Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp giải bài tập Phương trình lượng giác Tài liệu tham khảo chuyên môn Toán học dành cho giáo viên, sinh viên luyện thi đại học, cao đẳng - Phương pháp giải bài tập Phương trình lượng giác.
Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam Các dạng bt ph ơng trình l ợng giác Loại 1. Bin lun theo k 1. sin (cosx) = 1 2. cos(8sinx) = -1 3. tan(cosx ) = cot( sinx) 4. cos(sinx) = cos(3sinx) 5. tan( cosx) = tan(2 cosx) 6. sinx 2 = 1 2 8. cot(x 2 + 4x + 3) = cot6 9. Tỡm nghim dng nh nht ca pt cos 22 )1(cos += xx 10. Tỡm nghim dng nh nht ca pt sin )2(sin 22 xxx += 11. Tỡm nghim dng nh nht ca pt cos 0sin)2/12( 22 =+ xxx Loại 2. Cụng thc h bc 1. 4cos 2 (2x - 1) = 1 2. 2sin 2 (x + 1) = 1 3. cos 2 3x + sin 2 4x = 1 4. sin(1 - x) = 2 3 5. 2cosx + 1 = 0 6. tan 2 (2x 3 ) = 2 7. cos 2 (x 5 ) = sin 2 (2x + 4 5 ) Loại 3. Cụng thc cng, bin i 1. sin2x + cos2x = 2 sin3x 2. cos3x sinx = 3 (cosx sin3x ) 3. 05cos 2 1 5sin 2 3 )3 2 cos( =++ xxx 4. sin3x = 2 cos(x /5) + cos3x 5. sin(x + /4) + cos(x + /4) = 2 cos7x 6. Tỡm tt c cỏc nghim x ); 2 3 ( ca pt: sinxcos 8 + cosxsin 8 = 1 2 Loại 4. Bi toỏn bin lun theo m 1. Gii v bin lun 2sin(1-2x) = m 2. 3cos 2 3x = m 3. sin3x + cos3x = m 4. m.sin 2 2x + cos4x = m 5. Gii v bin lun sin2x 2m = (6m + 7)sin2x 6. Gii v bin lun (3m + 5).sin(x + /2) = (2m + 3)cosx -m 7. Gii v bin lun cos3x + m 5 = (3- 2m)cos3x 8. Cho pt sin 4 x + cos 4 x = m a) Xỏc nh m pt cú nghim b) Gii pt vi m = ắ Loại 5. Tng hp 1. cos 2 2x sin 2 8x = sin( x10 2 17 + ) 2. sin 2 3x cos 2 4x = sin 2 5x cos 2 6x 3. x x x cos2 sin1 2sin = + 4. xxx 4sin 2 2sin 1 cos 1 =+ 5. Tỡm tt c cỏc nghim x )3; 2 ( ca pt: sin(2x + ) 2 7 cos(3) 2 5 x = 1 + 2sinx 6. Gii pt: 4sin 3 xcos3x +4cos 3 xsin3x + 3 3 cos4x = 3 7. ) 8 (cos2) 8 cos() 8 sin(32 2 + xxx = x)) 3 x)cos(- 3 cos(x(sin43 2 +++ 8. 4sin 3 2x + 6sin 2 x = 3 9. Tỡm nghim nguyờn ca pt: 1)80016093( 8 cos 2 = ++ xxx Dạng 2: Ph ơng trình bậc nhất, bậc hai và bậc cao đối với một hàm số l ợng giác 1 Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam 1/ 2cos2x- 4cosx =1 sinx 0 2/ 4sin 3 x + 3 2 sin2x = 8sinx 3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 4/ 1-5sinx + 2cosx = 0 cosx 0 5/ Cho 3sin 3 x - 3cos 2 x + 4sinx - cos2x + 2 = 0(1) và cos 2 x + 3cosx(sin2x - 8sinx) = 0(2) Tìm n 0 của (1) đồng thời là n 0 của (2) ( nghiệm chung sinx = 1 3 ) 6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7/ tanx + 3 cotx - 2 = 0 b / 2 4 cos x + tanx = 7 c / sin 6 x + cos 4 x = cos2x 8/ sin( 5 2x + 2 ) - 3cos( 7 2 x ) = 1 + 2sinx 9/ 2 sin x -2sinx + 2 = 2sinx -1 10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 11/ tanx + cotx = 4 12/ 2 4 sin 2x +4cos 2x-1 = 0 2sinxcosx 13/ sin 1 cos 0x x + + = 14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0 15/ 2 4 4sin 2 6sin 9 3cos2 0 cos x x x x + = 16/ 2cosx - sinx = 1 17. 4 4 1 sin x cos x 2 + = 18. 4 4 sin x cos x cos2x+ = 19. 4 4 x 4 4 1 sin x sin + ữ + = 20. 2 2 2 2 2 3 sin x sin x sin x 3 3 2 ữ ữ + + + = 21. ( ) 6 6 4 4 5 sin x cos x sin x cos x 6 + = + 22. 6 6 1 2 sin x cos x sinx cosx 0+ + = 23. 4 4 4 4 4sin x cos x sin x cos 4x+ = + 24. ( ) 24 4 2 1 2 sin x cos x sin xcos x sinxcosx+ = + 25. 3 3 2 cos xcos3x sin xsin3x= 4 + 25. 3 3 3 cos 4x cos xcos3x sin xsin3x= + Dạng 3: Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx 1. Nhận dạng: 2. Ph ơng pháp: Đăc biệt : 2 a.sin x b.cos x c+ = Cách 1: asinx + bcosx = c Đặt cosx= 2 2 a a +b ; sinx= 2 2 b a + b 2 2 a + b sin(x +) = c Cách 2: b a sinx + cosx = c a Đặt b = tan a sinx +cosx.tan = c a c sin(x +) = cos a Cách 3: Đặt x t = tan 2 ta có 2 2 2 2t 1- t sinx = ; cosx = 1+ t 1+ t 2 (b+c)t -2at -b+c = 0 Chú ý: Điều kiện PT có nghiệm: 2 2 2 a + b c Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam 1. 2. sin cos 2 sin( ) 2 cos( ) 4 4 x x x x = = m 3. sinx - 3cosx = 2sin(x - ) = -2cos(x + ) 3 6 giải phơng trình: 1. 3 cosx sinx 2 = , 2. cosx 3 sin x 1 = 3. 3 3sin3x 3 cos9x 1 4sin 3x = + , 4. 4 4 1 sin x cos (x ) 4 4 + + = 5. 3(1 cos2 ) cos 2sin = x x x , 6. 2 1 sin 2 sin 2 + =x x 7. 1 3sinx + cosx = cosx 8. tan 3cot 4(sin 3cos ) = + x x x x 9. cos7x - 3sin7x + 2 = 0 ; 2 6 x ( ; ) 5 7 10. 2sin15x + 3 cos5x + sin5x = 0 (4) 2. 6 11. sinx +3cosx + = 6 4sinx +3cosx +1 12. 1 3sinx +cosx = 3+ 3sinx +cosx +1 13. ( cos2x - 3 sin2x) - 3 sinx cosx + 4 = 0 14. 2 cosx -2sinx.cosx = 3 2cos x +sinx -1 15. 2 1+cosx +cos2x + cos3x 2 = (3- 3sinx) 2cos x +cosx -1 3 16. cos7x sin5x 3(cos5x sin 7x) = 17. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: a. y = 2sinx + 3cosx + 1 b. 1 cosx y sinx cos x 2 = + + c. 2 cosx y sinx cos x 2 + = + Dạng 4: Ph ơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx 1. Nhận dạng: 2. Ph ơng pháp: Giải ph- ơng trình 1. 3sin 2 x - 3 sinxcos x+ 2cos 2 x cosx=2 2. 4 sin 2 x + 3 3 sinxcosx - 2cos 2 x=4 3. 3 sin 2 x+5 cos 2 x-2cos2x - 4sin2x=0 4. sinx - 4sin 3 x + cosx = 0 5. 2 sin 2 x + 6sinxcosx + 2(1 + 3 )cos 2 x 5 - 3 = 0 6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7. sin3x - sinx + cosx sinx = 0 3 2 2 3 2 2 a.sinx b.cosx 0 (1) a.sin x b.sinx cosx c.cos x d (2) a.sin x b.sin x cosx c.sinx cos x d.sinx e.cosx 0 (3) + = + + = + + + + = Đẳng cấp bậc 2: asin 2 x + bsinx.cosx + c cos 2 x = 0 Cách 1: Thử với cosx = 0; với cosx 0, chia 2 vế cho cos 2 x ta đợc: atan 2 x + btanx + c = d(tan 2 x + 1) Cách 2: áp dụng công thức hạ bậc Đẳng cấp bậc 3: asin 3 x + bcos 3 x + c(sinx + cosx) = 0 Hoặc asin 3 x + b.cos 3 x + csin 2 xcosx + dsinxcos 2 x = 0 Xét cos 3 x = 0 và cosx 0, chia 2 vế cho cos 3 x ta đợc phơng trình bậc 3 đối với tanx Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam 8. tanxsin 2 x - 2sin 2 x = 3(cos2x + sinxcosx) 9. 3cos 4 x - 4sin 2 xcos 2 x + sin 4 x = 0 10. 4cos 3 x + 2sin 3 x - 3sinx = 0 11. 2cos 3 x = sin3x 12. cos 3 x - sin 3 x = cosx + sinx 13. sinxsin2x + sin3x = 6cos 3 x 14. sin 3 (x - /4) = 2 sinx Dạng 5: Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx 1. Nhận dạng: 2. Ph ơng pháp: 1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2. sinxcosx = 6(sinx cosx 1) 3. sin2x 2 sin x 1 4 ữ + = 3. tanx 2 2sinx 1 = 1. 1 + tanx = 2sinx + 1 cos x 2. sin x + cosx= 1 tanx - 1 cot x 3. sin 3 x + cos 3 x = 2sinxcosx + sin x + cosx 4. 1- sin 3 x+ cos 3 x = sin2x 5. 2sinx+cotx=2 sin2x+1 6. 2 sin2x(sin x + cosx) = 2 7. (1+sin x)(1+cosx)=2 8. 2 (sin x + cosx) = tanx + cotx 9. 1 + sin 3 2x + cos 3 2 x = 3 2 sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2 11.* cos 4 x + sin 4 x - 2(1 - sin 2 xcos 2 x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0 12. sin cos 4sin 2 1x x x + = 13. sinxcosx + sinx + cosx = 1 14. cosx + 1 cosx + sinx + 1 sinx = 10 3 Dạng 6: Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx Giải phơng trình 1/ sin 2 x + sin 2 3x = cos 2 2x + cos 2 4x 2/ cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + cos 2 4x = 3/2 3/ sin 2 x + sin 2 3x - 3cos 2 2x=0 4/ cos3x + sin7x = 2sin 2 ( 5x + 4 2 ) - 2cos 2 9 2 x 5/ cos 4 x 5sin 4 x = 1 6/ 4sin 3 x - 1 = 3 - 3 cos3x 7/ sin 2 2x + sin 2 4x = sin 2 6x 8/ sin 2 x = cos 2 2x + cos 2 3x 9/ (sin 2 2x + cos 4 2x - 1): sinxcosx = 0 10/ 2cos 2 2x + cos2x = 4 sin 2 2xcos 2 x 4 ( ) ( ) a sinx cosx b.sinx cos x c a sinx cosx b.sin x cosx c + + = + = * a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x + cosx t 2 at + b 2 t -1 2 = c bt 2 + 2at 2c b = 0 * a(sin x - cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x - cosx t 2 at + b 2 1- t 2 = c bt 2 - 2at + 2c b = 0 Công thức hạ bậc 2 cos 2 x = 1 cos2 2 x + ; sin 2 x= 1-cos2x 2 Công thức hạ bậc 3 cos 3 x= 3cosx +cos3x 4 ; sin 3 x= 3sinx -sin3x 4 Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam 11/ sin 3 xcos3x +cos 3 xsin3x=sin 3 4x 12/ 8cos 3 (x + π 3 ) = cos3x 13/ sin5x 5sinx = 1 14/ cos7x + sin 2 2x = cos 2 2x - cosx 15/ sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x = 3/2 16/ 3cos4x – 2cos 2 3x =1 17/ sin 2 4 x+ sin 2 3x= cos 2 2x+ cos 2 x víi x (0;π) ∈ 18/ sin 2 4x - cos 2 6x = sin( 10,5π +10x ) víi π x (0; ) 2 ∈ 19/ 4sin 3 xcos3x + 4cos 3 x sin3x + 3 3 cos4x = 3 20/ cos4xsinx - sin 2 2x = 4sin 2 ( 4 2 x π − ) - 7 2 víi x -1 < 3 21/ 2cos 3 2x - 4cos3xcos 3 x + cos6x - 4sin3xsin 3 x = 0 22/ cos10x + 2cos 2 4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos 2 3x D¹ng 7: Ph ¬ng tr×nh l îng gi¸c bËc cao Gi¶i ph¬ng tr×nh 1. sin 4 2 x +cos 4 2 x =1-2sinx 2. cos 3 x-sin 3 x=cos 2 x-sin 2 x 3. cos 3 x+ sin 3 x= cos2x 4. 4 4 sin x + cos x 1 = (tanx +cotx) sin2x 2 5. cos 6 x - sin 6 x = 13 8 cos 2 2x 6. sin 4 x + cos 4 x = 7π π cot(x + )cot( -x) 8 3 6 7. cos 6 x + sin 6 x = 2(cos 8 x + sin 8 x) 8. cos 3 x + sin 3 x = cosx – sinx 9. cos 6 x + sin 6 x = cos4x 10. sinx + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cosx + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x 11. cos 8 x + sin 8 x = 1 8 12. (sinx + 3)sin 4 x 2 - (sinx + 3)sin 2 x 2 + 1 = 0 D¹ng 8: Ph ¬ng tr×nh l îng gi¸c biÕn ®æi vÒ tÝch b»ng 0 1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0 3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4/ sin 3 x + 2cosx – 2 + sin 2 x = 0 5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6/ 3 2 sin2x + 2 cos 2 x + 6 cosx = 0 7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4 8/ sin3 sin5 3 5 x x = 9/ 2cos2x - 8cosx + 7 = 1 cosx 10/ cos 8 x + sin 8 x = 2(cos 10 x + sin 10 x) + 5 4 cos2x 11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 13/ sin 2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 14/ 2sin3x - 1 sinx = 2cos3x + 1 cosx 15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - 1 cosx ) = 0 16/ cos 3 x + cos 2 x + 2sinx – 2 = 0 17/ cos2x - 2cos 3 x + sinx = 0 5 * a 3 ± b 3 =(a ± b)(a 2 m ab + b 2 ) * a 8 + b 8 = ( a 4 + b 4 ) 2 - 2a 4 b 4 * a 4 - b 4 = ( a 2 + b 2 )(a 2 - b 2 ) * a 6 ± b 6 = ( a 2 ± b 2 )( a 4 m a 2 b 2 + b 4 ) Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam 18/ sin2x = 1+ 2 cosx + cos2x 19/ 1 + cot2x = 2 1-cos2x sin 2x 20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + 1 sin2x 21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0 22/ 1 + tanx = sinx + cosx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 24/ 2 2 π sin(x + ) 4 = 1 1 + sinx cosx 25/ 2tanx + cotx = 2 3 sin 2x + 26/ cotx – tanx = cosx + sinx 27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 1. Tìm TXĐ của hàm số: a. 2 cos sin 2 x y x − = b. y = xsin1 1 xtan − + 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: a. y = 2 2 cos 3x + − b. y = xcos.xsin2x2cos.3 − 3. Gi¶I ph¬ng tr×nh: sinx + 2 = 0. 3 tan 2 1 0x + = sin 2 x - sinx – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 3sinx cos 1x− = 2 4 tan 7 tan 3 0x x − + = 2cos2 5sin 3x x+ = 2 2 3sin 3sin .cos 2cos 2x x x x− − = 1. cos 3 x+cos 2 x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2 2 x k x n π π π = = + 2. tanx.sin 2 x−2sin 2 x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) HD: Chia hai vế cho sin 2 x ĐS: ; 2 4 3 x k x n π π π π = − + = ± + 3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) 2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin 3 x-4cos 3 x +3cosx)=sinx+cosx ĐS: 7 ; ; . 4 4 12 12 x k x n x m π π π π π π = ± + = − + = + 4. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) 2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin 3 x-4cos 3 x +3cosx)=sinx+cosx ĐS: 7 ; ; . 4 4 12 12 x k x n x m π π π π π π = ± + = − + = + 5. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) ĐS: 2 ; 2 ; 2 ; 2 x k x n x l π π α π π α π = + = + = − + với 1 sin 4 α = − . 6. sinx−4sin 3 x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: 4 x k π π = + . HD:sin3x-sin2x+cosx=0; 3sinx-4sin 3 x-2sinxcosx+cosx=0(chia cho cosx) 7. sin 3 sin 2 .sin 4 4 x x x π π − = + ÷ ÷ ; (Học Viện BCVT) ĐS: 4 2 x k π π = + Doi sin(x+II/4) thanh cos(II/2 –x) råi dïng CT biÕn tÝch thµnh tæng. 8. sin 3 x.cos3x+cos 3 x.sin3x=sin 3 4x HD: sin 2 x.sinx.cos3x+cos 2 x. cosx.sin3x=sin 3 4x ĐS: 12 x k π = . 9. 3 3 2 2 sin 3 cos sin cos 3sin cosx x x x x x− = − HD: Chia hai vế cho cos 3 x ĐS: x = 3 k π π − + , 4 x k π π = ± + 10.2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: 2 2 ( ) 4 3 x k x k k π π π π = + ∨ = ± + ∈ ¢ 11.sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). 6 Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam Giải ⇔2sinxcosx+2cos 2 x–1=1+sinx–3cosx. ⇔2cos 2 x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. ⇔2cos 2 x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK 1t ≤ , ta được: 2t 2 +(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. ∆=(2sinx+3) 2 +3.2.(sinx+2)=(2sinx+5) 2 . ⇒ ( ) 1 1 2 cos 2 sin - 2 t x t x = ⇒ = = loaïi …(biết giải) 12.1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx) 2 +(sinx+cosx)+2(cos 2 x–sin 2 x)=0. (sinx+cosx) 2 +(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp … 13.Giải phương trình lượng giác: ( ) 2 cos sin 1 tan cot 2 cot 1 x x x x x − = + − Giải Điều kiện: ( ) cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0 cot 1 x x x x x x + ≠ ≠ Từ (1) ta có: ( ) 2 cos sin 1 cos .sin 2 2 sin sin cos2 cos cos 1 cos sin 2 sin x x x x x x x x x x x x − = ⇔ = + − 2sin .cos 2 sinx x x⇔ = ( ) 2 2 4 cos 2 2 4 x k x k x k π π π π = + ⇔ = ⇔ ∈ = − + ¢ So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là ( ) 2 4 x k k π π = − + ∈ ¢ 14.Giải phương trình cos3xcos 3 x – sin3xsin 3 x = 2 3 2 8 + GiảiTa có: cos3xcos 3 x – sin3xsin 3 x = 2 3 2 8 + ⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 2 3 2 8 + ⇔ ( ) 2 2 2 3 2 cos 3 sin 3 3 cos 3 cos sin 3 sin 2 x x x x x x + + + − = ⇔ 2 cos4 , 2 16 2 x x k k Z π π = ⇔ = ± + ∈ . 15.Giải phương trình: cos 2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x+ = − − Giải Phương trình ⇔ (cosx–sinx) 2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0 cos sin 1 cos sin 5 ( cos sin 2) x x x x loai vi x x − = − ⇔ − = − ≤ 7 . +(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp … 13 .Giải phương trình lượng giác: ( ) 2 cos sin 1 tan cot 2 cot 1 x x x x x − = + − Giải Điều kiện: ( ) cos .sin. được họ nghiệm của phương trình đã cho là ( ) 2 4 x k k π π = − + ∈ ¢ 14 .Giải phương trình cos3xcos 3 x – sin3xsin 3 x = 2 3 2 8 + GiảiTa có: cos3xcos