MỤC LỤC Nội dung 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2.NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.2.Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp cụ thể 2.3.1 Phân dạng, nhận dạng, xây dựng toán tổng quát 2.3.1.1 Phương pháp 1: Sử dụng tính chất tích phân 2.3.1.2 Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số 2.3.1.3 Phương pháp 3: Phương pháp tích phân phần 2.3.1.4 Phương pháp 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tích phân 2.3.2 Các tập rèn luyện kĩ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 2 3 3 4 4 10 13 14 20 20 20 21 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Năm học 2017 -2018 năm học tiếp tục thực Nghị 29 Ban chấp hành TW Đảng khóa XI “ Đổi toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng u cầu cơng nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế” Với xu đổi phương pháp giáo dục giáo dục, trình dạy học để thu hiệu cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Ý thức điều đó, tơi ln tích cực học tập; không ngừng nâng cao lực chuyên môn; đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo; khả vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại say mê, hứng thú học tập cho em Trong giảng dạy, nghiên cứu, trao đổi với đồng nghiệp, tìm tịi phương pháp phù hợp nhằm giúp học sinh thích nghi tốt với thay đổi hình thức thi THPT Quốc Gia Đặc biệt năm học 2016 - 2017 (Kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017), mơn Tốn áp dụng hình thức thi trắc nghiệm Đây thử thách hội không với giáo viên mà với học sinh giảng dạy học tập tầm phát triển Là người trực tiếp giảng dạy, biết nhiều học sinh lo lắng trước thay đổi Việc chuyển từ thi tự luận sang trắc nghiệm đồng nghĩa với việc thay đổi cách học, cách làm quen thuộc em Do hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn cịn nên tài liệu dạy học mơn Tốn theo hình thức thi trắc nghiệm cịn ít, thầy cơ, nhà trường chưa có nhiều kinh nghiệm thi trắc nghiệm mơn Tốn Làm để giải khó khăn em học sinh? Vì tơi nghiên cứu xây dựng chun đề ôn luyện cho học sinh chuẩn bị tốt cho em kì thi THPT Quốc Gia năm học 2016-2017 năm học 2017 - 2018 Trong chuyên đề xây dựng năm học 2016-2017 20172018, có nhiều chuyên đề hay áp dụng kì thi THPT Quốc Gia như: Các tốn vận dụng Toán học vào thực tế; Bài toán cực trị hình học; …Tuy nhiên, tơi tâm đắc chuyên đề sử dụng tính chất tích phân để tính tích phân hàm số chưa xác định biểu thức (dạng chống bấm máy tính) Trong khn khổ đề tài này, tơi xin trình bày: “ Các phương pháp giải dạng tốn tích phân hàm ẩn” giúp học sinh học lớp 12 làm thi THPT Quốc Gia mơn Tốn theo hình thức trắc nghiệm 1.2 Mục đích nghiên cứu Tích phân hàm ẩn dạng toán khai thác từ sách giáo khoa theo hướng chống bấm máy tính áp dụng chất Toán Đây hướng khai thác nên tài liệu dạy học; Trong đề thi THPT Quốc Gia năm học 20162017 đề minh họa năm học 2017-2018 khai thác có câu mức độ vận dụng cao Vì phải xây dựng chuyên đề “ Các phương pháp giải dạng toán tích phân hàm ẩn” để giảng dạy học sinh Mục đích: Xây dựng dạng - nhận dạng - nêu dạng tổng quát (nếu có) rèn luyện kĩ giải dạng tốn “ Tích phân hàm ẩn” Qua học sinh giải được, giải đúng,giải nhanh dạng toán đề thi 1.3 Đối tượng nghiên cứu +) Lớp 12A1, 12A10 năm học 2016-2017 trường THPT Yên Định +) Lớp 12A9 năm học 2017-2018 trường THPT Yên Định 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phối hợp nhiều phương pháp chủ yếu phương pháp: Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết : Dựa sở kiến thức sách giáo khoa, đề thi THPT Quốc Gia năm học 2016-2017 đề minh họa năm hoc 2017-2018; đọc tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài, rèn luyện kĩ phân tích, nhận dạng áp dụng lí thuyết vào toán cụ thể Phương pháp thực hành: Soạn thiết kế chuyên đề theo phương pháp định hướng lực, tiến hành thực nghiệm lớp 12A1,12A10 năm học 20162017 lớp12A9 năm học 2017-2018 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm *) Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “ Phương pháp giáo dục phổ thơng cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ” *) Dựa vào kiến thức tích phân sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao Cơng thức định nghĩa tích phân: Cho hàm số f liên tục K a,b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K thì: b f  x  dx  F  b   F  a  � a *) Ghi nhớ: Tính tích phân phụ thuộc vào biểu thức dấu tích phân mà khơng phụ thuộc vào biến ký hiệu Các tính chất tích phân Các hàm số f, g liên tục K a,b,c ba số thuộc K Khi ta có: a b f  x  dx  ; a) � a b c a b a c f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx; c) � a b b a a a f  x  dx   � f  x; b) � b b b b a a a � dx  � f  x  dx  � g  x  dx; d) � �f  x   g  x  � � kf  x  dx  k � f  x  dx với k �� e) � Một số phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số: b u b a u a f� u  x � u '  x  dx  �f  u  du � � � b) Phương pháp tích phân phần: Các hàm số u, v có đạo hàm liên tục K a, b hai số thuộc K; b u  x  v '  x  dx   u  x  v  x   � a b a b � v  x  u '  x  dx a 2.2 Thực trạng vấn đề Hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn với tính tích phân hàm số cụ thể học sinh bấm máy tính để chọn đáp án, chất kiến thức tốn khơng áp dụng Chính giáo dục đào tạo xây dựng đề thi trọng nhiều dạng toán học sinh phải vận dụng chất kiến thức Toán vào thi Ban đầu gặp dạng tốn tích phân hàm ẩn mức độ sách giáo khoa Giải Tích 12 Nâng Cao học sinh suy luận Khi toán mức độ yêu cầu vận dụng học sinh lúng túng khơng có định hướng giải tốn cách chủ động Đề thi THPT Quốc Gia năm học 2016-2017 đề minh họa năm học 2017-2018 có câu tích phân hàm ẩn mức độ vận dụng chí mức độ vận dụng cao Trong trình giảng dạy học sinh tơi nhận thấy em cịn gặp nhiều khó khăn cách nhận dạng, phương pháp giải kĩ giải Vì tơi xây dựng “ Các phương pháp giải dạng tốn tích phân hàm ẩn” để ôn luyện cho học sinh thi THPT Quốc Gia 2.3 Giải pháp cụ thể 2.3.1 Phân dạng, nêu cách nhận dạng, xây dựng tổng quát 2.3.1.1 Phương pháp 1: Sử dụng tính chất tích phân Nhận dạng: +) Các cận tích phân có dạng  a; b ,  b; c  ,  c; d   a  b  c  d  , +) Các hàm số dấu tích phân khơng phải hàm số hợp  f  x  , g  x  , f  t  , g  t  ,  3 3 3 f  x  dx   3, � g  x  dx 10, � g  x  dx   Tính I  � � f  x   2g  x � Ví dụ Cho � � �dx Lời giải 3 3 3 g  x  dx  � g  x  dx  � g  x  dx 15 � 3 0 I � � f  x   2g  x  � f  x  dx  2� g  x  dx  39 � �dx  3� 5 0 1 1 1 f  x  dx 7, � f  x  dx 10, � g  x  dx 2 Tính I  � � f  x  4g  x � Ví dụ Cho � � �dx Lời giải 5 1 f  x  dx   �f  x  dx  �f  x  dx  � 1 0 1 1  I� � f  x   4g  x  � f  x  dx  � g  x  dx  17 � �dx  � 1 Ví dụ Cho  f  x  dx 5 Tính � I� � �f  x   2sin x � �dx [1] Lời giải    0 I� � f  x  dx  � sin xdx  �f  x   2sin x � �dx  � Ví dụ Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn [1; ln3] thỏa mãn f  1  e , ln �f '  x  dx   e Tính Lời giải ln Ta có: �f '  x  dx  f  x  ln  f  ln 3  f  1   e (gt) � f  ln 3  e   e � f  ln 3  3 1 � f  x   3g  x  � dx  10; � � f  x  g  x � dx  Ví dụ Cho � � � � � Tính � f  x  g  x � dx [4] � � � Lời giải �3 �3 f  x  dx  3� g  x  dx  10 �� f  x  dx  �� �1 �1 � �3 �� � �3 �f  x   g  x  � �dx  � � g x dx  2 f x dx  � g  x  dx  ��  ��  �1 �1 Ví dụ Cho b b b a a a g  x � f  x  dx  3; � � f  x   5g  x  � � � �dx  Tính � � �dx [4] � Lời giải b b b b b a a a a a 3� f  x  dx  5� g  x  dx  � 5� g  x  dx   3� f  x  dx    5 � � g  x  dx  Trang ví dụ tác giả tham khảo TLTK số 1; Ví dụ 5, ví dụ tham khảo TLTK số Ví dụ Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x �t dt  x.cos  x Tính f   [4] Lời giải f  x t3 t dt  � f  x �f  x  � �  x cos  x � �f x � �   �  3x.cos  x � 3 � f  x   x cos  x � f    12 Ví dụ Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn [1; 2] thỏa mãn f  x   , x � 1; 2 Biết f '  x  dx  10 � f ' x �f  x  dx  ln Tính f   [4] Lời giải Ta có: f ' x �f  x  f '  x  dx  f  x  �  f    f  1  10 (gt) dx  ln � �f  x  � �  ln � �f   � � ln � �f  1 � � ln f  2 f  1  ln (gt) �f    f  1  10 �f    20 � � �� � f    20 Vậy ta có hệ: �f    f  10   � �f �   2.3.1.2 Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số Nhận dạng: Các hàm số tốn có đặc trưng; +) Các hàm số liên quan đến hàm số hợp +) Trong biểu thức dấu tích phân có hàm số f(x) có tính chất chẵn lẻ  a; a  ,  a   0 f  x  dx  16 Tính I  � f  x  dx [1] Ví dụ Cho � Lời giải 1 f  t  dt 2 x  0�t  � � I  f  t  dt  Đổi cận � 2� x  2�t  � Đặt x  t � dx  dt � f  x  dx  f  x  dx  5 Tính Ví dụ 10 Cho � �f  x  dx trường hợp sau 2 a) f  x  hàm số lẻ  2; 2 b) f  x  hàm số chẵn  2; 2 Trang ví dụ 7, ví dụ tác giả tham khảo từ TLTK số 4; Ví dụ tham khảo từ TLTK số Lời giải 2 2 2 f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx a) I  � Xét J  �f  x  dx 2 2 0 f  t  dt   � f  x  dx Đặt x  t � f  x   f  t    f  t  � J   � 2 0 2 2 � I  � f  x  dx  � f  x  dx  b) I  f  x  dx �f  x  dx  �f  x  dx  � 2 f  x  dx Xét K  � 2 2 0 f  t  dt  � f  x  dx Đặt x  t � f  x   f  t   f  t  � J  � 2 0 �I � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  10 *) Tổng quát: Cho hàm số f(x) liên tục  a; a  a f  x  dx  m , với a > � a �f  x  dx  , f  x  +) a hàm số lẻ  a; a  a �f  x  dx  2m , f  x  +) a hàm số chẵn  a; a  Ví dụ 11 Cho hàm số y = f(x) hàm số chẵn, có đạo hàm  6;6 biết 1 f  2 x  dx  Tính I  �f  x  dx  8, � �f  x  dx 1 Lời giải f  2 x  dx Xét J  � x 1� t  � Đặt t = 2x � dx  dt , đổi cận � x 3�t  � 6 1 J � f  t  dt  � f  t  dt � � f  t  dt  22 2 Với 1 f  x  dx  � f  x  dx  I � I    14 �f  x  dx  � 1 Ví dụ 12 Cho f ( x) � 1 x dx  hàm số y  f ( x ) hàm số chẵn  1;1 ; 1 Tính �f ( x)dx [3] 1 Lời giải f ( x) dx  2x 1 Xét  �  1 1 2t 2x Đặt x  t � dx  dt �  � t f  t  dt  � x f  x  dx 1 1 1 1  2 Cộng vế với vế (1) (2) ta có 1 f  x 2x f  x  �   � x dx  � x dx  � f  x  dx 1 1 1 1 1 1 �f ( x)dx  Vậy 1 *) Tổng quát: Cho hàm số f(x) liên tục, hàm số chẵn   ;  f  x dx  m , với  , a  Khi � 1 ax    �f ( x)dx  2m  Ví dụ 13 Cho hàm số f(x) liên tục � thỏa mãn 3 �f  x  dx [1] f  x   f   x    cos x ,  �� Tính I   3 Lời giải Đặt t = - x ta có: I 3  3 3 3 �f  x  dx  �f  t   dt   �f  t  dt  �f   x  dx  J  3 3 Ta có: I  J   3  3 3 3 3  3  3  3 �f  x   f   x  � �dx �f  x  dx  �f   x  dx  �� 3   3 3 �2 � � �  �  cos xdx  � cos x dx 4 �� cos xdx  � cos xdx � 3  �0 �  � �  �  �  4� sin x 02   sin x  2 � 12 � I  � � Trang ví dụ12 tác giả tham khảo từ TLTK số 3, ví dụ 13 tham khảo từ TLTK số 2x Ví dụ 14 Cho hàm số f(x) liên tục � thỏa mãn f   x   f  x   e Tính I  �f  x  dx 1 Lời giải Đặt x  t � dx  dt � I  �f  t  dt  1 �f   x  dx 1 1 1 1 2x � e2 x  f  x  � e x dx  5I Theo � f   x   5 f  x   e � I  � � �dx  � �I  e 1 12e Ví dụ 15 Cho hàm số f  x  liên tục � thỏa mãn  16 f  x  dx  cot x f  sin x  dx  � � x  1 f  4x I � dx Tính tích phân [4] x Lời giải  cot x f  sin x  dx  +) Xét A  �  Đặt t  sin x � dt  2sin x cos xdx  2sin x cot xdx  2t.cot xdx f  t dt 2t �  1 x  �t  f  x f  t f  x � dt  � dx �� dx  Đổi cận � ,  A  � t 21 x x 1  � x  � t 1 2 � � cot x f  sin x  dx  16 f  x  dx  ; Đặt u  +) Xét B  � x x � du  x dx � dx 2du  x u 4 x 1� u 1 f  u f  x f  x � 1  B  dt  dx � dx  Đổi cận � , � � � x  16 � u  u x x � 1 1 � f  x x  � v  v +) Xét I  � dx ; Đặt v  x � dx  dv � x  , đổi cận � � x 4 x  � v  � 4 f  v f  x f  x f  x I  � dv  � dx  � dx  � dx    Khi đó: v x x x 2 1 1 16 2 Trang ví dụ tác giả tham khảo từ TLTK số 2.3.1.3 Phương pháp 3: Phương pháp tích phân phần Nhận dạng: Cho f(x) hàm số có đạo hàm liên tục   ;   ;  Tính u  x  f '  x  dx �   u  x  f  x  dx , biết u(x) hàm số liên tục   ;   �  Ví dụ 16 Cho  x   f '  x  dx  12 , f(3) +2 f(0) = -1 � f  x  dx Tính I  � Lời giải u  x2 du  dx � � �� ' v  f  x dv  f  x  dx � � Đặt �  x   f '  x  dx   x   f  x  � 3 � f  x  dx  f    f    I � I  13 Ví dụ 17 Cho hàm số f(x) có đạo hàm  2; 2 , �f  x  dx  12, f    2 Tính I   x   f '  x  dx [3] � 2 Lời giải u  x2 � du  dx � Đặt �dv  f ' x dx � �v  f x     � � I   x  2 f  x  2 2 � f  x  dx  f    12  � I  2 Ví dụ 18 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 f    f  1  Biết  f  x  dx  , � f '  x  cos xdx  Tính I  � f  x  dx [3] � 2 0 1 Lời giải u  cos  x � du   sin  xdx � Đặt �dv  f ' x dx � �v  f x     � � f '  x  cos xdx   cos  x f  x   � 1  �  sin  x  f  x  dx   f  1  f     �  sin  x  f  x  dx   �  sin  x  f  x  dx 0 � �  sin  x  f  x  dx  1  ��  sin  x  f  x  dx  2 1 1 f  x  dx  2� f  x  sin  xdx  � sin  xdx    � sin  xdx Do đó: � 0 0 Trang ví dụ 17 tác giả tham khảo từ TLTK số 1 1   �   cos 2 x  dx     20 2 10 �� � �f  x   sin  x � �dx  � f  x   sin  x 1 0 �� f  x  dx  � sin  xdx    Ví dụ 19 Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn � sin x f  x  dx  f    Tính  I � cos x f '  x  dx [3] Lời giải u  cos x � du   sin x.dx � Đặt �dv  f ' x dx � �v  f x     � � I  cos x f  x   �   sin x  f  x  dx   f        0 � I  Ví dụ 20 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn � f  1  , �  x � �f � �dx  1 x f  x  dx  Tính tích phân � f  x  dx [2] � Lời giải � du  f '  x  dx � u  f  x � � � � x3 Đặt � dv  x dx � v � � 1 x3 f  x  f  1 1 3 x f x d x   x f ' x dx   x f ' x dx   x f '  x  dx       � 3� 3� 3� 0 0 1 x f  x  dx  Mà � �  x � Ta có: � �f � �dx  1 1 � � x f '  x  dx  � � x f '  x  dx  1 30  1 Trang ví dụ 18 , ví dụ 19 tác giả tham khảo từ TLTK số 11 1 x dx  � 49� x dx  � 0  2 1 0 x f '  x  dx  1 � 14 � x f '  x  dx  14 �  3 Cộng vế với vế (1), (2) (3) ta có: 1 0 � x dx  14 � x3 f �  x �  x  dx    14  �f � �dx  49 � �   3 � �� �  x   49 x dx  � �f '  x  � � 14 x f � �f '  x   x � �dx  0 � � �f '  x   x � ��0 � � �f '  x   x � �dx �0 Do  4 2  5 Theo (4) (5) ta có: x4 f '  x   x  � f '  x   7 x � f  x     C � � �f '  x   x � �dx  � 3 f  1  � C  Do 7 x4 � f  x    4 � x4 � f  x  dx  �   � dx  � � 4� 0� Ví dụ 21 Cho hàm số f(x) liên tục �, f    f  1  Biết e � �f  x   f '  x  � �dx  a.e  b Tính giá trị biểu thức � x Q  a 2018  b 2018 Lời giải 1 A� e � e f  x  dx  � e x f '  x  dx �f  x   f '  x  � �dx  � x x 0 1 0 e x f  x  dx ; A2  � e x f '  x  dx Xét A1  � � u  f  x � du  f '  x  dx � � � � dv  e x dx � v  ex � Đặt � 1 A1  � e f  x  dx  e f  x   � e x f '  x  dx  e f  1  f    A2 x x 0 � A1  A2  e.1  � a  1, b  1 � Q  12 Trang ví dụ 20 tác giả tham khảo từ TLTK số Ví dụ 22 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f  1  0, � �  x � �f � �dx   2ln f  x �  x  1 dx  2ln  Tích phân f  x  dx � [4] Lời giải: Ta có: f  x 1 � � � � �� � � dx  � f  x d � 1 1 1  x  dx � � � �f  x  �  � � �f � � � x 1 � � � x 1� �0 � x  �  x  1 1 � �� � ��  f  0  � 1 1 � �f  x  dx  � � �f  x  dx x 1� x 1� 0� 0� � � 1 f�  x  dx   ln Hơn ta tính được: Suy � � � x 1� 0� 1� 1 � � � � �  dx    dx  � x  2ln x   � � �   ln � � � � � x   x  1 � � x 1� x    0� 0� �0 � Do 1 � �� � � �� � 1 f  x  dx  � 1 f  x   1�dx  �  x � � � � �dx  � � �f � �dx  2� � � x 1 � x 1 � x 1 � 0� 0� 0�  x  1 Suy f � Ta , f  x   x  ln  x  1  C Vì f  1  nên C  ln  x 1 1 0 f  x  dx  � � x  ln  x  1  ln  1� � �dx   ln � 2.3.1.4 Phương pháp 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tích phân Nhận dạng: Kiến thức cở sở +) Nếu f  x  �0  a; b b f  x  dx �0 � a +) Nếu f  x  �g  x   a; b b b a a f  x  dx �� g  x  dx � Trang ví dụ 22 tác giả tham khảo từ TLTK số 13 Ví dụ 23 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  x   xf '  x  �x 2018 với x � 0;1 Tìm giá trị nhỏ tích phân f  x  dx � [4] 2018 2020 Lời giải: Ta có: f  x   x f '  x  �x � 3x f  x   x f '  x  �x � 2020 �  �  x3 f  x  � � � x  Khi  1 0 x t t � � x3 f  x  � � � �dx 2018 f  x  dx � dx � 2021 x 2020 dx � f t t 2018 2021 2019.2021 Giá trị nhỏ tích phân  0;1 t f  x  dx � 2019.2021 Ví dụ 24 Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn  0;1 x f  t  dt Biết g  x  �f  x  với x � 0;1 đồng thời ta đặt g  x    3� Tìm giá trị lớn tích phân �g  x  dx [4] Lời giải: Đặt x F  x  � f  t  dt � g  x    3F  x  �f  x  x � 0;1 � F�  x 3F  x    �0 x � 0;1 t � F�  x   1� 2 � � � h t  � dx  3F  t    t  hàm số nghịch biến  0;1 � � 3 � 3F  x   � ta có: h  x � h    �x��  x t  0;1  ��3F� Vậy �g  x  dx có giá trị lớn 3F  x  x x  0;1 �g  x  dx 2.3.2 Các tập trắc nghiệm rèn luyện kĩ - Xây dựng tập có đủ mức độ: Nhận biết, thơng hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao - Khi giải tập sử dụng phương pháp Trang ví dụ 23, ví dụ 24 tác giả tham khảo từ TLTK số 14 4 2 f  x  dx  18,� f  x  dx  15 Câu Cho � A B 33 f  x  dx � là: C -3 Câu Cho f    2, f  3  Tính D.-33 f '  x  dx � A.3 B Câu Cho C -3 D 10 d d b a b a f  x  dx  5; � f  x  dx  2; a  d  b � f  x  dx � A -2 B C D.3  Câu Nếu f(x) liên tục �và f   x   f  x   cos x , �f  x  dx  A B C Câu Cho  D.1 f  x  xdx  ,khi � f  x  dx bằng: � 0 A.2 B C Câu Cho f(x) thỏa mãn f �  A f  3  x f  x  dx là: � B Câu Cho f    D.1 x  dx  A 2 C.16 D.8 [ f '  x   f '   x  ].dx  Tính � f (3) B f  3  C f  3  D f  3  3 1 f  x � dx  15 � Câu Cho f(x) hàm số chẵn, liên tục � � � � Tính �f  x  dx 5 A B 10 Câu Cho f  x   f  x    2018 x A 2016 B 2018 C 30 D 15 2 2017  3x  Tính �f  x  dx 2 C 2017 D 2020 15 Câu 10 Cho 2 0 f  x  dx  x   f '  x  dx  5; f    Tính � � A.3 B -3 C -7 D F  x  1 dx  1; F  3  � Câu 11 Cho F(x) nguyên hàm f(x) 1 xf  x  dx Tính � A.10 B 11 C D  Câu 12 Cho F(x) nguyên hàm f(x),biết F � � 1; xF  x  dx  �� � �3 � Tính  x f  x  dx � 2 B A  C 2 D 2 �x � � Câu 13 Cho hàm số y  f  x  liên tục thỏa mãn f  x   f � � � 3x, với � � x �� ; 2� Tính � � f  x �x dx C  D  2 � � �  �  ; Câu 14 Biết hàm số y  f �x  �là hàm số chẵn đoạn � � 2� �2 2� � A B  � � f  x   f �x  � sin x  cos x Tính I  f  x  dx � � 2� A I  B I  C I  D I  1 x Câu 15 Cho hàm số y  f  x  liên tục � , thỏa mãn f   x   2018 f  x   e f  x  dx Tính I  � A I  1 e 1 2019e B I  e2  2018e C I  Câu 16 Cho hàm số f  x  liên tục  0; � thỏa mãn Tính f   D I  e2  e x2 �f  t  dt  x.cos  x 16 A f    123 B f    C f    D f    Câu 17 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  1;1 , thỏa mãn f  x   x � f '  x   f  x   Biết f  1  , tính f  1 2 A f  1  e B f  1  e C f  1  e D f  1  Câu 18 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục �, nhận giá trị dương khoảng  0;� thỏa mãn f  1  , f  x   f '  x  3x  Mệnh đề đúng? A.1  f    B  f    C  f    D  f    Câu 19.Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục � f  x   0, x � 0; a  ( a dx a  ) Biết f  x  f  a  x   , tính tích phân I  � 1 f  x Câu 20 Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn  0;1 x f  t  dt Biết g  x  �� đồng thời ta đặt g  x    2� �f  x  � � với x � 0;1 Tích phân g  x � � �dx có giá trị lớn bằng: �� A B C D ĐÁP ÁN CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG Câu 10 Đáp án C A D A A A A B B B Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Đáp án D D B D A D C D A A Đáp án chi tiết câu vận dụng f  x A  � dx Câu 13: Đặt (1) x � x  �t  � 1 dt t  � dt   dx �   dx Đặt ; Đổi cận: � 2 x x t � x  2�t  � 17 1 �� �� �1 � t f �� f �� f � � t t x � A  � ��  dt   ���dt  �� �dx (2) t t 1 2 2 �1 � f  x  f � � 2 �x �dx  3x dx  3dx  3x Ta có:  1    � A  � � � x 1 x 2 2 2 � 3A  � A 2 Chọn B   x � dt   dx ;    � x  0�t  2 � � � � � � I  f �  t �  dt  f  t dt  f �  x� dx   � Đổi cận: � � � � � � �  2 � �2 � � � �  � x  �t  � Câu 14: Đặt t   � � � � � � � � �� � � f �  x �� Vì f �2  x �là hàm số chẵn � f �2  x � f �2  x � � � � � � � � � � �    � � � � Vậy I  � f x  f x  dx  sin x  cos x dx   cos x  sin x  11        � � � � � � 2� � � 0 � I   Chọn D x  1 � t  � f  x  dx (1)Đặt t   x � dt  dx ; Đổi cận: � Câu 15: I  � x  � t  1 � 1 �I  1 1 1 1 �f  t   dt   �f  t  dt  �f   x  dx (2) Ta có: �  1  2018    I  2018 I  � �f  x   2018 f   x  � �dx 1 � 2019 I  � e x dx  e x 1 1 e e2  e2   �I  e e 2019e Chọn A f  t  dt � F '  t   f  t  ; Đặt G  x   Câu 16: Ta có: F  t   � x2 �f  t  dt  F  x   F   2 f '� u  x � � G ' x  � F  x2  � � � f '  u  u '  x  ) � � x f  x  (Tính chất đạo hàm hợp: / Mặt khác, từ gt: G  x   � x f  x x2 �f  t  dt  x.cos  x � G '  x    x.cos  x  '   x sin  x  cos  x    x sin  x  cos  x (1) Tính f    ứng với x  Thay x  vào (1) � f    2 sin 2  cos 2  � f     Chọn D 18 f ' x Câu 17: Từ gt: f '  x   f  x   � f '  x   2 f  x  �  2 f  x f ' x �� dx  � 2dx � ln � f  x �  2 x  C � f  x   e 2 x C � � f  x Có f  1  � e  Chọn C 2  c   e0 � c  � f  x   e 2 x  � f  1  e Câu 18: Từ gt: f  x   f '  x  x  � 3x   f ' x f  x f ' x �� dx  � dx � ln � f  x �  3x   C � f  x   e � � f  x 3x  Vì f  1  � e 2C   e0 � C   � f  x  e3 3 x1 3 x 1C � f    e �3,79  Chọn D a x  0�t  a dx � I  t  a  x � dt  dx Đổi cận: � Câu 19: (1) Đặt � 1 f  x x  a �t  � 0 a a dt 1 �I �  � dt  � dx (2)  f a  t  f a  t  f a  x       a 0 a � � � I   (1) + (2) � �dx �  f  x  f  a  x � � a  f  a  x   f  x  f  a  x  f  x a  dx  � dx  � dx  a � I   f  x f  a  x  f  x  f  a  x  f  a  x  f  x 0 Chọn A Câu 20 x f  t  dt g  x    F  x  �� Ta đặt F  x   � �f  x  � � x � 0;1 f  x Do  2F  x  F�  x  �0 x � 0;1 � t � F�  x  2F  x  �  �0 x � 0;1   �  1� dx   F  t   t  t � 0;1 hàm Xét hàm số: h  t   �  2F x � �   � 0� nghịch biến  0;1 h  t  �h   t � 0;1 � Do đó:  g  x    2F  t   � x1� x  0;1  t  �0 �  g  x � � �dx �� 3  2F  t   � t  t � 0;1 �4 � dx � x 1� � � 0� g  x � � �dx �� Chọn A 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 19 - Trong năm học 2016- 2017 xây dựng hai đề kiểm tra mức độ tương đương kiểm tra học sinh lớp 12A1, 12A10 Đề số : Trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Đề số : Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Tỉ lệ điểm Lớp Sĩ số 12A1 12A1 45 Trước áp dụng SKKN Giỏi Khá TB Yếu 18% 28% 52% 2% Sau áp dụng SKKN Giỏi Khá TB Yếu 49% 44% 7% 49 2% 30% 20% 58% 20% 40% 30% - Đặc biệt kì thi THPT Quốc Gia năm 2017, tơi có hai học sinh đạt điểm 10 mơn Tốn; Có 14 học sinh đạt điểm từ điểm trở lên ( có học sinh lớp chủ nhiệm đạt thủ khoa khối B với số điểm tuyệt đối 30/30) - Trong năm học 2017 – 2018 từ đề năm học trước bổ sung, xây dựng hai đề kiểm tra mức độ tương đương kiểm tra học sinh lớp 12A9 Tỉ lệ điểm Sĩ Trước áp dụng Sau áp dụng Lớp số SKKN SKKN Giỏi Khá TB Yếu Giỏi Khá TB Yếu 12A 49 2% 18% 58% 22% 20% 34% 46% KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trong trình giảng dạy, cho học sinh rèn luyện dạng tốn qua thực nghiệm tơi nhận thấy : Học sinh tự tin giải dạng tốn tích phân hàm ẩn Việc vận dụng “ Các phương pháp giải dạng tốn tích phân hàm ẩn” tốn cụ thể học sinh có hướng rõ ràng thành thạo Học sinh hứng thú học tập dạng tốn tích phân hàm ẩn Trên lớp làm tập nhà học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo, độc lập giải dạng tốn tích phân hàm ẩn Qua hai đề kiểm tra ta nhận thấy kết học tập học sinh tiến rõ dệt, tỉ lệ học sinh đạt yêu cầu nâng cao Trong lần thi kiểm tra kiến thức thi THPT Quốc Gia trường kì thi THPT Quốc Gia năm 2017 hầu hết học sinh học đề tài hồn thành tốt dạng tích phân hàm ẩn Điều thể tiện ích đề tài 20 3.2 Kiến nghị Sau thời gian ôn luyện thi THPT Quốc Gia năm học Trong trình tham khảo đề thi : THPT Quốc Gia năm 2017 ; Các đề minh họa năm học, tài liệu liên quan mạng Quá trình tìm hiểu khó khăn học sinh giải dạng tốn tích phân hàm ẩn Bản thân tơi suy nghĩ nghiên cứu tìm giải pháp tháo gỡ khó khăn cho học sinh , khắc phục lối dạy học truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư cho người học Do tơi xây dựng đề tài “ Các phương pháp giải dạng tốn tích phân hàm ẩn” cho học sinh lớp 12 Định hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo; khả vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại say mê, hứng thú học tập cho em Tôi mong đề tài “ Các phương pháp giải dạng toán tích phân hàm ẩn” đồng nghiệp, người đam mê dạy học toán ghi nhận giới thiệu rộng rãi, góp phần đổi phương pháp giảng dạy phù hợp với thực tiễn thay đổi toàn diện ngành giáo dục XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trịnh Văn Hùng 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Các đề thi minh họa, đề tham khảo đề thi thức giáo dục đào tạo kì thi THPT Quốc Gia năm 2017 [2] Đề thi minh họa thi THPT Quốc Gia năm 2018 [3] Đề thi thử theo cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia năm 2017, 2018 trường nước [4] Tài liệu nhóm word Tốn 22 23 ... khăn cách nhận dạng, phương pháp giải kĩ giải Vì xây dựng “ Các phương pháp giải dạng tốn tích phân hàm ẩn? ?? để ơn luyện cho học sinh thi THPT Quốc Gia 2.3 Giải pháp cụ thể 2.3.1 Phân dạng, nêu cách... tin giải dạng tốn tích phân hàm ẩn Việc vận dụng “ Các phương pháp giải dạng tốn tích phân hàm ẩn? ?? tốn cụ thể học sinh có hướng rõ ràng thành thạo Học sinh hứng thú học tập dạng toán tích phân hàm. .. chuyên đề “ Các phương pháp giải dạng tốn tích phân hàm ẩn? ?? để giảng dạy học sinh Mục đích: Xây dựng dạng - nhận dạng - nêu dạng tổng quát (nếu có) rèn luyện kĩ giải dạng tốn “ Tích phân hàm ẩn? ?? Qua