http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bộ tài liệu khoảng 600 trang file word, lời giải chi tiết Chúng tơi xin trích dẫn phần nội dung tài liệu CHỦ ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN VÀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả A.TÓM TẮT GIÁO KHOA I Khối đa diện 1) Khái niệm hình đa diện Hình đa diện ( gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất: a) Hai đa giác phân biệt điểm chung , có đỉnh chung, có cạnh chung b) Mỗi cạnh hai đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện 2) Khái niệm khối đa diện Khối đa diện phần không gian giới hainj hình đa diện, kể hình đa diện Những điểm không thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện không thuộc hình đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện Mỗi khối đa diện xác đònh hình đa diện ứng với Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm , ngoài…của khối đa diện theo thứ tự đỉnh, cạnh, mặt, điểm , ngoài…của hình đa diện tương ứng 3) Hai đa diện 3.1 Phép dời hình không gian Phép biến hình không gian gọi phép dời hình bảo toànkhoảng cách hai điểm tùy ý     Vậy: Nếu F phép dời hình F M  M ', F N  N ' M ' N '  MN 3.2 Một số phép biến hình thường gặp không gian a) Phép tònh tiến theo vectơ v ( kí hieäu: T ):   T M  M '  MM '  v v v http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt v M' M b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P): Là phép biến hình biến điểm M thuộc (P) thành nó, biến điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ cho (P) mặt phẳng trung trực MM’ Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành (P) gọi mặt phẳng đối xứng hình (H) M M P M' c) Phép đối xứng tâm O: phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho O trung điểm MM’ Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành O gọi tâm đối xứng hình (H) M O d)Phép đối xứng qua đường thẳng  : phép biến hình biến điểm thuộc  thành nó, biến điểm D M không thuộc  thành M’ cho  M' trung trực MM’ Nếu phép đối xứng qua đường thẳng  biến M hình (H) thành  gọi trục P đối xứng hình (H) http://topdoc.vn – Website chun đề thi, tài liệu file word M' Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả e) Phép vò tự tâm O tỉ số k: phép biến hình biến điểm điểm M không gian thành điểm M’ cho OM '  kOM Nhận xét  Thực liên tiếp phép dời hình ta phép dờøi hình  Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H’) biến đỉnh , cạnh, mặt (H) thành đỉnh , cạnh, mặt (H’) tương ứng  Hai đa diện gọi có phép dời hình biến đa diện thành đa diện 3.3 Phân chia lắp ghép khối đa diện Nếu khối đa diện ( H ) hợp ( H1 ) ( H2 ) , cho ( H1 ) vaø ( H2 ) điểm chung ta nói chia ( H ) thành hai khối đa diện ( H1 ) ( H2 ) , hay lắp ghép hai khối đa diện ( H1 ) ( H2 ) thành khối đa diện ( H ) II Khối đa diện lồi – Khối đa diện  Khối đa diện ( H ) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm ( H ) thuộc ( H )  Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất * Mỗi mặt đa giác p cạnh * Mỗi đỉnh chúng đỉnh chung q mặt   * Khối đa diện gọi khối đa diện loại p, q Gọi D, M, C số đỉnh, số cạnh, số mặt khối đa diện lồi ( H ) đặc số Euler ( H ) laø  ( H)  D  C  M  (đònh lý Euler) III Thể tích khối đa diện  Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h là: V  Bh  Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h là: V  Bh  Thể tích khối hộp có diện tích đáy B chiều cao h là: V  Bh  Thể tích khối hộp chữ nhật : V  abc http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  Thể tích khối lập phương: V  a3  Tỉ số thể tích: Nếu A ', B ', C ' thuộc cạnh SA, SB, SC hình chóp S ABC : VS A ' B ' C ' VS ABC  SA '.SB '.SC ' SA.SA.SC B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Vì phần có mục đích giới thiệu cho học sinh khái niệm khối đa diện số phép biến hình khơng gian, dạng tốn đề cập vấn đề áp dụng phép biến hình để giải số dạng tốn hình học khơng gian Vấn đề BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẠNH, ĐỈNH VÀ MẶT HÌNH ĐA DIỆN, CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Phương pháp:  Dựa vào đònh nghóa hình đa diện  Dựa vào đònh lí Euler mối quan hệ số đỉnh, số cạnh số mặt  Dựa vào giả thiết toán ,chọn phép biến hình thích hợp vận dụng tính chất phép biến hình để giải  Để tìm tập hợp điểm M ,ta tìm phép biến hình f biến M thành điểm N ,trong tập hợp N biết hay dễ tìm Khi tập hợp điểm M ảnh tập hợp điểm N qua phép biến hình f Ví dụ 1.1.1 Chứng minh khối đa diện có mặt tam giác tổng mặt phải số chẵn Hãy khối đa diện với số mặt 4,6,8,10 Lời giải Gọi số cạnh số mặt đa diện c m Vì mặt có ba cạnh cạnh cạnh chung hai mặt nên ta có số 3m  3m  2c  3m chia hết cho mà không cạnh đa diện c  chia hết m phải chia hết cho , nghóa m số chẵn *Khối đa diện ABCD có mặt mà mặt tam giác http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả *Xét tam giác BCD hai điểm A,E hai phía mặt phẳng  BCD Khi ta có khối lục diện ABCDE có mặt tam giác *Khối bát diện ABCDEF có mặt tam giác *Xét ngũ giác ABCDE hai điểm M,N hai phía mặt phẳng chứa ngũ giác Khi ta có khối thập diện MABCDEN có 10 mặt tam giác Ví dụ 2.1.1 Chứng minh đa diện mà đỉnh đỉnh chung số lẻ mặt tổng số đỉnh phải số chẵn Lời giải Gọi k số đỉnh đa diện C số cạnh đa diện Ta có: -Tại đỉnh thứ có  2n1  1 mặt nên có  2n1  1 cạnh qua đỉnh thứ -Tại đỉnh thứ hai có  2n2  1 mặt nên có  2n2  1 cạnh qua đỉnh thứ hai …………………………………………………………………………… -Tại đỉnh thứ k có  2nk  1 mặt nên có  2nk  1 cạnh qua đỉnh thứ k Mặt khác cạnh qua hai đỉnh nên ta coù 2C   2n1  1   2n  1    2n k  1  k   n1  n   n k   k  C   n1  n   n k    k số chẵn (đpcm) Ví dụ 3.1.1 Cho hình chóp S.ABCD , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD , đáy ABCD hình thoi cạnh a Gọi H,K hình chiếu vuông góc A lên SB SD ; G trọng tâm tam giác SAC Chứng minh ba điểm H,G,K thẳng hàng Lời giải http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt SA  AB SA   ABCD    SA  AD S  SAB, SAD vuông A Xét tam giác vuông SAB , ta có: SB2  SA2  AB2  2a2  a2  3a2 SA2  SH.SB  K G SH SA2   SB SB2 Chứng minh tương tự ,ta có SK :  SD H D A I B C Gọi I giao điểm AC BD I trung điểm AC nên G SG thuộc SI  SI Gọi f phép vò tự tâm S , tỉ số , ta coù: f  B  H,f I   G,f  D   K Vì B,I, D thẳng hàng nên H,I,K thẳng hàng Ví dụ 4.1.1 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi  P  mặt trung trực cạnh AB,K điểm tam giác ACD E giao điểm BK  P  ,F điểm đối xứng K qua  P  Chứng minh ba điểm A,E,F thẳng hàng EA  EF  a Lời giải http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Tứ diện ABCD tứ diện nên bốn mặt tam giác Gọi I trung điểm AB , ta có DI  AB,CI  AB , suy  CDI  mặt trung trực AB tức  CDI    P  B F I E A C Phép đối xứng qua mặt phẳng H K EE M  P  bieán : B  A KF Vì B,E,K thẳng hàng nên A,E,F D thẳng hàng Lại có EA  EB,EF  EK , suy EA  EF  EB  EK  BK Gọi H hình chiếu vuông góc B lên mặt phẳng  ACD  M trung điểm CD H tâm tam giác ACD vaø 2 a a AH  AM   3 Trong tam giác vuông BHA : a  6a a BH2  BA2 – AH2  a    BH        Lại có BK  BH , suy EA  EF  a (ñpcm) Ví dụ 5.1.1 Trong mặt phẳng  P  cho tam giác ABC vuông A Gọi d đường thẳng qua A vuông góc với  P  Gọi S điểm di động d H hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng  SBC  Chứng minh H trực tậm tam giác SBC Gọi K giao điểm SH với đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Tìm tập hợp điểm K S di động đường thaúng d Lời giải 10 http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt d d S S H H C A E A E B K 1.Chứng minh H trực tâm tam giác SBC Ta có : BC  SA , BC  AH  BC   SAH  BC  SH  1 AB  AC  AB   SAC   AB  SC Lại có  AB  SA SC  AH  SC   ABH  SC  BH   Từ (1) (2) suy H trực tâm tam giác SBC 2.Tập hợp điểm K Theo tính chất trực tâm , K giao điểm SH với đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC K H đối xứng với qua đường thẳng BC Gọi E giao điểm SH với BC , ta coù BC   SAH  , suy BC  AE ; E hình chiếu vuông góc A lên BC nên E cố đònh AH   SBC  AH  SE Trong mặt phẳng cố đònh  E,d  , AHE  900 tập hợp H đường tròn  C  đường kính AE chứa mặt phẳng  E,d  loại bỏ điểm E (do H trùng E ) H K đối xứng với qua đường thẳng BC , suy tập hợp K ảnh tập hợp H qua phép đối xứng trục BC http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 11 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ví dụ 6.1.1 Trong mặt phẳng  P  cho đường tròn  C  đường kính AB ; M điểm di động  C  , H hình chiếu vuông góc M lên AB Gọi I trung điểm MH  d  đường thẳng vuông góc với  P  I ;  d  lấy điểm S cho SHM  600 Dựng hình bình hành SMHN Tìm tập hợp điểm N M di động đường tròn Lời giải AB  MH Ta coù :  AB  SI  AB   SMH   SHM   SAB ,  P   Mặt phẳng  SAB  chứa đường thẳng cố đònh AB hợp với mặt phẳng cố đònh  P  góc không đổi SHM  600 nên mặt phẳng  SAB cố đònh Tam giác SMH có SI  MH trung điểm I MH nên tam giác cân , lại có SHM  600 nên tam giác SMH tam giác Gọi E giao điểm MN SH , tứ giác SMHN hình bình hành nên E trung điểm MN SH , suy MN  SH Mặt khác MN   SMH  neân MN  AB , suy MN   SAB E E trung điểm MN N M hai điểm đối xứng qua mặt phẳng  SAB  Lại có tập hợp điểm M đường tròn  C  , suy tập hợp điểm N đường tròn  C’ đối xứng đường tròn  C  qua mặt phẳng  SAB  CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1 Tìm số đỉnh, số cạnh số mặt nhỏ có hình đa diện 12 http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Tính số đỉnh, số mặt số cạnh khối đa diện loại n; p Từ tìm tất đa diện loại n; p Cho ( H ) đa diện có 2q  (q  , q  2) mặt , mặt đa giác có p cạnh Chứng minh p số chẵn Cho hình đa diện có số cạnh, số mặt số đỉnh a) c  m b) c  đ c, m, đ Chứng minh rằng: Chứng minh không tồn hình đa diện có cạnh Chứng minh khối đa diện bất kỳ, tồn hai đỉnh mà số cạnh xuất phát từ đỉnh Bài Chứng minh đa diện mà đỉnh đỉnh chung ba cạnh tổng số đỉnh phải số chẵn Chứng minh khối đa diện có mặt tam giác đỉnh đỉnh chung ba cạnh khối tứ diện Chứng minh hình tứ diện có tâm đối xứng Bài Chứng minh khối đa diện có đỉnh Chứng minh hình đa diện có cạnh Chứng minh khối đa diện tồn mặt có số cạnh nhỏ Bài Cho tứ diện ABCD coù AB  CD , AC  BD , AD  BC Gọi A’, B’ hình chiếu vuông góc A B lên CD ; C’ D’ hình chiếu vuông góc C D lên AB Chứng minh A’C’  B’D’ A’D’  B’C’ 2.Trong mặt phẳng , cho tứ giác lồi ABCD có ABD  1200 , ABC  750 , BCD  600 , AB  a , CD  a Dựng hai tia Bx,Cy vuông góc với P chiều , Bx,Cy lấy hai điểm E,F cho góc EF  P  600 Tính độ dài đoạn EF theo a Cho tứ diện ABCD Gọi E,F,O trung điểm cạnh AB,CD EF Chứng minh với điểm M nằm tứ diện ta có : MA  MB  MC  MD  OA  OB  OC  OD Bài http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 13 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Cho mặt phẳng  P  , A , B hai điểm phía mặt phẳng  P  Tìm điểm M  P  cho MA  MB nhỏ Cho hai mặt phẳng  P   Q  vuông góc với theo giao tuyến c đoạn thẳng AB  P  , song song với c Gọi O hình chiếu vuông góc trung điểm I AB lên c ; Oz đường thẳng chứa  Q  quay quanh O Chứng minh AOz  BOz không đổi Cho tam giác ABC có trọng tâm G , mặt phẳng  P  không trùng với mặt phẳng  ABC  cắt cạnh CA,CB Gọi a, b,c,h khoảng cách từ A, B,C G đến mặt phẳng  P  Chứng minh a  b  c  Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M,N,P,Q,R,S trung h điểm cạnh A’B’,B’B,BC,CD,DD’,D’A’ nằm mặt phẳng Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi M điểm di động cạnh BC ; H hình chiếu vuông góc S lên DM K điểm đối xứng H qua D Tìm tập hợp điểm K Trong mặt phẳng  P  , cho góc xAx' điểm B không thuộc P Gọi tia By ảnh tia Ax’ qua phép tònh tiến AB Trên hai tia Ax, By lấy hai điểm di động M,N cho AM  BN Tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN Cho hình chóp S.ABC Gọi M điểm thuộc miền tam giác ABC Từ M dựng đường thẳng song song với SA,SB,SC , đường thẳng cắt mặt SBC,SCA,SAB điểm A’, B’,C’ Gọi G trọng tâm tam giác A’B’C’ a) Hãy nêu cách dựng điểm A’B’C’ b) Tìm tập hợp điểm G M di động miền tam giác ABC Bài 14 http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Cho mặt phẳng  P  tứ diện ABCD Với điểm M thuộc  P  ta xác đònh điểm N theo công thức MA  MB  MC  MD  2MN Tìm tập hợp điểm N M di động  P  Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , đáy ABCD hình vuông Gọi M điểm di động cạnh SA  P  mặt phẳng đối xứng mặt phẳng  MBC  qua đường thẳng SA , H hình chiếu vuông góc S lên  P  Tìm tập hợp H M di động cạnh SA Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M điểm di động cạnh SA Mặt phẳng  MCD  cắt SB N Gọi M’,N’ điểm đối xứng M,N qua mặt phẳng  SCD  Tìm tập hợp giao điểm E hai đường thẳng DM’ CN’ M di động cạnh SA Cho mặt phẳng  P  hai đường thẳng d,d’ chéo cắt  P  O O’ Gọi  Q  mặt phẳng xác đònh d đường thẳng d1 song song với d’ vẽ từ O Một đường thẳng  di động song song với  P  hay chứa  P  , cắt d A , cắt d’ A’ gọi M điểm  cho MA'  kMA ( k số thực cho trước k  ) Đường thẳng d song song với OO’ vẽ từ M , cắt mặt phẳng  Q  M’ Khi A di động d a) Tìm tập hợp điểm M’ b) Tìm tập hợp điểm M Cho mặt phẳng  P  ba điểm A, B,C không nằm mặt phẳng song song với  P  bên  P  Ba đường thẳng song song vẽ từ A, B,C cắt  P  A’, B’,C’ Giả sử đường thẳng song song di động cho AA’  BB’  CC’  k , k độ dài không đổi a) Tìm tập hợp điểm A’, B’C’ b) Tìm tập hợp trọng tâm G’ tam giaùc A’B’C’ http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 15 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Vấn đề PHÂN CHIA – LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN CHỨNG MINH HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU, CÁC BÀI TỐN VỀ ĐA DIỆN ĐỀU Phương pháp: Để chứng minh hai đa diện nhau, ta chứng minh có phép biến hình không gian biến đa diện thành đa diện Ví dụ 1.2.1 Cho khối tứ diện ABCD Chứng minh rằng: Trọng tâm mặt khối mặt tứ diện Các trung điểm cạnh khối đỉnh khối tám mặt Lời giải Gọi Q, M trung A điểm CD,CB ; G1 ,G2 ,G3 ,G4 trọng tâm mặt  ABC ,  ACD ,  ABD vaø  BCD Gọi a cạnh tứ diện, ta có 2a a G1G2  MQ   32 Tương tự G1G4  G1G3  G2G3 N P R G G B D S a M Q nên G1G2G3G4 C a tứ diện cạnh Gọi N,P, R,S trung điểm cạnh AD, AB, AC,BD Theo tính chất đường trung bình, ta có: a QM  QN  QS  QR  PM  PN  PS  PR   G2G4  G3G4  Ví dụ 2.2.1 Chứng minh tâm mặt hình lập phương đỉnh bát diện Lời giải Giả sử cạnh hình lập phương cho a Gọi M,N,P Q,E,F lần D' lượt tâm mặt hình lập phương (hình vẽ) A' B' E C' Q M P N A B 16 F D C http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt AC  a tương tự 2 cho cạnh khác hình gồm tám đỉnh M,N,P,Q,E,F Ta có MN  Hay MNPQEF bát diện đềàu Ví dụ 3.2.1 Cho khối bát diện ABCDEF cạnh a, E,F hai đỉnh không nằm cạnh Gọi A,B,C,D, A,B,C,D trung điểm cạnh EA, EB, EC, ED, FA, FB, FC, FD Chứng minh ABCD.ABCD hình hộp chữ nhật tính cạnh hình chữ nhật Lời giải Tứ giác ABCD hình vuông cạnh a, nên tứ giác ABCD, a hai mặt phẳng (ABCD) ABCD hình vuông cạnh E (ABCD) song song với Ta có AA // EF neân AA  (ABCD)  AA  (ABCD) A' Tương tự suy cạnh bên AA,BB,CC,DD vuông góc với hai mặt đáy Vậy ABCD.ABCD hình hộp chữ nhật C' D' B' D C O A B D'' A'' C'' B'' a F , cạnh bên hình hộp có độ dài a CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Hãy phân chia khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' thành ba khối tứ diện Chia khối hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' thành khối tứ diện Cho tứ diện ABCD Chứng minh ta nội tiếp khối tứ diện khối hộp cho cạnh tứ diện đường chéo mặt khối hộp Các cạnh đáy hình hộp có độ dài http://topdoc.vn – Website chun đề thi, tài liệu file word 17 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Chứng minh hai tứ diện A ' ABD CC ' D ' B ' Cho hình chóp tam giác S ABC Gọi A ', B ',C ' trung điểm cạnh BC , CA AB Chứng minh hai tứ diện SABA ' SBCB ' Bài Cho khối bát diện ABCDEF cạnh a, E,F hai đỉnh không nằm cạnh Gọi A,B,C,D, A,B,C,D trung điểm cạnh EA, EB, EC, ED, FA, FB, FC, FD Chứng minh ABCD.ABCD hình hộp chữ nhật tính cạnh hình chữ nhật Bài Hãy phân chia khối lăng trụ ABC ABC thành a) Ba khối tứ diện b) Một khối chóp tam giác khối chóp tứ giác Hãy phân chia khối lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' thành năm khối tứ diện Cho hình chóp tứ giác F ABCD có đáy hình vuông Cạnh bên FC vuông góc với đáy có độ dài cạnh AB Chứng minh dùng ba hình chóp để ghép lại thàng hình lập phương Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Chứng minh a) Các hình chóp A A ' B ' C ' D ' vaø C ' ABCD b) Các lăng trụ ABC A ' B ' C ' vaø AA ' D '.BB ' C ' Hãy dùng mặt phẳng để chia khối tứ diện cho trước thành khối tứ diện Bài Cho khối bát diện ABCDEF cạnh a , E, F hai đỉnh không nằm cạnh Gọi A ', B ', B ', D ', A ", B ", C ", D " trung điểm cạnh EA, EB, EC, ED, FA, FB, FC, FD Chứng minh rằng: A ' B ' C ' D ' A " B " C " D " hình hộp chữ nhật tính cạnh hình chữ nhật Cho khối tứ diện Chứng minh rằng: a) Trọng tâm mặt đỉnh tứ diện b) Các trung điểm cạnh đỉnh khối tám mặt Cho khối bát diện ABCDEF Chứng minh rằng: 18 http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt a) Các điểm A, B, C, D nằm mặt phẳng trung trực EF b)  ABCD   ECFA Chứng minh tâm mặt hình bát diện đỉnh hình lập phương Chứng minh tâm mặt hình lập phương đỉnh hình bát diện Chứng minh tồn khối đa diện có 20 mặt tam giác khối hai mươi mặt Bài Cho khối tứ diện ABCD Chứng minh a)Trọng tâm mặt khối mặt tứ diện b) Các trung điểm cạnh khối đỉnh khối tám mặt Chứng minh tâm mặt hình bát diện đỉnh hình lập phương http://topdoc.vn – Website chun đề thi, tài liệu file word 19 ... học sinh khái niệm khối đa diện số phép biến hình khơng gian, dạng tốn đề cập vấn đề áp dụng phép biến hình để giải số dạng tốn hình học khơng gian Vấn đề BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẠNH, ĐỈNH VÀ... ĐỈNH VÀ MẶT HÌNH ĐA DIỆN, CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Phương pháp:  Dựa vào đònh nghóa hình đa diện  Dựa vào đònh lí Euler mối quan hệ số đỉnh, số cạnh số mặt  Dựa vào giả thiết toán ,chọn... G3G4  Ví dụ 2.2.1 Chứng minh tâm mặt hình lập phương đỉnh bát diện Lời giải Giả sử cạnh hình lập phương cho a Gọi M,N,P Q,E,F lần D' lượt tâm mặt hình lập phương (hình vẽ) A' B' E C' Q M P N A