Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 7 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU I. KHÁI NIỆM Ta đã biết rằng độ lớn thât của một đoạn thẳng thuộc đường bằng thể hiện ngay ở hình chiếu bằng. Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, nếu đường thẳng chiếu hoặc
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Bi 7 CC PHẫP BIN I HèNH CHIU I. KHI NIM Ta ó bit rng ln thõt ca mt on thng thuc ng bng th hin ngay hỡnh chiu bng. Giao im ca ng thng vi mt phng, nu ng thng chiu hoc mt phng chiu thỡ ta bit c mt hỡnh chiu ca giao im m khụng cn s dng mt phng phu tr. Nhng i vi ng thng thng, mt phng thng thỡ trong hỡnh ho ngi ta dựng cỏc phộp bin i hỡnh chiu bin ng thng, mt phng ny v cỏc v trớ c bit m v trớ mi ny d dng gii c bi toỏn. Sau khi gii xong cú loi bi toỏn cn phi a nghim v v trớ ban u. II. PHẫP THAY I MT PHNG HèNH CHIU Phộp thay i mt phng hỡnh chiu l mt phộp bin i m trong ú h thng mt phng hỡnh chiu thay i cũn vt th c biu din thỡ ng yờn II.1 Thay i mt phng hỡnh chiu ng a) nh ngha Thay i mt phng hỡnh chiu ng P 2 l dựng mt mt phng P 2 P 1 lm mt phng hỡnh chiu ng mi Gi trc hỡnh chiu mi l s : s = P 2 P 1 Xột mt im A bt k. Chiu vuụng gúc im A ln lt lờn cỏc mt phng hỡnh chiu P 1 , P 2 , P 2 ta nhn c cỏc hỡnh chiu l: A 1, A 2 , A 2 (Hỡnh 7.1a) P 1 P 2 P 2 A 2 A S s x A X A 1 A A 2 A 2 A S A X s P 2 P 1 x A 2 A 1 A 2 Hỡnh 7.1a Hỡnh 7.1b b) Tớnh cht _ Hỡnh chiu bng A 1 ca im A trong h thng mi v c khụng i _ cao ca im A trong h thng mi v c bng nhau: A' 2 A s = A 2 A x (Hỡnh 7.1a) Qui c _ Sau khi quay P 2 quanh trc s n trựng vi P 1 ri tip tc quay P 1 quanh trc x theo chiu qui c n trựng vi P 2 ta nhn c thc ca im A trong h thng c v mi (Hỡnh 7.1b) _ hai phớa trc hỡnh chiu mi s ngi ta thng ghi hai mt phng hỡnh chiu mi P 1 v P 2 vi qui c nh sau: Nu cao ca im A dng thỡ A 2 c t v phớa cú ghi ch P 2 Vớ d 1 Cho on thng AB (A 1 B 1 , A 2 B 2 ); (Hỡnh 7.2). Hóy thay i mt phng hỡnh chiu ng AB tr thnh ng mt trong h thng mi. GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 42 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 Giải Để AB trở thành đường mặt trong hệ thống mới thì ta phải chọn mp P’ 2 // AB, tức chọn trục s // A 1 B 1 Áp dụng độ cao mới bằng độ cao cũ ta vẽ được A’ 2 B’ 2 (Hình 7.2) Nhận xét _ A’ 2 B’ 2 = AB _ (A’ 2 B’ 2 , s) = (AB, P 1 ) = α Hình 7.2 Ví dụ 2 Cho mặt phẳng (ABC) và điểm M (Hnh 7.3). Bằng phương pháp thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng; hãy xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC) Giải _ Để mp(ABC) trở thành mặt phẳng chiếu đứng trong hệ thống mới thì ta phải chọn mp P’ 2 vuông góc với đường bằng BD của mặt phẳng (ABC) , tức chọn trục s ⊥ B 1 D 1 _ Áp dụng độ cao mới bằng độ cao cũ ta vẽ đựơc hình chiếu đứng mới của mp(ABC) suy biến thành đoạn thẳng A’ 2 C' 2 _ Để xác định khoảng cách từ điểm M đến mp(ABC), ta vẽ : MH ⊥ mp(ABC) Dễ thấy MH là đường mặt trong hệ thống mới nên : M’ 2 H' 2 ⊥ A 2 ‘C' 2 và M 1 H 1 // s Hình 7.3 H 2 được xác định nhờ độ cao cũ bằng độ cao mới (Hình 7.3) . _ Khoảng cách từ điểm M đến mp(ABC) chính là đoạn M’ 2 H' 2 = MH II.2 Thay đổi mặt phẳng hình chiếu bằng a) Định nghĩa Thay đổi mặt phẳng hình chiếu bằng P 1 là dùng một mặt phẳng P’ 1 ⊥ P 2 làm mặt phẳng hình chiếu bằng mới x B 1 B’ 2 A’ 2 s P 1 P 2 ’ A 2 M’ 2 A’ 2 M 2 D 2 C 2 B 2 D 1 H' 2 H 1 M 1 B 1 A 1 C 1 C' 2 B’ 2 ≡D’ 2 s x P 1 P 2 ’ H 2 B 2 B 1 B’ 1 x s P 1 ’ P 2 B X B S P 2 P 1 B x B X B 1 B’ 1 B S B 2 s B’ 1 P 1 ’ α B 2 A 1 A 2 Hình 7.4a Hình 7.4b Gọi trục hình chiếu mới là s : s = P’ 1 ∩ P 2 GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 43 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Xột mt im B bt k. Chiu vuụng gúc im B ln lt lờn cỏc mt phng hỡnh chiu P 1 , P 2 , P 1 ta nhn c cỏc hỡnh chiu l: B 1, B 2 , B 1 (Hỡnh 7.4a) b) Tớnh cht _ Hỡnh chiu ng B 2 khụng i trong h thng mi v c _ xa ca im B trong h thng mi v c bng nhau: B' 1 B s = B 1 B x ( Hỡnh 7.4a) Qui c _ Quay P 1 quanh trc s n trựng vi P 2 ri quay P 1 quanh trc x theo chiu qui c n trựng vi P 2 ta nhn c thc ca im B trong h thng c v mi (Hỡnh 7.4b) _ hai phớa trc hỡnh chiu mi s ngi ta thng ghi hai mt phng hỡnh chiu mi P 1 v P 2 vi qui c nh sau: Nu xa ca im B dng thỡ B 1 c t v phớa cú ghi ch P 1 Vớ d 1 Cho ng mt AB (A 1 B 1 , A 2 B 2 ) .Hóy thay i mt phng hỡnh chiu bng AB tr thnh ng thng chiu bng trong h thng mi Gii - AB tr thnh ng thng chiu bng trong h thng mi thỡ ta phi chn mp P 2 AB, tc chn trc s A 2 B 2 . - p dng xa mi bng xa c ta v c A 1 B 1 (Hỡnh 7.5) Hỡnh 7.5 A 2 B 1 A 1 B 2 B 1 A 1 s x P 2 P 1 A 2 C 2 B 2 O 2 o 1 B 1 A 1 C' 1 o' 1 A 1 J 1 I 1 s P 1 P 2 I 1 I 2 C 1 B 1 Gii - v c tõm O ca ng trũn ni tip tam giỏc ABC, ta phi xỏc nh ln tht ca tam giỏc ABC - Thay i mt phng hỡnh chiu bng mp (ABC) tr thnh mt phng bng trong h thng mi, ta phi chn mp P 1 // (ABC) s // A 2 C 2 . x - p dng xa mi bng xa c ta v c hỡnh chiu bng mi ca tam giỏc l: A 1 B 1 C' 1 . - Trong tam giỏc ny ta v hai ng phõn giỏc A 1 I 1 v C' 1 J 1 giao nhau ti O 1 - l tõm ca ng trũn ni tip tam giỏc A 1 B 1 C' 1 . Tr v hỡnh chiu ban u ta cú (O 1 , O 2 ) l thc ca tõm O ca ng trũn ni tip tam giỏc ABC cn tỡm. Hỡnh 7.6 3) Thay i liờn tip hai mt phng hỡnh chiu i vi mt s bi toỏn ta cn phi thay i liờn tip hai mt phng hỡnh chiu cú h thng hai mt phng hỡnh chiu mi phự hp vi bi toỏn , chng hn: _ H P 1 P 2 thay i P 2 h P 1 P 2 tip tc thay i P 1 h P 2 P 1 , hoc _ H P 1 P 2 thay i P 1 h P 2 P 1 tip tc thay i P 2 h P 1 P 2 Chỳ ý 1) i vi ng thng: _ a ng thng thng v ng bng hoc ng mt trong h thng mi ta phi thay i mt phng hỡnh chiu mt ln _ a ng bng hoc ng mt v ng thng chiu ng hoc chiu bng trong h th ng mi ta phi thay i mt phng hỡnh chiu mt ln. GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 44 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 _ Để đưa đường thẳng thường về đường thẳng chiếu trong hệ thống mới ta phải thay đổi mặt phẳng hình chiếu liên tiếp hai lần: + Thay đổi mặt phẳng hình chiếu lần 1 đưa đường thẳng thường về đường bằng hoặc đường mặt trong hệ thống mới + Thay đổi mặt phẳng hình chiếu lần 2 đưa đường b ằng hoặc đường mặt đó về đường thẳng chiếu đứng hoặc chiếu bằng trong hệ thống mới 2) Đối với mặt phẳng: _ Để đưa mặt phẳng thường về mặt phẳng chiếu bằng hoặc mặt phẳng chiếu đứng trong hệ thống mới ta phải thay đổi mặt phẳng hình chiếu một lần _ Để đưa mặt phẳng chiếu bằng hoặc mặt phẳng chiếu đứng về mặt phẳng mặt hoặc mặt phẳng bằng trong hệ thống mới ta phải thay đổi mặt phẳng hình chiếu một lần _ Để đưa mặt phẳng thường về mặt phẳng bằng hoặc mặt phẳng mặt trong hệ thống mới ta phải thay đổi mặt phẳng hình chiếu liên tiếp hai lần: + Thay đổi mặt phẳng hình chiếu lần 1 đưa mặt phẳng thường về mặt phẳng chiếu bằng hoặc mặt phẳng chiếu đứng trong hệ thống mới + Thay đổi mặt phẳng hình chiếu lần 2 đưa mặt phẳng chiếu bằng hoặc mặt phẳng chiếu đứng đ ó về mặt phẳng mặt hoặc mặt phẳng bằng trong hệ thống mới (Hình 7.7) biểu diễn các hình chiếu của điểm A bằng cách thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng P 2 → P’ 2 rồi tiếp tục thay đổi mặt phẳng hình chiếu bằng P 1 → P’ 1 . Khi vẽ A’ 1 , lấy độ xa mới A’ 1 A t = A 1 A s M’ 1 x P 1 P 2 ‘ P 2 ’ t H' 1 ≡A’ 1 ≡ B’ 1 P 1 ’ H' 2 B’ 2 M 2 A’ 2 H 1 B 1 M 1 A 1 H 2 B 2 M 2 A 2 x P 2 ’ P 1 ’ t P 2 ‘ P 1 s A X A S A t A’ 2 A 1 A 2 A’ 1 s Hình 7.7 Hình 7.8 Ví dụ 3 Cho đoạn thẳng AB (A 1 B 1 , A 2 B 2 ) và điểm M (M 1 , M 2 ) ; (Hình 7.8). Tìm khoảng cách từ điểm M đến đoạn thẳng AB Giải ♦ Thay đổi mặt phẳng hình chiếu để đường thẳng thường AB trở thành đường thẳng chiếu trong hệ thống mới, trình tự thực hiện hai bước như sau: _ Thay đổi P 2 để AB // P’ 2 ⇒ s // A 1 B 1 . Áp dụng độ cao mới bằng độ cao cũ ta vẽ được A’ 2 B’ 2 _ Thay đổi P 1 để AB ⊥P’ 1 ⇒ t ⊥ A’ 2 B’ 2 . Áp dụng độ xa mới bằng độ xa cũ ta vẽ được A’ 1 ≡ B’ 1 ♦ Vẽ MH ⊥ AB. Vì AB ⊥ P’ 1 ⇒ H' 1 ≡ A’ 1 ≡ B’ 1 và dễ thấy MH là đường bằng trong hệ thống mới nên ⇒ M’ 2 H' 2 // t và M’ 1 H' 1 = MH thể hiện khoảng cách từ điểm M đến đoạn thẳng AB Từ H' 2 ∈ A’ 2 B’ 2 ⇒ H 1 ∈ A 1 B 1 và H 2 ∈ A 2 B 2 (Hình 7.8) GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 45 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 III. PHẫP QUAY QUAH TRC Phộp quay quanh trc l mt phộp bin i hỡnh chiu m trong ú h thng mt phng hỡnh chiu ng yờn, cũn vt th c biu din quay n v trớ mi phự hp vi yờu cu ca bi toỏn. III.1 Phộp quay quanh trc chiu 1) Phộp quay quanh trc chiu bng a) nh ngha Phộp quay quanh trc chiu bng t l mt phộp bin i hỡnh chiu, sao cho : _ Mi im M tng ng vi im M, hai im ny thuc mt phng bng vuụng gúc trc t _ Khong cỏch t M v M n trc t bng nhau gi l bỏn kớnh quay: OM = OM _ Gúc quay (OM,OM) = - cú chiu cho trc (Hỡnh 7.9a) b) Tớnh cht _ Hỡnh chiu ng ca ng thng ni cp im tng ng song song vi trc x: M 2 M 2 // x _ Hỡnh chiu bng ca gúc quay (OM,OM) bng chớnh nú: (O 1 M 1 , O 1 M 1 ) = (OM,OM) = ( Hỡnh 7.9b) Chỳ ý Nhng im thuc trc quay t cho nh v to nh trựng nhau: gi s A t A A Hỡnh 7.9a Hỡnh 7.9b Hỡnh 7.10a Hỡnh 7.10b 2) Phộp quay quanh trc chiu ng a) nh ngha Phộp quay quanh trc chiu ng t l mt phộp bin i hỡnh chiu, sao cho : _ Mi im N tng ng vi im N, hai im ny thuc mt phng mt vuụng gúc trc t _ Khong cỏch t N v N n trc t bng nhau gi l bỏn kớnh quay: ON = ON _ Gúc quay (ON,ON) = - cú hng cho trc (Hỡnh 7.10a) b) Tớnh cht _ Hỡnh chiu bng ca ng thng ni cp im tng ng song song vi trc x: N 1 N 1 // x _ Hỡnh chiu ng ca gúc quay (ON,ON) bng chớnh nú: (O 2 N 2 ,O 2 N 2 ) = (ON,ON) = ; (Hỡnh 7.10b) N O 1 N 2 O t 1 t 2 O 2 x t 1 t 2 O 2 N 2 N 2 N 1 N 1 t M M 1 M 1 M t 1 O 1 O M 2 M 2 M 1 M 1 t 1 O 1 t 2 x xx P 2 P 1 P 2 P 1 N 2 N O 2 Chỳ ý + Nhng im thuc trc quay t cho nh v to nh trựng nhau. Gi s B t B B + i vi mt s bi toỏn ta cn phi quay liờn tip quanh hai trc chiu cú v trớ mi phự hp vi bi toỏn GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 46 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Vớ d1 Cho on thng AB; (Hỡnh 7.11). Bng phộp quay quanh trc chiu, hóy xỏc nh di tht ca on thng AB v gúc nghiờng ca AB hp vi mt phng hỡnh chiu bng Gii Chn trc quay t chiu bng qua im A t 1 A 1 . Quay quanh trc t a AB n v trớ mi AB // P 2 , A 1 A 1 t 1 ; A 2 A 2 v A 1 B 1 // x B 2 Kt lun : A 2 B 2 = AB v gúc (A 2 B 2 , x) = = (AB, P 1 ) ; (Hỡnh 7.11) Hỡnh 7.11 Hỡnh 7.12 t 2 B 1 B 1 t 1 A 1 A 1 B 2 A 2 A 2 x B 2 x t 1 H 1 h 2 h 1 m n M 1 M 2 M 1 M 2 t 2 Vớ d2 Cho mt phng (m , n ) v im M (M 1 , M 2 ); (Hỡnh 7.12). Hóy chn trc quay l ng thng chiu v quay quanh trc ú a im M n v trớ mi thuc mt phng Gii Khi quay dim M quanh trc t P 1 n v trớ mi M mp thỡ M thuc ng bng h ca mp, h cựng cao vi M. Lỳc ny M 1 h 1 v M 1 t 1 = M 1 t 1 . iu ny xóy ra khi ta chn trc t P 1 tho món : M 1 t 1 t 1 H 1 (vi H 1 l chõn ng vuụng gúc k t t 1 n h 1 ) T M 1 h 1 M 2 h 2 ; (Hỡnh 7.12) Chỳ ý i vi bi toỏn quay quanh trc chiu a ng thng d n v trớ mi d thuc mt phng . Ta chn trc quay i qua giao im ca ng thng d vi mt phng ; sau ú ch cn quay mt im tu ý trờn ng thng d n v trớ mi thuc mt phng (tr v vớ d 2 trờn) III.2 Phộp quay quanh ng bng a) nh ngha Phộp quay quanh ng bng l mt phộp quay quanh trc m trc õy l ng bng Trong phn ny ta xột phộp quay mt mt phng quanh mt ng bng ca nú n v trớ mi song song vi P 1 (cựng cao vi vi ng bng ú) Xột mt im M quay quanh ng bng h n v trớ mi M cựng cao vi h, ta cú: _ M, Mmp h ti O h MM M 1 M 1 h 1 ti O 1 (gúc vuụng c bo tn mp P 1 ) _ O 1 M 1 = OM (vỡ v trớ mi bỏn kớnh quay OM // P 1 ); (Hỡnh 7.13a) T ú ta cú cỏch v M 1 trờn thc nh sau: + V ln tht ca bỏn kinh quay OM (dựng phng phỏp tam giỏc): O 1 M 0 = OM GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 47 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 t trờn ng thng M 1 O 1 ( h 1 ) on O 1 M 1 = O 1 M 0 (Hỡnh 7.13b) Hỡnh 7.13a Hỡnh 7.13b Hỡnh 7.14 A 1 A 2 A 1 C 1 B 1 B 1 D 1 D 1 A 0 C' 1 O 1 B 2 C 2 D 2 x h 1 M 0 M 2 M 1 M 1 O 1 O 2 M M O M 1 O 1 M 1 h h 1 h 2 x P 1 O 2 Vớ d Cho tam giỏc ABC. Bng phộp quay quanh ng bng, hóy xỏc nh ln tht ca tam giỏc ABC Gii + Trong tam giỏc ABC, v ng bng BD. + Quay im A quanh ng bng BD n v trớ mi A cựng cao vi ng bng BD + Ta cú B 1 B 1 v D 1 D 1 (Cỏc im thuc trc quay) + Vỡ CAD C 1 A 1 D 1 v C' 1 A 1 D 1 (vi C 1 C' 1 A 1 D 1 ) Kt lun: A 1 B 1 C' 1 = ABC III.3 Phộp quay quanh ng mt Phộp quay mt phng quanh ng mt c xõy dng tng t nh phộp quay mt phng quanh ng bng. Nhng õy quay mt phng n v trớ mi song song P 2 (cựng xa vi ng mt ú) III.4 Phộp gp mt phng quanh vt Phộp gp mt phng quanh vt ca nú l trng hp c bit ca phộp quay mt phng quanh ng bng hoc ng mt v trớ c bit - ú chớnh l vt bng, vt ng ca mt phng Mc ớch ca phộp gp mt phng quanh vt bng, vt ng ca nú l a mt phng n v trớ mi n trựng vi P 1 hoc P 2 . Nhm gii mt s bi toỏn v ln tht, hoc v trớ . Vớ d 1 Cho mt phng (m , n ) ; (Hỡnh 7.14). Hóy gp mp quanh vt bng m n v trớ mi trựng vi P 1 Gii gp mt phng quanh vt bng v v trớ mi trựng vi P 1 ; vỡ m P 1 nờn ta ch cn quay thờm mt im ca mp n trựng vi P 1 . n gin ta ly im N n ri quay quanh vt bng m n v trớ mi N thuc P 1 . GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 48 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 (Hình 7.14a) cũng cho thấy rằng A’ 1 ∈ M’ 1 N’ 1 là hình gập của A∈ MN ∈ mpα Gọi I = m α ∩ x; ta có : IN ≡I 2 N 2 ≡ n α ⇒ I’ 1 N’ 1 = IN ≡ n’ α (1) n’ α N’ 1 I 1 ≡I 2 M 2 n’ α n α m α M 1 ≡M’ 1 M 2 M 1 ≡M’ 1 N 1 N 2 N’ 1 N 0 O 1 O 2 A’ 1 A 1 A 2 m α m α n α n α I 1 ≡I 2 N 2 N 2 N 1 N 1 ≡ O 2 M 2 A 2 A 1 A 1 A’ 1 N 0 x xx O 1 O 1 M 1 ≡M’ 1 A’ 1 n’ α N’ 1 Hình 7.14a Hình 7.14b Hình 7.15 Chú ý + Từ nhận xét (1) thì điểm N’ 1 được vẽ như sau: N’ 1 = Vòng tròn ( I 1 , I 2 N 2 ) ∩ N 1 O 1 (Hình 7.14b) + Nếu mặt phẳng đã cho là mặt phẳng chiếu cạnh thì khi gập mặt phẳng quanh vết bằng ta vẫn thực hiện như phép quay quanh đường bằng (Hình 7.15) III. MỘT VÀI VÍ DỤ GIẢI SẴN. Ví dụ 1 Cho điểm A và mpα (m α , n α ). a) Hãy xác định khoảng cách từ điểm A đến mpα b) Hãy vẽ điểm B đối xứng điểm A qua mpα Giải a) Qua A vẽ đường thẳng d ⊥ mpα ⇒ d 1 ⊥ m α và d 2 ⊥ n α Vẽ giao điểm H = d ∩ mpα; bằng phương pháp thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng đưa mpα trở thành mặt phẳng chiếu đứng trong hệ thống mới, chọn trục s ⊥ m α ⇒ hình chiếu đứng mới của mpα suy biến thành đường thẳng (α 2 ’). Ta xác định được H' 2 = d’ 2 ∩ (α’ 2 ) ⇒ A’ 2 H' 2 = AH - là khoảng cách từ điểm A đến mpα ⇒ H 1 ∈d 1 và H 2 ∈d 2 b) Vẽ điểm B đối xứng điểm A bằng cách lấy HB = HA. Từ B’ 2 ∈ d’ 2 ⇒ B 1 ∈d 1 và B 2 ∈d 2 , (Hình 7.16) Ví dụ 2 Cho hai đoạn thẳng AB và CD; (Hình 7.17). Hãy thay đổi mặt phẳng hình chiếu bằng để hai hình chiếu bằng mới của chúng song song nhau GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 49 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Hỡnh 7.1 Hỡnh 7.17 P 1 s P 2 ( 2 ) N 2 N 1 N 2 x s P 1 P 2 x H 2 H 1 H 2 B 2 A 2 B 1 B 2 A 1 A 2 m n E 1 D 1 A 1 B 1 C 1 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 E 2 D 2 C 2 B 2 A 2 Gii V CE // AB; trong mp (CDE) ta v ng bng ED. Thay i mt phng hỡnh chiu bng mp (CDE) tr thnh mt phng chiu bng trong h thng mi, cú hỡnh chiu bng mi l on C 1 D 1 Vỡ AB // mp (CDE) A 1 B 1 // C 1 D 1 ; (Hỡnh 7.17) Vớ d 3 Cho on thng AB. Hóy thay i mt phng hỡnh chiu ng : a) Hỡnh chiu ng mi v hỡnh chiu bng ca on thng AB song song nhau b) Hỡnh chiu ng mi v hỡnh chiu bng ca on thng AB i xng nhau qua trc hỡnh chiu mi s Gii a) hỡnh chiu ng mi v hỡnh chiu bng ca on th ng AB song song nhau, ta ve cỏc vũng trũn tõm A 1 , B 1 cú bỏn kớnh ln lt l cao ca im B v im A.ng thng s tip tuyn ngoi ca hai vũng trũn va v l trc hỡnh chiu mi cn dng; (Hỡnh 7.18a) b) hỡnh chiu ng mi v hỡnh chiu bng ca on thng AB i xng nhau qua trc hỡnh chiu mi s, ta v cỏc vũng trũn tõm A 1 , B 1 cú bỏn kớnh ln lt l cao ca im A v im B.ng thng s tip tuyn ngoi ca hai vũng trũn va v l trc hỡnh chiu mi cn dng; (Hỡnh 7.18b) Hỡnh 7.18a Hỡnh 7.18b P 1 P 2 x x A 2 s P 2 P 1 A 1 B 2 B 2 A 2 B 1 B 1 A 1 B 2 A 2 B 2 A 2 s GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 50 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 Ví dụ 4 Cho hai mpα(m α , n α ) và mpβ (m β , n β ). Hãy tìm quĩ tích những điểm cách đều hai mpα (m α , n α ) và mpβ (m β , n β ) trong hai trường hợp sau đây Giải a) Câu a); Hình 7.19a _ Vẽ giao tuyến g ≡ mpα ∩ mpβ; vì m α // m β ⇒ g là đường bằng _ Thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng sao cho giao tuyến g trở thành đường thẳng chiếu đứng trong hệ thống mới: g 2 ’ → một điểm ; các mpα, mpβ có hình chiếu đứng mới suy biến thành các đường thẳng (α 2 ’) và (β’ 2 ) đi qua điểm suy biến đó. _ ⇒ [(α 2 ’) , (β’ 2 )] là góc của hai mp α và mpβ Tập hợp những điểm cách đều hai mp α, mpβ là mpγ phân giác của mpα, mpβ ⇒ (γ 2 ’) là phân giác của [(α 2 ’) , (β’ 2 )] ⇒ m γ // g 1 ; và n γ đi qua N 2 ; (Hình 7.19a) Hình 7.19a Hình 7.19b b) Câub); Hình 7.19b _ Vẽ giao tuyến MN ≡ mpα ∩ mpβ _ Thay đổi mặt phẳng hình chiếu liên tiếp hai lần để MN trở thành đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống mới. Lúc này mpγ phân giác của hai mặt phẳng mpα, mpβ có hình chiếu bằng mới suy biến thành đường thẳng (γ 1 ’) phân giác của [(α 1 ’) , (β’ 1 )] s ’ N 1 ’≡ M 1 ’ n β n β x n γ g 2 (β’ 1 ) (α 1 ’) P 2 ’ P 1 ’’ n’ γ N’ 2 n α n γ N 2 n’ α m α n α N 1 N 2 M 1 n’ β m β m γ m α M’ 2 s P 1 ’ P 2 ’ m γ m β (β’ 2 ) (γ 2 ’) (α 2 ’) P 1 ’ P 2 ’ s g 2 ’ g 1 M 2 N 1 x (γ 1 ’) _ Trả về vị trí ban đầu được : n’ γ // M’ 2 N’ 2 và m γ , n γ ; (Hình 7.19b) Ví dụ 5 Cho mpα (m α , n α ) và điểm A; (Hình 7.20). Hãy chọn trục quay t chiếu bằng, rồi quay quanh t đưa mpα đến vị trí mới chứa điểm A Giải _ Để quay mpα quanh trục t ⊥P 1 đến vị trí mới mp α’∈A thì đường bằng h α của mpα cùng độ cao với điểm A, đến vị trí mới h' α đi qua điểm A. Khi quay quanh trục t chiếu bằng thì h α luôn luôn tiếp xúc với đường tròn có bán kính R là khoảng cách giữa h α và t. Lúc này h 1 ’ α tiếp xúc với đường tròn tâm t 1 bán kính R=Kt 1 và đi qua A1 ⇒ A 2 ∈ h 2 ’ α ≡ h 2α. Điều này xãy ra khi ta chọn trục t ⊥ P 1 thoả mãn: A 1 t 1 ≥ t 1 K (với K là chân đường vuông góc kẽ từ t 1 đến h 1α ). Vết bằng m α cũng quay đến vị mới m α ’ // h 1 ’ α _ Vẽ vết dứng H' của đường thẳng h' α ⇒ n α ’ qua H' 2 và đi qua giao điểm O của vết bằng m α ’ với trục x; (Hình 7.20) GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 51 [...]... cao vi im A A2A1v B2 B1 cựng cao vi im B; (Hỡnh 7. 21b) Vớ d 7 Cho mp (m, n) v ng thng d; (Hỡnh 7. 22) Bng phộp quay quanh ng bng, hóy xỏc nh gúc nghiờng ca ng thng d hp vi mp Giaới _ Qua im A tu ý trờn d, v ng thng k mp Gi = ( k, d) (d, mp) = 900- _ V ng bng BC, vi Bk, Cd Bng phộp quay im A quanh ng bng BC ta xỏc nh c = B1A1C1 (d, mp) = 900- (Hỡnh 7. 22) N2 n A2 D2 C2 n g2 B2 C2 A2 B2 d2 N1 N0... x O t1 I1I2 B1 A1 t2 B1 A1 t1M1 B1 Hỡnh 7. 21a Hỡnh 7. 21b _ Chn trc quay t chiu bng qua M t1M1, t2 x _ Quay quanh trc t a ng thng AB n v trớ mi AB thuc mt phng phõn giỏc 1; vỡ GVC ThS Nguyóựn ọỹ 52 Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 M AB nờn ta ch cn quay thờm im A n v trớ mi A thuc mt phng phõn giỏc 1 thỡ (A1, A2 i xng nhau qua trc x); Hỡnh 7. 21a b) Tng t nh trờn, chn trc quay t... nh c = B1A1C1 (d, mp) = 900- (Hỡnh 7. 22) N2 n A2 D2 C2 n g2 B2 C2 A2 B2 d2 N1 N0 x D1 C1 k2 x g1 k1 A1 B1 m 900- O1 A1 B1 A1 B1B1 m g1 O 1 A1 n C1C1 A0 Hỗnh 7. 22 D1 C1 d1 N1 Hỗnh 7. 23 Vờ duỷ 8 Cho mp (m, n) vaỡ hỗnh chióỳu bũng A1B1; (Hỗnh 7. 23) Bũng pheùp gỏỷp mỷt phúng quanh vóỳt, haợy veợ caùc hỗnh chióỳu cuớa hỗnh vuọng ABCD thuọỹc mp _ _ _ _ _ Giaới Veợ hỗnh chióỳu õổùng B2 cuớa õióứm B, bũng...Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 _ Bin lun: + Nu A1t1 t1K : Bi toỏn cú 2 nghim + Nu A1t1 = t1K : Bi toỏn cú 1 nghim Nu A1t1 < t1K : Bi toỏn vụ nghim n t2 n H2 h2 A2 x h1 h2 H1 K O K A1 m t1 h1 m Hỡnh 7. 20 Chỳ ý i vi bi toỏn quay quanh trc chiu t a mt phng n v trớ mi cha ng thng d Ta hóy chn trc quay t i qua giao im ca ng thng d vi mt phng ; sau ú ch cn quay mt phng quanh trc t n v trớ mi cha mt... B, bũng caùch gừn B g mp ; tổỡ B1 g1 B2 g2 Veợ A2B2 // x Gỏỷp mp quanh vóỳt bũng m, ta veợ õổồỹc hỗnh gỏỷp B1 g'1 A1B1 // x vaỡ A1B1=AB Veợ hỗnh vuọng thỏỷt A1B1C1D1=ABCD Tổỡ A1C1 A1C1 A2C2; (Hỗnh 7. 23) ====================== GVC ThS Nguyóựn ọỹ 53 Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt . ; và n γ đi qua N 2 ; (Hình 7. 19a) Hình 7. 19a Hình 7. 19b b) Câub); Hình 7. 19b _ Vẽ giao tuyến MN ≡ mpα ∩ mpβ _ Thay đổi mặt phẳng hình chiếu liên tiếp hai. N’ 1 Hình 7. 14a Hình 7. 14b Hình 7. 15 Chú ý + Từ nhận xét (1) thì điểm N’ 1 được vẽ như sau: N’ 1 = Vòng tròn ( I 1 , I 2 N 2 ) ∩ N 1 O 1 (Hình 7. 14b)