Phòng giáo dục đào tạo vĩnh Lộc đề thi thành lập đội tuyển học sinh giỏi lớp năm học 2008 - 2009 Môn: Toán ( Thời gian làm bài: 150 phút ) Bài ( 2,5 điểm ): Cho biÓu thøc A= 3x  x 1 2x  x 1 1/ Rót gän biĨu thøc A 2/ Tìm giá trị lớn biểu thức A Bài 2: ( 4,5 điểm ) 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC mà phơng trình đờng thẳng AB, BC, CA lần lợt x + 2y – = 0; 2x + y – 13 = 0; x – 2y + = Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2/ Giải phơng trình: x  3x  10  x  Bµi 3: ( 5,0 điểm ) 1/ Cho góc nhän tho¶ m·n Sin  + Cos  = H·y tÝnh tæng Sin4  + Cos4  2/ Cho x > y  0; chøng minh r»ng: x + 3 ( x  y )( y 1) Bài 4: ( 5,5 điểm ) Cho P điểm cố định nằm đờng tròn tâm O bán kính R cho trớc ( P không trùng với O ) 1/ Trong số dây cung qua P hÃy tìm dây cung có độ dài nhỏ 2/ Qua P kẻ hai dây cung AC BD vuông góc với Chứng minh tổng AB2 + CD2 có giá trị không đổi hai dây AC BD quay xung quanh điểm P nhng vuông góc với 3/ Đờng tròn ( O; OP ) cắt dây BD điểm M ( M nằm P B ) HÃy tính tổng PA2 + PM2 + PC2 Bài 5: ( 2,5 điểm ) Cho x, y, a, b số thực thoả mÃn đồng thời điều kiện: x2 + y2 = vµ x4 y4   a b a b vµ Chøng minh r»ng: x 2008 y 2008  1004  1004 a b ( a  b)1004 - Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: - Họ tên, chữ ký ngời coi thi: Chú ý: Ngời coi thi không đợc giảI thích thêm Phòng giáo dục đào tạo vĩnh Lộc hớng dẫn chấm môn toán kỳ thi thành lập đội tuyển học sinh giỏi lớp năm học 2008 - 2009 Bài Câu Yêu cầu cần đạt Mức điểm 1 1,5 ®iĨm - Khi ®ã A = - VËy A = 2,5 ®iĨm 1,0 ®iĨm ( x   1)(2 x   1) x 12 x  1  x 12 x  1 ; víi x  1; x  0,50 0,25 0,25 0,25 A= x 12 x  1 Do x = ( x   1)  2 x    nªn x =  2.( x   1) +  1, ®ã + )  > 0, suy 2.(2 x   1)  ; Tõ ®ã A  DÊu “ = ” x¶y x = VËy x = biểu thức A đạt giá trị lớn - Đờng thẳng ( AB ) có phơng tr×nh x + 2y – = 0, hay y = - x  ; víi hƯ sè gãc a1 = - ; 2 §êng thẳng ( BC ) có phơng trình 2x + y – 13 = 0, hay 2,0 y = - 2x + 13; víi hƯ sè gãc a2 = - 2; điểm Đờng thẳng ( CA ) có phơng trình x - 2y + = 0, hay y = x  ; víi hƯ sè gãc a3 = 2.( x 4,5 điểm Bài ( x   1)(3 x   2) 0,25 Víi x  1; x  2, theo c©u a ta cã: 2 - Víi x  1; Đặt x = y 0; Ta cã: x – = y2, nªn x = y2 + Khi ®ã: 3x - x  - = 3y2 + – y – = 3y2 – y – = ( y – ) ( 3y + ) = ( x  - ) ( x  + ); 2x - x  - = 2y2 + – y – = 2y2 – y – = ( y – ) ( 2y + ) = ( x  - ) ( x  + ); - Tìm ĐKXĐ biểu thức A: Với x 1; x nên ĐKXĐ là: x  1; x  0,25 0,25 0,25 0,25 2 - V× a2 a3 = - = - 1, nªn ( BC )  ( CA ), tam giác ABC vuông C, với cạnh huyền AB Câu 0,50 Mức điểm Yêu cầu cần đạt - Toạ độ điểm A nghiệm chung hai phơng trình: x + 2y = ( ) vµ x - 2y + = ( ) Trõ tõng vÕ hai phơng trình ta đợc 4y = 8, nên y = Thay y = vào phơng trình ( ) ta đợc x = - Vậy A ( - 2; ) - Toạ độ điểm B nghiệm chung hai phơng trình: 2x + 4y – = ( 1/ ) vµ 2x + y – 13 = ( ) Trõ tõng vế hai phơng trình ta đợc 3y = - 9, nªn y = - Thay y = - vào phơng trình ( ) ta đợc x = VËy B ( 8; - ) - Gäi R bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC R = AB = (  8)  (2  3) = ( Đơn vị 2 độ dài ) 0,50 0,25 0,25 0,50 Xét phơng tr×nh x   3x  10  - ĐKXĐ phơng trình ( ):  x   10 0 3 x   0 2 x suy x  - (*) - Víi ®iỊu kiƯn ( * ): NÕu Hay x  10 (1) 2x  -   x    x    x  x 3    10 0,50 = 0, ta cã = x  , ®ã 3x + 10 = x + 3, suy x = - 2 không thoả mÃn ( * ) - Nhân hai vế phơng tr×nh ( ) víi 3x  10 - x ta 2,5 đợc 3x + 10 ( x + ) = x  ( 3x  10 - x  ) ®iĨm Hay 2x + = x  ( 3x  10 - x  ) (2) - Do x  - nªn 2x +  > nªn x  > 0, ®ã ( )  x  = 3x  10 - x  (3) - Tõ ( ) vµ ( ) suy 3x  10 = x  , suy x = - - NhËn thÊy x = - thoả mÃn ( * ), nên nghiệm phơng trình ( ) x = - 3 x  10 5,0 ®iĨm Bài 2,0 điểm Đặt A = Sin4 + Cos4 - Vì góc nhọn nên ta cã Sin2  + Cos2  = - Theo giả thiết ta lại có: Sin + Cos = ; nên 0,50 36 25 Mức điểm Do ®ã Sin  Cos  = 11 ; Suy 50 Sin4  + Cos4  = ( Sin2  + Cos2  )2 – sin2  Cos2  = – 121 = 2258 0,25 2500 - Vậy A = 3,0 điểm 0,50 0,50 0,25 Yêu cầu cần đạt Câu 0,50 0,50 Sin2 + Cos2  + Sin  Cos  = 0,25 2500 2258 2500 0,25 Víi x > y  0; ta ph¶i chøng minh x+ - Do x > y  0, nªn x – y > 0; y - Ta cã: ( )  2x + 3 ( ( x  y )( y  1) + > 0, ( x  y )( y  1) 6 ( x  y )( y  1) (2x – 2y) + (y + 1) + (y + 1) + ) > ( x  y )( y  1) ta đợc: 0,50 1,00 ( x  y )( y  1) 0,50 (2) - áp dụng bất đẳng thức Côsy cho sè d¬ng ( 2x – 2y ), ( y + ), ( y + ), 0,50 ( 2x – 2y ) + ( y + ) + ( y + ) + 4 (2 x  y )( y  1)( y  1).8 ( x  y )( y  1) ( x  y )( y  1) 0,50  0,25 =8 Hay (2x – 2y) + (y + 1) + (y + 1) +  ( x  y )( y  1) 0,25 (2) 3 ( x  y )( y  1) Suy x + F G P H S 5,5 điểm Bài 1,0 điểm Câu O E Yêu cầu cần đạt Mức điểm - Nối O với P Qua P kẻ dây EF vuông góc với OP Do O P cố định nên OP EF cố định, EF = m không đổi - Qua P kẻ dây GS khác dây EF Ta chứng minh cho dây EF dây cung có độ dài nhỏ - Thật vậy: Kẻ OH GS Do P không trùng với O dây GS khác dây EF nên tồn tam giác OPH vuông ë H; V× vËy OP > OH; Suy EF < GS - Vậy số dây cung qua P dây EF vuông góc với OP dây cung có độ dài nhỏ 0,25 0,25 0,25 0,25 B A P O D C K - Kẻ đờng kính BK Nối K với điểm A, C, D - Tam giác ABK vuông A nên AB2 + AK2 = BK2 = 4R2 (1) 2,0 - Tam giác BDK vuông D nên KD BD; điểm - Mặt khác AC BD ( GT ) nên DK // AC, đờng kính vuông góc với AC trục đối xứng hai dây AC DK, suy tứ giác ACKD hình thang cân ( Đáy AC DK ), suy AK = CD (2) Bài Câu 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 - Tõ ( ) vµ ( ) suy AB2 + CD2 = 4.R2 - §êng tròn ( O; R ) cho trớc nên R2 số - Vậy hai dây AC BD quay xung quanh điểm P ( P cố định nằm đờng tròn ( O; R ) cho trớc ) nhng vuông góc với tổng AB2 + CD2 có giá trị không đổi 4.R2 0,25 Yêu cầu cần đạt Mức điểm A D H P N M B O C 0,25 - Đặt OP = k; PA = x; PM = y; PC = z ( Giả sử z x ) k không đổi AC = PA + PC = x + z - KỴ OH  PB; ON  AC; Ta cã AN = NC = x  z ; PH = 2,5 HM = ®iĨm y xz z x ; PN = AN – PA = -x= - Tứ giác PHON hình chữ nhật nên: PH = ON = HM; PN = OH - áp dụng định lý Pi ta go cho tam giác vuông OPH ONC ta có: k2 = OP2 = PH2 + OH2 = ( y )2 + ( z  x )2 ; suy 2 4k2 = x2 + y2 + z2 – 2xz (1) y x  z R2 = OC2 = ON2 + NC2 = ( )2 + ( )2; suy 2 4R2 = x2 + y2 + z2 + 2xz (2) - Céng tõng vÕ ( ) vµ ( ) ta đợc: 4R2 + 4k2 = ( x2 + y2 + z2 ); suy x2 + y2 + z2 = 2( R2 + k2 ) Hay PA + PM2 + PC2 = 2( R2 + k2 ) Bài Câu Yêu cầu cần đạt 0,50 0,25 0,50 0,50 0,25 0,25 Mức điểm - Theo giả thiÕt ta cã x2 + y2 = vµ x4 y4   a b a b (1) ®ã x4 + y4 = – 2.x2y2 - Trong ®¼ng thøc ( ) ta thay bëi x2 + y2 ta đợc: x4 y4 a b = x2  y2 a b  a2y4 + b2x4 + ab ( – 2.x2y2 ) = ab  ( ay2 – bx2 )2 =  ay2 = bx2  2,5 ®iĨm  x 2008 y 2008   1004 1004 a b ( a  b)1004  x2 y2 x2  y2    a b a b a b 2008 2008 x y  1004  1004 a b ( a  b)1004 0,50 1,00 0,50 0,50 ( §PCM ) Chó ý: Học sinh giải cách khác với lời giải hớng dẫn chấm; đúng, đủ bớc hợp lý ngời chấm thi cho điểm tối đa theo biểu điểm quy định cho câu 1,0 điểm K 4,5 điểm I B M D O G E A N C H - Vì đờng tròn ( O; r ) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tơng ứng ®iĨm M, N, D nªn theo tÝnh chÊt tiÕp tun ta cã AD = AN; BM = BD; CN = CM; - Tõ ®ã ta cã: AD = AB – BD = AB – BM = AB – BC + CM = AB – BC + CN = AB – BC + AC – AN = AB – BC + AC – AD - Suy AD = b + c – a; Hay AD = b  c  a ( §PCM ) 0,25 0,50 0,25 - Đờng tròn ( I; R ) tiếp xúc với đờng thẳng AB AC tơng ứng K H nªn theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã: AK = AH = AB + BK + AC + CH = AB + BE + AC + CE = AB + AC + BC = a + b + c, AH = p ( p nửa chu vi cđa tam gi¸c ABC ) Suy NH = AH – AN = a - KỴ OG  IH ( G  IH ), ta cã IG = IH – GH = R – r - ¸p dơng định lý Pitago cho tam giác OGI vuông G ta cã: 3,5 OI2 = OG2 + GI2 (1) ®iĨm - Nhng OI  OM + IE = r + R (2) - Tõ ( ) vµ ( ) suy ( r + R )2  a2 + ( R – r )2 - Hay r2 + R2 + 2.r.R  a2 + r2 + R2 - 2.r.R; hay r.R  a2 2,5 ®iĨm a2 r.R  suy ( §PCM ) x4 y4   a b a b - Theo gi¶ thiÕt ta cã x2 + y2 = vµ = x2  y2 a b  a2y4 + b2x4 + ab ( – 2.x2y2 ) = ab  ( ay2 – bx2 )2 =  ay2 = bx2   x 2008 y 2008   1004 1004 a b ( a  b)1004  0,50 0,50 0,50 0,50 (1) ®ã x4 + y4 = 2.x2y2 - Trong đẳng thức ( ) ta thay x2 + y2 ta đợc: x4 y4  a b 1,00 0,50 x2 y2 x2  y2    a b a b a b x 2008 y 2008   a 1004 b1004 ( a  b)1004 0,50 1,00 0,50 0,50 Mét sè toán Bài 1: Cho ba số dơng x, y, z cã tỉng nhá h¬n Chøng minh r»ng: 1   x  yx y  zx z  xy >9(1) Hớng dẫn giải: Đặt a = x2 + 2yx; b = y2 + 2zx; c = z2 + 2xy ta cã a + b + c = ( x + y + z )2 < B§T ( ) trë thµnh (   ) > (a + b + c )(   )   a 1   a b c b > c a b c a > b c =9 Bµi 2: Cho biÓu thøc: B = x(4  y )(4  Z )  y (4  z )(4  x)  z (4  x)(4  y)  xyz Tính giá trị biểu thức B x; y; z số dơng thoản mÃn điều kiện x + y + z + xyz = ( ) Híng dÉn gi¶i: ( )  ( x + y + z + xyz ) = 16  x (  y )(  z ) = x 16  z  y  yz = x x  y  z  y  z  yz  xyz = yz ) = 2x + xyz x x  yz  xyz = x ( x  yz ) = x ( x + xyz xyz xyz xyz xyz Tõ ®ã B = 2x + + 2y + + 2z + =2(x+y+z+ )=8 2 Bµi 3: Tính giá trị biểu thức: A = 2007  2007  2007 2008 2008 ( Hoặc chứng minh A số tự nhiên ) Hớng dÉn gi¶i: Ta cã A = 2008 20082.2007 200782 2008 Đặt x = 2007 suy 20082 = ( x + )2 = x2 + 2x + Đặt B = 20082 + 20082 20072 + 20072 th× B = x + 2x + + x2 (x2 + 2x + ) + x2 = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = x ( ( x2 + x2 )+2(x+ x )+3) Đặt y = x + th× B = ( x2 + x + )2 suy A = x VËy A = 2008 x 1 (x2 + x + ) + x x 1 =x+1 Bµi 4: Cho x y hai số thực dơng nhỏ 1, chøng minh r»ng: x2 + y2 – x3 – y3 < Híng dÉn gi¶i: Ta chøng minh cho x2 – x3 < ( * ) ; ThËt vËy: C¸ch 1: Do < x < nªn < x < Ta chøng minh cho x2 – x3  x  4x2 – 4x3  x  x ( 4x2 + 4x + ) 0  4x2 + 4x +   ( 2x+ )2  C¸ch 2: ( * )  4x3 – 4x2 + >  Bµi 5: Cho biĨu thøc: A = x   x  21 3x 1/ Tìm điều kiện xác định biểu thức A 2/ Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc A Híng dÉn gi¶i: 1/ §KX§: - x  hc x  2/ Đặt X = x2 + 1; Y = 2x2 – 4; Z = 21 – 3x2 ; th× X + Y + Z = 18 áp dụng BĐT Bunhia ta cã: A2 = ( X  Y  Z )  ( X + Y + Z ) = 54 L¹i so A  nªn A max  A2 max  A2 = 54 ;  X = Y = Z =  x = 5; x=- Bµi 6: Cho x > y  0; Chøng minh r»ng x + Hớng dẫn giải: + Cách 1: ( ) 2x + 3 ( x  y )( y  1) (1) 6 ( x  y )( y  1)  ( 2x – 2y ) + ( y + ) + ( y + ) + 8 ( x  y )( y 1) (2) áp dụng bất đẳng thức Côsy cho số dơng ( 2x 2y ), ( y + ), ( y + ), ( x  y )( y  1) ta đợc: ( 2x 2y ) + ( y + ) + ( y + ) + + Cách 2: + x ( ) hiển nhiên + y < x < ta cã – x > ( x  y )( y  1) 4 (2 x  y )( y  1)( y  1).8 ( x  y )( y  1) = Ta cã ( )  ( x  y )( y  1)  – x   ( – x )( x – y ) ( y + ) (*) áp dụng bất đẳng thức C«sy ta cã: = ( x – y ) + ( y + ) + ( y + ) + ( – x )  2( x  y )( y  1)( y  1)(3  x ).2  2= 2( x  y )( y  1)( y  1)(3  x ).2  16 = ( x – y )( y + )( y + )( – x ).2   ( – x )( x – y ) ( y + )2 Vậy ( * ) đợc chứng minh Bài 7: Chứng minh 30 số vô tỷ; Từ ®ã suy   cịng lµ số vô tỷ Hớng dẫn giải: Giả sử 30 Q; Đặt 30 = m ; không tính tổng quát giả sử m n n số nguyên dơng nguyên tố Suy 30n2 = m2 ( )  m2 30  m 2; 3;  m 6  m 30 m = 30k Thay vào ( ) đợc n = 30h suy 30 ớc chung khác m n Vô lý Giải sử Q; Đặt = x Biến đổi cách cô lập 30 dẫn đến đẳng thức: 30 số vô tỷ nên từ đẳng thức cuối suy vế phải số vô tỷ Vô lý tổng, hiệu, tích thơng số hữu tỷ số hữu tỷ Bài 8: Chứng minh x0 nghiệm phơng trình x2 + ax + b = th× x04  a2 + b2 ( * )  x 02 Híng dÉn gi¶i: ( * )  x04  ( + x 02 )( a2 + b2 ) ( ) Do x0 lµ nghiƯm nªn x02 + ax0 + b =  x02 = ( - ax0 - b )  x 04  ( + x 02 )( a2 + b2 ) Bài 9: Cho số thực x; y; z; a; b; c thoả mÃn đồng thời điều kiÖn: ax > 0; xz  y2 ; ac  b2 Chøng minh r»ng ( x + a )( z + c )  ( y + b )2 Híng dÉn gi¶i: Tõ gi¶ thiÕt suy a; x; z; c cïng dÊu Ta cã ( x + a )( z + c ) = xz + xc + az + ac = xz + ac + (xc + az )  2 y + b + axcz = y2 + b2 + ( xz )(ac )  y2 + b2 + y b = y2 + b2 + 2.yb = = ( y + b )2 2 Bài 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật giới đờng thẳng x = 2; x = 4; y = - 1; y = Tìm điểm nguyên nằm đờng thẳng 2x + y = nằm hình chữ nhật đà cho Hớng dẫn giải: Bài 11: Giải phơng tr×nh: 3x    x  x   x  = ( ) Híng dÉn gi¶i: §Ỉt a = 3 x  ; b =  x ; c = x  th× a3 + b3 + c3 = 4x – Tõ ( ) suy a + b + c = a  b  c Suy ( a + b + c )3 = a3 + b3 + c3 suy ( a + b )( b + c )( c + a ) = ... = y2 + Khi ®ã: 3x - x  - = 3y2 + – y – = 3y2 – y – = ( y – ) ( 3y + ) = ( x  - ) ( x  + ); 2x - x  - = 2y2 + – y – = 2y2 – y – = ( y – ) ( 2y + ) = ( x  - ) ( x  + ); - Tìm ĐKXĐ biểu thức... ( ) ta đợc x = - Vậy A ( - 2; ) - Toạ độ điểm B nghiệm chung hai phơng trình: 2x + 4y – = ( 1/ ) vµ 2x + y – 13 = ( ) Trõ vế hai phơng trình ta đợc 3y = - 9, nªn y = - Thay y = - vào phơng trình... với 3x 10 - x ta 2,5 đợc 3x + 10 ( x + ) = x  ( 3x  10 - x  ) ®iÓm Hay 2x + = x  ( 3x  10 - x  ) (2) - Do x  - nªn 2x +  > nªn x  > 0, ®ã ( )  x  = 3x  10 - x  (3) - Tõ ( ) vµ