Câu 1: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Phương trình bậc hai sau có nghiệm + 2i ? A z − 2z + = B z + 2z + = C z − 2z + = D z + 2z + = Đáp án C Phương pháp: Cách 1: Giải phương trình bậc hai ẩn z đáp án, đáp án có nghiệm z = + 2i chọn đáp án Cách 2: Thay nghiệm z = + 2i vào phương trình đáp án Đáp án thỏa mãn chọn đáp án Cách giải: +) Xét phương trình: z − 2z + =  z − 2z + + =  ( z − 1) = −2  ( z − 1) = 2i 2  z − = 2i  z = + 2i  z − = 2i     loại đáp án A  z − = − 2i  z = − 2i +) Xét phương trình: z + 2z + =  z + 2z + + =  ( z + ) = −1 = i 2 z + = i  z = −2 + i  z+2 =i     loại đáp án B  z + = −i  z = −2 − i +) Xét phương trình: z − 2z + =  z − 2z + + =  ( z − 1) = −4 = −4i 2  z − = 2i  z = + 2i  z − = 2i     chọn đáp án C  z − = −2i  z = − 2i Câu 2: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z Số phức z là: A − i B + 2i C − 2i D + i Đáp án A Phương pháp: Cho điểm M ( a;b ) biểu diễn số phức z  z = a + bi  z = a − bi Cách giải: Ta có M ( 2;1) biểu diễn số phức z  z = + i  z = − i Câu 3: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho số phức z = a + bi (a,b số thực) thỏa mãn z z + 2z + i = Tính giá trị biểu thức T = a + b A T = − Đáp án C T = + 2 B Phương pháp giải: Lấy mơđun hai vế để tìm Lời giải: Ta có z + z − =  z = −1 +  z = − ngược lại để tìm số phức z z, i 2+2 = −i = i z +2  z + z − =  z = −1 +  z = − −1 + D T = + T = − 2 z z + 2z + i =  ( z + ) z = −i Lấy môđun vế, ta ( z + ) z z=− C i z +2 = −i = 1− 1+ ( ) ( Vậy T = a + b = + − 2  a = i  b = − ) = − 2 Câu 4: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Gọi z1 , z hai nghiệm phức phương trình z + 6z + 13 = z1 số phức có phần ảo âm Tìm số phức  = z1 + 2z A  = + 2i B  = −9 + 2i C  = −9 − 2i D  = − 2i Đáp án B Phương pháp giải: Giải phương trình bậc hai tìm nghiệm phức Lời giải: Ta có z + 6z + 13 =  z + 6z + = −4  ( z + 3)2 = ( 2i )2   z1 = −3 − 2i  z = −3 + 2i  Vậy  = z1 + 2z2 = −2 − 2i + ( −3 + 2i ) = −9 + 2i Câu 5: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho số phức A z = B z = 13 C z = + 2i Tính z z = D z = 13 Đáp án B Phương pháp giải: Số phức Lời giải: Ta có z = a + bi z = + 2i  z = có mơđun 32 + 22 = z = a + b2 13 Câu 6: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn iz − + 2i = Tìm giá trị lớn biểu thức T = 2iz1 + 3z z1 − 3i + = A 313 + 16 Đáp án A B 313 C 313 + 313 + D Phương pháp giải: Đưa biện luận vị trí hai điểm thuộc đường tròn để khoảng cách chúng lớn Lời giải: Ta có z1 − 3i + =  2i ( z1 − 3i + 5) = 2i  2iz1 + + 10i = Và iz − + 2i =  z − − 2i =  z + + i =  −3z − − 3i = 12 i  u + + 10i = u = 2iz1 Đặt  T = 2iz1 + 3z = 2iz1 − ( −3z ) = u − v   v = −3z  v − − 3i = 12 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức u đường tròn ( x + )2 + ( y + 10 )2 = 16 tâm I1 ( −6; −10 ) , R = Tập hợp điểm N biểu diễn số phức v đường tròn ( x − )2 + ( y − 3)2 R = 12 Khi T = MN max  MN = I1I2 + R1 + R = 122 + 122 + + 12 = 313 + 16 = 144 tâm I2 ( 6;3) , Câu 7: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho số phức z thỏa mãn z ( − i ) + 13i = Tính mơđun số phức z A z = 34 B z = 34 34 C z = D z = 34 Đáp án D Phương pháp giải: Tìm số phức z phép chia số phức, sau tính mơđun bấm máy tính − 13i = + 5i  z = 34 Lời giải: Ta có z ( − i ) = − 13i  z = 2−i Câu 8: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Số phức z = a + bi ( a, b  ( z + 1) ( z − i ) ) thỏa mãn z − = z số thực Giá trị biểu thức S = a + 2b bao nhiêu? A S = −1 B S = C S = D S = −3 Đáp án D Phương pháp giải: Đặt z = a + bi, thực yêu cầu toán, ý số phức số thực phần ảo Lời giải: Ta có z − = z  a + bi − = a + bi  ( a − ) + b = a + b  a = ( ) Khi z = + bi  z = − bi  ( z + 1) z − i = ( + bi ) 1 − ( b + 1) i  = b + b + − ( b + ) i số thực Khi b + =  b = −2 Vậy S = a + 2b = −3 Câu 9: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Cho số phức w hai số thực a, b Biết z1 = w + 2i z = 2w − hai nghiệm phức phương trình z + az + b = Tìm giá trị T = z1 + z A T = 97 B T = 85 C T = 13 D T = 13 Đáp án A Phương pháp giải: Đặt số phức w, biến đổi z sử dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai Lời giải: Đặt w = m + ni ( m, n  ) z1 = w + 2i = m + ( n + ) i suy  z = 2w − = 2m − + 2ni 3n + = n=− Ta có z1 + z2 = 3m − + ( 3n + ) i = −a số thực   3m −   z1 = m + i  z = 2m − + i    16    Lại có z1.z =  m + i  2m − + i  = 2m − 3m + +  m −  = b số thực   3    m−4=0 m =3  z1 = + i 97 ⎯⎯ → T = z1 + z = Vậy  z = − i  Câu 10: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức T = z + + z − A max T = B max T = C max T = 10 Đáp án A Phương pháp giải: Gọi số phức, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn Lời giải: Cách Gọi z = x + yi ( x, y  )  M ( x; y ) D max T = Và A(−1;0), B (1;0 ) Ta có z =  x + yi =  x + y2 =  M thuộc đường tròn đường kính AB MA + MB2 = AB2 = Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có (1 T = MA + 2MB = + 22 )( MA2 + MB2 )AB2 = 5.4 = Vậy giá trị lớn biểu thức max T = Cách Đặt z = x + yi ( x, y  )  z + = ( x + 1) + y2 z − = ( x − 1) + y2 Mặt khác z =  x + y2 =  x + y2 = 1, T= ( x −1) T (1 2 + y2 + ( x −1) + y2 + 22 ) ( x − 1) + y + ( x − 1) + y  = 10 ( x + y + 1) =    2 max T = Câu 11: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Cho số phức z thỏa mãn z (1 − 2i ) + zi = 15 + i Tìm mơđun số phức z A z = B z = C z = D z = Đáp án A Phương pháp Gọi z = a + bi  z = a − bi Sử dụng định nghĩa hai số phức Cách giải z = a + bi ( a, b  )  ( a + bi )(1 − 2i ) + ( a − bi ) i = 15 + i  − 2ai + bi + 2b + + b = 15 + i  2a + 2b + b = 15 a =    z = a + bi  z = 32 + 42 =  −2a + b + a = b = Câu 12: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm − 4i phương trình z − 2z + = Tìm tọa độ điểm biểu diễn cho số phức mặt z1 phẳng phức? A P ( 3; ) B N (1; ) C Q ( 3; −2 ) D M (1;2) Đáp án A Phương pháp +) Tìm z1 cách giải phương trình z − 2z + = +) Thay z1 vừa tìm tính − 4i z1 +) Số phức z = a + bi có điểm biểu diễn M ( a;b ) Cách giải  z = + 2i − 4i − 4i z − 2z + =    z1 = − 2i  = = + 2i z1 − 2i  z = − 2i Câu 13: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Điểm A hình vẽ bên biểu diễn cho số phức z Mệnh đề sau đúng? A Phần thực 3, phần ảo B Phần thực 3, phần ảo 2i C Phần thực -3, phần ảo 2i D Phần thực -3, phần ảo Đáp án A Phương pháp Điểm M ( a;b ) điểm biểu diễn cho số phức z = a + bi, có phần thực a phần ảo b Cách giải A(3; 2) điểm biểu diễn cho số phức z = + 2i, có phần thực 3, phần ảo Câu 14: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Cho số phức thỏa mãn (1 + i ) z + + (1 + i ) z − = Gọi m = max z ;n = z số phức w = m + ni Tính w 2018 A 41009 B 51009 C 61009 D 21009 Đáp án C Phương pháp Chia vế cho + i suy đường biểu diễn số phức z Cách giải 2 + z− =  z + − i + z −1 + i = 1+ i 1+ i 1+ i  Tập hợp điểm z elip có độ dài trục lớn 2a =  a = hai tiêu điểm (1 + i ) z + + (1 + i ) z − =  z+ F1 (1; −1) ;F2 ( −1;1)  c =  b = a − c2 = m = max z = 2; n = z =  w = + 2i  w =  w = 61009 Câu 15: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho số phức z = a + bi với a, b số thực Mệnh đề sau đúng? A Phần ảo z bi B Môđun z a + b C z − z số thưc D Số z z có mơdun khác Đáp án B 2018 Đáp án A Phần ảo số phức z b nên A sai Đáp án B Ta có z = z = ( a + b2 ) = a + b nên B Đáp án C Ta có z = a + bi  z = a − bi  z − z = 2bi số thực b = nên C sai Đáp án D Ta có z = a + bi  z = a − bi  z = z = a + b2 nên D sai Câu 16: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho số phức z1 = + 2i, z2 = − 2i Phương trình bậc hai có hai nghiệm z1 z là: A z − z + 13 = B z + z + 13 = C z + z − 13 = D z − z − 13 = Đáp án A z + z = Ta có   z − 6z + 13 = z z = 13  Câu 17: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Cho số phức z Gọi A, B điểm mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z (1 + i ) z Tính z biết diện tích tam giác OAB A z = 2 B z = C z = Đáp án D HD: Ta có OB = (1 + i ) z = z ; AB = (1 + i ) z − z = z D z = Suy ∆OAB vuông cân A  SOAB AB z = = =  z = Chọn D 2 Câu 18: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho số phức w, z thỏa mãn 5w = ( + i )( z − ) Giá trị lớn biểu thức P = z − − 2i + z − − 2i w+i = A B + 13 C 53 D 13 Đáp án C HD: Ta có 5w = ( + i )( z − )  5w + 5i = ( + i ) z − + i  w + i = ( + i ) z − + i  (2 + i) z − + i =  + i z − 8−i 8−i =3  z− =  z − + 2i = 2+i 2+i  Tập hợp điểm M ( z ) đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y + ) = 9, tâm I ( 3; −2) , R = Gọi A (1;2 ) , B ( 5;2 ) E ( 3; ) trung điểm AB suy P = MA + MB Lại có ( MA + MB )  ( MA2 + MB2 ) = 4.ME + AB2  P lớn  ME lớn → MEmax = IE + R = Vậy Pmax = 4.ME + AB = 53 Mà IE =  R = ⎯⎯ Câu 19: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Cho số phức z = + 4i Tính hiệu phần thực phần ảo z A B C −2 D Đáp án C Câu 20: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho biết có hai số phức z thỏa mãn z = 119 − 120i , kí hiệu z1 z2 Tính z1 − z2 A 169 Đáp án D B 114244 C 338 D 676 Đặt: z = x + yi  z = x − y + xyi = 119 − 120i  60  − y = 119  −  x − y = 119  y    2 xy = −120  x = − 60  y  Câu 21: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho w số phức thay đổi thỏa mãn w = Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn số phức z = 3w +1 − 2i chạy đường nào? A Đường tròn tâm I (1; −2 ) , bán kính R = B Đường tròn tâm I ( −1;2 ) , bán kính R =2 C Đường tròn tâm I (1; −2 ) , bán kính R = D Đường tròn tâm I ( −1;2 ) , bán kính R=6 Đáp án A Ta có: w = 2; z = x + yi Xét: z = 3w + − 2i  z −1 + 2i = 3w  z −1 + 2i = w =  ( x − 1) + ( y + ) = 36  I (1; −2 ) ; R = 2 Câu 22: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn   z1 = z2 = z3 =  Tính giá trị biểu thức M= z2 − z3 − z3 − z1  z1 = z2 z3  z −z = 6+  2 + −2 A − − − B − − + C Đáp án D   z1 = z2 = z3 =  Tính M = z2 − z3 − z3 − z1  z1 = z2 z3  z −z = 6+  2 Cách 1: Đại số Ta có: z1 − z2 = z1 z1 − z2 = z12 − z1 z2 = z2 z3 − z1.z2 6+ 6+  z3 − z1 = (1) 2 Ta lại có: z12 = z2 z3  z12 − z32 = z3 ( z2 − z3 ) = z2 z3 − z1 =  z12 − z32 = z3 z2 − z3  z1 + z3 z1 − z3 = z2 − z3 (2) ( Tính chất: z1 + z3 Từ (1)  z1 + z3 = z2 − z3 = ( 6+ )( )= z +z + z1 − z3 6− Thế vào (2) ta được: 6− = (3) Từ (1) (3): M = − Cách 2: Hình học ) + − − −2 = 2 D − 6− 2+2 Ta có: z1 − z2 = z1 z1 − z2 = = z2 z3 − z1  z3 − z1 = 6+ = M 1M (1) Gọi M1 , M , M điểm biểu diễn z1 , z2 , z3 Dễ dàng có: M M 1O = 150  M M 1M = 300  M 2OM = 600  OM M M M = z2 − z3 = 1(2) + − − −2 = 2 Cách 3: Chuẩn hóa chọn z1 = Từ (1) (2): M = − Câu 23: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3)Cho số phức z = + i Tính z A z = 2 B z = C z = D z = 10 Đáp án D z = + i  z = − i  z = 10 Câu 24: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Điểm M hình vẽ biểu thị cho số phức Câu 61: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho số phức z có biểu diễn hình học điểm M hình vẽ bên Khẳng định sau ? A z = −3 + 2i B z = + 2i C z = −3 − 2i D z = − 2i : Đáp án D Phương pháp: Số phức z = a + bi biểu diễn điểm M ( a;b ) mặt phẳng phức Cách giải: Ta có: M ( 3; −2)  z = − 2i v Câu 62: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2)Cho số phức z = + i Số phức nghịch đảo z là: A 1− i B − i C − i D −1 + i Đáp án C Phương pháp giải: Ta có z = a + bi  Lời giải: Ta có z = + i  1 a − bi a − bi = = = z a + bi ( a + bi )( a − bi ) a + b 1 1− i 1− i = = 2 = z 1+ i − i Câu 63: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2)Cho i đơn vị ảo Gọi S tập hợp số nguyên dương n có chữ số thỏa mãn i n số nguyên dương Số phần tử S A 22 B 23 C 45 D 46 Đáp án A Phương pháp giải: Để i n số nguyên dương n số nguyên dương chia hết cho Lời giải: Xét n = 2k, i n = i 2k = ( i ) = ( −1) số nguyên dương k chẵn k Kết hợp với n 10;11; ;99 suy k k  11 99   5; ; ;  k   2 số chẵn 19  29   11  21 Với số 5; ; ;  → có số k thỏa mãn, 10; ; ;  → có số k thỏa 2 2   mãn Vậy có tất 2.5 + 3.4 = 22 số thỏa mãn yêu cầu toán Câu 64: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho số phức z = −3 + 4i Môđun z A B C D Đáp án D Phương pháp giải: Số phức z = a + bi có mơđun z = a + b2 Lời giải: Ta có z = −3 + 4i  z = ( −3) + 42 = Câu 65: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)Cho số phức z = (1 + 2i )( − i ) , z có phần thực A B C Đáp án B Phương pháp: Số phức z = a + bi ( a, b  ) D có phần thực a, phần ảo b Cách giải: z = (1 + 2i )(5 − i ) = − i + 10i − 2i = − i + 10i + = + 9i có phần thực Câu 66: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)số phức z thỏa mãn z = số phức w = (1 + i ) z Tìm w A 10 B + C Đáp án A Phương pháp: Cho z1 , z hai số phức bất kì, z1.z2 = z1 z D Cách giải: Ta có: w = (1 + i ) z  w = (1 + i ) z = + i z = 12 + 12 = 10 Câu 67: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Trong số phức: (1 + i ) , (1 + i ) , (1 + i ) , (1 + i ) A (1 + i ) 3 B (1 + i ) số phức số thực? C (1 + i ) D (1 + i ) Đáp án B Phương pháp: Sử dụng (1 + i ) = + 2i + i = + 2i − = 2i Cách giải: (1 + i ) = 2i = (1 + i )  = ( 2i ) = 16   (1 + i ) (1 + i ) = (1 + i ) (1 + i ) = 2i (1 + i ) = 2i − (1 + i ) 2 = (1 + i )  (1 + i ) = ( 2i ) (1 + i ) = −4i +   2 Như vậy, có số phức (1 + i ) số thực Câu 68: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)Xét số phức z thỏa mãn 10 − + i Mệnh đề đúng? z 3  z   z  B z  C z  A D 2 2 Đáp án D Phương pháp: Chuyển vế, lấy mođun hai vế Cách giải: (1 + 2i ) z = 10 10 − + i  (1 + 2i ) z + − i = z z 2 10 10  ( z + )( z − 1) i =  ( z + ) ( z − 1) = z z (1 + 2i ) z =  z + z + + z − z +1 = 2 1 3  z + z − 10 =  z =  ;  2 2 z 10 Câu 69: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)Cho số phức z thỏa mãn z − + 3i + z − + i = Tính GTLN P = z − + 4i A max P = B max P = C max P = 5 D max P = Đáp án A Cho số phức z = x + yi ( x, y  ) ,S ( x, y ) điểm biểu diễn z hệ trục tọa độ Oxy ( x − 2) + ( y + 3) + ( x + ) + ( y + 1) A ( 2; −3) , B ( −2; −1) Phương trình z − + 3i + z − + i =  Lấy điểm (1)  SA + SB = 2  Tập hợp điểm S đường elip (E) có tiêu điểm 2 = (1) A ( 2; −3) , B ( −2; −1) có độ dài trục lớn 2a =  a =  AB = 2MA Lấy M ( 4; -4) Dễ dàng kiểm tra   MA + MB = = 2a Suy ra, M đỉnh nằm trục lớn elip (E) Gọi I trung điểm AB  I ( 0; −2 ) , N điểm đối xứng M qua I Khi đó, với điểm S  ( E ) : SM  MN = 2a = SMmax = S trùng N  Pmax = S  N ( −4;0)  z = −4 Câu 70: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z = A ( −1; −4) B (1; ) ( − 3i )( − i ) + 2i C (1; −4) D ( −1; 4) Đáp án A Ta có z = ( − 3i )( − i ) = −1 − 4i + 2i Câu 71: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Go ̣i z1 , z hai nghiệm phức phương trình 2z − 3z + = Tiń h 1 w = + + i.z1z z1 z 3 3 A w = − + 2i B w = + 2i C w = + i D w = + 2i Đáp án B 4  z +z 1 3 z1 + z = + 2i = + 2i Ta có   w = + + i.z1z = + i ( z1z ) = z1 z z1z 2.2 z1z = Câu 72: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b  ) thỏa mãn z + + 3i − z i = Tiń h S = a + 3b 7 A S = B S = −5 C S = D S = − 3 Đáp án B a = −1 ta có: a + + bi + 3i − a + b i =   2 b + = a + b a = −1 a = −1    S = −5  b + = b + b = − Câu 73: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Đặt z = a + bi ( a;b  ) Biết số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = biểu thức P = z + − z − i 2 đa ̣t giá trị lớn Tính z B z = 50 A z = C z = 10 D z = Đáp án D Đă ̣t z = x + yi ( x, y  )  Tâ ̣p hơ ̣p các điể m M là đường tròn (C) có tâm I ( 3; ) , bán kính R = Ta có P = z + − z − i = x + + yi − x + ( y − 1) i = ( x + ) + y − x − ( y − 1) 2 2 2 = x + y2 + 4x + − x − y2 + 2y −1 = 4x + 2y + → (  ) : 4x + 2y + − P = Ta cầ n tìm P cho đương thẳ ng  d ( I; (  ) )  R  4.3 + 2.4 + − P 42 + 22 () và đường tròn (C) có điể m chung   23 − P  10  −10  23 − P  10  13  P  33  x = 4x + 2y − 30 = Do đó max P = 33 Dấ u “=” xảy    Vâ ̣y 2 y = − x − + y − = ( ) ( )    z = Câu 74: (Cụm trường chuyên)Cho số phức z1 = + 3i, z = −4 − 5i Tính z = z1 + z A z = − 2i B z = −2 − 2i C z = + 2i D z = −2 + 2i Đáp án B Phương pháp: z1 = a1 + b1i;z2 = a + b2i  z1 + z2 = ( a1 + a ) + ( b1 + b2 ) i Cách giải: z1 + z2 = ( + 3i ) + ( −4 − 5i ) = −2 − 2i Câu 75: (Cụm trường chuyên) Nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z − z + = z = a + bi, a, b  R Tính a + 3b A B C −2 D −1 Đáp án A Phương pháp : Tìm nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z − z + = MTCT Cách giải: Sử dụng MTCT ta tính nghiệm phức có phần ảo dương phương trình  a=  3  z= + i  a + 3b = + = 2 2 b =  Câu 76: (Cụm trường chuyên) Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn z1 = 2, z = Gọi M, N điểm biểu diễn cho z1 iz Biết MON = 300 Tính S = z12 + 4z 22 ? A B C 3 D Đáp án Phương pháp: Tìm điểm biểu diễn đưa tốn hình học Cách giải : Đặt z3 = iz  z32 = −z 22  S = z12 + 4z 22 = z12 − 4z32 = z1 − 2z3 z1 + 2z M, N điểm biểu diễn cho z1 , z3  OM = 2,ON = z3 = iz = i z = Gọi P điểm biểu diễn cho 2z3 Q điểm biểu diễn cho −2z , ta có N trung điểm OP P, Q đối xứng qua O Khi S = MP.MQ Áp dụng định lí Cosin OMP có: MP = OP + OM − 2OP.OM.cos30 = 12 + − 2.2 3.2 =  MP = 2 Áp dụng định lí Cosin OMQ có: MQ2 = OM + OQ − 2OM.OQ.cos1500 = + 12 + 2.2.2 3 =2  S = MP.MQ = 2.2 = Câu 77: (Cụm trường chuyên) Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn z1 + − i = z = iz1 Tìm giá trị lớn m biểu thức z1 − z A m = B m = 2 + C m = 2 D m = + Đáp án B Phương pháp : Đặt z1 = a + bi ( a;b  R ) z1 − z = z1 − iz1 = (1 − i ) z1 = z1 = a + b , tìm GTLN Cách giải : Đặt z1 = a + bi ( a;b  R ) a + b2 z1 − z = z1 − iz1 = (1 − i ) z1 = z1 = a + b a + bi + − i =  ( a + 1) + ( b − 1) =  a + b + ( a − b ) = 2  ( a − b ) = − ( a + b2 )  ( a − b ) = ( a + b2 ) − ( a + b2 ) + 2 Ta có : (a + b)   a + b2 + 2ab   ( a + b2 )  a + b2 − 2ab = ( a − b )  ( a + b2 ) − ( a + b2 ) +  ( a + b2 )  ( a + b ) − 12 ( a + b ) +   −  a + b2  +  a + b2  +  z1 − z = a + b  2 + Câu 78: (Chuyên Chu Văn An-2018) Điểm M hình bên điểm biểu diễn số phức z Mệnh đề đúng? A Phần thức phần ảo -4 B Phần thực -4 phần ảo 3i C Phần thực -4 phần ảo D Phần thực phần ảo -4i Đáp án A Phương pháp : Số phức z = a + bi có điểm biểu diễn mặt phẳng phức M ( a;b ) a phần thực b phần ảo Cách giải: M ( 3; −4 )  Số phức z có phần thức phần ảo -4 Câu 79: (Chuyên Chu Văn An-2018) Kí hiệu z1 , z hai nghiệm phức phương trình z + z + = Giá trị biểu thức P = z12 + z 22 + z1z bằng: A P = B P = −1 C P = Đáp án C D P = Phương pháp: Sử dụng định lí Vi-et Cách giải: z1 , z hai nghiệm phức phương trình z + z + = nên theo định lí b  z1 + z = − a = −1 Vi-et ta có:  z z = c =  a P = z12 + z 22 + z1z = ( z1 + z ) − z1z = ( −1) − = 2 Câu 80 (Chuyên Chu Văn An-2018): Xét số phức z thỏa mãn (1 + 2i ) z = 10 − + i z Mệnh đề đúng?  z 2 A B z  2 Đáp án D  z  2 C z  D Phương pháp: Chuyển vế, lấy mođun hai vế Cách giải: 10 10 − + i  (1 + 2i ) z + − i = (1 + 2i ) z = z z 2 10  ( z + ) + ( z − 1) = ( z + ) + ( z − 1) i = 10 z z  z + z + + z − z +1 = 2 10 z 1 3  z + z − 10 =  z = 1  ;  2 2 Câu 81: (Chuyên Chu Văn An-2018) Xét số phức z = a + bi, ( a, b  R ) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z = z + − 3i z + − i + z − + 3i đạt giá trị nhỏ Giá trị P = a + 2b là: 61 A P = − 10 B P = − 252 50 C P = − 41 D P = − 18 Đáp án A Phương pháp: Từ z + yi = z + − 3i tìm quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z = x + yi Gọi điểm M ( x; y ) điểm biểu diễn cho số phức z A ( −1;1) ; B ( 2; −3) ta có: z + − i + z − + 3i = MA + MB nhỏ  MA = MB Cách giải: Gọi z = x + ui ta có: 2 x + yi = x − yi + − 3i  x + y = ( x + ) + ( y + 3)  8x + 6y = −25 Gọi điểm M ( x; y ) điểm biểu diễn cho số phức z A ( −1;1) ; B ( 2; −3) ta có: z + − i + z − + 3i = MA + MB nhỏ Ta có: MA + MB  MA.MB, dấu xảy  MA = MB  M thuộc trung trực AB 1  Gọi I trung điểm AB ta có I  ; −1 AB = ( 3; −4 ) 2  1 11  Phương trình đường trung trực AB  x −  − ( y + 1) =  3x − 4y − = 2  Để ( MA + MB)min  Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình 67  x=− 8x + 6y = −25    50  11   3x − 4y =  y = − 119  50 67  a=−  67 119 61  50 z=− − i  P = a + 2b = − 50 50 10 b = − 119  50 Câu 82: (Chuyên Lê Q Đơn- Quảng Trị -Lần 1)Tìm phần thực số phức z12 + z 22 , biết z1 , z hai nghiệm phức phương trình z − 4z + = A B C D Đáp án B Phương pháp giải: Áp dụng định lí Vi-et phương trình bậc hai z + z = Lời giải: Ta có z − 4z + =    z12 + z 22 = ( z1 + z ) − 2z1z = 42 − 2.5 = z1z = i Tìm Câu 83: (Chun Lê Q Đơn- Quảng Trị -Lần 1) Cho số phức z = − + 2 số phức w = + z + z i A − + B C D − 3i 2 Đáp án B Phương pháp giải: Bấm máy khai triển tay tìm số phức w Lời giải:  1 3  3 Ta có z = − + i  z =  − + i  = − i+ i = − − i 2 2  2  3 i− − i=0 Vậy w = + z + z = − + 2 2 Câu 84: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Cho số phức − 3i Môđun số phức w = (1 + i ) z A w = 26 Đáp án A B w = 37 C w = D w = Ta có w = (1 + i )( − 3i ) = − i  w = 26 Câu 85: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Biết phương trình z2 + az + b = ( a, b  ) có nghiệm z = −2 + i Tính a + b A B D −1 C Đáp án A a  z1 + z = −4 = −  a = Suy nghiệm lại z = −2 − i   a+b=9 z z = = b  b =  Câu 86: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Với hai số phức z1 z thỏa mãn z1 + z = + 6i z1 − z = 2, tìm giá trị lớn P = z1 + z2 C P = + B P = 26 A P = D P = 34 + Đáp án B Bổ đề Cho hai số phức z1 z , ta ln có ( z1 + z2 = z1 − z = z1 + z 2 2 ) (*) ( ) Chứng minh Sử dụng công thức z1 + z = ( z1 + z ) z1 + z z.z = z Khi ( ) ( z1 + z = z1 − z = ( z1 + z ) z1 + z + ( z1 − z ) z1 − z 2 2 ) z1.z + z1.z + z1.z + z z + z1.z1 − z1.z − z1.z + z z ( ) ( = z1.z1 + z z = z1 + z 2 ) → dpcm Áp dụng (*), ta z1 + z − z1 − z =  z1 − z = − 2 Theo bất đằng thức Bunhiacopxki, ta P = z1 + z 2 ( ( 3) =  z1 − z = z1 + z 2 )=2 26 Câu 87: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Số phức liên hợp z số phức z = − 3i A z = − 2i B z = + 3i C z = + 2i D z = −2 + 3i Đáp án B Phương pháp: Số phức liên hợp z số phức z = a + bi, a, b  R z = a − bi Cách giải: Số phức liên hợp z số phức z = − 3i z = + 3i Câu 88: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Gọi z1 z hai nghiệm phức phương trình thức T = z1 + z z + 2z + 10 = Giá trị biểu A T = 10 2 C T = 20 B T = 10 D T = 10 Đáp án C Phương pháp: Giải phương trình phức bậc hai, suy nghiệm tính tổng bình phương mơđun nghiệm Sử dụng cơng thức: z = a + bi  z = a + b2 Cách giải:  z = −1 + 3i z + 2z + 10 =    z = −1 − 3i  z1 = ( −1) + 32 = 10; z1 = ( −1) + ( −3) 2 = 10  T = z1 + z = 10 + 10 = 20 2 Câu 89: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Gọi S tập hợp số phức z thỏa mãn Tổng giá trị tất phần tử S A − 3i B −3 − 3i C D − 3i : Đáp án A Phương pháp: Đặt z = a + bi  z = a − bi  z.z = a + b2 Biến đổi để phương trình trở thành A + Bi =  A = B = Cách giải: z − 5+i − =  z.z − z − − i = 0, z  (1) z Đặt z = a + bi, ( a, b  , a + b  ) , ta có: (1)  a + b − a − bi − − i 3=0  a = −1 a + b − a − = a + − a − = a − a − =       a = − b − = b = − b = −  b = −  z = −1 − i   Tổng giá trị tất phần tử S − 2i  z = − i Câu 90: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Xét số phức z = a + bi, ( a, b  ) thỏa mãn z − − 3i = Tính P = 3a + b biểu thức z + − 3i + z + + 5i đạt giá trị nhỏ B P = + 20 A P = 20 C P = − 20 D P = −2 − 20 Đáp án A Phương pháp: Cách giải: z = a + bi  a + bi − − 3i =  ( a − 3)2 + ( b − 3) = 36 Khi ta có: z + − 3i + z + + 5i = a + bi + − 3i + a + bi + + 5i =2 ( a + ) + ( b − 3) 2 ( a + 1) + ( b + ) +3 2 = a + b2 Câu 91: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Số phức z = −4 + 3i biểu diễn điểm M có tọa độ A M ( 4; −3) B M ( −4;3) C M ( 3; −4 ) D M ( 4;3) Đáp án B Phương pháp: Điểm biểu diễn số phức z = a + bi, ( a, b  ) M ( a;b ) Cách giải: Số phức z = −4 + 3i biểu diễn điểm M có tọa độ M ( −4;3) Câu 92: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Gọi z1 , z hai nghiệm phương trình 3z − z + = Khi P = A − 23 12 Đáp án A z1 z + z z1 B 23 12 C − 23 24 D 23 24 Phương pháp: Áp dụng định lí Vi –et, xác định tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn az + bz + c = 0, a   z1 + z =   Cách giải: Xét phương trình 3z − z + = Áp dụng định lý Vi-ét:  z z =  1 − 2 − 2   z1 z z1 + z ( z1 + z ) − 2z1z   23 P= + = = = = =− 4 z z1 z1z z1z 12 3 Câu 93: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − − i + z + + 3i = Giá trị lớn z − − 3i B A D 5 C Đáp án D Phương pháp: - Biểu diễn số phức giải tốn tìm GTLN mặt phẳng tọa độ Cách giải: Gọi I (1;1;) , J ( −1; −3) , A ( 2;3) Xét số phức z = x + yi, ( x, y  R ) , có điểm z −1 − i = z + + i =  biểu diễn M ( x; y ) ( x −1) + ( y −1) 2 + ( x + 1) + ( y + 3) 2 =6 (1)  MI + MJ =  M di chuyển đường elip có tiêu điểm I J, độ dài trục lớn Tìm giá trị lớn z − − 3i tức tìm độ dài lớn đoạn AM M di chuyển elip Ta có: IA = (1; ) , JA = ( 3;6 )  JA = 3IA, điểm A nằm trục lớn elip =>AM đạt độ dài lớn M trùng với B, đỉnh elip nằm trục lớn khác phía A so với điểm I Gọi S trung điểm IJ  S ( 0; −1) Độ dài đoạn AB = SA + SB Mà AS = ( −2; −4 )  AS = 5,SB = =  AB = 5 Vậy z − − 3i max = 5 Câu 94: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Có số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + ( − i ) z = 13 + 2i ? A B C D Đáp án D Phương pháp: +) Đặt z = a + bi ( a; b  R )  z = a − bi, thay vào phương trình a = a ' +) So sánh hai số phức a + bi = a '+ b 'i   b = b ' Cách giải: Đặt z = a + bi ( a; b  )  z = a − bi, ta có: (1 + i )( a + bi ) + ( − i )( a − bi ) = 13 + 2i  a − b + ( a + b ) i + 2a − b − ( a + 2b ) i = 13 + 2i  3a − 2b − bi = 13 + 2i 3a − 2b = 13 a =    z = − 2i −b = b = −2 Câu 95: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Trong số phức z thỏa mãn z + = z , gọi z1 z số phức có mơđun lớn nhỏ Khi mơđun lớn số phức w = z1 + z là: A w = 2 C w = B w = Đáp án A Phương pháp : Sử dụng công thức zz = z Cách giải : Ta có D w = + ( ) z + = z  z + = z  ( z + 1) z + = 4zz ( ) ( )  ( z + 1) z + = 4zz  zz + z + z + − 4zz = ( ) ( ) 2 ( )  z + z + zz − 6zz + =  z + z + z − z + = (  z − z +1 = − z + z )   3−2  z  3+ 2  z1 = −  −1  z  +1    z = + ( ( ( ( ) ) ) z = − i   z1 = −    w = z1 + z = 2   z1 = − i  Dấu = xảy   z = +    w = z1 + z =  z2 = + i z + z =    z = − − i   ) ... a;b ) biểu diễn số phức z  z = a + bi  z = a − bi Cách giải: Ta có M ( 2;1) biểu diễn số phức z  z = + i  z = − i Câu 3: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho số phức z = a + bi (a,b số thực) thỏa... 6;3) , Câu 7: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho số phức z thỏa mãn z ( − i ) + 13i = Tính môđun số phức z A z = 34 B z = 34 34 C z = D z = 34 Đáp án D Phương pháp giải: Tìm số phức z phép chia số phức, ... biểu diễn cho số phức z = a + bi, có phần thực a phần ảo b Cách giải A(3; 2) điểm biểu diễn cho số phức z = + 2i, có phần thực 3, phần ảo Câu 14: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Cho số phức thỏa mãn