Đề cương thi vào 10 Chuyên đề 1: CĂN THỨC 1. Cho ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 1 2 1 x x x P x + − + − − = + − . a) Rút gọn P . b) Tính giá trị của P khi 1 2 x = . Từ đó tính α sao cho sin P α = . 2. Cho 2 1 1 : x A x x x x x x + = + + − . a) Rút gọn A và nêu điều kiện của x để A có nghĩa. b) Coi A là một hàm số với biến x . Vẽ đồ thị hàm số A . 3. Cho 2 1 2 1 . 1 1 2 1 x x x x x x x x A x x x x   + − − + − = + −  ÷ − − −   . a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b) Tính x nếu 6 6 5 A − = . c) Chứng minh rằng : 2 3 A ≤ là bất đẳng thức sai. 4. Cho 3 3 4 5 4 2 : 9 3 3 3 3 x x x x A x x x x x x     + − + = − − −  ÷  ÷ − − + − −     . a) Rút gọn A . b) Tìm điều kiện của x để A A> − . c) Tìm x để 2 40A A= . 5. Cho ( ) 2 2 2 2 4 2 8 48 0B a a a a a     = + − + + ≠  ÷  ÷     . a) Rút gọn B . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B khi a thay đổi. 6. Cho 5 4 9 3 3 3 2 4 1 1 m m m A m + + = − − . Rút gọn A rồi tính giá trị của A khi 3 2 2m = . 7. Cho ( ) 2 2 2 1 2 8 6 2 1A x x x x x= − − + + − − . a) Tìm đoạn [ ] ;a b sao cho ( ) A x có giá trị không đổi trên đoạn đó. b) Tìm x sao cho ( ) 4A x > . 8. Cho 2 2 16 2 9 2 7x x x x− + + − + = . Tính : 2 2 16 2 9 2A x x x x= − + − − + . Đề cương thi vào 10 9. Cho 4 4 4 4A x x x x= + − + − − . a) Tìm x để 4A = . b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. 10. Cho 3 3 3 3 2 6 , 2 2 2 4 2 2 2 4 x y= = + + − + . Tính ( ) 2 2 M xy x y= − . 11.Rút gọn các biểu thức sau : 2 3 5 13 48 8 41 , 6 2 45 4 41 45 4 41 A B + − + = = + + + − . 12. Cho ( ) 3 3 3 3 8 3 5 64 12 20 . 8 3 5 57 A − + − + = , 3 3 4 4 3 3 9 2 2 9 9 3 2 2 81 B − − = + + − . Chứng minh : . 12A B = . 13.Chứng minh các biểu thức sau là một số vô tỷ : 2 3 6 8 4 2 3 4 P + + + + = + + ( ) 2 3 : 2 1 6 3 2 1 Q + = + − + − 14. Cho ( ) 1 1 : 3 2 1 7 24 7 24 1 A   = − −  ÷  ÷ + − + −   . Chứng minh : A là một số nguyên. 15. Rút gọn biểu thức : 1 1 1 . 1 2 2 3 99 10 M = + + + + + + . Chuyên đề 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1. Giải các phương trình sau đây bằng cách đặt ẩn số phụ thích hợp :  2 2 2 2 2 2 4 10 11 0 1 1 1 x x x x x x   − + −     + − =  ÷  ÷  ÷ + − −       ; ( ) ( ) 2 2 4 3 . 6 8 15x x x x− + − + =  2 2 90 1 1 x x x x     + =  ÷  ÷ + −     ; ( ) 3 3 3 2 3 12 1x x x+ − = − .  2 3 2 1 5 3 3 2 3 2 2 x x x x x+ + − + = + . ( ) ( ) ( ) 1 1 . 4 3 4 . 18 0 4 x x x x x + + − + − − = − .  ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 . 2 3 1 9x x x x x − + + + = . 2 2 2 16 64 2 8 16 0x x x x x− + − − + + = .  ( ) ( ) 2 2 2 4 1 5 1x x x x+ + = + + . ( ) ( ) 4 4 6 8 16x x− + − = .  3 3 2 2 1 1 0x x− − + = . ( ) ( ) 5 . 5 3 . 3 2 5 3 x x x x x x − − + − − = − + − .  3 18 7 5x x− + + = . Đề cương thi vào 10  4 4 18 1 3x x− + − = . 2 2 4 5 3 3 5 3 2 x x x x x x + = − + + − + .  5 5 . . 6 1 1 x x x x x x − −   + =  ÷ + +   . 2. Tìm các nghiệm nguyên ( ) ,x y hoặc ( ) , ,x y z của các phương trình và hệ phương trình dưới đây:  ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3x y y y y= + + + . 2 2 2 2 1 x y z x xy x z − + =   − + − =   2 2 2 3 1 x y z x y z − − = −   − − =  2 83xy x y+ + =  3 xy zx yz z y x + + = 2 2 2 5 19x xy x y− = + − . 3. Giải các phương trình, hệ phương trình khác dưới đây:  2 1 1 2 2 x x + = − 2 2 2 4 4 1 4 2 3 16 5x x x y y x y− + + + + − − = − − + .  4 3 2 2 21 74 105 50 0x x x x− + − + = 21 1 5 1 41 7 x x x x  + − − =   + + − =    1 5 1 5 1 x y y x  − + − =   = + −   2 2 2 2 2 15 4 12 45 24 0 2 3 3 0 x xy y x y x y x y xy  − + − + − =   − − + + =    ( ) ( ) 3 2 2 3 9 6 5 0x m x m x m m+ − + − + − + = 4 4 4 1x y z x y z xyz + + =   + + =   0 3 2 x y z xy yz zx xyz + + =   + + = −   = −  2 2 3 2 x xy y x y xy + + =   + =  2 2 3 10 4 6 x xy y xy  + =   + =   16 15 7 xt yt xy yt xy xt + =   + =   + =   2 2 2 2 1 1 x y z t xy yz zt tx  + + + =  + + + =  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 . 9 . 5 x y x y x y x y  + − =   − + =    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 . 3 5 2 4 54 5 1x x x x x− + + − + + = − −  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 2 . 6 . 3 34x x x x− + − − = .  ( ) ( ) 2 2 1 1999 1999 2000 2000 2001 x y x y y x x y xy  + =   − = − + + +    2 5 2 3 2 5 2 2 2x x x x+ − − + − − + = . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 5 . 6 . 10 . 12 3x x x x x+ + + + = .  Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 6 3 2 2 2 64x x y y− + = . Đề cương thi vào 10  Phân tích biểu thức 2 2 2 2x x xy y y+ − − − thành nhân tử. Từ đó giải hệ : 2 2 2 2 2 2 0 1 x x xy y y x y  + − − − =   + =    Tìm các số nguyên , ,a b c thỏa mãn điều kiện : 2 2 2 3 1 a b a b c a b c  <  + = +   = + +   Tìm các số nguyên ,a b để 1 3x = + là nghiệm của phương trình sau : 3 2 3 12 0x ax bx+ + + =  Giải phương trình : 4 2 4 8 3 0x x x− + + = .  Cho phương trình : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 2 . 3 . 4x x x x m+ + + + = . Biết rằng phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt 1 2 3 4 , , ,x x x x . Chứng minh : 1 2 3 4 . . . 24x x x x m= − . Chuyên đề 3: BẤT ĐẲNG THỨC. GIÁ TRỊ MIN, MAX 1. Cho , ,a b c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh : ( ) 2 2 2 2ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≤ + + < + + Khi nào có đẳng thức xảy ra ? 2. Giả sử ; ; 0x z y z z> > > . Chứng minh : ( ) ( ) z x z z y z xy − + − ≤ . 3. Cho 0xy > và 1x y+ = . Chứng minh : ( ) 4 4 1 8 5x y xy + + ≥ . 4. Cho 3 số phân biệt , ,a b c . Chứng minh rằng có ít nhất một trong 3 số sau đây là số dương : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 , 9 , 9x a b c ab y a b c bc y a b c ca= + + − = + + − = + + − 5. Chứng minh rằng : nếu ,a b thỏa mãn : 1; , 0a b a b+ ≥ > thì 4 4 1 8 a b+ ≥ . 6. Chứng minh : ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 2 2 8 8 4 4 . .x y x y x y x y+ + ≥ + + . 7. Chứng minh rằng : nếu , ,a b c là các số đôi một khác nhau và 0a b c+ + < thì 3 3 3 3 0P a b c abc= + + − < 8. Chứng min rằng : ( ) 2 1 1 1 1 . 9 25 4 2 1n + + + < + nếu n là số tự nhiên. 9. Chứng minh rằng nếu , 0p q > thì : 2 2 p q pq p q + ≥ + . 10. Chứng minh rằng : 2 1 1 1 1k k k < − − với , 2k k∈ ≥¥ . Từ đó suy ra : Đề cương thi vào 10 2 2 2 1 1 1 1 1 . 2 2 3 n n + + + + < − ( 2 n≤ ∈ ¥ ) 11. Cho hai số ,x y thỏa mãn : x y> và 1xy = . Chứng minh : 2 2 2 2 0 x x x y + − ≥ − . 12. Cho ABC∆ có các cạnh thỏa mãn : a b c≤ ≤ . Chứng minh : ( ) 2 9a b c bc+ + ≤ 13. Ba số dương , , 2a b c < . Chứng minh rằng 3 số ( ) ( ) ( ) 2 , 2 , 2a b b c c a− − − không đồng thời lớn hơn 1. 14. Ba số dương , ,a b c thỏa mãn a b c> > . Chứng minh : b c a b a b a c a c < + − − + − − 15. Cho , 0x y > và 1x y+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 1 1 1 . 1P x y     = − −  ÷  ÷     16. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số : 2002 2003y x x= − + − . 17. Cho 2 2 2 2000a a M a − + = ( 0a ≠ ). Tìm a để M đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của : 2 2 8 7 1 x x M x + + = + . 19. Các số , ,a b c thỏa mãn điều kiện : 2 2 2 2 7 13 x a b c x a b c + + + =   + + + =  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x . 20. Tìm cặp số ( ) ,a b thỏa mãn đẳng thức : 2 1. 1a b b a− = − − sao cho a đạt giá trị lớn nhất. 21. Cho 6 4 3 2 27, 3 6 9 9P x Q x x x x= + = − + − + . a) Rút gọn biểu thức P y Q = . b) Tìm x để y có giá trị nhỏ nhất. 22. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : 2 2 18 48 52 9 24 21 x x y x x − + = − + . 23.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số :  2 2 1 2 x y x + = + 2 3 2 2 7 y x x = + − + . 24. Với giá trị nào của ,a b thì : 2 2 3 3 2003M a ab b a b= + + − − + đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 25. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 6 6 A x y= + biết 2 2 1x y+ = . 26. Cho các số dương , ,x y z thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1x y z+ + ≥ . Chứng minh : Đề cương thi vào 10 3 3 3 1 x y z y z x + + ≥ . 27. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức : ( ) 4 2 2 1 1 x A x + = + . 28. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : ( ) 2 2 2 2002 x f x x x = − + . 29. Chứng minh rằng : 2 2 2 a b c ab bc ca+ + ≥ + + , ,a b c∀ . 30. Chứng minh rằng : ( ) 4 4 4 x y z xyz x y z+ + ≥ + + . Chuyên đề 4: ĐA THỨC VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 1. Cho 2 3 2 5 , 3 2 2 2 12 x a b P Q x x x x x + = = + − − − + + . Với giá trị nào của ,a b thì P Q= với mọi giá trị của x trong tập xác định của chúng. 2. Cho ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 13 1 2 1 2 . 1 x x A B x C D x E x x x x x + + + + = + + + − + − + . Tìm , , , ,A B C D E để đẳng thức trên đúng với mọi 0 4x< ≠ . 3. Cho 5 ;A n n= − với n∈ ¡ . a) Phân tích A thành nhân tử. b) Tìm n để 0A = . c) Chứng minh rằng : A chia hết cho 30. 4. Chứng minh rằng : nếu ,x y là những số nguyên thỏa mãn điều kiện 2 2 x y+ chia hết cho 3 thì cả ,x y đều chia hết cho 3. 5. Tìm giá trị của ,p q để đa thức 4 1x + chia hết cho đa thức 2 x px q+ + . 6. Cho đa thức ( ) 4 3 2 14 71 154 120A x x x x x= − + − + với x∈¢ . a) Phân tích ( ) A x thành nhân tử. b) Chứng minh rằng đa thức ( ) A x chia hết cho 24 7. Cho ( ) ( ) 1970 1930 1890 20 10 , 1P x x x x Q x x x= + + = + + . Chứng minh rằng khi x nguyên thì ( ) P x chia hết cho ( ) Q x . 8. Tìm tất cả các số nguyên x để 2 7x + chia hết cho 2x − . 9. Một đa thức chia cho 2x − thì dư 5, chia cho 3x − dư 7. Tính phần dư của phép chia đa thức đó cho ( ) ( ) 2 3x x− − . 10. Cho ( ) 4 2 3P x x x ax b= − + + và ( ) 2 3 4Q x x x= − + . Với giá trị nào của ,a b thì ( ) P x chia hết cho ( ) Q x . 11. Cho biết tổng các số nguyên 1 2 , , ., n a a a chia hết cho 3. Chứng minh rằng : 3 3 3 1 2 . n A a a a= + + + cũng chia hết cho 3. Đề cương thi vào 10 12. Chứng minh rằng : 2 7.5 12.6 n n + luôn chia hết cho 19, với mọi số tự nhiên n . 13. Tìm các số nguyên a để biểu thức ( ) ( ) 1993 3x a x− − + phân tích được thành 2 đa thức bậc nhất với hệ số nguyên. 14. Tìm ,a b để phương trình sau có nghiệm là mọi số thực , 1, 2x x x≠ ≠ . 2 4 7 3 2 1 2 x a b x x x x − = + − + − − 15. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 10 5 1x x+ + . 16. Cho đa thức ( ) 5 3 5 ; P x x x x= − ∈ ¢ . a) Phân thức đa thức ( ) P x thành nhân tử. b) Tìm x để ( ) P x triệt tiêu. c) Chứng minh rằng ( ) P x chia hết cho 120. 17. Tìm đa thức ( ) P x biết rằng khi chia ( ) P x cho 1x − dư 3− ; khi chia ( ) P x cho 1x + dư 3, khi chia ( ) P x cho ( ) 2 1x − được thương là 2x và còn dư. 18. Cho ( ) 3 2 1993 1991 3 2 6 x x x A x = + + . Chứng minh rằng : khi x là số nguyên thì ( ) A x cũng nhận giá trị là số nguyên. Chuyên đề 5: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 1. Cho hai hàm số ( ) ( ) 2 6 5, 2y f x x x y g x x m= = + + = = + . Vẽ đồ thị ( ) y f x= rồi tìm giá trị của m để đồ thị hàm số ( ) y g x= chỉ có một điểm chung với đồ thị ( ) y f x= . Trong trường hợp hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm M N≠ . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN . 2. Cho hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là nghiệm của phương trình : ( ) 2 2 1 3 1 0x m x m− + + + = a) Tìm m để hình chữ nhật trên tồn tại. b) Gọi ,C S theo thứ tự là chu vi và diện tích của hình chữ nhật đó. Vẽ đồ thị biểu diễn sự biến thiên của ,C S theo m trên cùng một$hệ tọa độ. Hai đồ thị của ,C S có cắt nhau không ? 3. Cho hệ tọa độ Oxy và 2 điểm ( ) ( ) 2; 2 , 4; 8M N− − − a) Viết phương trình ba đường thẳng chứa 3 cạnh OMN∆ . Chỉ rõ giới hạn của x để trên đường thẳng đó ta được 3 đoạn thẳng là 3 cạnh của OMN∆ . b) Viết phương trình đường Parabol có đỉnh ở O và đi qua M . Chứng minh Parabol đó đi qua N . c) Vẽ các đoạn thẳng và Parabol trên cùng một hệ trục tọa độ. 4. Cho hệ tọa độ Oxy và 3 điểm ( ) ( ) ( ) 2;5 , 1; 1 , 4;9A B C− − . a) Lập phương trình đường thẳng BC . b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng 2 7 0; 3x y y+ − = = và BC là những đường thẳng đồng quy. Đề cương thi vào 10 c) Chứng minh rằng : , ,A B C là 3 điểm thẳng hàng. 5. Vẽ đồ thị hàm số 2 1 3y x= − − . 6. Cho hàm số [ ] ( ] 2 2 1 3;0 2 0;2 x x y x x  ∀ ∈ −  =   − ∀ ∈  a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm ( ) 2; 4A − tiếp xúc với phần đường Parabol 2 1 2 y x= đã vẽ ở trên. 7. Cho hàm số ( ) 2 2 2 1 1y x k x k= − + + − . a) Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm 1 2 ,x x thỏa mãn : 1 2 0x x< < và 2 1 x x> . b) Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm đối nhau qua gốc tọa độ. Tìm 2 điểm đó. 8. Vẽ đồ thị hàm số 2 3 4 y x= − . 9. Vẽ đồ thị hàm số 2 4y x= − . Từ đó hãy suy ra đồ thị hàm số 2 4y x= − . 10. Cho hàm số : 2 y mx nx p= + + . a) Tìm , ,m n p biết đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, và đi qua điểm ( ) 2;3 . b) Tìm giao điểm còn lại của đồ thị hàm số với trục hoành. c) Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng 1 0y x− + = . 11. Cho hàm số : ( ) 2 3 1y m x= − − . a) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng 5 3y x= − + . b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm ( ) 1;0A − . c) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho và các đường thẳng 1; 2 5y y x= = − đồng qui tại một điểm. 12. Cho hàm số 2 2 3 1 x x y x − + + = − . Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 1945;1993 . 13. Lập phương trình đường thẳng ( ) d đi qua 2 điểm ( ) 1; 1A − và ( ) 5;7B . Tìm m để đường thẳng 3 2 9y x m= − + − cắt đường thẳng ( ) d tại một điểm trên trục tung. 14. Vẽ đồ thị hàm số : 2y x x= + − . Từ đó giải phương trình 2 2x x= − − . 15. Chứng minh các đường thẳng có phương trình : ( ) 2 1 4 2003y m x m= − − + luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m . 16. Cho parabol ( ) 2 1 : 4 P y x= − và đường thẳng ( ) : 2 1d y mx m= − − a) Vẽ parabol ( ) P . Tìm m để ( ) d tiếp xúc với ( ) P . b) Chứng minh rằng ( ) d luôn đi qua một điểm cố định. Đề cương thi vào 10 17. Cho hàm số ( ) 2 2 2 3 1y mx m x m= + − − + . Chứng minh đồ thị hàm số trên luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m . Tìm m để đồ thị trên là một parabol. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà không có Parabol nào nói trên đi qua. 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC∆ . Biết phương trình đường thẳng AB là 1 1 2 2 y x= + ; Phương trình đường thẳng :3 4 1 0AC x y− + = và trung điểm cạnh BC là ( ) 4;3M . Lập phương trình đường thẳng BC . 19. Cho parabol ( ) 2 : 3P y x= trong hệ tọa độ Oxy. Tìm m để đường thẳng y x m= + cắt ( ) P tại 2 điểm phân biệt ,A B sao cho OA OB⊥ . 20. Tìm miền xác định của hàm số : 2 4 2 5 6y x x x x= − + + − . 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol 2 1 2 y x= − và điểm ( ) 0; 2I − và điểm ( ) ;0M m với 0m ≠ là tham số. a) Vẽ parabol đã cho. b) Viết phương trình đường thẳng ( ) d đi qua 2 điểm ,M I . Chứng minh rằng ( ) d luôn cắt parabol đã cho tại 2 điểm phân biệt ,A B với độ dài 4AB > . Chuyên đề 6: GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Bài toán chuyển động 1. Hai bến sông ,A B cách nhau 126 km. Một tàu thủy khởi hành từ A xuôi dòng về B . Cùng lúc đó có một đám bèo trôi tự do cùng chiều với tàu. Khi tàu về đến B liền quay trở lại ngay và khi tàu về đến A tính ra hết 16 giờ. Trên đường trở về A , khi còn cách A 28 km thì gặp lại đám bèo nói trên. Tính vận tốc riêng của tàu thuỷ và vận tốc của dòng nước chảy. 2. Lúc 9 giờ sáng một chiếc bè trôi tự do từ A đến B dọc theo bờ sông. Cùng lúc đó một chiếc thuyền khởi hành từ B đến A và sau 5 giờ thì gặp chiếc bè. Khi về đến A , thuyền quay lại B ngay và về tới B cùng một lúc với chiếc bè. Hỏi thuyền và bè có kịp đến B vào lúc 21 giờ ngày hôm đó hay không ? 3. Hai người đi bộ cùng khởi hành từ C để đi đến A và B ( C nằm giữa ,A B ). Người thứ nhất đi đến A , người thứ 2 đi đến B . Sau khi đến nơi cả hai quay lại ngay và họ gặp nhau ở trung điểm đoạn AB . Nếu ngược lại, người thứ nhất đến B và người thứ 2 đến A thì người thứ nhất sau khi đến B quay lại ngay và đuổi kịp người thứ 2 tại A . Tính khoảng cách từ C đến A và tỷ số vận tốc của 2 người biết rằng đoạn AB dài 2 km. 4. Một người đi từ A đến B rồi quay lại A ngay mất tất cả 3 giờ 41 phút. Đoạn đường AB dài 9 km gồm một đoạn lên dốc, tiếp đó là một đoạn đường bằng, cuối cùng là một đoạn xuống dốc. Hỏi đoạn đường dài bằng bao nhiêu km, nếu biết vận tốc của người xuống dốc là 4 km/giờ, lúc đi đoạn đường bằng là 5 km/giờ và xuống dốc là 6 km/giờ. 5. Hai xe ô tô cùng khởi hành một lúc từ A đến B . Xe thứ nhất trong số thời gian cần thiết để đi hết đoạn đường AB thì nửa thời gian đầu nó đi với vận tốc 50 km/h; nửa thời gian còn lại đi với vận tốc 40 km/h. Xe thứ 2 trong nửa đoạn đường đầu nó đi với vận tốc vận tốc 40 Đề cương thi vào 10 km/h; nửa đoạn đường sau nó đi với vận tốc 50 km/h. Hỏi 2 xe đó có đi cùng về đến B một lúc không ? 6. Trên tuyến đường ABCx có 2 người cùng khởi hành từ 2 địa điểm B và D . Người ở B đi với vận tốc 20 km/h. Người ở C đi với vận tốc 40 km/h. Người ở địa điểm A khởi hành sau một giờ và đi với vận tốc 48 km/h. Biết AB dài 22 km còn BC dài 42 km. Hỏi sau bao lâu người đi từ vị trí A sẽ cách đều người đi từ vị trí ,B C . Bài toán công việc 7. Một bể đựng nước có 2 vòi : vòi A đưa nước vào và vòi B tháo nước ra. Vòi A từ khi nước cạn tới khi nước đầy (có đóng vòi B ) lâu hơn 2 giờ so với vòi B tháo nước tù khi bể đầy tới khi bể cạn (có đóng vòi A ). Khi bể nước chứa 1/3 thể tích của nó nếu người ta mở cả 2 vòi thì sau 8 giờ bể cạn nước. Hỏi sau bao nhiêu giờ riêng vòi A có thể chảy đầy bể ? Sau bao nhiêu giờ riêng vòi B có thể tháo hết nước trong bể ? 8. Hai vòi nước cùng chảy thì sau 5 giờ 50 phút sẽ đầy bể. Nếu để hai vòi cùng chảy trong 5 giờ rồi khóa vòi thứ 2 thì phải trong 2 giờ nữa mới đầy bể. Tính xem nếu để mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu sẽ đầy bể ? Các bài toán khác 9. Để chở một số bao hàng bằng ôtô, người ta nhận thấy nếu mỗi xe chở 22 bao thì còn thừa một bao. Nếu bớt đi một ôtô thì có thể phân phối đều các bao hàng cho các ôtô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô và tất cả có bao nhiêu bao hàng. Biết rằng mỗi ôtô chỉ chở được không quá 32 bao hàng (giả thiết mỗi bao hàng có khối lượng như nhau) 10.Mỗi người dán tất cả tem của mình vào một quyển vở. Nếu dán 20 tem trên một tờ thì quyển vở không đủ để dán hết số tem. Còn nếu mỗi tờ dán 23 tem thì ít nhất một tờ trong quyển vở còn bị bỏ trống. Nếu giả sử cũng trên quyển vở đó mà trên một tờ dán 21 tem thì tổng số tem dán trên quyển vở đó với số tem thực có của người đó là 500 tem. Hỏi quyển vở đó có bao nhiêu tờ và số tem người đó có ? 11.Tìm một số gồm ba chữ số sao cho khi ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt về bên trái của một số gồm hai chữ số còn lại, ta được một có ba chữ số lớn hơn số ban đầu 765 đơn vị. 12.Một trăm con trâu ăn một trăm bó cỏ. Trâu đứng mỗi con ăn năm bó, trâu nằm mỗi con ăn ba bó, trâu già 3 con ăn một bó. Tìm số trâu mỗi loại ? 13.Tìm một số có 2 chữ số biết rằng nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và dư là 3. Còn nếu đem số đó chia cho tích các chữ số của nó thì được thương là 3 và dư là 5. 14.Hai đội cờ thi đấu với nhau. Mỗi đấu thủ của đội này phải đấu một ván với mỗi đấu thủ của đội kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng bình phương số đấu thủ của đội thứ nhất cộng với số đấu thủ của đội thứ hai. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ ? 15. Hai đội bóng bàn của hai trường ,A B thi đấu giao hữu để chuẩn bị tranh giải toàn tỉnh. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội trường A phải lần lượt gặp các đối thủ của trường B một lần và số trận đấu gấp 2 lần tổng số đấu thủ của 2 đội. Tìm số đấu thủ của mỗi trường. 16.Trong một cuộc gặp mặt học sinh giỏi có 35 bạn học sinh giỏi văn và toán tham dự. Các học sinh giỏi văn tính số người quen của mình là các bạn học sinh giỏi toán và nhận thấy rằng : bạn thứ nhất quen 6 bạn ; Bạn thứ 2 quen 7 bạn ; Bạn thứ 3 quen 8 bạn ; . và cứ thế bạn [...]... tính các góc của ∆AMB c) Nếu cách dựng điểm M để MB = MP Khi đó tính S ∆AMB d) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CMP nằm trên đường thẳng cố định 2 Trên đường tròn ( O; R ) lấy điểm A cố định và điểm B thay đổi Đường vuông góc AB vẽ từ A cắt đường tròn ở C Đề cương thi vào 10 a) Chứng minh đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định b) Gọi AH là đường cao vẽ từ A của ∆ABC Tìm tập hợp các điểm... − 9ac = 0 thì phương trình sẽ có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia 10 Chứng minh rằng nếu m + n > p, m − n < p với m, n, p là các số dương thì phương trình 2 2 2 2 2 2 sau đây vô nghiệm : m x + ( m + n − p ) x + n = 0 11 Chứng minh rằng : x = 0 x 3 + 3bx − 2a = 0 3 a + a 2 + b3 − 3 a 2 + b3 − a là nghiệm của phương trình : Đề cương thi vào 10 12 Tìm giá trị của tham số a để 2 bất phương trình sau đây.. .Đề cương thi vào 10 cuối cùng quen tất cả các bạn học sinh giỏi toán Tính số học sinh giỏi văn, giỏi toán Biết rằng không có học sinh nào vừa giỏi văn vừa giỏi toán 17.Trong một buổi liên hoan, một lớp khách mời 15 khách đến dự Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải kê thêm một dãy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải ngồi thêm một nữa thì mới đủ chỗ ngồi Biết rằng mỗi dãy ghế đều có số người ngồi... AD cắt ∆ tại Q , đường thẳng AC cắt ∆ tại P a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được một đường tròn b) Chứng minh trung tuyến AI của ∆AQP vuông góc với DC Đề cương thi vào 10 c) Tìm tập hợp các tâm E của đường tròn ngoại tiếp CPD và tập hợp các trực tâm H của ∆CQP 8 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm P di động trên đường tròn ( P ≠ A, B ) Trên tia PB lấy điểm Q sao cho PQ = PA Dựng hình... chở được 5 em và loại thứ 2 chở được 7 em mỗi thuyền Hỏi số thuyền mỗi loại? 19 Tìm một số N gồm 2 chữ số, biết rằng tổng các bình phương hai chữ số bằng số đó cộng thêm tích hai chữ số Nếu thêm 36 vào số đó thì được một số có hai chữ số mà các chữ số viết thứ tự ngược lại Chuyên đề 7: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 - ĐỊNH LÝ VIÉT 1 Cho phương trình : x − ( 2m + 1) x + m + m − 1 = 0 2 2 a) Chứng minh : phương... thuộc vào m Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ x1 x2 + +6 = 0 thức : x2 x1 Chuyên đề 8: CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG CÓ YẾU TỐ CHUYỂN ĐỘNG 1 Cho nửa đường trong đường kính AB = 2 R ; OC là bán kính vuông góc với AB Gọi P là điểm di động trên đoạn OC ( P ≠ C ) Tia AP cắt đường tròn tại M Tiếp tuyến tại M với đường tròn cắt đường thẳng OC tại D a) Chứng minh ∆DMB cân b) Nêu cách... − OM 2 Cho điểm P nằm ngoài đường tròn ( O ) Một cát tuyến qua P cắt đường tròn tại A, B Các tiếp tuyến kẻ từ A, B cắt nhau tại M Dựng MH ⊥ OP a) Chứng minh rằng 5 điểm O, A, B, M , H nằm trên đường tròn b) Chứng minh H cố định khi cát tuyến PAB quay quanh P Từ đó suy ra tập hợp điểm M Đề cương thi vào 10 c) Gọi I là trung điểm của AB và N là giao điểm của PA với MH Chứng minh : 3 4 5 6 PA.PB... không đổi d) Tìm tập hợp các trung điểm I của DE Chuyên đề 9: BÀI TOÁN HÌNH HỌC TÍNH TOÁN 1 Cho ∆OAB cân ở O và đường tròn tâm O có bán kính R thay đổi ( R < OA ) Từ A, B kẻ 2 tiếp tuyến AC , BD với đường tròn Hai tiếp tuyến này không đối xứng nhau qua trục đối xứng của tam giác và chúng cắt nhau tại M a) Chứng minh rằng bốn điểm O, A, M , B cùng thuộc một đường tròn Tìm tập hợp các điểm M b) Trên tia... c đều là số lẻ 6 Tìm a, b để hai phương trình sau tương đương : x 2 + ( 3a + 2b ) x − 4 = 0 và x 2 + ( 2a + 3b ) x + 2b = 0 1 2 = 0 ( a ≠ 0) 7 Giả sử b, c là các nghiệm của phương trình : x − ax − 2a 2 Chứng minh : b 4 + c 4 ≥ 2 + 2 8 Chứng minh rằng nếu các hệ số a, b, c phương trình sau luôn có nghiệm : a ( x − b) ( x − c) + b ( x − c ) ( x − a ) + c ( x − a ) ( x − b) = 0 9 Chứng minh rằng nếu các. .. nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB Đường thẳng qua M vuông góc với Mc cắt Ax tại P Đường thẳng qua P vuông góc với CP cắt By tại Q Gọi D là giao điểm của CP và AM ; E là giao điểm của CQ và BM a) Chứng minh các tứ giác ACMP; CDME là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AB PDE c) Chứng minh các điểm P, M , Q thẳng hàng d) Các đường tròn ngoại tiếp ∆DMP và EQM còn . Đề cương thi vào 10 Chuyên đề 1: CĂN THỨC 1. Cho ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 1 2 1 x x x P. AI của AQP∆ vuông góc với DC . Đề cương thi vào 10 c) Tìm tập hợp các tâm E của đường tròn ngoại tiếp CPD và tập hợp các trực tâm H của CQP∆ . 8. Cho