MỤC LỤC PHẦN A NHẮC LẠI VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN KIẾN THỨC CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN PHẦN CÁC DẠNG BÀI TẬP I PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỨA THAM SỐ A Xác định phương trình bậc hai hệ số phương trình bậc hai B Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát ax  bx  c  C Giải phương trình bậc hai khuyết b c 11 D Cho phương trình bậc hai, tính giá trị biểu thức chứa nghiệm ( 1 ; x12  x22 …) 11  x1 x E Lập phương trình bậc hai biết tổng tích hai nghiệm 13 II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TỐN PHỤ 15 A Giải biện luận phương trình 15 B Tìm giá trị tham số phương trình để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước: (2 nghiệm dấu, trái dấu, dương, âm, đối nhau, nghịch đảo,  ( ,  ) ;  ,   …) 17 C Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị tham số phương trình 19 D Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1 ; x2 độc lập đối giá trị tham số phương trình 19 E Tìm giá trị tham số phương trình thoả mãn biểu thức chứa nghiệm: (:  x1   x2   ; 19 F Tìm điều kiện giá trị tham số phương trình để biểu thức liên hệ nghiệm lớn nhất, nhỏ 19 G Tìm cơng thức tổng qt phương trình biết nghiệm, tính nghiệm cịn lại 19 BÀI TẬP CĨ HƯỚNG DẪN PHẦN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TỐN PHỤ 20 III PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 28 PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG 28 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC 31 A  33 B  PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: A.B    IV GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 35 Dạng 1: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy): 35 Dạng 2: Phương trình:  x  a  x  b  x  c  x  d   e, a+b=c+d 35 Dạng 3: Phương trình  x  a  x  b  x  c  x  d   ex2 , ab  cd Với dạng ta chia hai vế phương trình cho x2  x  0 Phương trình tương đương: 35 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang Dạng 4: Phương trình  x  a    x  b   c ta đưa phương trình trùng phương 35 4 Dạng 5: Phương trình chứa mẫu số phương trình bậc hai 37 BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO 40 HƯỚNG DẪN GIẢI – PHẦN A 41 I PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỨA THAM SỐ 41 B Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát ax  bx  c  41 C Giải phương trình bậc hai khuyết b c 42 D Cho phương trình bậc hai, tính giá trị biểu thức chứa nghiệm ( 1 2  ; x1  x2 …) 43 x1 x E Lập phương trình bậc hai biết tổng tích hai nghiệm 44 II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ 46 BÀI TẬP PHẦN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 46 III PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 79 A  79 B  PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: A.B    IV GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 81 PHẦN B PHẦN B: CÁC DẠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO PHỨC TẠP 88 I PHƯƠNG TRÌNH CĨ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 88 II PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA CĂN THỨC 91 III PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ: 92 V ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 99 VI NHIỀU CĂN BẬC LẺ: 101 VII PHƯƠNG TRÌNH CĨ CẢ CĂN BẬC CHẲN, CẢ CĂN BẬC LẺ 102 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang PHẦN A NHẮC LẠI VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Phương trình bậc nhất một ẩn:  Định nghĩa: Phương trình bậc ẩn phương trình có dạng: ax x ẩn số ; a , b số cho trước gọi hệ số a  Phương pháp giải: ax b ax b b b a x Ví dụ minh họa Bài 1: Giải phương trình: a) x 1 b) x 2018 c) 2x Giải a) x b) x 2018 2x c) Vậy phương trình có nghiệm x x 2018 Vậy phương trình có nghiệm x x 2x x b) x 2018 Vậy phương trình có nghiệm x Bài 2: Giải phương trình: a) x x x x c) x 1 Giải x x 2x x x Vậy pt có nghiệm x 1 x x x x 18 Vậy phương trình có nghiệm x 18 b) 3 x 9 5x x c) x Vậy phương trình có nghiệm x 5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Giải phương trình sau: a) x d) x x g) x x b) x x e) x x h) x x c) x f) x x i) x a) Đáp số: a) x b) x c) x 2 d) x e) x f) x 3 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 g) x h) x i) x 3 Trang KIẾN THỨC CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Định nghĩa Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax  bx  c  , x ẩn; a, b, c số cho trước gọi hệ số a  Công thức nghiệm phương trình bậc hai Đối với phương trình bậc hai ax  bx  c  (a  0) biệt thức   b2  4ac : b   b   ; x2  2a 2a  Nếu  > phương trình có nghiệm phân biệt x1   Nếu  = phương trình có nghiệm kép x1  x2   b 2a  Nếu  < phương trình vơ nghiệm Chú ý: Nếu phương trình có a c trái dấu  > Khi phương trình có nghiệm phân biệt Cơng thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình bậc hai ax  bx  c  (a  0) b  2b ,   b2  ac :  Nếu  > phương trình có nghiệm phân biệt x1   Nếu  = phương trình có nghiệm kép x1  x2   b   b   ; x2  a a b a  Nếu  < phương trình vơ nghiệm Hệ thức Viet  Định lí Viet: Nếu x1, x2 nghiệm phương trình ax2  bx  c  (a  0) thì:  b c  x1  x2   ; x1x2  a a   Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: X  SX  P  (Điều kiện để có hai số là: S  4P  ) Dấu nghiệm số phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: (1) có hai nghiệm trái dấu ax  bx  c  (a  0) (1)  P0 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang (1) có hai nghiệm dấu     (1) có hai nghiệm dương phân biệt     P  S  (1) có hai nghiệm âm phân biệt     P  S  P  Chú ý: Giải phương trình cách nhẩm nghiệm:  Nếu nhẩm được: x1  x2  m  n; x1x2  mn phương trình có nghiệm x1  m, x2  n c  Nếu a  b  c  phương trình có nghiệm x1  1, x2  a c  Nếu a  b  c  phương trình có nghiệm x1  1, x2   a Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang PHẦN CÁC DẠNG BÀI TẬP I PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỨA THAM SỐ A Xác định phương trình bậc hai và các hệ số phương trình bậc hai Phương pháp: Học sinh xác định dạng phương trình bậc hai ax  bx  c  hệ số a, b, c tương ứng với điều kiện a  Ví dụ minh hoạ: Bài 1: Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc hai? Chỉ rõ hệ số a, b, c phương trình a) x   b) x  3x   d ) x  3x  e) 2x - = 0 f) -3x  x   c) x  5x  Giải: Phương trình bậc hai phương trình a; c; d; f Phương trình x   có hệ số a  1; b  0, c   Phương trình x2  5x  1  có hệ số a  2; b  5; c  2 Phương trình x  3x  có hệ số a  1; b  3; c  Phương trình -3x  2x   có hệ số a  3; b  2; c  4 Lưu ý: Dạng toán đơn giản cần khắc sâu cho học sinh trung bình, yếu phải rõ hệ số để giải tốn cơng thức nghiệm thay số xác BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài A.1: Chỉ hệ số a,b,c phương trình sau: 6x2 +9x + 1= 8x2 -12x + = 5x2 + 3x - = x2 - x 11 = 2x2 - 3x - = x + x=0 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2x2 - (4- 5)x -2 = - x2 + 3x - = Trang B Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát ax  bx  c  Phương pháp 1: Đưa phương trình dạng phương trình tích giải phương trình tích (Lớp 8) Phương pháp 2: Sử dụng cơng thức nghiệm tổng quát (hoặc công thức nghiệm thu gọn) để giải phương trình bậc hai Phương pháp 3: Giải phương trình cách nhẩm nghiệm: Nếu a  b  c  phương trình có nghiệm x1  1, x2  c a c Nếu a  b  c  phương trình có nghiệm x1  1, x2   a Bài tập minh hoạ: Bài 1: Giải phương trình sau: a) 3x2  5x   b) 5x2  6x   Giải: a) Phương pháp 1: Đưa giải phương trình tích phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử x  x    x  x  x    x( x  2)  ( x  2)   x 3 x     (3x  1)( x  2)      x    x  2  1 Vậy tập nghiệm phương trình S  2;   3 Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai Ta có a  3; b = 5; c = -2   b2  4ac  52  4.3.(2)  25  24  49  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt: x1  b   5  49 5  b   5  49 5  12         2 ; x2  2a 2.3 6 2a 2.3 6  1 Vậy tập nghiệm phương trình S  2;   3 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang b) Phương pháp 1: Đưa giải phương trình tích phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: x  x    x  x  x    x( x  1)  ( x  1)   x 5 x     (5 x  1)( x  1)       x 1  x    1 Vậy tập nghiệm phương trình S  1;   5 Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn (công thức nghiệm tổng quát) để giải: Ta có a  5; b =   b' = b 6 = = -3; c = 2  '  b2  ac  (3)  5.1     Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt: x1  b '  ' (3)     1 a 5 x2  b '  ' (3)      a 5 Phương pháp 3: Giải cách nhẩm nghiệm Ta có a  5; b =  6; c = a  b  c   (6)   phương trình cho có nghiệm phân biệt x1  x2  c  a * Những lưu ý giải phương trình bậc  Nếu gặp đẳng thức đưa dạng tổng qt giải bình thường (khơng cần giải theo công thức ) VD : x2  x    x  1   x =  Phải xếp thứ tự hạng tử để lập thành phương trình ax2  bx  c  áp dụng công thức : VD: x  x  5  24  x2  5x  24  x2  5x  24   Áp dụng CT giải tiếp Không phải lúc x ẩn số mà ẩn t , ẩn b , ẩn a tùy vào cách ta chọn biến : VD: b2 10b  16   áp dụng CT giải tiếp với ẩn b  PT bậc chứa hệ số a, b, c ∆ ta buộc phải rút bậc hai VD: x  (2  3) x   ( a  1; b  (2  3); c  ) Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang   (2  3)   4.1.2      (Xem chuyên đề bậc 2: Dạng biểu thức Hằng đẳng thức) BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN Bài B.1: Giải phương trình: a) x2 5x c) x2 x 10 b) x2 2x d) x2 12 x 0 Bài B.2: Giải phương trình sau cách nhẩm nghiệm: a) x c) x2 x x b) x d) x2 9x x 20 0 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài B.01: Giải phương trình sau: a) x 2 5x d) x2 x 14 g) 3x2 x j) 16x2 40x m) x 2 p) x 2 2x b) x2 25 x e) x h) k) x2 x x2 x 3 n) x2 q) 16 f) x2 4x i) x2 2x l) x2 27 o) x2 3x x2 c) x2 x 10 3x 10 r) x2 8x 15 3x 8x 19 8x 8x 3x 0 Đáp số: a) x d) Vô nghiệm x g) x x j) m) x x p) e) 3 3 x x h) x1,2 c) Vô nghiệm f) 2 x x i) Vô nghiệm k) x1,2 41 b) x1,2 x 2 n) x q) Vô nghiệm 2 x x Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 l) Vô nghiệm o) x1,2 r) x x 79 Trang Bài B.02 Giải phương trình sau cách nhẩm nghiệm: a) 3x2 11x d) 5x2 24 x 19 2018x2 g) j) x x2 0 2017 21 x b) x e) 3x2 19 x h) x2 12 x x x 22 0 27 k) x2 c) 3x2 f) x2 i) 5x2 3x 19 x 10 x 22 21 17 x 12 x 22 0 Đáp số: x a) x x d) g) 19 x x b) x e) 2017 2018 x x h) c) f) 22 x x x i) x x j) x k) x x x x x 12 x 1 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 10  Trường hợp 2:  x  ta có (1)   x  x    x  x    x  1  1  Ta thấy x  thỏa mãn 2  Trường hợp 3: x > ta có (1)  x  x    x  x    x  1  29 1  29 Ta thấy x  thỏa mãn 2  1  x  Tóm lại: Phương trình có hai nghiệm   1  29 x   Bài 3: Giải phương trình: x   x  5x  Giải x   x  5x   x   x  5x    x    x  x  x   x  Vậy: x= 1; x= Bài 4: Giải phương trình: (|x|+ 1)2 = 4|x|+ Giải (|x|+ 1)2 = 4|x|+ Đặt t= |x| với t  PT: (t+ 1)2 = 4t + t   t  2t     t  2 (loai ) Với t= |x|=  x  4 Vậy x= 4; x= – Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 89 Bài 5: Giải biện luận |x2 – 2x +m|+x=0 Giải |x2 – 2x +m|+x=0  x  2x  m  x x   x      x  x  m  (1) x  2x  m   x   x  x  m  (2) Ta có    4m    4m Biện luận + m0 x   4m   4m x  2 + m> 0: Vô nghiệm 4) Bài tập tự luyện Bài 1: Giải phương trình bất phương trình sau: 1) 2x   2x   ( x  1) 7) x   x  x  2) x   x   ( x  ; ) 8) 3) x   x   (PTVN) 9) 2 4) 3x   x  ( x  3;  ) 10) 6) x   x  (x=0; – 1; 1) x2 1 x x2  2x  x  3x  x  x2   x  x ( x  2) (x  ) (x  5 2 (x   1 ) 23 ; ) 23 (x=5) 11) x  3x   x  ( x   21) Bài 2: Giải phương trình sau 1  17 ; ) 2)   x  ( x  1;3;5) ( x  1;  ;   2) 6) x  x   x  ( x   21) 3) x  x   x  ( x  0; 5) 7) x  x  12  x  x  ( x  5;  7) 1) x  x   x  x ( x   4) x   x ( x  1; 5) x  x  x  1  17 ; ) Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 90 Bài 3: Giải biện luận phương trình sau 1) 3x  m  x  2) x  x  x  m   m  Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: |x2 – 2x + m| = x2 + 3x – m – II PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA CĂN THỨC 1) Các dạng bản  A  (hay B  0)  A B A  B B   AB A  B 3 A  B  A  B3 2) Các dạng khác - Đặt điều kiện cho 2n A A  , nâng hai vế lên lũy thừa tương ứng để khử thức Lưu ý:  A.B  A  B   2n 2n A  B A  B  A n 1  B n 1 - Đặt ẩn phụ để đưa phương trình hay hệ phương trình đơn giản 3) Các tập mẫu Bài 1: Giải phương trình sau 1)  x  x  x  2) 25  x  x  3) 3x  x    x Giải 1)  x  x  x  x   x    2 4  x  x  ( x  2)  x  3x  x    x3 x   x  2) 25  x  x  x 1  x  x     x4 2  x   x  3 25  x  ( x  1) 2 x  x  24  Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 91 3) 3x  x    x  3x  x   x  x  x   x       x3 3x  x   ( x  2) 2 x  x    x   x   Bài 2: Giải phương trình : x  x  1) x  x    x   x     x3  x  1  x  2 x   x 2) x    x   x  x    2x   x 1   4  x   4  x  2    x    x  (1  x)(1  x)   x  (1  x)(1  x)  x     4  x     x     x     x0  x   x   (1  x)(1  x)  x  x     III PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ: Để khử thức, ta đưa thêm nhiều ẩn phụ Tùy theo dạng phương trình, bất phương trình mà lựa chọn cho thích hợp Các tập mẫu Bài 1: Cho phương trình : ( x  3)( x  1)  4( x  3) x 1  m (1) x 3 a) Giải phương trình với m = -3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Giải: Đặt X  ( x  3) x 1  X  ( x  3)( x  1) nên pt (1) đưa :X2+4X-m=0 (2) x 3  X  1 a) Với m = -3 phương trình (2) trở thành X  X      X  3 + Nếu X  1  1  ( x  3) x  x  x 1   x 3 1  ( x  3)( x  1) x  2x    x    x  1  x   Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 92 + Nếu X  3  3  ( x  3) x  x  x 1   x 3 9  ( x  3)( x  1)  x  x  12   x    x   13  x   13 b) Trước hết phương trình (2) có nghiệm      m   m  4 x 1  X0 Giả sử nghiệm X0 ( x  3) x 3 + Nếu X0 = x = – x   x    X 02 + Nếu X0 >  ( x  3)( x  1)  X  x   x    X 02 + Nếu X0 <  ( x  3)( x  1)  X Vậy với m  4 phương trình (2) có nghiệm tức phương trình (1) có nghiệm Bài 2: Giải phương trình  x   x  (3  x)(6  x)  Hướng dẫn: Đặt X   x   x Đưa phương trình:X2 – 2X – = Bài 3: Giải phương trình x3   x   1  x 1  y Hướng dẫn: Đặt y  x   y   x   Đáp số: x=1; x    y 1  2x 3 Bài 4: Giải bất phương trình x  x  2x  4 2x t  Hướng dẫn: Đặt t  x  Bất phương trình trở thành 2t  5t     t  x  2  x   Trường hợp 1: t    0  x    Trường hợp 2: t  Bất phương trình vơ nghiệm Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 93 Bài 5: Giải phương trình – (4  x)(2  x) = x – 2x – (1) Hướng dẫn: Đặt t = (4  x)(2  x) (t  0) t  (1) trở thành: – 4t = – t   t  * Tuy nhiên, số trường hợp, sau đặt ẩn phụ t, phương trình cịn lại ẩn x cũ, ta coi x tham số phương trình coi x ẩn thứ (cùng với t) hệ phương trình Cụ thể: + Nếu phương trình (ẩn t, tham số x) có biệt thức  phương (  = g ( x ) , g(x) đa thức, thường có bậc 1) giải t theo x; phương trình phương trình đẳng cấp (của x t) đặt x = ty Bài 6: Giải phương trình (4x – 1) x  = x + 2x + (1) Hướng dẫn: Đặt t = x  (t  1) (1) trở thành (4x – 1)t = t + 2x –  = (4x  3) (chính phương)  x 1  (4 x  1)  ( x  3)   t=    x   2x  Bài 7: Giải phương trình x – 3x + = x 3x  (1) Hướng dẫn: Đặt t = 3x  (t  0) (1) trở thành t + xt – x =  Cách 1:  = x (chính phương)  t =  3x   x  x  3x    3x   2 x  Cách 2: phương trình đẳng cấp  đặt x = ty: t + y t – y t =  t (1 + y – y ) = Bài 8: Giải phương trình 2(1 – x) x  2x  = x – 2x – + Nếu phương trình khơng phải đẳng cấp  khơng phương coi t x ẩn hệ phương trình Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 94 Bài 9: Giải phương trình x2 + x  = (1) Hướng dẫn: Đặt t = x  (t  0) x  t  Ta có hệ phương trình  t  x  Trừ hai phương trình hệ cho được: (t + x)( x – t + 1) =  x   x t  x     t  x   x   x  Bài 10: Giải phương trình x  (1) x + 4x = Hướng dẫn: x  4x  t x  (t  0) ta hệ   khó khăn t  x   Nếu đặt t =  Ta dự kiến đặt x  = at + b để đưa hệ phương trình đối xứng: x  4x  at  b Ta có hệ phương trình:  2 a t  2abt  x   b 2 a   a  2ab    hệ đối xứng  b  a  b   b  Như ta đặt t + = x  (t  – 2)  x  x  t  Khi có hệ pt đối xứng:   t  t  x  (ĐS x  3  17 5  13 ; ) 2 Bài 11: Giải phương trình x + 7x = 4x  (x > 0) 28 Hướng dẫn: Dự đoán đặt Như đặt t + 4x  = at + b ta tìm a = 1, b = để có hệ phương trình đối xứng 28 = 4x  28 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 95 Bài 12: Giải phương trình x + x 1 x 1 = (1) x Hướng dẫn: Đặt t = x 1 = (t > 0) t x x  x 1 (1) trở thành: t + =  t 2 t – 3t + = Bài 13: Giải phương trình x 1 + 4x + (x  1)(4  x) = (1) Hướng dẫn: x 1 + 4x  (1) trở thành: t + t2  = Đặt t = t2  (x  1)(4  x) = Bài 14: Giải phương trình x2  x +  x(1  x) = + (1) Hướng dẫn: Đặt x  x = t (t  0) (1) trở thành: t + t2  = +  t2  = + – t (dạng căn) 3     t   (3   t ) Bài 15: Giải phương trình x2  x + x2  x  = + (1) Hướng dẫn: u  x  x Đặt  v  x  x  (1) trở thành: u + v = + u  v   Ta có hệ phương trình  v  u  Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 96 Bài 16: Giải phương trình x  ) = 2x + 3(2 + x6 Hướng dẫn: u   x  Đặt  v  x  2) Bài tập tự luyện Bài 1:Giải phương trình 27583  1 1 2) x  x   kq : x   17; x   21 2 2 1 3) x  x   x   kq : x  11 4) x    x  x  kq : x  ; x  5) x   x   x   kq : x  1)3 x  34  x   kq : x  6) x    x  x  x   kq : x  7) x   x   kq : x  8) x   x   x   x  kq : x  9) x    x   x 47 24 x=0 Bài 2: Giải phương trình 1) x2  x4 (x=6) 2) 3x  9x   x   (x   ) 3)  x  4x   2x  (x  4) x  x   5) 4) x  2x   2x  4 x2 x2  4 14 ) (x  5) (x   15 ) ( x  2 ) Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 97 Bài 3: Giải phương trình sau 1) x    x  3x  (x  0 x  2) x   3x   x   (x=2) 3) 3x   x   (x  9) 4) x8  x  x3 ( x  1) 5) x  x 1  x  (x 6) x 1   x  (x  0) 11 ) 3 ) Bài 4: Giải phương trình 1) (x + 5)(2 – x) = x  3x 3 x + 2) 3) x + 4) (x=1;x=-4) x  – 4x  x  = – (x=2) x  = (2  x ) + x=2 ; ( x  (7  x ) – 1  29 ) 2 (2  x)(7  x) = ptvn 5) x  x   x  x   3x  3x  19 (x=1;x=-2) 6) x  3x   x  3x   (x=1;x=2) 7)  x  x2   x  x2  ( x  8) 2x  5x   2x  5x   ( x  1; x  1  5) 2 7 ) 9) x  26  x  x 26  x  11 (x=1;x=5) 10) x   x   3x  x (x=2;x=0; x  11) 2  14 ) 3 3x   x   4x   3x  5x  (x=2) 12) 4 x  1 x   x  2x  ( x  ) Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 98 Bài 5: Giải phương trình 1) ( x  5)(2  x)  x  3x (x   x  4) 2) x    x  ( x  1)(4  x)  3) x   x  3x   (x   x   )  x  1 x 1 (x   x   x  10) 5) x    x  ( x  2)(5  x)  (x 6) x   x   2x  12  x  16 7) x  3x   x  3x   (x=1;x=2) 8) 3x   x   4x   3x  5x  (x=2) 4) (x   x  3) 33 ) (x=5) V ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 1) Mợt số tập mẫu Bài 1: Tìm giá trị lớn hàm số y  x    x áp dụng để giải phương trình: x    x  x  x  11 Giải: Áp dụng bất đẳng thức : 2(a  b2 )  (a  b)2 ta có: 2( x    x)   x2  4 x    y Do y lớn khi: x    x  x  Mặt khác x  x  11  ( x  3)2   2.x nên:  x    x  x    x  x  x  11    x3  x  x  11  Bài 2: Giải phương trình x + = x (1) x Giải MXĐ: x > x Có x = x x x x x x Vậy (1)  dấu “=” (2) xảy  x = 1  x x  x (2)  x > (BĐT Côsi)  x = x Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 99 Bài 3: Giải phương trình x2 +  x = x – 6x + 11 (1) Giải * Cách VT (1)2  ( 12 + 12 )(x – + – x) = (BĐT Bunhiacopxki)  VT  VP(1) = ( x  3) +   x2 VT (1)    Vậy (1)     VP (1)  x    4x  x = * Cách Đặt A  x    x A2   (x  2)(4  x)  A2   (x  2)  (4  x)  A2  (BĐT Côsi)  VT  với  x  Dấu xảy x – = – x  x = Mặt khác VP = x  6x  11  (x  3)   , dấu xảy x =  x    x   x 3 Suy phương trình cho tương đương với hệ  x  6x  11   Vậy x = nghiệm phương trình Bài 4: Giải phương trình 3x  7x  + x  3x  = x2  + 3x  5x  (1) Giải Viết 3x  7x  = x  3x  = 3x  5x   2(x  2) x   3(x  2) x     x = Vậy (1)  x   3x  5x    Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 100 Bài 5: Giải phương trình 3x  6x   5x  10x  14   2x  x (1) Giải (1)  3(x  1)2   5(x  1)2    (x  1)  VT(1)  5, VP(1)  5, x VT(1)  (1)    x    x  1 VP(1)  Vậy x = -1 nghiệm phương trình VI NHIỀU CĂN BẬC LẺ: * Nâng lũy thừa: A + B = C  A + B + 3 AB ( A +  A + B + 3 AB 3 B)=C C = C (Bước không tương đương)  3 ABC = C – A – B  27ABC = (C  A  B) Bài Giải phương trình 2x  + x 1 = 3x  (1) Giải: (1)  2x   x   3 (2x  1) x   3 2x 1 (x 1)  3x   3x   3 (2x  1)(x  1)  3 (2x  1)(x  1)    2x   x   3x   2x   x    (2x  1)(x  1) 3x    (2x  1)(x  1)(3x  1)   6x  7x   x  (loai)  x  x  (nhan) 6  Bài Giải phương trình x 1 + x2 = 2x  (1) Giải (1)  x – + x – + 3 x  x  ( x 1 + Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 x  ) = 2x – Trang 101  2x – + 3 (x  1)(x  2) 2x  = 2x –  x 1   x    x  (loai )  Vậy x= 1; x=2 * Đặt ẩn phụ: Bài Giải phương trình 10  x + x  = (1) Giải Đặt u = 10  x v= x 1 u  v  Ta có hệ  3 u  v  (ĐS x= 9; x= 2) VII PHƯƠNG TRÌNH CĨ CẢ CĂN BẬC CHẲN, CẢ CĂN BẬC LẺ * Cách 1: Làm lần 1: đặt ẩn phụ Làm lần 2: nâng lũy thừa * Cách 2: Đặt nhiều ẩn phụ 1) Bài tập mẫu Bài Giải phương trình x7 – x = (1) Hướng dẫn +Cách 1: Đặt t = (1) trở thành x (t  0) t  = t +  t + = t + t + 3t +  (t – 1)( t + 3t + 6) = (ĐS x=1) u  x  u  v  +Cách 2: Đặt  có hệ  v  x u  v  Bài Giải phương trình x3 – x = (1) Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 102 Hướng dẫn + Cách 1: Đặt t = x , (1) trở thành: t3 1 = t + u  x  u  v  + Cách 2: Đặt  có hệ  v  x u  v  (ĐS x  1; x  2) TÀI LIỆU ĐƯỢC SOẠN LÀ TỔNG HỢP KIẾN THỨC TẤT CẢ CÁC NGUỒN CỦA SÁCH VÀ CÁC TÁC GIẢ TRÊN CẢ NƯỚC Với lực có hạn, viết chưa test lại kết quả nên rất mong thầy giáo, em học sinh đóng góp bổ sung Xin chân thành cảm ơn! Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 103 ... tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 g) x h) x i) x 3 Trang KIẾN THỨC CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Định nghĩa Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax  bx  c  , x ẩn; ... p q hai nghiệm phương trình: 3x2 trình lập phương trình bậc hai có hai nghiệm p q Bài E.2: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: 3x2 q p 5x Khơng giải phương trình lập phương trình bậc hai ẩn... 10 72 10 28 Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm 10 72 Bài 2: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960