CÁC D ẠNG TOÁN D ẤU HI ỆU CHIA H ẾT TH ƯỜNG G ẶP I Dạng Tìm chữ số chưa biết theo dấu hiệu chia hết Ví dụ 1: Thay a, b số 2007ab chữ số thích h ợp đ ể số đ ồng th ời chia h ết cho 2; Giải: Số 2007ab đồng thời chia hết cho nên b = Thay b = vào s ố 2007ab ta đ ược 2007a0 Số chia hết tổng chữ số chia h ết cho Vậy (2 + + + + a + 0) chia hết cho hay + a chia h ết cho 9, suy a = ho ặc a = Vậy ta tìm số thoả mãn tốn 200700; 200790 Ta biết rằng: A chia cho B dư r tức : - A - r chia hết cho B (1) - A + (B - r) chia hết cho B (2) Từ bạn giải tốn : Ví dụ 2: Cho A = x459y Hãy thay x, y chữ số thích h ợp đ ể A chia cho ; đ ều dư Nhận xét : A chia cho ; dư nên A - đ ồng th ời chia h ết cho ; Vậy ta giải toán dựa vào điều kiện (1) A - r chia h ết cho B đ ể gi ải Giải : Vì A chia cho ; dư nên A - chia h ết cho ; V ậy ch ữ s ố tận A - phải 0, suy y = Vì A - chia h ết x + + + + chia hết cho hay x + 18 chia hết cho Do 18 chia h ết x chia h ết cho 9, x chữ số hàng cao nên x khác Từ x ch ỉ có th ể Thay x = ; y = vào A ta số 94591 Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên bé chia cho dư 1, chia cho d ; chia cho d chia cho dư Tuy số dư khác : - = ; - = ; - = ; - = Nh v ậy ta sử dụng điều kiện (2) A + (B - r) chia hết cho B để giải toán Giải : Gọi số cần tìm A Vì A chia cho dư A chia cho d nên A + đ ồng thời chia hết cho Vậy chữ số tận A + Hi ển nhiên A +1 khơng thể có chữ số Nếu A + có chữ số có dạng x0 Vì x0 chia h ết x ch ỉ ; ; ta có số 30 ; 60 ; 90 Trong số ch ỉ có 60 chia h ết cho Vậy A +1 = 60 A = 60 - A = 59 Do số cần tìm 59 Bài luyện tập : Bài : Tìm số tự nhiên nhỏ khác cho chia cho ; ; ; đ ều d Bài : Cho số a765b ; tìm a ; b để thay vào số cho ta đ ược s ố có ch ữ s ố chia cho dư ; chia cho dư chia cho dư Bài : Hãy viết thêm chữ số vào bên phải số 567 để số lẻ có ch ữ s ố khác nhau, chia số cho dư Bài : Tìm số có chữ số chia hết cho ; 5, biết đ ổi chõ ch ữ s ố hàng đơn vị với hàng trăm hàng chục với hàng nghìn số khơng thay đ ổi II Dạng Tìm số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết Ví dụ : Một số nhân với kết 180 648 07? Hãy tìm số Giải: Một số nhân với kết 180 648 07? nên s ố 180 648 07? chia h ết cho Vì số 180 648 07? chia hết (1 + + + + + + + + ?) chia h ết cho 9, hay 34 + ? chia hết cho 9, suy ? = Thay ? = vào số 180 648 07? ta 180 648 072 Số cần tìm là: 180 648 072 : = 20072008 III Dạng Chứng tỏ số biểu thức chia hết cho (ho ặc không chia hết cho) số Ví dụ : Cho số tự nhiên A Người ta đổi chỗ chữ số A để đ ược số B g ấp l ần số A Chứng tỏ số B chia hết cho 27 Giải: Theo ta có: B = x A (1), suy B chia h ết cho 3, nh ưng t ch ữ s ố số A số B (vì người ta đổi chỗ ch ữ số) nên ta có A chia hết cho (2) Từ (1) (2) suy B chia hết cho Nếu A chia h ết cho (vì tổng chữ số chúng nhau) (3) Từ (1) và(3), suy B chia h ết cho 27 IV Dạng Các toán thay chữ số Ví dụ : Điền chữ số thích hợp (các chữ khác thay b ởi ch ữ s ố khác nhau) HALONG + HALONG + HALONG = TTT2006 Giải: Ta có vế trái: HALONG + HALONG + HALONG = x HALONG Nh v ế trái số chia hết cho Vế phải TTT2006 có: (T + T + T + + + + 6) = x T + + = x (T + 2) + không chia hết cho 3, suy TTT2006 không chia hết cho Điều ch ứng t ỏ khơng th ể tìm chữ số thoả mãn toán V Dạng Các toán có lời văn Ví dụ : Hai bạn An Khang mua 18 gói bánh 12 gói kẹo đ ể đ ến l ớp liên hoan An đưa cho cô bán hàng tờ tờ 50 000 đồng đ ược tr ả l ại 72 000đ ồng Khang nói: “Cơ tính sai rồi” Bạn cho biết Khang nói hay sai ? Gi ải thích t ại ? Giải: Vì số 18 số 12 chia hết cho 3, nên tổng số tiền mua 18 gói bánh 12 gói kẹo phải số chia hết cho Vì An đưa cho bán hàng t 50 000đ ồng trả lại 72 000đồng, nên số tiền mua 18 gói bánh 12 gói kẹo là: x 50 000 – 72 000 = 128 000 (đ ồng) Vì số 128 000 không chia hết cho 3, nên bạn Khang nói “Cơ tính sai r ồi” VI Dạng Các tốn hình học Ví dụ : Có 10 mẩu que dài: 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, … , 8cm, 9cm, 10cm Hỏi dùng 10 mẩu que để xếp thành hình tam giác đ ều đ ược khơng ? Giải: Một hình tam giác có cạnh (a) số tự nhiên chu vi (P) c hình phải số chia hết cho P = a x Tổng độ dài 10 mẩu que là: + + + + + + + + + 10 = 55 (cm) Vì 55 số khơng chia hết khơng thể xếp 10 mẩu que thành m ột hình tam giác VII Dạng Trò chơi – Tốn vui Ví dụ : Khi hỏi: “Số có bốn chữ số mà ta đọc theo th ứ t ự t ph ải sang trái tăng lên lần ? ” Một học sinh giỏi toán trả lời t ức kh ắc B ạn đoán xem bạn trả lời ? Giải: Bạn trả lời là: “Khơng có số vậy” Ta có th ể giải thích điều sau: Giả sử số phải tìm , theo ta có: x = Suy a ch ỉ có th ể b ằng a trở lên x cho số có ch ữ số Mặt khác, tích x m ột s ố chẵn, tức a phải chẵn Mâu thuẫn chứng tỏ không t ồn t ại số tho ả mãn toán (Kết luận khơng với số có chữ số mà v ới s ố có ch ữ s ố tuỳ ý) VIII Dạng Các toán khác Ví dụ : Hãy chứng tỏ rằng: Nếu cho số tự nhiên khơng có số chia hết cho ta có tổng ba số t c hai s ố ba số cho phải chia hết cho Giải: Một số tự nhiên không chia hết cho chia cho có s ố d ho ặc - Nếu ba số chia cho có số dư tổng ba số chia hết cho - Nếu ba số chia cho khơng số dư tổng hai số có số d khác chia hết cho Khi giải tập toán liên quan đến chia hết, th ường s d ụng d ấu hi ệu chia hết cho ; ; Tuy nhiên th ực tế có nhiều ph ải v ận d ụng m ột s ố tính chất chia hết khác để giải Chúng ta tìm hiểu m ột số ví dụ sau : Ví dụ : Cho M số có ba chữ số N số có ba ch ữ số viết theo th ứ t ự ng ược lại M Biết M lớn N Hãy chứng tỏ hiệu M N chia h ết cho Phân tích : Hiệu hai số chia hết cho số số bị trừ số tr chia hết cho số số bị trừ số trừ có số dư chia cho s ố D ựa vào tính chất ta chứng tỏ hiệu chia hết cho số cách ch ứng tỏ số bị tr số trừ có số dư chia cho số Giải : Đặt M = abc N = cba (a > c > ; a, b, c ch ữ s ố), M - N = abc - cba Gi ả sử cba chia cho dư r (0 Ê r < 3) a + b + c chia cho d r Do a + b + c = c + b + a nên cba chia cho có số dư r Vậy hiệu M - N chia h ết cho Ví dụ 2: Nếu đem số 31513 34369 chia cho số có ba ch ữ số hai phép chia có số dư Hãy tìm số dư hai phép chia Phân tích: Nếu hai số chia cho số có số dư hiệu chúng chia hết cho số Vì số 31513 34369 chia cho số có ba ch ữ s ố có số d b ằng nên hiệu chúng chia hết cho số có ba chữ số T ta tìm đ ược s ố chia đ ể suy số dư Giải: Gọi số chia hai số cho abc (a > ; a, b, c < 10) Vì hai s ố cho chia cho số abc có số dư nên (34369 - 31513) chia hết cho abc hay 2856 chia hết cho abc Do 2856 = x 714 nên abc = 714 Thực phép tính ta có: 31513 : 714 = 44 (d 97) ; 34369 : 714 = 48 (d 97) Vậy số dư hai phép chia 97 Ví dụ : Tìm thương số dư phép chia sau : (1 x x x x x … x 15 + 200) : 182 Phân tích : Nếu tổng có số hạng chia cho số dư r số hạng khác chia hết cho số số dư tổng r Th ương t tổng thương số hạng Nếu số chia cho số đ ều có d s ố d tổng tổng số dư số hạng, tổng số d nh ỏ h ơn s ố chia Vậy ta xét xem số hạng tổng chia cho số chia có s ố d Từ ta tính thương số dư phép chia Giải : Vì 182 = x x 13 nên số hạng thứ tổng (1 x x x x x x 15) chia hết cho 182 Vì 200 : 182 = (dư 18) nên số h ạng th ứ hai c t chia cho 182 dư 18 Vậy số dư phép chia 18 th ương phép chia kết phép tính : x x x x x x x 10 x 11 x 12 x 14 x 15 + (Bạn đọc tự tìm đáp số) Ví dụ : Một người hỏi anh chàng chăn cừu : “Anh có c ừu ?” Anh chăn cừu trả lời : “Số cừu nhiều 4000 không 5000 N ếu chia số cừu cho dư 3, chia cho dư chia cho 25 d 19” H ỏi anh có cừu ? Phân tích : Vì số cừu anh chia cho dư chia cho 25 d 19 mà + = 19 + = 25 nên thêm cừu vào số cừu anh số c ừu lúc chia h ết cho 25 Ta lại có x 25 = 225 nên số cừu chia h ết cho 225 T ta tìm s ố lớn 4000 + không vượt 5000 + chia h ết cho 225 r ồi th thêm ều kiện chia cho dư để tìm số cừu anh chăn c ừu Giải : Vì số cừu anh chăn cừu chia cho dư chia cho 25 d 19 nên n ếu thêm cừu vào số cừu anh chăn cừu số cừu lúc chia h ết cho 25 Do số cừu chia hết cho 225 (vì x 25 = 225) Số cừu sau thêm phải lớn : 4000 + = 4006 không v ượt 5000 + = 5006 Do số cừu sau thêm 4950 con, 4725 con, 4500 Vì s ố cừu sau thêm chia cho dư nên ch ỉ có 4725 th ỏa mãn đ ầu V ậy số cừu có anh : 4725 - = 4719 (con)  ... số chia cho có số dư tổng ba số chia hết cho - Nếu ba số chia cho khơng số dư tổng hai số có số d khác chia hết cho Khi giải tập toán liên quan đến chia hết, th ường s d ụng d ấu hi ệu chia hết. .. h ết cho Phân tích : Hiệu hai số chia hết cho số số bị trừ số tr chia hết cho số số bị trừ số trừ có số dư chia cho s ố D ựa vào tính chất ta chứng tỏ hiệu chia hết cho số cách ch ứng tỏ số bị... VIII Dạng Các tốn khác Ví dụ : Hãy chứng tỏ rằng: Nếu cho số tự nhiên khơng có số chia hết cho ta có tổng ba số t c hai s ố ba số cho phải chia hết cho Giải: Một số tự nhiên khơng chia hết cho chia