LƯNG GIÁC Chuyên đề 8: TÓM TẮTGIÁO KHOA A KIẾN THỨC CƠ BẢN: I Đơn vị đo góc cung: Độ: 180 o Góc 10 = góc beït 180 y Radian: (rad) x O 1800 = π rad Bảng đổi độ sang rad ngược lại số góc (cung ) thông dụng: 300 π 00 450 π 600 π 900 π 1200 2π 1350 3π 1500 5π Độ Radian 3 1800 π II Góc lượng giác & cung lượng giác: Định nghóa: (tia ngọn) y y (điểm ngọn) + B O x (Ox, Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z) + α O (tia gốc) t M α t α 3600 2π x A (điểm gốc) AB = α + k 2π Đường tròn lượng giác: Số đo số cung lượng giác đặc biệt: A → B → C → D → A, C → B, D → y 2kπ π + 2kπ π + 2kπ - π + 2kπ kπ π + kπ B C x A O D 33 + − y B III Định nghóa hàm số lượng giác: u' Đường tròn lượng giác: • A: điểm gốc • x'Ox : trục côsin ( trục hoành ) • y'Oy : trục sin ( trục tung ) • t'At : trục tang • u'Bu : truïc cotang x' −1 C R =1 O t u + A − −1 D y' t' Định nghóa hàm số lượng giác: a Định nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α Gọi P, Q hình chiếu vuông góc M x'Ox vàø y'Oy T, U giao điểm tia OM với t'At u'Bu Ta định nghóa: t y t Trục sin Trục cotang U B u' M Q t x' α O Trục cosin P + T α t' cos α = OP sin α = OQ x A −1 y' u − tgα cot gα = BU Trục tang b Caùc tính chất : • Với α ta có : −1 ≤ sin α ≤ hay sinα ≤ −1 ≤ cosα ≤ hay cosα ≤ • • π + kπ cotgα xác định ∀α ≠ kπ tgα xác định ∀α ≠ c Tính tuần hoàn sin(α + k 2π ) cos(α + k 2π ) tg(α + kπ ) cot g(α + kπ ) = sin α = cosα = tgα = cot gα (k ∈ Z ) IV Giá trị hàm số lượng giác cung (góc ) đặc biệt: 34 = AT x Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ giá trị đặc biệt y t - - /3 -1 u' B 2π/3 u π/4 /2 5π/6 π /3 π/3 /2 3π/4 x' π/2 π/6 /3 1/2 1/2 - /2 - /2 -1/2 -1 /2 /2 O -π/6 - /2 -1 -π/2 -1 -π/3 y' t' 300 π 450 π 600 π 900 π sin α 3 3 tg α 2 2 cos α 2 2 − cotg kxñ 1200 2π - 00 3 − - /3 -π/4 - /2 α x A (Điểm gốc) -1/2 Góc + − kxñ 3 1350 3π − -1 3 -1 − V Hàm số lượng giác cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó cung : 35 1500 5π 1800 3600 π 2π 0 3 − -1 0 − kxñ kxñ − Cung đối : α -α Cung bù : α π -α Cung phụ : α Cung (tổng baèng 0) π −α π π & − ,…) 6 π 5π & (Vd: ,…) 6 (Vd: ( tổng π ) π ) Cung π : α π + α Cung đối nhau: π π & ,…) π 2π & ,…) (Vd: π π : α + α 2 (Vd: (Vd: ( tổng π 7π & ,…) 6 Cung buø : cos(−α ) = cosα sin(−α ) = − sin α tg(−α ) = −tgα cot g(−α ) = − cot gα Bù sin Đối cos Cung phụ : cos(π − α ) = − cosα sin(π − α ) = sin α tg(π − α ) = −tgα cot g(π − α ) = − cot gα Cung π cos( − α ) = sin α π sin( − α ) = cosα π tg( − α ) = cotgα π cot g( − α ) = t gα π sin cos cos trừ sin Hơn Phụ chéo π cos( + α ) = − sin α π sin( + α ) = cosα π tg( + α ) = −cotgα π cot g( + α ) = − t gα Cung π : cos(π + α ) = − cosα sin(π + α ) = − sin α tg(π + α ) = tgα cot g(π + α ) = cot gα Hơn π tang , cotang 11π 21π ) , tg 4 Ví dụ 1: Tính cos(− π Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = cos( + x) + cos(2π − x) + cos(3π + x) 36 π VI Công thức lượng giác: Các hệ thức bản: cos2α + sin α = sinα tgα = cosα cosα cotgα = sinα cos2α 1 + cotg2α = sin α tgα cotgα = 1 + tg2α = Ví dụ: Chứng minh rằng: cos x + sin x = − sin x cos x cos x + sin x = − sin x cos x Công thức cộng : cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cos α sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cosα tgα +tgβ tg(α +β ) = − tgα tg β tgα − tgβ tg(α − β ) = + tgα tg β Ví dụ: Chứng minh raèng: π 1.cos α + sin α = cos(α − ) π 2.cos α − sin α = cos(α + ) Công thức nhân đôi: cos α = + cos 2α sin α = − cos 2α cos 2α = cos2 α − sin α = cos2 α − = − 2sin α = cos4 α − sin α sin 2α = 2sin α cos α 2tgα tg2α = − tg2α Công thức nhân ba: sin α cos α = sin 2α cos α = cos 3α + cos α sin α = sin α − sin 3α cos 3α = cos3 α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin α 37 Công thức hạ bậc: cos α = + cos 2α − cos 2α ; sin α = ; 2 6.Coâng thức tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tg sin α = tg 2α = α 2t 1− t2 2t ; cos α = ; tgα = 2 1+ t 1+ t 1+ t2 Coâng thức biến đổi tích thành tổng : [ cos(α + β ) + cos(α − β )] sin α sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] sin α cos β = [ sin(α + β ) + sin(α − β )] cos α cos β = Ví dụ: Biến đổi thành tổng biểu thức: A = cos x cos x 5π 7π B = cos sin Tính giá trị biểu thức: 12 12 Công thức biến đổi tổng thành tích : α+β α −β cos 2 α+β α −β cos α − cos β = −2sin sin 2 α+β α−β sin α + sin β = 2sin cos 2 α+β α −β sin α − sin β = cos sin 2 sin(α + β ) tgα + tgβ = cosα cos β sin(α − β ) tgα − tg β = cosα cos β Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: A = sin x + sin 2x + sin 3x Các công thức thường dùng khác: cos α + cos β = cos 38 − cos 2α + cos 2α π π cos α + sin α = cos(α − ) = sin(α + ) 4 π π cos α − sin α = cos(α + ) = − sin(α − ) 4 + cos 4α + cos 4α cos α + sin α = cos α + sin α = B PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Các bước giải phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghóa Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận I Định lý bản: ( Quan trọng )  u = v+k2π ⇔   u = π -v+k2π  u = v+k2π ⇔   u = -v+k2π sinu=sinv cosu=cosv tgu=tgv ⇔ cotgu=cotgv ⇔ π + kπ ) (u;v ≠ kπ ) u = v+kπ (u;v ≠ u = v+kπ ( u; v biểu thức chứa ẩn k ∈ Z ) Ví dụ : Giải phương trình: π sin x = sin( − x ) π 3π cos( x − ) = cos cos x = sin x II Các phương trình lượng giác bản: Dạng 1: 4 sin x + cos x = (3 − cos x ) sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( ∀m ∈ R ) * Gpt : sinx = m (1) • • Nếu m > pt(1) vô nghiệm Nếu m ≤ ta đặt m = sin α ta có  x = α +k2π (1) ⇔ sinx=sinα ⇔   x = (π -α )+k2π * Gpt : cosx = m (2) • • Nếu m > pt(2) vô nghiệm Nếu m ≤ ta đặt m = cos β ta coù 39  x = β +k2π (2) ⇔ cosx=cosβ ⇔   x = − β +k2π * Gpt: tgx = m (3) ( pt có nghiệm ∀m ∈ R ) • Đặt m = tg γ (3) ⇔ tgx = tgγ ⇔ x = γ +kπ * Gpt: cotgx = m (4) • ( pt có nghiệm ∀m ∈ R ) Đặt m = cotg δ (4) ⇔ cotgx = cotgδ ⇔ x = δ +kπ Các trường hợp đặc biệt: sin x = −1 ⇔ x = − sinx = π + k 2π ⇔ x = kπ π sin x = ⇔ x = + k 2π cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π π cosx = ⇔ x = + kπ cos x = ⇔ x = k 2π Ví dụ: 1) Giải phương trình : a) sin x = π b) cos( x − ) = − π d) cos( x + ) − = π c) sin(2 x − ) + = e) sin x + cos x = f) cos x + sin x = cos x 2) Giải phương trình: a) + cos4 x − sin x = cos x 4 c) 4(sin x + cos x ) + sin x − = 3 d) sin x.cos x − cos x.sin x = b) sin x + cos6 x = cos x x e) cot gx + sin x(1 + tgx.tg ) = Daïng 2: 40 a sin x + b sin x + c = a cos2 x + b cos x + c = ( a ≠ 0) atg2 x + btgx + c = a cot g2 x + b cot gx + c = Cách giải: Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx) Ta phương trình : at + bt + c = (1) Giải phương trình (1) tìm t, suy x Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) Ví dụ : =0 d) cos x cos x = + cos x + cos3 x b) cos x − cos x + a) cos2 x + 5sin x − = c) 2sin x = + cos x 4 e) sin x + cos x = sin x − g) sin k) Daïng 3: 4 f) 2(sin x + cos x) − cos( x x + cos4 = − 2sin x 2 2(cos x + sin x ) − sin x cos x − sin x a cos x + b sin x = c (1) h) sin x + cos x + sin x cos x = =0 l) 5(sin x + cos x + sin x ) = cos x + + sin x ( a;b ≠ 0) Caùch giải: • • Chia hai vế phương trình cho a2 + b2 pt a b c (1) ⇔ cos x + sin x = a2 + b a2 + b2 a2 + b2 Đặt a a2 + b2 = cosα vaø b a2 + b (2) = sin α với α ∈ [ 0;2π ) : (2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα = ⇔ cos(x-α ) = π − x) = c c a2 + b (3) a2 + b Pt (3) có dạng Giải pt (3) tìm x Chú yù : 41 Pt acosx + bsinx = c coù nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c2 Ví dụ : Giải phương trình : a) cos x + sin x = −1 b) c) 4(sin x + cos4 x ) + sin x = e) d Daïng 4: cos x + sin x = d) tgx − = cos x − sin x = cos x − sin x − a sin x + b sin x.cos x + c cos2 x = (a;c ≠ 0) cos x (1) Cách giải 1: − cos x + cos x vaø cos2 x = 2 công thức nhân ñoâi : sin x.cos x = sin x thay vào (1) ta biến đổi pt (1) dạng 2 p dụng công thức hạ bậc : sin x = Cách giải 2: ( Quy pt theo tang cotang ) Chia hai vế pt (1) cho cos2 x ta pt: atg2 x + btgx + c = Đây pt dạng biết cách giải Chú ý: Trước chia phải kiểm tra xem x = Ví dụ : Giải phương trình: π + kπ có phải nghiệm (1) khoâng? sin x + (1 − ) sin x cos x − cos x +1 − = d Dạng 5: Cách giải : a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = (1) π Đặt t = cos x + sin x = cos( x − ) với - ≤ t ≤ t2 − Do (cos x + sin x )2 = + 2sin x.cos x ⇒ sinx.cosx= • Thay vào (1) ta phương trình : t2 − at + b + c = (2) • • Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện giải pt: 42 π cos( x − ) = t tìm x Ví dụ : Giải phương trình : sin x − 2(sin x + cos x ) − = Chú ý : a(cos x − sin x ) + b sin x.cos x + c = Ta giải tương tự cho pt có dạng : Ví dụ : Giải phương trình : sin x + 4(cos x − sin x ) = 4 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a Phương pháp 1: Ví dụ: Giải phương trình: Biến đổi pt cho dạng pt lượng giác biết sin x + cos x + sin x − b Phương pháp 2: =0 Biến đổi pt cho dạng tích số Cơ sở phương pháp dựa vào định lý sau đây:  A=0 A.B = ⇔   B=0 A.B.C = Ví dụ : Giải phương trình : a sin x + sin 2 x + sin2 x = b sin x − cos2 x = sin x − cos2 x π d sin x + 2 cos x + sin( x + ) + = c 2sin3 x + cos x − cos x = c Phương pháp 3:  A=0 ⇔  B=0   C=0  Biến đổi pt dạng đặt ẩn số phụ Một số dấu hiệu nhận biết : * Phương trình chứa một hàm số lượng giác ( cung khác lũy thừa) Ví dụ : Giải phương trình : a cos x + cos x − cos x − = b cos x − cos x − cos x + = c cos x − 8cos x + = cos x d sin x + cos x = * Phương trình có chứa (cos x ± sin x ) sinx.cosx 43 Ví dụ : Giải phương trình : 3 a + sin x + cos x = sin 2x 3 b sin x + cos x = 2(sin x + cos x) −1 44 ... /3 -1 u'' B 2π/3 u π/4 /2 5π/6 π /3 π/3 /2 3π/4 x'' π/2 π/6 /3 1/ 2 1/ 2 - /2 - /2 -1/ 2 -1 /2 /2 O -π/6 - /2 -1 -π/2 -1 -π/3 y'' t'' 300 π 450 π 600 π 900 π sin α 3 3 tg α 2 2 cos α 2 2 − cotg kxñ 12 00... -π/4 - /2 α x A (Điểm gốc) -1/ 2 Góc + − kxñ 3 13 50 3π − -1 3 -1 − V Hàm số lượng giác cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó cung : 35 15 00 5π 18 00 3600 π 2π 0 3 − -1 0 − kxđ kxđ − Cung đối : α... cosα sin(π + α ) = − sin α tg(π + α ) = tgα cot g(π + α ) = cot gα Hơn π tang , cotang 11 π 21? ? ) , tg 4 Ví dụ 1: Tính cos(− π Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = cos( + x) + cos(2π − x) + cos(3π + x)