 ⇔ x = ∨ t = 10 *Tham khảo 2007 Giải PT: log ( x − 1) + HD: ĐK: x>1 Đưa log x +1 = + log x + 1 1 log ( x − 1) + = + log ( x + 2) 2 log x +1 2 ⇔ log ( x − 1) + log (2 x + 1) = + log ( x + 2) ⇔ log ( x − 1)(2 x + 1) = log 2( x + 2) ⇔ x − x − = ⇔ x = −1 ∨ x = 11 Do ĐK, nhận nghiệm x = 2 Tham khảo 2007 Giải PT: log ( x − 1) + log (2 x − 1) = HD: ĐK x>1 Đưa 2log ( x − 1) + 2log (2 x − 1) = ⇔ log ( x − 1)(2 x − 1) = ⇔ ( x − 1)(2 x − 1) = ⇔ x − x − = ⇔ x = ∨ x = − Do ĐK nhận x=2 12 *Tham khảo 2007 Giải PT: (2 − log x)log x − HD: ĐK x>0, x≠ Đưa (2 − log x) =1 − log x − log x − =1 ⇔ − =1 log x − log x + log x − log x 2−t − = (t = log x) + t 1− t ⇔ (2 − t )(1 − t ) − 4(2 − t ) = (2 + t )(1 − t ) ⇔ ⇔ t2 + t − = ⇔ t = 13 −1 − 17 −1 + 17 Do ĐK nhận −1 + 17 t= ∨t = 2 1 2 Tham khảo 2007 Giải BPT: log x − x + + log ( x − 1) ≥ 2 HD: ĐK x < ∨ x >1 1 ( x − 1) ( x − 1) Đưa − log ( x − 1)(2 x − 1) + log ( x − 1) ≥ ⇔ log ≥2 ≥1 ⇔ 2 ( x − 1)(2 x − 1) ( x − 1)(2 x − 1) ⇔ ( x − 1)( −3x + 1) −3 x + −3 x + x − 1 ≥0 ⇔ ≥0⇔ ≥0 ⇔ ≤x< ( x − 1)(2 x − 1) ( x − 1)(2 x − 1) 2x −1  x < ∨ x > 1  ⇔ ≤x< Kết hợp ĐK:  1 ≤ x < 3  Tham khảo 2007 Giải BPT: 23x +1 − 7.2 2x + 7.2 x − = x HD: 2t − 7t + 7t − = (t = , t > 0) ⇔ (t − 1)(2t − 5t + 2) = ⇔ t = ∨ t = ∨ t = ⇔ x = ∨ x = ∨ x = −1 x 15 *ĐH-A-2006 Giải phương trình3.8 + 4.12 x − 18x − 2.27 x = HD: 3.23 x + 4.3x 22 x − 32 x x − 2.33 x = 14 3x 2x x 2 2 2 Chia vế PT cho ta đươc:  ÷ +  ÷ −  ÷ − = 3 3 3 x 2 Đặt t =  ÷ , t>0 ta có: 3t + 4t − t − = ⇔ t = −1 ∨ t = 3 Do ĐK ta nhận t = ⇔ x=1 16 Tham khảo 2006 Giải PT: log x + 2log x = log x 3x HD: ĐK x>0, x≠1, x≠ ⇔ 1 + = PT tương đương với: log x log x log8 x + = ⇔ = ⇔ + log x = 2log x log x + log x + log x log x + log x ( ⇔ 2x = x ⇔ x = ) ( ) x x −2 + ĐH-B-2006 Giải BPT: log + 144 − 4log < + log 17 HD: Biến đổi BPT  x + 144  x −2 log  +5 ÷ < log 5.2  16  ( ) 4x + 144 ⇔ < 5.2 x −2 + ⇔ 4x -20.2x + 64 < 16 ⇔ t -20.t + 64 < 0(t=2 x > 0) ⇔ (t − 4)(t − 16) < ⇔ < t < 16 ⇔ < x < Tham khảo 2006: log 18 x + − log (3 − x) − log ( x − 1)3 = HD: ĐK 10 hệ sau có nghiệm nhất:  y − x = a e x+ a − e x − ln(1 + x + a ) + ln(1 + x ) = HD: Biến đổi  y = x + a Xét hàm số f ( x) = e x + a − e x − ln(1 + x + a ) + ln(1 + x ), x > −1 a f ′( x) = e x (e a − 1) + > (vì a>0 x>−1) (1 + x)(1 + x + a) lim f ( x) = +∞, lim f ( x) = −∞ , f(x) liên tục (−1; +∞) Từ hai kết trên, f(x)=0 có nghiệm x  x →+∞ + t →−1   (−1; +∞) Do f ′( x) > 0, ∀x > −1 nên f(x)=0 có khơng q nghiệm Kết luận f(x)=0 có nghiệm x0 HPT có nghiệm nhất.(x=x0;y=x0+a) ĐH-D-2006 Giải PT: x 21 +x − 4.2 x −x − 22 x + =  x2 + x u = HD: Đặt  Suy u.v = 22 x (u>0,v>0) v = x − x  Phương trình thành: u − 4v − uv + = ⇔ u(1-v)+4(1-v)=0 ⇔ (u+4)(1-v)=0 ⇔ v=1 ⇔ x − x = ⇔ x = ∨ x = ( ) ( ( ) ) x x +1 Tham khảo 2006 Giải PT: log 3 − log3 − = 22 HD: Đưa về: ( ) ( ) ( ) log 3x − log 3(3x − 1) = ⇔ log 3x − 1+log 3x −  =   ( t = log ( − 1) ) ⇔ t ⇔ t (1 + t ) = ( x ) ( + t − = ⇔ t = ∨ t = −3 ) ⇔ log 3x − = ∨ log 3x − = −3 ⇔ 3x − = ∨ 3x − = ⇔ 3x = 10 ∨ 3x = 23 27 28 28 ⇔ x = log 10 ∨ x = log 27 27 ln(1 + x ) − ln(1 + y ) = x − y ***Tham khảo 2006 Giải HPT:  2  x − 12 xy + 20 y = HD:  Xét PT thứ ln(1+x)-x=ln(1+y)−y Đặt f(t)=ln(1+t)−t (t>−1) −t f ′(t ) = −1 = t +1 t +1 Nếu −10 f’(t)0 x=10y hay x=2y cho x>0, y>0 Nếu −1 x  y > 0, y > x    − log (y − x) + log y = y   y log (y − x) − log y = ⇔ ⇔ log =1 ⇔  =4  y−x  x + y = 25  y − x  x + y = 25   x + y = 25  x + y = 25    y > 0, y > x  y > 0, y > x  y > 0, y > x  y > 0, y > x   x = 4x 4x     ⇔ y = ⇔ y = ⇔ y = ∨  y = −4 ⇔ 3 y =   x =  x = −3 2    x + y = 25 x =   30 ) (   Tham khảo-2004 Giải BPT: log π log x + x − x  <   ( ( ) ) log x + x − x >  log x + x − x  < log π ⇔ log x + x − x > ⇔     log x + x − x >  ) ( HD: ( ) x + 2x − x > 2 − x < 2 − x ≥  ⇔ ∨ ⇔ x + 2x − x > ⇔ x − x > − x ⇔  2  x − x ≥ 2 x − x > x − x + x + 2x − x >  x ≤ x > x ≤ ⇔ ( x < −4 ) ∨ ( < x ) ⇔ ∨ ⇔ x > 2∨  x ≤ ∨ x ≥  x + 3x − >  x < −4 ∨ x > 1 31 Tham khảo-2004 Giải BPT: 2.x log2 x ≥ 2 log2 x log x  log2 x  log x log x ⇔ log  2.x ⇔ + log x ≥ log x ⇔ ≥ log x ⇔ < x ≤ ÷ ≥ log 2 2.x ≥ 22 HD: 2   32 ***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm nhất: x x +1 = ( x + 1) x ( x > 0) HD: x x +1 = ( x + 1) ⇔ ln x x +1 = ln ( x + 1) ⇔ ( x + 1) ln x = x ln ( x + 1) ⇔ ( x + 1) ln x − x ln( x + 1) = Đặt f ( x ) = ( x + 1) ln x − x ln( x + 1) x x 1 − x2 − x −1 + f ′′( x) = < Suy f’(x) nghịch biến R+ x x +1 x ( x + 1) x 1   + + + Mà: xlim f ′( x ) = xlim  ln ÷ = ⇒ f’(x)>0 với x>0 ⇒ f(x) đồng biến R →+∞ →+∞  x +1 x x +1  lim f ( x) = −∞ f(e)=e+1−eln(e+1)>0 f ′( x) = ln x − ln( x + 1) + x → 0+ Vậy có x0 thuộc (0;e) để f(x0)=0 x0 nghiệm ln x 33 ĐH-B-2004 Tìm GTNN hàm số: y = x ∈ 1;e3    x ln x(2 − ln x) ln x HD: y = f (x) = f ′(x) = ⇔ x = ∨ x = e2 x ∈ 1;e3  f ′(x) =   x x f(1)=0; f (e ) = 34 HD:      f (e ) = ; e e GTNN f(1)=0; GTLN f (e ) = ***Tham khảo 2004 Giải BPT: e2 x −1 + x − 11 >4 x −2 x −1 + x − >0 x−2  x −1 + x − < x HD: y = f ( x) = e x − sin x +  Suy f’(x) đồng biến R, f’(0)=0  Suy f’(x)>0 x>0 f’(x) 0, x ≠  x > 0, x ≠  x > 0, x ≠    x > 0, x ≠   ⇔ HD: Đưa t = log x ⇔ t = log x ⇔ t = log x −1 < log x < ∨ log x >    −1 < t < ∨ t > t −1  t >  >0  t  t  ⇔ < x < 1∨ x > 3 10 37  x + y = y2 + x  x+ y x−  − = x − y ***Tham khảo 2004 Giải HPT HD: Xét PT thứ nhất: (x−y)(x+y−1)=0  Thay y=x vào PT thứ hai 22 x − x−1 = ⇔ x = x − ⇔ x = −1 (y=−1) x −1  Thay y=1−x vào PT thứ hai x −1 + x − = Hàm số f ( x) = + x − đồng biến R f(1)=0 nên f(x)=0 có nghiệm x=1 (y=0)  Kết luận (x=−1;y=−1), (x=1;y=0) 15.2 x +1 + ≥ x − + x +1 Tham khảo 2003 Giải BPT 38 HD: Đặt t=2x ta 30t + ≥ t − + 2t  t=1 thỏa BPT   t > t > ⇔ ⇔1< t ≤ 30t + ≥ 9t − 6t + t − 4t ≤ t < −1 −1 ≤ t < −1 ≤ t < −1  ⇔ ≤ t < −1 ∨  t1 ta 30t + ≥ 3t − ⇔   Tổng hợp trường hợp điều kiện t>0 ta có < t ≤ ⇔ < x ≤ ⇔ x ≤ 39 Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1) : 4(log x ) − log x + m = 2 HD: 4(log x ) − log x + m = ⇔ ( log x ) + log x + m = ⇔ m = − ( log x ) − log x 2 2 Với 0 f ( x) = x − − x   Xét −1 ≤ x ≤ , k > f ( x) = ( − x ) − x 44 3 ( )) ( x ĐH-B-2002 Giải BPT : log x log − 72 ≤ 0 < x < x >     x x x HD: log x log − 72 ≤ ⇔ log − 72 > ∨ log − 72 >   x x log − 72 ≥ x log − 72 ≤ x   x > x > 0 < x < 0 < x <   x  ⇔ ∨ 9 − 72 > ⇔  x ∨ 3x > x x 9 − 72 ≥  x x log − 72 ≥ x  x  − 72 ≤ 3x  9 − − 72 ≤ ( ( )) ( ( ( ) ) ( ( )  0 < x < x > ⇔ x ∨ ⇔ log < x ≤ x x 3 ≤ −8 ∨ ≥ 6 ≤ ≤  ( ) 12 ) ) 45 x − y + =   log x − log y =  Tham khảo 2002 Giải HPT  HD:  x ≥ 1, y ≥  x ≥ 1, y ≥  x ≥ 1, y ≥ x − y + = x = x =     ⇔ x = y − ⇔ x = y − ⇔ x = y − ⇔ ∨  y =1 y =  log x − log y = log x = log y x = y2  y2 − y + =     46 Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm: 91+ 1− x − ( a + ) 31+ 1− x + 2a + = HD: 1+ 1− x 1+ 1− x − ( a + 2) Với −1≤x≤1 ta có  1− x  ⇔ t = + 2a + = 9t − 3( a + 2)t + 2a + =  ≤t ≤3 Ta tìm a để PT 9t − 3(a + 2)t + 2a + = có nghiệm t thỏa 9t − 6t + Biến đổi PT a = f (t ) = 3t − x 1/3 2/3 -∞ f’(t) + 0 − − f(t) +∞ Tham khảo 2002 Giải PT: HD: log 9(3t − 4t + 1) , f ′(t ) = ⇔ t = ∨ t = (3t − 2) +∞ f ′(t ) = + -∞ PT có nghiệm a≤0 V a≥4 47 ≤t ≤3 log 2 ( x + 3) + log ( x − 1) = log ( x )  x > 0, x ≠  x > 0, x ≠ 1   ( x + 3) + log ( x − 1) = log ( x ) ⇔ log x + + log x − = log (4 x) ⇔  4x ( )  2  log x − = log x +   x > 0, x ≠ 0 < x < x > 0 < x < x >    ⇔ ⇔ ∨ ∨ 4x 4x 4x ⇔  − x − x + = x  x + x − = x  x −1 = x + − x + = x +  x − = x +    0 < x < x > ⇔ ∨ ⇔ x = −3 + ∨ x =  x + 6x − =  x − 2x − = 48 ĐH-D-2002 Giải HPT  23 x = y − y  x  + x +1 =y  x  +2 HD:  23 x = y − y  23 x = y − y  23 x = y − y  y = 2x  y = 2x    x   x x x +1 ⇔  (2 + 2)2 ⇔ ⇔ ⇔ x 4 + 2 =y =y y − 5y + 4y = y − 5y + = 2 = y  x  x     +2  +2  y = 2x x = x = ⇔ ⇔ ∨ y =1 y =  y = 1∨ y = 13 ( ( ) ) log x x3 + x − 3x − y =  Tham khảo 2002 Giải PHƯƠNG TRÌNH :  log y y + y − y − x =  49 HD:  x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠  x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ log x x3 + x − 3x − y =    ⇔  x + x − x − y = x ⇔ 2 x − 3x − y =  log y y + y − y − x =   2   y + y − y − 5x = y 2 y − y − x = ( ( ) )  x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠  x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠   ⇔ 2( x − y ) − 3( x − y ) − 5( y − x) = ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = 4( x + y ) − 3( x + y ) − 5( x + y ) = 4( x + y ) − 8( x + y ) =    x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠  x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ x =   ⇔ x = y ∨  y = −1 − x ⇔ y =   8 x − 16 x = 8 x + x + 13 = 50 Tham khảo 2002 Giải BPT: ( ) ( ) log x + ≥ log 2 x +1 − 3.2 2 x x +1 − 3.2 >  − 3.2 ) ⇔ 2 x ⇔ x≥2 HD: log ( + ) ≥ log (2  x x +1 ⇔ ≥ 16 2 − 3.2 4 + ≤  x +1 14 ... 2x +   *ĐH-B-07 Giải phương trình: HD: Đặt t = ( ) ( ) ( x −1 + ) x +1 − 2 = x + ta PT: t + = 2 ⇔ t − 2t + = ⇔ t = − ∨ t = + ⇔ x = −1 ∨ x = t x x *ĐH-D-07 Giải phương trình: log (4 + 15.2 +... log (t + 15t + 27) + log =0 ⇔  4t − t + 15t + 27 = 4t − t + 11t + 30 =   Phương trình vơ nghiệm t nên phương trình cho vơ nghiệm x *Tham khảo 2007 Giải BPT: ( log x + log ) x log 2 x ≥ HD:...  ⇔ >6 x+4 x2 + x x+4 x + x > >1  x+4 x+4  ⇔ −4 < x < −3 ∨ x > x − 3x + ≥0 ĐH-B-08 Giải bất phương trình: log x  x − 3x + 0 < x < ∨ x > 0 < x < ∨ x > >0  x − 3x +    x log ≥0 ⇔ ⇔ 