http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải §2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: a) Góc hai vectơ Cho hai vectơ a b khác Từ điểm O dựng vectơ OA = a OB = b Số đo góc AOB gọi số đo góc hai vectơ a b + Quy ước : Nếu a = b = ta xem góc hai vectơ a b tùy ý (từ 0 đến 1800 ) ( ) + Kí hiệu: a; b b) Tích vơ hướng hai vectơ Tích vơ hướng hai véc tơ a b số thực xác định bởi: a.b = a b cos(a, b) Tính chất: Với ba véc tơ a , b , c số thực k ta ln có: 1) a.b = b.a 2) a( b  c) = a.b  a.c 3) ( ka)b = k( a.b) = a( kb) 2 4) a  0, a =  a = Chú ý: Ta có kết sau: + Nếu hai véc tơ a b khác a ⊥ b  a.b = 2 + a.a = a = a gọi bình phương vô hướng véc tơ a 2 + ( a  b)2 = a  2a.b + b , ( a + b)( a − b) = a − b Cơng thức hình chiếu phương tích điểm với đường trịn a) Cơng thức hình chiếu http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Cho hai vectơ AB, CD Gọi A', B' hình chiếu A, B lên đường thẳng CD ta có AB.CD = A ' B '.CD b) phương tích điểm với đường trịn Cho đường trịn ( O ; R ) điểm M Một đường thẳng qua N cắt đường tròn hai điểm A B Biểu thức MA.MB gọi phương tích điểm M đường tròn ( O; R ) Kí hiệu P M / (O ) Chú ý: Ta có PM / (O ) = MA.MB = MO − R2 = MT với T tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ điểm M 3.Biểu thức tọa độ tích vơ hướng Cho hai vectơ a = ( x1 ; y1 ) b = ( x2 ; y2 ) Khi 1) a.b = x1 x2 + y1 y2 2) a = ( x; y) |a|= x2 + y 3) cos( a , b) = a.b a b = x1 x2 + y1 y2 x12 + y12 x22 + y22 Hệ quả: + a ⊥ b  x1x2 + y1 y2 = + Nếu A( xA ; y A ) B( xB ; y B ) AB = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG : Xác định biểu thức tích vơ hướng, góc hai vectơ Phương pháp giải ( ) • Dựa vào định nghĩa a.b = a b cos a; b • Sử dụng tính chất đẳng thức tích vơ hướng hai vectơ Các ví dụ: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng A có AB = a, BC = 2a G trọng tâm a) Tính tích vơ hướng: BA.BC ; BC.CA A BA.BC = 2a2 , BC.CA = −3a2 B BA.BC = a2 , BC.CA = 3a2 C BA.BC = a2 , BC.CA = −a2 D BA.BC = a2 , BC.CA = −3a2 b) Tính giá trị biểu thức AB.BC + BC.CA + CA.AB A AB.BC + BC.CA + CA.AB = 4a2 B AB.BC + BC.CA + CA.AB = −a2 C AB.BC + BC.CA + CA.AB = −4a2 D AB.BC + BC.CA + CA.AB = −2a2 c) Tính giá trị biểu thức GA.GB + GB.GC + GC.GA A GA.GB + GB.GC + GC.GA = − a2 B GA.GB + GB.GC + GC.GA = − 5a D GA.GB + GB.GC + GC.GA = − 4a2 C GA.GB + GB.GC + GC.GA = − Bài làm: C (hình 2.2) a) * Theo định nghĩa tích vơ hướng ta có ( ) ( ) ( ) a = 2a Nên BA.BC = a2 * Ta có BC.CA = −CB.CA = − CB CA cos ACB Theo định lý Pitago ta có CA = Suy BC.CA = −a 3.2a ( 2a ) a = −3a2 2a − a2 = a M N BA.BC = BA BC cos BA, BC = 2a2cos BA, BC Mặt khác cos BA, BC = cos ABC = 2a2 G A P Hình 2.2 B http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) Cách 1: Vì tam giác ABC vng A nên CA.AB = từ câu a ta có AB.BC = −a2 , BC.CA = −3a2 Suy AB.BC + BC.CA + CA.AB = −4a2 Cách 2: Từ AB + BC + CA = đẳng thức ( AB + BC + CA) ( ) = AB2 + BC + CA2 + AB.BC + BC.CA + CA.AB Ta có AB.BC + BC.CA + CA.AB = − ( ) AB2 + BC + CA2 = −4a2 c) Tương tự cách câu b) GA + GB + GC = nên GA.GB + GB.GC + GC.GA = − ( GA2 + GB2 + GC 2 ) Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB 2  4a2 Dễ thấy tam giác ABM nên GA =  AM  = 3  Theo định lý Pitago ta có: GB2 = 4 4 3a  a BN = AB2 + AN =  a2 + = 9 9  ( ) 4 4 a2  13a2 GC = CP = AC + AP =  3a2 +  = 9 9 4 ( )  4a2 a2 13a2  4a Suy GA.GB + GB.GC + GC.GA = −  + + =− 2 9  Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạnh a M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác ADM Tính giá trị biểu thức sau: a) ( AB + AD)( BD + BC) A ( AB + AD)( BD + BC) = 3a2 B ( AB + AD)( BD + BC) = 2a2 C ( AB + AD)( BD + BC) = a2 D ( AB + AD)( BD + BC) = 4a2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ( b) CG CA + DM A ) 21a2 B 11a C 9a2 D a2 Bài làm: (hình 2.3) a) Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC Do ( AB + AD)( BD + BC) = AC.BD + AC.BC M A = CA.CB = CA CB cos ACB B G ( AC.BD = AC ⊥ BD ) D Mặt khác ACB = 45 theo định lý Pitago ta có : C Hình 2.3 AC = a2 + a2 = a Suy ( AB + AD)( BD + BC) = a.a cos 450 = a2 b) Vì G trọng tâm tam giác ADM nên CG = CD + CA + CM ( ) Mặt khác theo quy tắc hình bình hành hệ thức trung điểm ta có CA = − AB + AD CM = ( ) ( ) ( 1 CB + CA = CB − AB + AD  = − AB + AD  2 ( ) ) 21 ( AB + AD) = −  25 AB + AD  Suy CG = − AB − AB + AD − ( ) 1  Ta lại có CA + DM = − AB + AD + AM − AD = −  AB + AD  2  ( ) 5   Nên CG CA + DM =  AB + AD  AB + AD  2   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải = 21a2 AB2 + AD = 4 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c M trung điểm BC, D chân đường phân giác góc A a) Tính AB.AC A ( ) 2 c +b −a b) Tính AD B ( 2 c +b −a ) C ( 2 c +b −a ) D ( 2 c + b − 2a 2 ) 2 C AD = p ( p − a) B AD = p ( p − a) D AD = 4c A AD = (b + c) 4bc (b − c) 2 4bc (b + c) 4bc (b + c) ( p − a) p ( p − a) Bài làm: (hình 2.3) A a) Ta có AB AC = = ( ) 2 1  AB + AC − AB − AC   2 ( 1  AB2 + AC − CB2  = c + b2 − a2   2 ) B Hình 2.3 Mặt khác AB.AC = AB.AC cos A = cb cos A Suy c + b2 − a2 2 c + b − a = cb cos A hay cos A = 2bc ( ) b) * Vì M trung điểm BC nên AM = Suy AM = ( AB + AC ) DM ( AB + AC ) 2 =  AB + ABAC + AC  4  C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Theo câu a) ta có AB.AC = ( ) 2 c + b − a nên ( ) b2 + c − a2 1 2 2 2 AM =  c + c + b − a + b  = 4  ( ) * Theo tính chất đường phân giác Suy BD = BD AB c = = DC AC b BD b DC = DC (*) DC c Mặt khác BD = AD − AB DC = AC − AD thay vào (*) ta AD − AB = ( ) = ( bAB ) + 2bcABAC + ( cAC ) b AC − AD  ( b + c ) AD = bAB + cAC c  ( b + c ) AD 2  ( b + c ) AD = b c + 2bc 2  AD = bc (b + c) Hay AD = ( ) 2 c + b − a + c 2b2 ( b + c − a )( b + c + a ) 4bc (b + c) p ( p − a) Nhận xét : Từ câu b) suy độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A la = bc p ( p − a) b+c Bài tập luyện tập: Bài 2.13 Cho tam giác ABC cạnh a Tính tích vơ hướng: a) AB.AC A 5a 2 b) AC.CB B a2 C 3a 2 D − a2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A − a2 B − 5a 2 C − a2 B − a2 C a2 D − 3a 2 D − 5a 2 c) AB.BC A − a2 Bài làm: ( ) a2 Bài 2.13 a) AB.AC = AB.AC.cos AB; AC = a cos 60 = b) AC.CB = −CA.CB = −CA.CB.cos 600 = − c) AB.BC = − a2 a2 Bài 2.14 Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = a) Tính AB.AC A AB.AC = 40 B AB.AC = 10 C AB.AC = 30 D AB.AC = 20 B AC.BC = 41 C AC.BC = 42 D AC.BC = 44 b) Tính AC.BC A AC.BC = 45 c) Gọi D điểm CA cho CD = Tính CD.CB A CD.CB = 31 B CD.CB = 35 C CD.CB = 33 Bài làm: 2 ( Bài 2.14 a) AB.AC = AB + AC − AB − AC Suy AB.AC = 20 ) = AB2 + AC − BC D CD.CB = 37 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ta có AB.AC = 20  AB.AC.cos A = 20  cos A = ( )  A = 600 2 b) AC.BC = AC AC − AB = AC − AB.AC = − 20 = 44 c) Ta có AC.BC = AC.BC.cos C = 44  cos C = Do CD.CB = CD.CB.cos C = 3.7 11 14 11 33 = 14 Bài 2.15 Cho véctơ a , b có độ dài thoả mãn điều kiện 2a − 3b = Tính ( ) cos a , b ( ) A cos a, b = ( ) B cos a, b = ( ) C cos a, b = ( ) D cos a, b = Bài làm: ( ) Bài 2.15 2a − 3b =  4a − 12a.b + 9b =  cos a, b = Bài 2.16 Cho véctơ a , b có độ dài góc tạo hai véc tơ 600 Xác định cosin góc hai vectơ u v với u = a + 2b , v = a − b ( ) A cos u; v = − ( ) B cos u; v = − ( ) C cos u; v = − ( ) D cos u; v = − Bài làm: ( )( ) Bài 2.16 u.v = a + 2b a − b = − + 2 1 =− 2 2 Mặt khác u = a + 4b + 8a.b =  u = , v = a + b − 2a.b =  v = ( ) Suy cos u; v = − Bài 2.17 Cho hình vng ABCD cạnh Trên cạnh AB lấy điểm M cho http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải BM = , cạnh CD lấy điểm N cho DN = P trung điểm BC Tính cos MNP A cos MNP = C cos MNP = 13 B cos MNP = 10 13 D cos MNP = 10 13 10 13 45 10 Bài làm: Bài 2.17 Ta có NM = Suy NM NP = AB − AD, NP = AB − AD 3 2 13 + = 18 Mặt khác NM = 10 , NP = 13  cos MNP = 45 10 Bài 2.18 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = M điểm xác định AM = MB , G trọng tâm tam giác ADM Tính MB.GC A MB.GC = B MB.GC = C MB.GC = Bài làm: Bài 2.18 Ta có MB = AB Vì G trọng tâm tam giác ADM nên 3CG = CA + CD + CM ( )  3CG = − AB + AD − AB + CB + BM = − AB − AD  GC = AB + AD Suy MB.GC = 3  AB  AB + AD  = 4  D MB.GC = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Suy A ' M '.a = k  A ' M '.a = k  A ' M ' = Vì A' điểm cố định, k a k a a độ dài đại số vectơ a số không đổi nên M' điểm cố định Do tập hợp điểm M đường thẳng vng góc với  M' Bài 2.39: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M trường hợp sau: a) ( MA − MB)( 2MB − MC ) = b) ( MA + 2MB)( MB + 2MC ) = c) MA2 + MA.MB = MA.MC Bài làm: Bài 2.39: a) Gọi I điểm thoả mãn IB − IC = ta có: ( MA − MB)( 2MB − MC ) =  BA.MI = Suy tập hợp điểm M đường thẳng qua I vng góc với AB b) Gọi D E điểm thoả mãn: DA + DB = 0; EB + EC = ta có: ( MA + 2MB)( MB + 2MC ) =  MD.ME = Tập hợp điểm M đường trịn đường kính DE ( ) c) Ta có: MA2 + MA.MB = MA.MC  MA MA + MB − MC = (*) Gọi J điểm xác định JA + JB − JC = ta có: (*)  MA.MJ =  MA ⊥ MJ Tập hợp điểm M đường tròn đường kính AJ Bài 2.40: Cho hình vng ABCD cạnh a Tìm tập hợp điểm M cho: a) 2MA2 + MB2 = MC2 + MD2 ( )( ) b) MA + MB + MC MC − MB = 3a2 Bài làm: Bài 2.40: a) Gọi điểm I thỏa mãn điều kiện 2.IA + IB − IC − ID = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ta có : 2MA2 + MB2 = MC2 + MD2 ( ) ( ) = ( MI + IC ) + ( MI + ID ) + MI ( IA + IB − IC − ID ) + IB − IC − ID  MI + IA + MI + IB  MI + IA 2 2 2 =0  MI = IC + ID − IA − IB2 = k + k  : Tập hợp điểm M tập rỗng + k = : Tập hợp điểm M điểm I (tức M trùng với I) ( + k  : Tập hợp điểm M đường tròn I , k ( )( ) ) b) MA + MB + MC MC − MB = 3a2 Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có : ( MA + MB + MC )( MC − MB) = 3a  MG.BC = 3a2  MG.BC = a Gọi M', G' hình chiếu M, G lên đường thẳng BC Suy M ' G '.BC = BC  M ' G ' = BC Do G cố định nên G' cố định suy M' cố định Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua M' vng góc với BC Bài 2.41 Cho tứ giác ABCD, I, J trung điểm AB CD Tìm tập hợp điểm M cho: MA.MB + MC.MD = IJ Bài làm: Bài 2.41 MA.MB + MC.MD = 2  MI + MJ − IA2 − JC = IJ 2 IJ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 2 Goi K trung điểm IJ suy MI + MJ = MK + 2IK IA2 + JC Do MK = 2 Suy tập hợp điểm M đường tròn tâm K bán kính R = IA + JC 2 Bài 2.42 : Cho tam giác ABC cạnh a Tìm tập hợp điểm M cho : MA.MB + MB.MC + MC.MA = a2 Bài làm: Bài 2.42 Ta chứng minh MA.MB + MB.MC + MC.MA = 3MO2 + a2 với O trọng tâm tam giác Do MO = a a suy tập hợp điểm M đường tròn tâm O bán kính R = 2 Bài 2.43 : Cho tam giác ABC, góc A nhọn, trung tuyến AI Tìm tập hợp điểm M di động góc BAC cho : AB.AH + AC.AK = AI H K theo thứ tự hình chiếu vng góc M lên AB AC Bài làm: Bài 2.43 : Sử dụng cơng thức hình chiếu ta có: AB.AH + AC.AK = AI  AI = AB.AH + AC.AK 2  AI = AB.AM + AC.AM  AI = AI.AM Gọi M hình chiếu M lên AI ta có AI = AI AM0  AM0 = AI ( M nằm tia AI) Suy tập hợp điểm M đoạn trung trực AI nằm góc BAC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.44 : Cho tam giác ABC k số thực cho trước Tìm tập hợp điểm M cho MA2 − MB2 = k Bài làm: Bài 2.44 : Gọi I trung điểm AB ta có MA2 − MB2 = k  MI BA = k  M ' I = k BA Với M' hình chiếu M lên AB suy M' điểm cố định Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua M' vng góc với AB Bài 2.45 : Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho MA2 + MB2 + MC = k với k số cố định cho trước : a)  +  +  = b)  +  +   Bài làm: Bài 2.45 : a) Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ( ) MA2 + MB2 + MC = k  MO OA + OB + OC = k ( ) Đặt OA + OB + OC = u  u  đo MO.u = k  MO = k u Với M', O' hình chiếu M, O lên giá vectơ u suy M' điểm cố định Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua M' vng góc với giá vectơ u b) Gọi I điểm thỏa mãn IA + IB +  IC = ,  +  +   nên I tồn I Khi ta chứng minh MI = ( )  k − IA +  IB2 + IC    ++    DẠNG 4: Biểu thức tọa độ tích vô hướng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Phương pháp giải • Cho a = ( x1 ; y1 ), b = ( x2 ; y2 ) Khi + Tích vơ hướng hai vectơ a.b = x1 x2 + y1 y2 + Góc hai vectơ xác định công thức cos( a , b) = a.b = a b x1 x2 + y1 y2 x12 + y12 x22 + y22 Chú ý: a ⊥ b  a.b =  x1x2 + y1 y2 = • Để xác định độ dài vectơ đoạn thẳng ta sử dụng công thức + Nếu a = ( x; y) a = x2 + y + Nếu A( x A ; y A ), B( xB ; y B ) AB = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A ( 1; ) , B ( −2; ) , C ( 9; ) a) tam giác ABC tam giác gì? A.Tam giác vng A B.Tam giác vuông B C.Tam giác vuông C D.Tam giác b) Tính cosin góc B tam giác ABC A cos B = B cos B = C cos B = D cos B = c) Xác định hình chiếu A lên cạnh BC  32  A H  ;  5   32  B H  − ; −    1 3 C H  ;  5 5 Bài làm: a) Ta có AB ( −3; ) , AC ( 8; )  AB AC = −3.8 + 4.6 = 1 2 D H  ;  5 5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Do AB ⊥ AC hay tam giác ABC vng A b) Ta có BC (11; ) , BA ( 3; −4 ) ( ) Suy cos B = cos BC , BA = 11.3 + ( −4 ) 112 + 22 32 + ( −4 ) = c) Gọi H ( x; y ) hình chiếu A lên BC Ta có AH ( x − 1; y − ) , BH ( x + 2; y − ) , BC (11; ) AH ⊥ BC  AH.BC =  11( x − 1) + ( y − ) = Hay 11x + 2y − 15 = (1) Mặt khác BH , BC phương nên Từ (1) (2) suy x = x+2 y−6 =  2x − 11y + 70 = (2) 11 32 , y= 5  32  Vậy hình chiếu A lên BC H  ;  5  Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD có tâm I ( 1;1) , đỉnh A ( 3; ) đỉnh B nằm trục hồnh Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thoi A B ( 0; ) , C ( 1; ) , D ( 2;1) B B ( 0; −3 ) , C ( 1; ) , D ( 2;1) C B ( 0; −3 ) , C ( −1; ) , D ( −2; −1) D B ( 0; ) , C ( −1; ) , D ( 2; −1) Bài làm: Vì B nằm trục hoành nên giả sử B ( 0; y ) Vì I tâm hình thoi ABCD nên I trung điểm AC BD Suy C = ( xI − xA ; yI − y A ) = ( −1; ) , D = ( xI − xB ; yI − y B ) = ( 2; − y ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Do AB = AD  AB2 = AD2  + ( y − ) = + y  y = Vậy B ( 0; ) , C ( −1; ) , D ( 2; −1) Ví dụ 3: Cho ba điểm A(3; 4), B(2;1) C( −1; −2) Tìm điểm M đường thẳng BC để góc AMB = 450 B M ( 5; ) A M ( −5; −4 ) C M ( 5; −4 ) D M ( −5; ) Bài làm: Giả sử M ( x; y ) suy MA ( − x; − y ) , MB ( − x;1 − y ) , BC ( −3; −3 ) ( Vì AMB = 450 suy cos AMB = cos MA; BC  cos 450 =  MA.BC MA BC ( − x) + ( − y) 2  = ) −3 ( − x ) − ( − y ) (3 − x) + (4 − y) 2 9+9 = x + y − (*) Mặt khác M thuộc đường thẳng BC nên hai vectơ MB, BC phương Suy − x 1− y =  x = y + vào (*) ta −3 −3 (2 − y) + (4 − y) 2 = y −  y − y + =  y = y = ( ) + Với y =  x = , ta có MA ( 0; ) , MB ( −1; −1)  cos AMB = cos MA; MB = − Khi AMB = 1350 (khơng thỏa mãn) ( ) + Với y =  x = , MA ( −2; ) , MB ( −3; −3 )  cos AMB = cos MA; MB = Khi AMB = 450 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vậy M ( 5; ) điểm cần tìm Ví dụ 4: Cho điểm A(2; 1) Lấy điểm B nằm trục hồnh có hồnh độ khơng âm điểm C trục tung có tung độ dương cho tam giác ABC vuông A Tìm toạ độ B, C để tam giác ABC có diện tích lớn A B ( 1; ) , C ( 0; ) B B ( 0; ) , C ( 1; ) C B ( 1;1) , C ( 1; ) D B ( 0; ) , C ( 0; ) Bài làm: Gọi B ( b; ) , C ( 0; c ) với b  , c  Suy AB ( b − 2; −1) , AC ( −2; c − 1) Theo giả thiết ta có tam giác ABC vng A nên AB.AC =  ( b − )( −2 ) − ( c − 1) =  c = −2b + Ta có SABC = 1 AB.AC = (b − 2)2 + 22 + (c − 1)2 2 = (b − 2)2 + = b − 4b + Vì c  nên −2b +    b  Xét hàm số y = x2 − 4x + với  x  Bảng biến thiên x 5 y Suy giá trị lớn hàm số y = x2 − 4x + với  x  y = x = Do http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải diện tích tam giác ABC lớn b = , suy c = Vậy B ( 0; ) , C ( 0; ) điểm cần tìm Bài tập luyện tập Bài 2.46: Cho hai vectơ a(0; 4) ; b(4; −2) a) Tính cosin góc hai vectơ a b ( ) A cos a; b = − ( ) B cos a; b = − 5 ( ) C cos a; b = − ( ) D cos a; b = b) Xác định tọa độ vectơ c biết ( a + 2b).c = −1 ( −b + 2c).a =  1 B c  − ; −   4  1 A c  − ; −   4  1 C c  − ; −   4  1 D c  − ; −   2 Bài làm: ( ) Bài 2.46: a) cos a; b = a.b a.b = −8 4.2 =− b) Gọi c ( x; y ) , ta có a + 2b = ( 8; ) , − b + 2c = ( 2x − 4; y + ) 1 Suy (a + 2b).c = −1  x = −1  x = − , (−b + 2c).a =  ( y + ) =  y = −  1 Do c  − ; −   4 Bài 2.47: Cho tam giác ABC có A(5; 3), B(2; −1), C( −1; 5) a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC A H ( 2; ) B H ( 3; ) C H ( −3; ) D H ( 3; −2 ) C A ' ( 1; ) D A ' ( −1; −1) b) Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ A A A ' ( 2; ) B A ' ( 1;1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải c) Tính diện tích tam giác ABC B S = 15 A S = 18 C S = 17 D S = 16 Bài làm: Bài 2.47: a) Gọi H ( x; y ) trực tâm tam giác ABC AH ( x − 5; y − 3) , BC ( −3; ) , BH ( x − 2; y + 1) , AC ( −6; )   AH ⊥ BC  x − 2y + = x =  AH.BC =     H ( 3; )  x − y − = y = BH AC =  BH ⊥ AC     b) Gọi A ' ( x; y ) tọa độ chân đường cao vẽ từ A Ta có AA ' ⊥ BC  AA '.BC =  x − y + = (1) Và BA ' ( x − 2; y + 1) , BC phương nên 2x + y − = (2) Từ (1) (2) suy x = y =  A ' ( 1;1) c) Ta có AA ' = Suy S = ( − 1) + ( − 1) 2 = , BC = + 36 = AA '.BC = 15 Bài 2.48: Cho tam giác ABC với A ( 3;1) , B ( −1; −1) , C ( 6; ) a) Tính góc A tam giác ABC B A = 1350 A A = 1450 C A = 1200 D A = 1300 b) Tính tọa độ giao điểm đường trịn đường kính AB đường trịn đường kính OC ( ) ( A M1 1; , M2 −1; ( ) ( ( ) C M1 −1; , M2 −1; ) ( B M1 −1; − , M2 −1; ) ( ) ( D M1 1; − , M2 1; ) ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài làm: ( ) Bài 2.48: a) AB ( −4; −2 ) , AC ( 3; −1)  cos A = cos AB; AC = − 2 Suy A = 1350 b) Gọi M ( x; y ) giao điểm đường trịn đường kính AB đường trịn đường kính OC Ta có MA ( − x;1 − y ) , MB ( −1 − x; −1 − y ) , MC ( − x; − y ) , MO ( −x; − y ) 2     MA ⊥ MB  MA.MB = x + y − 2x − =  x=1           MC ⊥ MO  x + y − 6x =  y =   MC.MO = ( ) ( Vậy có hai giao điểm M1 1; − , M2 1; ) Bài 2.49: Cho ba điểm A(6; 3), B( −3; 6), C(1; −2) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A O ( −1; −3 ) B O ( −1; ) C O ( 1; ) D O ( 1; −3 ) Bài làm: Bài 2.49: Ta có O ( xO ; yO ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  OA = OB2 OA = OB = OC   2 OA = OC ( − x )2 + ( − y )2 = ( −3 − x )2 + ( − y )2  O O O O  2 2  ( − xO ) + ( − yO ) = ( − xO ) + ( −2 − yO )  −12 xO − yO = 6xO − 12 yO x =   O  O (1; ) −12 xO − yO + 40 = −2 xO + yO  yO = Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC O ( 1; ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải  OM.BC = Cách khác: Ta thiết lập hệ phương trình từ điều kiện  M, N lần ON CA =   lượt trung điểm BC, CA Bài 2.50 Các điểm B ( −1; ) , C ( 3;1) hai đỉnh tam giác ABC vng cân A Tìm tọa độ đỉnh A A A1 ( −2; −4 ) , A2 ( 0; ) B A1 ( −2; ) , A2 ( 1; ) C A1 ( 2; ) , A2 ( 0; ) D A1 ( 2; −4 ) , A2 ( 0;1) Bài làm: Bài 2.50 Gọi A ( x; y )  AB ( −1 − x; − y ) , AC ( − x;1 − y )  AB.AC = x = x =   Tam giác ABC vuông cân A    y = y =  AB = AC Vậy có hai điểm thỏa mãn A1 ( 2; ) , A2 ( 0; ) Bài 2.51: Cho bốn điểm A ( −8; ) , B ( 0; ) , C ( 2; ) , D ( −3; −5 ) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Bài làm: Bài 2.51: Ta có AB ( 8; ) , AD ( 5; −5 ) , CB ( −2; ) , CD ( −5; −5 ) ( ) ( )  cos AB, AD + cos CB, CD = 10 − 10 =0 Do BAD + BCD = 180 Suy tứ giác nội tiếp Bài 2.52: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A ( −2; −1) , B ( 2; −4 ) Tìm trục Oy điểm M cho MBA = 450 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải  3 A M1 =  0; −  ; M2 = ( 0;10 ) 7   3 B M1 =  0; −  ; M2 = ( 0;1) 7   30  C M1 =  0; −  ; M2 = ( 0;10 )    3 D M1 =  0;  ; M2 = ( 0; −1)  7 Bài làm: Bài 2.52: a) M  Oy  M ( 0; y ) Do ta có: BM = ( −2; y + 4)  BM = y + y + 20 BA = ( −4; 3)  BA = Do ta có: BM.BA = y + 20 Ta có: MBA = 450  cos( BM , BA) =  30 y=−    3y + 20 = y + y + 20   y = 10  30  Vậy có điểm thoả mãn yêu cầu toán M1 =  0; −  ; M2 = ( 0;10 )   Bài 2.53: Cho hai điểm A ( 4; −3 ) , B ( 3;1) Tìm M trục hoành cho AMB = 1350  11  A M1 (4; 0); M2  ;     − 33  ;0 B M1 (4; 0); M2       11 − 33  ;0 C M1 (4; 0); M2       33  ;0 D M1 (5; 0); M2      Bài làm: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.53: Gọi M ( a; ) ; MA = (4 − a; −3); MB = (3 − a;1) MA.MB a2 − a + cos AMB = = =− 2 MA.MB ( a − 4) + ( a − 3) +  a − a +  (*)  2 2 2( a − a + 9) = ( a − a + 25)( a − a + 10) (**) Ta có: ( * * )  a − 14a + 51a − 22a − 88 =  ( a − 4)( a + 1)( a − 11a + 22) =  a = , a = −1 a = Thử nghiệm với đk (*) ta nhận a = 4; a = 11  33 11 − 33  11 − 33  ;0 Từ ta có điểm M thoả mãn M1 (4; 0); M2      Bài 2.54: Biết A ( 1; −1) , B ( 3; ) hai đỉnh hình vng ABCD Tìm tọa độ đỉnh C D A C ( −4; −2 ) , D ( 1; −3 ) C ( 2; −2 ) , D ( 0; −1) B C ( −4; −2 ) , D ( −2; −3 ) C ( 2; ) , D ( 0; −1) C C ( −4; −2 ) , D ( 2; −3 ) C ( 2; −2 ) , D ( 0; −1) D C ( 4; −2 ) , D ( 2; −3 ) C ( 2; ) , D ( 0;1) Bài làm: Bài 2.54: Giả sử C ( x; y ) Ta có : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải  AB ⊥ BC  x=4 x =  Tứ giác ABCD hình vng     AB = BC  y = −2 y = Từ suy C ( 4; −2 ) , D ( 2; −3 ) C ( 2; ) , D ( 0;1) Bài 2.55 Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A ( 1; ) , B ( −2; −2 ) C ( 4; ) Xác định tọa độ điểm M cho tổng MA2 + 2MB2 + 3MC nhỏ   A M  − ;1      B M  − ; −1    3  C M  ;1  2  Bài làm: Bài 2.55 MA2 + 2MB2 + 3MC 2 2 2 = ( x − 1) + ( y − ) + ( x + ) + ( y + )  + ( x − ) + ( y − )      2 147 147 = x − 18 x + y + 93 = ( x − ) + ( y − 1) +  2 3  Suy M  ;1  2  3  D M  ; −1  2  ... Chứng minh MA2 + MB2 + MC + MD2 = 8R2 b) Chứng minh MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = NA4 + NB4 + NC4 + ND4 Bài làm: ( ) Bài 2.33 a) MA2 + MB2 + MC + MD2 = MO + OA + ( ) ( ) ( + MO + OB + MO + OC + MO +. .. − AB2 + ( + bc IB + IC ( ) ( + (c 2 ) + IC − CA = ) + ca + cb ) IC − ( abc  a + ab + ca IA + b + ba + bc IB + 2 ( ) + ab c + a bc = )  ( a + b + c ) a2 IA2 + b2 IB2 + c IC = ( a + b + c ) abc... AB = c Chứng minh rằng: GA2 + GB2 + GC = ( 2 a +b +c ) Bài làm: ( Bài 2.25: GA + GB + GC =  GA + GB + GC ) =0  GA2 + GB2 + GC + 2GA.GB + 2GB.GC + GC.GA = (*) 2 ( Mặt khác 2GAGB = GA + GB − GA