Véc tơ khơng gian Chương III VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN §1.VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Đònh nghóa Véc tơ không gian đoạn thẳng có hướng Ký hiệu , rõ véc tơ có điểm đầu A điểm cuối B.Véc tơ ký hiệu : * Các khái niệm giá véc tơ,độ dài véc tơ, phương ,cùng hướng hai véc tơ ,véc tơ -không ,sự hai véc tơ đònh nghóa tương tự mặt phẳng A Phép cộng ,phép trừ véc tơ không gian * Phép cộng phép trừ hai hay K M nhiều véc tơ không gian I ,được đònh nghóa tương tự phép cộng phép trừ hai véc D B tơ mặt phẳng Phép cộng véc tơ không gian có H N tính chất phép cộng véc C tơ mặt phẳng Khi cộng véc tơ không gian ta áp dụng quy tắc điểm ,quy tắc HBH,như véc tơ mặt phẳng Ví dụ : Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm cạnh AB CD Chứng tỏ 2.Chứng minh điểm G trọng tâm tứ diện ABCD Nguyễn Bá Đại Trang Véc tơ khơng gian Với điểm P Bài giải : Sử dụng quy tắêcba điểm : Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta có : Tương tự : Trong tam giác AGB có GM trung tuyến ,cho nên ,theo tính chất véc tơ trung tuyến ta có Tương tự ,trong tam giác DMC với GN trung tuyến ta có : Từ ,lấy (1) cộng với (2) : Mạt khác với điểm P ,ta xét tam giác PAB ;PCD PMN Thứ tự có đường trung tuyến PM,PN PG Áp dụng quy tắc trung tuyến ta có kết sau Hay : * Quy tắc hình hộp : Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A AB,AD,AA' có đường chéo AC' Khi ta có quy tắc hình hộp : B C A D B ' C' A' D' Phép nhân véc tơ với số * Các kết mặt phẳng áp dụng cho không gian Nguyễn Bá Đại Trang Véc tơ khơng gian Ví dụ1 : Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm cạnh AD BC G trọng tâm tam giác BCD.Chứng minh : Bài giải : Như ta dã biết ,trong tam giác BCD ,nếu G trọng tâm : Theo quy tắc ba điểm ta có :( Kết ví dụ 1) b) Cũng theo quy tắc ba điểm ,ta có ba kết sau : II ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VÉC TƠ Khái niệm đồng phẳng ba véc tơ không gian * Trong không gian cho ba véc tơ Nếu từ điểm O ta vẽ ,khi xảy hai trường hợp : • Trường hợp OA,OB,OC không nằm mặt phẳng ,khi ta nói ba véc tơ không đồng phẳng • Trường hợp OA,OB,OC thuộc mặt phẳng ,thì ta nói ba véc tơ đồng phẳng Trong trường hợp giá ba véc tơ song song với mặt phẳng Đònh nghóa Trong không gian ba véc tơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Nguyễn Bá Đại Trang Véc tơ không gian * Ví dụ : Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Chứng minh ba véc tơ phẳng Bài giải : Gọi P,Qlần lượt trung điểm AC BD Ta có PN // MQ PN=MQ=1/2 AD Vậy tứ giác MNPQ hình bình hành mp(MNPQ) chứa đường thẳng MN // với đường thẳng AD BC Vậy suy ba đường thẳng đồng AA M P BB B D DC N C Q C MN,AD,BC // với mặt phẳng Do ba véc tơ đồng phẳng Điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng Đònh lý Trong không gian cho hai véc tơ khác véc tơ không không phương ,với vec tơ cho Khi ba véc tơ gọi đồng phẳêng có cặp z số m,n C c Ngoài cặp số m,n M Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Trên cạnh AD BC lấy P Q cho Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q thuộc mặt phẳng B O x Õ A M' B y M' Bài giải : Nguyễn Bá Đại Trang Véc tơ khơng gian Ta có : Theo kết ví dụ 1: A M P D B Q N C M Mặt khác theo giả thiết : D B Q N C Chứng tỏ M,N,P,Q thuộc mặt phẳng ( đồng phẳng ) Đònh lý 2: zC * Trong không gian cho ba véc tơ không đồng phẳng véc tơ Khi với ,ta chọn ba số m,n,p cho : +n Ngoài ba số m,n,p * Chứng minh đònh lý dựa vào hình vẽ bên Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Có DD , AA x D' D' y y x Gợi I trung điểm BC'.Hãy biểu thò véc tơ AI theo ba véc tơ Nguyễn Bá Đại BB Trang Véc tơ khơng gian Bài giải : Ta có Do I trung điểm BC' nên AI trung tuyến tam giác ABC',cho nên theo quy tắc trung tuyến ta có : B B AA C DD B' B' A' C' D' BÀI TẬP TRONG HH-11-CƠ BẢN ( Trang 91-HH11-CB) Bài Cho hình hộp ABCD ,A'B'C'D' Chứng minh Bài giải : Theo tính chất hình hộp ta có cặp véc tơ sau : Do : ( Từ (2) (3).) Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi S điểm nằm mặt phẳng chứa HBH Chứng minh : Bài giải : Gọi O giao hai đường chéo AC BD HBH Nguyễn Bá Đại Trang Véc tơ khơng gian Xét hai tam giác SAC SBD ,chúng có chung đường trung tuyến SO Theo tính chất đường trung tuyến : : Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Chứng minh rẳng : Baøi giải : A M B D N C Bài Cho tứ diện ABCD Hãy xác đònh hai điểm E F cho Bài giai : a)Gọi G trọng tâm tam giác BCD Theo tính chất trọng tâm tam giác với điểm A tuỳ ý ta có : Chứng tỏ E nằm đường thẳng AG độ dài AE =3AG Nguyễn Bá Đại Trang Véc tơ khơng gian b) Gọi I J trung điểm BC AD Thì : Vậy : F nằm đường thẳng qua A // với Ị có độ dài hai lần độ dài IJ E Cách khác : F C A Với E đỉnh thưc tư HBH ABGC E đỉnh thứ tư B G hình bình hành AGED Hay nói cách khác E đỉnh D hình hộp coa ba cạnh AB,AC,AD E Tương tự ,G đỉnh thứ hình bình hành ABGC ,còn F đỉnh thứ hình bình hành ADGF (cách xác đònh chúng hình vẽ ) Bài Cho tứ diện ABCD.Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chưng minh : Bài giải : Theo giả thiết ,nếu G trọng tâm tam giac ABC : Do (1) Bài Gọi M N trung điểm cạnh AC BD tứ diện ABCD.Gọi I trung đoạn đoanj thẳng MN P điểm không gian Chứng minh : Bài giải : a) Nếu M N trung điểm AC BD F trung điểm MN : Nguyễn Bá Đại Trang Véc tơ khơng gian b) Theo quy tắc ba điểm : A C Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có : Hãy phân tích (biểu thò ) véc tơ ,theo véc tơ B C' A' B' Bài giải : Theo hình vẽ : Bài Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm mặt phẳng (ABC).Trên SA lấy điểm M cho lấy điểm N cho ,và đoạn BC Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng Bài giải : Đặt : Khi ta biểu diễn ba véc tơ theo ba véc tơ Ta có Chứng tỏ ba véc tơ Nguyễn Bá Đại đồng phẳng Trang Véc tơ khơng gian Bài 10 Cho hình hộp ABCDEFGH;, Gọi K giaiểm AH DE ,I giao BH DF Chứng minh ba véc tơ phẳng Bài giải : Đặt : B theo ba Vì ta có : C K Hãy biểu diễn ba véc tơ véc tơ D A đồng I H E G E F Thay (2) (3) vào (1),ta có : Chứng tỏ ba véc tơ đồng phẳng TRONG HH-11-NÂNG CAO (Trang 91) Bài Cho hình chóp S,ABCD a) Chứng minh ABCD hình bình hành Điều ngược lại có hay không ? b) Gọi O giao điểm AC BD Chứng tỏ ABCD hình bình hành Bài giải : a) Nếu ABCD hình bình hành gọi O giao hai đường chéo AC BD : Ngược lại ,từ giả thiết : Chứng tỏ điều ngược lại b) Từ (1) suy hệ thức véc tơ : Nguyễn Bá Đại Trang 10 Véc tơ khơng gian a) Hãy biểu thò véc tơ : qua véc tơ b) Xác đònh số k,l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD'? ? Bài giải : a) Từ giả thiết : b) Vì BD' C'D laø hai đường thẳng chéo N thuộc đường thẳng C'D nên đường thẳng MN trùng với đường thẳng BD' Vậy đường thẳng MN song song với đường thẳng BD' Vì : Mặt khác : DD A CC MM B NN D D' ' A' B' C' Do : k=-3 l=-1 hai đường thẳng MN BD' song song Nguyễn Bá Đại Trang 28 Véc tơ không gian Ví dụ : Bài 2(tr-114-BTGT11-NC) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Các điểm M,N thuộc cạnh CA DC' cho Xác đònh m để đường thẳng MN BD' song song Khi ,tính MN biết BA=a,BB'=b ,BC=c Bài giải Đặt : véc tơ : Ta biểu biễn véc tơ theo Do A D M B C N A' B' D' C' Theo tính chất hai véc tơ ,ta có hệ sau : Nguyễn Bá Đại Trang 29 Véc tơ khơng gian Bài toàn 3; Chứng minh điểm O thuộc mp(ABC) hay mặt phẳng (ABC) qua điểm O Chứng minh đường thẳng a // với mp(ABC) Phương pháp giải : Đối với dạng 1: Ta có bước giải sau Tìm điểm M ba số thực x,y,z cho : Để có kết ,ta thường chọn véc tơ sở ,sau biểu diễn véc tơ theo ba véc tơ sở Sau đưa chúng dạng (*),rồi kết luận Đối với dạng 2: Ta có bước giải sau : Trên đường thẳng a ,chọn véc tơ ,bất kỳ Trong hình cho ,chọn véc tơ sở Sau biểu diễn véc tơ , , theo ba véc tơ sở Tìm hai số k,l cho : +l (*) Nếu tìm kết luận chúng đồng phẳng ( hay chuùng // ) Nguyễn Bá Đại Trang 30 Véc tơ khơng gian Để có kết ,ta phải dựa vào cách phân tích véc tơ cho chúng có dạng (*) ( Hướng dẫn mẫu ví dụ cho HS nắm phương pháp làm ) Ví dụ minh hoạ : Ví dụ Cho hình hộp ABCDEFGH;, Gọi K giaiểm AH DE ,I giao BH DF Chứng minh ba KI // với D A mp(ACAF) Bài giải : B C Đặt : Hãy K biểu diễn ba véc tơ theo ba I H véc tơ Vì ta có : E E F G Thay (2) (3) vào (1),ta có : Chứng tỏ ba véc tơ mp(ACGF) đồng phẳng Hay KI song song với Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi M,N thứ tự trung điểm CD DD'; G G' trọng tâm tứ diện A'D'MN BCC'D' Chứng minh đường thẳng GG' mặt phẳng (ABB'A') song song với ? Bài giải : Đặt : Ta biểu diễn véc tơ : ,theo ba véc tơ Nguyễn Bá Đại Trang 31 Véc tơ khơng gian Nếu G G'là trọng tâm tứ diện A'D'MN BCC'D' A B với điểm A : M D C A' N B' D' Từ (*) ba véc tơ đồng phẳng Nhưng hai véc tơ thuộc mặt phẳng (ABB'A') ,còn véc tơ phẳng Vì C' không thuộc mặt // với mặt phẳng (ABB'A') Ví dụ Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm A',B',C' thuộc tia SA,SB,SC cho SA=aSA' , SB=bSB' ,SC=cSC' ,trong a,b,c số thay đổi Chứng minh mặt phẳng (A'B'C') qua trọng tâm tam giác ABC a+b+c=3 Bài giải : Nếu G trọng tâm tam giác ABC : Và : Tương tự ta có : Vậy : Theo kết ,để mp(ABC) qua G : Nguyễn Bá Đại Trang 32 Véc tơ khơng gian Bài toán : Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ; đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Phương pháp giải : Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta có số bước giải sau: Chọn véc tơ sở ( hình vẽ tập ) Trên đường thẳng a b chọn hai véc tơ : biểu thò hai véc tơ theo véc tơ sở , sau Xét tích vô hướng , chúng kết luận chúng vuông góc Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (ABC) ,ta làm theo số bước sau : Trên hình vẽ tập cho ,ta chọn véc tơ sở đường thẳng a ta chọn véc tơ MN Biểu diễn ba véc tơ : Xét tích vô hướng , theo ba véc tơ sở với hai véc tơ : , Nếu chúng không chứng tỏ a vuông góc với (ABC) Một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Bài 7( Trng 114-BTHH 11-NC) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Gọi M,N điểm thuộc AD' DB cho a) Chứng minh MN song song với mp(A'BC) b) Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng A'C ,chứng tỏ MN vuông góc với AD' DB ? Bài giải : a) Đặt : Ta có từ giả thiết : Nguyễn Bá Đại Trang 33 Véc tơ khơng gian Chứng tỏ MN// với mặt phẳng (A'BC) b) Nếu MN//A'C tồn số p cho : Do ta có hệ : A B D C D' A' Với : Nguyễn Bá Đại ,thì B' C' Trang 34 Véc tơ khơng gian Chứng tỏ MN vuông góc với AD' DB Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh a Trên BD BB' lấy điểm M,N cho DM=AN= Chứng minh MN đường vuông góc chung BD AD' ? Bài giải : Đặt Ta biểu thò ba véc tơ : Vậy : , theo ba véc tơ A B M N C A' B' D D' C' Từ giả thiết : Vì : Nguyễn Bá Đại Trang 35 Véc tơ không gian Do Chứng tỏ MN đường vuông góc chung BD AD' Ví dụ Cho hình lậo phương ABCD.A'B'C'D', có cạnh a Trên DC BB' láy ñieåm M , N cho DM =BN =x (0 ≤x≤a ) Chứng minh AC' MN B C Bài giải : A Đặt D B' C' A' Ta biểu thò hai véc tơ : Từ giả thiết : , theo ba véc tơ D' Mặt khác : Xét tích vô hướng Chứng tỏ MN vuông góc với AC' Ví dụ Nguyễn Bá Đại Trang 36 Véc tơ khơng gian Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Hai điểm M N nằm hai cạnh B'C' CD cho B'M =CN Chứng minh AM BN Bài giải : Đặt Ta biểu thò hai véc tơ : , theo ba véc tơ Từ (1) (2) ,ta xét tích vô hướng Do : AM BN MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO * Chú ý : Khi nói m chia đoạn AB theo tỷ số k ,nghóa ta có đẳng thức véc tơ : Học sinh ý đến thứ tự diểm A,B,C viết đẳng thức véc tơ Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh a Trên AB' BC' lấy hai điểm M,n cho MN vuông góc với AB MN = Tìm tỷ số mà M chia đoạn AB' tỷ số N chia đoạn BC' ? Bài Cho tứ diện ABC P Q trung điểm AB CD Hai điểm M N chia đoạn BC AD theo tỷ số Chứng minh bốn điểm P,Q,M,N nằm mặt phẳng Nguyễn Bá Đại Trang 37 Véc tơ khơng gian Bài Trong không gian cho tam giác ABC điểm O Chứng minh điều kiện cần đủ để điểm M nằm mặt phẳng (ABC) với k+l+m=1 Bài Cho bốn điểm A,B,C,D phân biệt Hai điểm M,N chia đoạn AC BD theo tỷ số k Chứng minh ba véc tơ ,đồng phẳng Hãy biểu thò véc tơ theo Bài Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Một đường thẳng d cắt đường thẳng AA', BC' ,C'D' M,N,P cho N chia đoạn thẳng MP theo tỷ số Tìm tỷ số mà M chia đoạn thẳng AA' ? ( Đáp số : M chia AA' theo tỷ số ) Bài Cạnh hình lập phương ABCD.A'B'C'D' a Một mặt phẳng qua D' song song với DA' AB' cắt đường thẳng BC' M Tính độ dài D'M ? (ĐS: D'M= ) Bài Trên cạnh AD đường chéo A'C hình hộp ABCD.A'B'C'D' lấy điểm M,N cho MN song song với mp(BDC') AM =1/5 AD.Tìm tỷ số CN: CA' ? ( ĐS : CN : CA' = 3:5 ) GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN Bài Đặt B Giả sử M chia AB' theo tỷ số k N chia BC' theo tỷ số m Ta biểu diễn hai véc tơ ,theo ba véc tơ Theo giả thiết đầu ta có : C A N A' M C' B' Vaäy : Nguyễn Bá Đại Trang 38 Véc tơ khơng gian Nếu MN vuông góc với AB : Theo tính chất lăng trụ tam giác : Bài Đặt : A Theo giả thiết ,nếu m chia BC theo tỷ số k : N P B D M Q C Neáu N chia AD theo tỷ số k : Nguyễn Bá Đại Trang 39 Véc tơ khơng gian Chứng tỏ ba véc tơ đồng phẳng Nghóa bốn điểm P,Q,M,N thuộc mặt phẳng Bài Tam giác ABC ,với điểm M Nếu M thuộc mp(ABC) ba véc tơ : đồng phẳêng Nghóa ,tồn hai số k l cho : Với điểm O tuỳ ý ,đẳng thức véc tơ viết lại thành : Nếu đặt :1-k-l≠1 : Ta thấy : Cách khác : Khi M thuộc mp(ABC) ba véc tơ Nguyễn Bá Đại Trang 40 Véc tơ khơng gian Nếu đặt 1-k-l=m k+l+m=1 : * Tìm điều kiện để điểm M thuộc miền ta giác (ABC) : Trong đẳng thức véc tơ ,ta cho điểm O trùng với điểm C : : Nếu có điểm N thuộc CB cho M thuộc CN : , 0≤n≤1 Khi : Suy ,nếu n=0 k=0 l=0 Như m=1 Bài Nếu M chia AC theo tỷ số k : theo tý số k : Chứng tỏ Và N chia đoạn BD Mặt khác đồng phẳng Bài Giả sử M chia AA' theo tỷ số k : Tương tự ,giả sử N chia đoạn BC theo tỷ số l : B Mặt khác : M C Nguyễn Bá Đại N A D Trang 41 Véc tơ không gian Theo đầu : N chia đoạn MP theo tỷ số ,nghóa : Nhưng P thuộc D'C' ,nên giả sử Cho nên từ (*) ta có Từ (**) ta có Do : Nguyễn Bá Đại Trang 42 ... phẳng Trong trường hợp giá ba véc tơ song song với mặt phẳng Đònh nghóa Trong không gian ba véc tơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Nguyễn Bá Đại Trang Véc tơ không gian *... phẳng (ABB'A') Bài Trong không gian cho tam giác ABC a) Chứng minh điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) có ba số x,y,z mà x+y+z=1 cho ,với điểm O b) Ngược lại ,nếu có điểm O không gian cho ,trong x+y+z=1... cho : Nguyễn Bá Đại Trang 23 Véc tơ khơng gian Vậy với k=1/2 bốn điểm P,Q,M,N thuộc mặt phẳng MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG BÀI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài toán Chứng minh ba điểm A,B,C thẳng