Các dạng bài tập tích phân

60 1,297 4 Gửi tin nhắn cho vờ_inh xinh
vờ_inh xinh

vờ_inh xinh

Tải lên: 17,813 tài liệu

  • Loading...
1/60 trang
Tải xuống 2,000₫

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 16/08/2013, 20:16

Tài liệu tham khảo các dạng bài tập liên quan đến các vấn đề trong tích phân. Đây là các dạng bài tập tích phân được trình bày theo hình thức tiếng Anh. Chapter 5e Integral of Irrational Function 8/ 2 5 * 6 7 9 11 12 * 13 * 14 * 15 17 * 18 * .19 .20 22 22 23 25 27 .28 .29 .31 32 .33 36 37 37 38 38 39 39 39 40 41 42 42 43 44 * .44 45 46 47 47 1 48 49 50 51 52 52 55 56 58 .58 59 8/ ( ) 2 dx I x q ax bx c = − + + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx 1 dt 1 Put x q dx , t t x q t x q ax bx c 1 1 1 2q 1 ax bx c a q b q c a q b q c t t t t t a b 2aq 1 aq bq c a t b 2aq t aq bq c t t t − = ⇒ = − = − − + +         + + = + + + + = + + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         + = + + + + = + + + + + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dt dx t 1 1 x q ax bx c a t b 2aq t aq bq c t t dt dt t 1 a t b 2aq t aq bq c t aq bq c t b 2aq a t − ⇒ = − + + + + + + + − = = − + + + + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dt Put aq bq c A, b 2aq 1 a t t aq bq c aq bq c aq bq c dt b 2aq b 2aq 1 a t A 2A A 4A b 2aq b 2q 4Aa b 2aq a Put t y dy dt, N 2A A 4A 4 aq bq c = − + + =   +  ÷ + +  ÷ + + + + + +  ÷   = −   + +    ÷ + + −  ÷  ÷     + + − +  + = ⇒ = = − =  ÷   + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dy Ady I If N 0 N n 4Aa b 2aq , y N y N A 4Aa b 2aq 4a a.q b.q c b 4abq 4 aq 4ac b b c b A 0 A m a.q b.q c 0 a q 0 2a a 4 b 4ac b a q a 0 2a 4 = − = − ≥ ⇒ = ⇒ ≥ + + + ≥ + ⇔ + + ≥ + + ⇔ ≥       > ⇒ = ⇒ + + ≥ ⇔ + + − ≥  ÷         −     ⇔ + + ⇔ >  ÷       ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 m.dy I m.ln y y n y n B 1 b 2q y t 2A x q 2 aq bq c   ⇒ = − = − + +  ÷   + +   = + = +  ÷ −   + + ∫ 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b 2aq b 2aq b 2aq a a y n t t t 2A A 4A aq bq c aq bq c t aq bq c t b 2aq a aq bq c t aq bq c t b 2aq a t t aq bq c   + + +   ÷ + = + + − = + +  ÷  ÷   + + + +  ÷   + + + + + = + +   + + + + +  ÷ =  ÷ + +  ÷   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t aq bq c t b 2aq a * t 1 2q 1 1 1 a q b q c a q b q c t t t t t ax bx c ax bx c y n x q aq bq c 1 1 x q t t x q + + + + +         = + + + + + = + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         + + = + + ⇒ + = − + +   = + ⇒ =  ÷ −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ln y y n dx I 1 x q ax bx c aq bq c 1 b 2aq 1 ax bx c ln aq bq c x q x q 2 aq bq c aq bq c   + +  ÷   ⇒ = = − − + + + +     + + +  ÷  ÷ = − + + + +  ÷  ÷ − − + + + +  ÷  ÷     ∫ 4 ( ) 2 dx * I x 1 1 x = − − ∫ ( ) 2 2 2 2 2 dx 1 * I Put : x 1 t x 1 1 x dt 1 1 2t dx 1 x 1 1 t t t = − = − − − +   ⇒ = − = − + = −  ÷   ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 dt dt t I 1 2t 1 2t t. t because1 x 0 x 1 x 1 0 t 0 t t d 2t 1 1 2t 1 1 2 1 x I 1 2t 1 C 1 2 2 x 1 1 x 1 2t 1 2 − + ⇒ = − = − − − − − > ⇔ < ⇒ − < ⇒ < ⇔ = − − − − − − = − = − = − − − = − − − = − + − + − − − + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3x 4 VD : dx x 6x 8 1 x 3 x 6x 8 Put x 3 t x t 3 dx dt 3 3 t 4 3x 4 dx dx x 6x 8 1 t d 1 t 3t.dt dt 3 13 13arcsin t 2 1 t 1 t 1 t d 1 t 2t.dt 3 1 t 13arcsin t 3 x 6x 8 13arcsin x 3 C + − + − = − − − + − − = ⇒ = + ⇒ = + + + = − + − − − = + = − + − − − − = − = − − + = − − + − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ For evaluating integral 2 R x, ax bx c   + +  ÷   ∫ we can make a trigonometric change of variables: 5 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c b ax bx c a x 2a a 4a b b 4ac a x a u d If b 4ac 0, a 0 2a 4a b 4ac b a x a u d If b 4ac 0, a 0 2a 4a b 4ac b a x a d u If b 4ac 0, a 0 2a 4a      ÷ + + = + + −  ÷  ÷       −    ÷ = + − = − − > >  ÷  ÷       −    ÷ = + + = + − < >  ÷  ÷       −    ÷ = − − + = − − − > <  ÷  ÷     2 2 2 2 2 2 2 2 2 d R x, ax bx c R u, u d Put u sin t R x, ax bx c R u, d u Put u d.sin t R x, ax bx c R u, u d Put u d.tgt     + + = − =  ÷  ÷         + + = − =  ÷  ÷         + + = + =  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ * ( ) ( ) 3 2 x 2 3 dx 1 I sin arctan C 3 3 x 4x 7   + = = +  ÷  ÷   + + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 dx du * I x 4x 7 x 2 3 Put u x 2 I x 4x 7 u 3 3 3 Put u 3.tan t du , u 3 3 tan t 1 cos t cos t x 2 3 3.cos t.dt sin t 1 u 3 1 I sin arctan sin arctan 3 3 3 3 3 cos t. 3 = + + = + + = + ⇒ = + + + = ⇒ = + = + =     + ⇒ = = = =  ÷  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ 6 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 b x dx 4a 2a * I sin arctan with a 0, 4ac b 0 a. 4ac b 4ac b ax bx c a      ÷ +  ÷  ÷   = = > − ≥  ÷ − −  ÷ + +  ÷   ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 dx b 4ac b * I a 0, 4ac b 0 ax bx a a x 2a 4a ax bx c b 4ac b 1 du Put u x , m I , 2a a. a 4a u m m.dt m Put u m.tan t du , u m m tan t 1 cos t cos t     −     = > − ≥ + + = + +  ÷  ÷  ÷         + +   − = + = ⇒ =  ÷  ÷   + = ⇒ = + = + = ∫ ∫ ( ) ( ) 3 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 du 1 m.dt 1 cos t.dt 1 sin t I . a. a a. a a. a a. a.m cos t. m m u m cos t. cos t b x 1 u 4a 2a sin arctan sin arctan m 4ac b a. 4ac b 4ac b a. a. 4a a ⇒ = = = =   +  ÷        ÷ +  ÷  ÷     = =  ÷  ÷     − − −  ÷  ÷  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) c 1 2 3 c 2b b 2a 2a 2 2 c b x dx 4a 2a I lim .sin arctan m a. 4ac b ax bx c b c 4a 4a 2a . lim sin arctan m a. 4ac b a. 4ac b +∞ →+∞ − − →+∞       +  ÷    ÷      ÷ ⇒ = =    ÷ − + +  ÷           +  ÷  ÷    ÷ = =  ÷ − −  ÷   ∫ 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 n 2 2 2 2 n n 2 2 2 2 2 2 2 n n n 2 2 2 dx b 4ac b * I a 0, 4ac b 0 ax bx a a x 2a a ax bx c b 4ac b 1 du Put u x , m I , 2a a a u m m.dt m Put u m.tan t du , u m m tan t 1 cos t cos t 1 du 1 m.dt I m a a u m cos t. cos t     −     = > − ≥ + + = + +  ÷  ÷  ÷         + +   − = + = ⇒ =  ÷  ÷   + = ⇒ = + = + = ⇒ = = + ∫ ∫ ∫ ( ) n 2 n n 1 n cos t .dt 1 m a − − =    ÷   ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) n 2 2 n 1 n n 2 2 2 2 cos t .dt dx 1 * I a 0, 4ac b 0 m a ax bx c 4ac b b u m , u x , t arctan 2a m a − − = = > − ≥ + +   − = = + =  ÷  ÷   ∫ ∫ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 b x dx 1 dt t 1 2a n 2 : I arctan a m a.m ax bx c 4ac b 4ac b a. 4a 4a 2 2ax b arctan 4ac b 4ac b      ÷  ÷ +  ÷  ÷ = = = = =  ÷  ÷ + +  ÷ − −  ÷  ÷  ÷         +  ÷  ÷ =  ÷  ÷ − −     ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 dx 1 1 1 cos 2t n 4 : I cos t .dt .dt 2 a .m a .m ax bx c 1 sin 2t 1 u 1 u t arctan .sin 2.arctan 2 m 2 m 2a .m 2a .m b x u 0, x u 2a + = = = = + +           = + = +    ÷  ÷  ÷  ÷           = − ⇒ = = +∞ ⇒ = +∞ ∫ ∫ ∫ 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 0 b/2a 3/2 3/2 2 2 2 2 2 3 3/2 2 dx 1 u 1 u . arctan .sin 2.arctan m 2 m 2a .m ax bx c 1 sin 1 sin . . 2 2 2 2 4ac b 4ac b 2a . 2a . 4a 2a 4a sin . 2 2 4ac b +∞ +∞ −         ⇒ = +    ÷  ÷  ÷         + + π π π π     = + = +  ÷  ÷       − −  ÷  ÷   π π   = +  ÷   − ∫ ( ) ( ) 3 n 3/2 2 n 2 2 i 1 c c.n b * lim 1 sin arctan 2 4ac b a i.c b.n.i.c n c →+∞ = →+∞      ÷  ÷ = −  ÷  ÷ −     + + ∑ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) i i i 3 2 i i 3 n n 2 3/2 3 n n 2 2 2 i 1 i 1 2 c c 2 n 3/2 n n 2 i 1 c c 1 c i.c Put f x , x 0, c , x , x n n ax bx c c.n c 1 I lim lim n a i.c b.n.i.c n c a i.c b.n.i.c n c n c 1 lim lim n i.c i.c a b c n n →+∞ →+∞ = = →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ = →+∞ →+ = ∈ ∆ = = + + ⇒ = =   + + + +  ÷  ÷   = =        ÷ + +  ÷  ÷  ÷       ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) c n i 3/2 c 2 i 1 0 2 dx f x . x lim ax bx c b 1 sin arctan 2 4ac b →+∞ = ∞ ∆ = + +      ÷  ÷ = −  ÷  ÷ −     ∑ ∫ ( ) p m n x a bx dx+ ∫ with m, n, p is rational number. The Russian mathematicant Trebushep prove that the upper integral only can be expressed in elementary function in 3 follow cases: 1/ p is an interger, when that, put s x t= with s is the least common multiple of m, n. 2/ m 1 n + is an interger, put s s a bx t+ = with s is the denominator of p. 3/ m 1 p n + + is an interger, put n s ax b t − + = with s is the denominator of p. 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 1 1 2 4 10 4 4 3 3 10 10 9 10 2 8 9 8 9 4 4 dx Ex : I x x 1 x x 1 So p 10 is a interger, we have case 1/ Put x t dx 4t .dt t 1 1 d t 1 d t 1 4t .dt I 4 dt 4 t t 1 t 1 t 1 t 1 4 4 1 4 8 t 1 9 t 1 2 x 1 9 x 1 − −    ÷ = = +  ÷  ÷ +   = − = ⇒ =   + − + +  ÷ ⇒ = = = −  ÷ + + + +   − − = + = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p m n p a a 1 m.a n.a a 1 p p i a m 1 1 n.a.i a m 1 1 i n.a p i i i p i p p i 1 i 1 * I x . a b.x .dx where p is a interger Put x t dx a.t .dt I a t . a b.t .t .dt I a t . C b.t .a .dt a C t .b a .dt Put n.a.i a m 1 1 c − − + − + + − − − = = = + = ⇒ = ⇒ = +             = =  ÷  ÷  ÷  ÷             + + − = ⇒ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ ∫ i c 1 i p i p p p i c i p i p i 1 i 1 C t .b a I a C t .b a .dt a. c 1 + − − = =       = =  ÷  ÷ +       ∑ ∑ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i n.i m 1 i p i i n.i m 1 i p i p p p p p m n i 1 i 1 1 i n.i m 1 i p i i i p i 1 p p p p p m n 1 i 1 i 1 0 0 C x .b a C x .b a I x . a b.x .dx a. a n.i m 1 n.i m 1 C x .b a C .b a I x . a b.x .dx n.i m 1 n.i m 1 + + − + + − = = + + − − = = = + = = + + + +     ⇒ = + = = + + + +     ∑ ∑ ∫ ∑ ∑ ∫ 10
- Xem thêm -

Xem thêm: Các dạng bài tập tích phân , Các dạng bài tập tích phân , Các dạng bài tập tích phân

Bình luận về tài liệu cac-dang-bai-tap-tich-phan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nạp tiền Tải lên
Đăng ký
Đăng nhập
× Nạp tiền Giỏ hàng Đã
xem
RFD TOP