[ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế SĐT 0935.785.115 Địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế I – PHƯƠNG PHÁP Kết 1: Cho tam giác OAB , cạnh OA chọn A '  , cạnh OB chọn B '  Lúc đó: SOA ' B ' OA ' OB ' =  SOAB OA OB Chứng minh: Gọi H , H ' hình chiếu vng góc A A ' lên OB Lúc đó: S0 A ' B ' = 1 A ' H '.OB ' SOAB = AH OB 2 Suy ra: SOA ' B ' OA ' OB ' OA ' OB ' =  =  (Định lý thales) SOAB OA OB OA OB Kết 2: Cho hình chóp S.ABC , cạnh SA chọn A '  , cạnh SB chọn B '  cạnh SC chọn C '  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' =   VS ABC SA SB SC Lúc đó: Chứng minh: Gọi H , H ' hình chiếu vng góc A A ' lên mp ( SBC ) Lúc đó: VS A ' B 'C ' = 1 A ' H '.SSB 'C ' VS ABC = AH S SBC 3 Suy ra: VS A ' B 'C ' A ' H ' S SB 'C ' SA ' SB ' SC ' =  =   (Định lý thales) VS ABC AH S SBC SA SB SC II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' Tỉ số thể tích khối AA ' B ' C ' khối ABCC ' A B C D Lời giải d A; A ' B ' C ') ) S A ' B 'C ' VAA ' B 'C ' ( ( = Ta có: (1) VC ' ABC d ( C ; ( ABC ) ) S ABC Do S ABC = S A' B 'C' d ( A; ( A ' B ' C ') ) = d (C; ( ABC ) ) nên (1): VAA ' B 'C ' = VC ' ABC  Chọn đáp án A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M , N trung điểm SB, SD Mặt phẳng ( AMN ) cắt SC E Gọi V2 thể tích khối chóp S.AMEN V1 thể tích khối chóp S.ABCD Khẳng định sau đúng? A V2 = V1 B V2 = V1 C V2 = V1 D V2 = V1 Lời giải SM SN SI = = = ⎯⎯ → Qua O dựng OK SB SD SO AE OK AE  Xét AEC :  Suy ra: K trung điểm EC OK = AE  IE OK SE  = Xét SOK :  Suy : E trung điểm S Vậy SC IE = OK   Ta có : VS AMEN 2VS AME SA SM SE 1 =   =  = VS ABCD 2VS ABC SA SB SC 1  VS AMEN = VS ABCD hay V2 = V1 6  Chọn đáp án D Ví dụ : Cho tứ diện ABCD Điểm M trung điểm AB N cạnh CD cho CN = ND Tỉ số thể tích khối ABCD khối MNBC A B C D Lời giải Ta có VBMCN VBACN VBMCN VBACN = ; =   = VBACN VBACD VBACN VBACD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ]  Luyện thi THPT Quốc gia 2018 VBMCN V =  BACD = VBACD VBMCN  Chọn đáp án A Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC Gọi M , N thuộc cạnh SB, SC cho SM = MB, SN = −2CN Mặt phẳng ( AMN ) chia khối chóp thành hai phần, gọi V1 = VS AMN V2 = VABCNM Khẳng định sau ? B V1 = V2 A V1 = V2 C V1 = V2 2 D V1 = V2 Lời giải Ta có : VS AMN SM SN =  =  = VS ABC SB SC 3  VS AMN = VS ABC  V ABCNM = VS ABC Vậy V1 = V2  Chọn đáp án C Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC Gọi M , N trung điểm cạnh BC , SM Mặt phẳng ( ABN ) cắt SC E Gọi V2 thể tích khốối chóp S.ABE V1 thể tích khối chóp S.ABC Khảng định sau đúng? A V2 = V1 B V2 = V1 C V2 = V1 D V2 = V1 Lời giải ⎯⎯ → Qua M dựng MK BE Xét tam giác BEC : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018  MK BE  Suy E trung điểm SK  MK = MK   Vậy SE = SC Ta có: VS ABE SA SB SE 1 =   =  VS ABE = VS ABC VS ABC SA SB SC 3 hay V2 = V1  Chọn đáp án A Ví dụ 6: Chp hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' Gọi E , F trung điểm cạnh AA ' BB ' Đường thẳng CE cắt đường thẳng C ' A ' E ' Đường thẳng CF cắt đường thẳng B ' C ' F ' Gọi V2 thể tích khối chóp C.ABFE V1 thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' Khẳng định sau đúng? A V2 = V1 B V2 = V1 C V2 = V1 D V2 = V1 Lời giải Hình chóp C.A ' B ' C ' lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đường cao đáy nên 1 VC A ' B 'C ' = VABC A ' B 'C '  VC ABB ' A ' = V1 − V1 = V1 3 Do EF đường trung bình hình bình hành ABB ' A '  S ABFE = 1 S ABB ' A '  VC ABB ' A ' = V1 hay V2 = V1  Chọn đáp án A Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC , AB, BC , SC lấy điểm M , N , P cho AM = 2MB, BN = NC , SP = PC Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S.BMN ACPN là: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] A B Luyện thi THPT Quốc gia 2018 C D Lời giải + VS BMN VB.MNS BM BN BS 4 = =   =  = VS ABC VB ACS BA BC BS 15 + VA.CPN VC ANP CA CN CP 1 = =   =  = VS ABC VC ABS CA CB CS 10  VS BMN =  = VA.CNP 15 10  Chọn đáp án C Ví dụ 8: (Đề minh họa Bộ GD&ĐT) Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với nhau; AB = 6a, AC = a AD = 4a Gọi M , N , P tương ứng trung điểm cạnh BC , CD, DB Tính thể tích V tứ diện AMNP A V = a B V = 14a C V = 28 a D V = 7a Lời giải Ta có: VABCD = AB AC AD = 28a Dễ thấy MNP tạo nên đường trung bình BCD  chúng đồng dạng với theo tỉ số V S 1 1  AMNP = MNP =  =  VAMNP = VABCD = a VABCD S BCD 2 4  Chọn đáp án D Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Gọi O tâm ABCD; M, N trung điểm A ' B ' A ' D ' Tỉ số thể tích khối A ' ABD khối OMND ' C ' B ' A B C D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Lời giải Do S ABD = S A ' B 'D'  SMND 'C ' B ' = SB 'C ' D ' + SMND ' B ' = S ABD + SMND ' B ' Mặt khác ta có: S A ' MN 3 =  S MND ' B ' = S A ' B ' D ' = S ABD S A' B ' D ' 4 Suy ra: S MND 'C'B' = Ta có: = VA ' ABD VOMND 'C ' B ' S ABD S MND 'C ' B ' = S ABD = d ( A '; ( ABCD ) ) S ABD d ( O; ( A ' B ' C ' D ' ) ) S MND 'C ' B '  Chọn đáp án B Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt đáy, SA = a, ABC cạnh 2a Gọi M , N thuộc cạnh SB, SC cho SM = MB, SN = −2CN Tính thể tích khối AMNCB A 3a B 3a C 3a D 3a 3 Lời giải Ta có: ( 2a ) 3a3 = = 3a  VS ABC = SA.SABC = 3 SABC Ta có: VS AMN SM SN =  =  = VS ABC SB SC 3 2 3a  VS AMN = VS ABC  VABCNM = VS ABC = 3  Chọn đáp án A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Tốn 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SA Mặt phẳng ( ) qua M song song với ( ABCD ) , cắt cạnh SB, SC , SD N , P, Q Gọi V1 = VS ABCD V2 = VS MNPQ Khẳng định sau đúng? A V1 = 8V2 B V1 = 6V2 C V1 = 16V2 D V1 = 4V2 Lời giải Dễ thấy N , P, Q trung điểm cạnh SB, SC , SD VS MNPQ = 2VS MNP Ta có:  VS ABCD = 2VABC  VS MNPQ VS ABCD = 2VS MNP SM SN SP 1 1 =   =   = 2VS ABC SA SB SC 2  V1 = 8V2  Chọn đáp án A Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng ( ) chứa AM song song với BD , cắt cạnh SB, SD N , P Gọi V1 = VS ANMP V2 = VABCDPMN Khẳng định sau đúng? A V2 = 3V1 B V2 = V1 C V2 = 2V1 D V2 = V1 Lời giải Gọi BD  AC = O ; AM  SO = I  trọng tâm SAC SBD Qua I dựng PN BD  Thiết diện tứ giác ANMP Ta có: V1 VS ABCD = 2VS ANM SN SM 1 =  =  = 2VS ABC SB SC 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018  V1 = VS ABCD  V2 = VS ABCD  V2 = 2V1 3  Chọn đáp án C Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Gọi M , N , P, Q thuộc cạnh SA, SB, SC , SD cho SM = MA; SN = NB; SP = 3PC ; SQ = SD Tính thể tích khối SMNPQ A 2a 16 B 2a 48 C 2a 16 D 2a 32 Lời giải Ta có VS MNP SM SN SP =   =   = VS ABC SA SB SC 4 1  VS MNP = VS ABC = VS ABCD Tương tự: VS MPQ VS ACD = SM SP SQ 1   =   = SA SC SD 1  VS MPQ = VS ACD = VS ABCD 16 Vậy VSMNPQ = VS MNP + VS MPQ = VS ABCD 16 2a 2a =  =  Chọn đáp án D 16 32 Ví dụ 14: Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' Gọi V1 = VA A' B 'C ' V2 = VABC A ' B 'C ' Khẳng định sau đúng? A V1 = V2 B V1 = V2 C V1 = V2 D V1 = V2 Lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Ta có: VA A ' B 'C ' = d ( A; ( A ' B ' C ' ) ) S A ' B 'C ' Và VABC A' B 'C ' = d ( A; ( A ' B ' C ') ) SA' B 'C ' V1 =  Chọn đáp án D V2 Suy ra: Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' Điểm M cạnh AA ' cho: AM = 2MA ' Gọi V1 = VM BCC ' B ' V2 = VABC A ' B 'C ' Khẳng định sau đúng? A V1 = V2 B V1 = V2 C V1 = V2 D V1 = V2 Lời giải Do AA ' ( BCC ' B ')  VM BCC ' B ' = VA.BCC ' B' Ta có : VA A ' B 'C ' = VABC A ' B 'C '  VA.BCC ' B ' = VABC A ' B 'C ' 3 V1 =  Chọn đáp án D V2 Suy ra: Nhận xét: Điểm M nằm đường thẳng AA ' ? Kết tỉ số thể tích đúng! Ví dụ 16: Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Gọi V1 = VBACB ' V2 = VABCD A' B 'C ' D ' Khẳng định sau đúng? A V1 = V2 B V1 = V2 C V1 = V2 D V1 = V2 Lời giải Ta có: VB ACB ' = d ( A; ( BCB ') ) S BCB ' 1 = d ( A; ( BCB ' C ' ) )  S BCB 'C ' http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] = Luyện thi THPT Quốc gia 2018 1 d ( A; ( BCB ' C ') ) S BCB 'C ' = VABCD A ' B 'C ' D ' 6 V1 =  Chọn đáp án B V2 Suy ra: Ví dụ 17: Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Gọi M trung điểm cạnh AB Gọi V1 = VMBCB ' V2 = VABCD A' B 'C ' D ' Khẳng định sau đúng? A V1 = V2 12 B V1 = V2 C V1 = V2 12 D V1 = V2 Lời giải Ta có: 1 1 VMBCB ' = VABCB ' =  VABCD A ' B 'C ' D ' = VABCD A ' B 'C ' D ' 2 12  Chọn đáp án C Ví dụ 18: Cho khối lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' , đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC song song với BC cắt AB D , cắt AC E Mặt phẳng qua A ', D, E chia khối lăng trụ thành hai phần, tỉ số thể tích (số bé chia cho số lớn) chúng bằng: A B 23 C D 27 Lời giải Ta có: S ADE AD AE 2 =  =  = S ABC AB AC 3 Mặt khác: 1 VA ' ADE = d ( A '; ( ADE ) ) S ADE = d ( A '; ( ABC ) )  S ABC 3 = 4 d ( A '; ( ABC ) ) S ABC = VABC A ' B 'C ' 27 27 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ]  VA ' B 'C 'CEDB = Luyện thi THPT Quốc gia 2018 VA ' ADE 23 VABC A ' B 'C '  = 27 VA ' B 'C 'CEDB 23  Chọn đáp án B Ví dụ 19: Xét khối chóp tứ giác S.ABCD , mặt phẳng chứa đường thẳng AB qua điểm C ' cạnh SC chia khối chóp thành hai phần tích Tính tỉ số A B C −1 SC ' SC D Lời giải Đặt SC ' = x; (  x  1) SC Ta có : VS AD 'C ' SD ' SC ' x2 =  = x  VS AD 'C ' = x 2VS ADC = VS ABCD VS ADC SD SC Và VS ABC ' SC ' x = = x  VS ABC ' = xVS ABC = VS ABCD VS ABC SC  VS ABC ' D ' = VS ABC ' + VS AC ' D ' = Theo đề ta suy VS ABC ' D '  x2 + x − =  x = x2 + x  VS ABCD x2 + x = VS ABCD  = 2 −1 +  Chọn đáp án C Ví dụ 20: Cho khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' tích V Tính thể tích khối chóp ACB ' D' A V B V C 2V D 3V Lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Hình hộp cho hợp khối chóp xét với khối chóp A ' AB ' D '; B AB ' C; C '.B ' CD '; D ACD ' ; khối cuối tích cần tìm V − V nên thể tích 4V V =  Chọn đáp án A Nhận xét: Hồn tồn “thử: trường hợp đặt biệt, hình hộp đặt biệt trở thành hình lập phương cạnh a dễ thấy thể tích khối lập phương a , khối ACB ' D ' khối tứ diện cạnh a  thể tích tương ứng ( ) a 12 = a3 So sánh ta đưa kết Ví dụ 21: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật ABCD có BC = AB , SA vng góc với đáy Gọi M điểm cạnh AD cho AM = AB Gọi V1 ,V2 thể tích hai khối chóp S ABM S.ABC Tính A V1  V2 B C D Lời giải Ta có: SABM = AD 1  AB  =  S ABCD  VS ABM = VS ABCD 2 4 V 1 Mặt khác: VS ABC = VS ABCD  =  V2  Chọn đáp án D Ví dụ 22: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a , góc đường thẳng SA mặt đáy 600 Gọi A '; B '; C ' tương ứng điểm đối xứng A; B; C qua S Tính thể tích khối bát diện có mặt ABC; A ' B ' C '; A ' BC; B ' CA; C ' AB; AB ' C '; BC ' A '; CA ' B ' http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] A 3a3 Luyện thi THPT Quốc gia 2018 3a B C 3a 3 D 3a 3 Lời giải Thể tích khối bát diện cho V = 2VA ' B 'C ' BC = 2.4VA '.SBC =  SG.SSBC Ta có: ( SA; ( ABC ) ) = SAG = 600 Xét SGA vuông G : tan SAG = SG  SG = SA.tan SAG = a SA 1 3a 2 3a = Vậy V =   SG.S ABC =   a  3  Chọn đáp án C Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Gọi M , N , P, Q thuộc cạnh SA, SB, SC , SD cho SM = MA; SN = NB; SP = 3PC; SQ = SD Tính tỉ số thể tích khối SMNPQ khối S.ABCD A 16 B C 32 D 12 Câu Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' Gọi V1 = VA.BCC ' B ' V2 = VABC A ' B 'C ' Khẳng định sau đúng? A V1 = V2 B V1 = V2 C V1 = V2 D V1 = V2 Câu Cho tứ diện ABCD Gọi B ' C ' trung điểm AB AC Khi tỉ số thể tích khối tứ diện AB ' C ' D khối tứ diện ABCD A B C D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Câu Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE.A ' B ' C ' D ' E ' Gọi A ", B '', C '', D '', E '' trung điểm AA ', BB ', CC ', DD ', EE ' Khi tỉ số thể tích khối lăng trụ ABCDE.A '' B '' C '' D '' E '' khối lăng trụ ABCDE.A ' B ' C ' D ' E ' bằng: A B C D 10 Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD tích V Lấy điểm A ' cạnh SA cho SA ' = SA Mặt phẳng qua A ' song song với đáy hình chóp cắt cạnh SB, SC , SD B ', C ', D ' Khi thể tích khối chóp S.A ' B ' C ' D ' bằng: A V B V C V 27 D V 81 Câu Cho hình chóp S.ABC có A ' B ' trung điểm cạnh SA, SB Tỉ số thể tích VS ABC bằng: VS A ' B 'C ' A B C D.2 Câu Cho hình chóp S.ABC Gọi A ' B ' trung điểm SA SASB Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A ' B ' C S.ABC bằng: A B C D Câu Cho hình chóp S.ABCD Gọi A ', B ', C ', D ' trung điểm SA, SB, SC , SD Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S.A ' B ' C ' D ' S.ABCD bằng: A B C D 16 Câu Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Tỉ số thể tích khối tứ diện ACB ' D ' khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' bằng: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] A B Luyện thi THPT Quốc gia 2018 C D Câu 10 Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' , gọi O giao điểm AC BD Tỉ số thể tích khối chóp O.A ' B ' C 'D' khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' bằng: A B C Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O Khi đó, tỉ số A B C Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O Khi đó, tỉ số A B C Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O Khi đó, tỉ số A B C D VA ABC VS ABCD D VS OAB VS ABCD D VS OAB VS ABC D Câu 14 Cho tứ diện SABC Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, BC , AC Gọi V1 = VS ABC ,V2 = VS MNP Lựa chọn kết luận kết luận sau: A V1 = 2V2 B V1 = 8V2 C V1 = 4V2 D V1 = 6V2 Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm SA SB Tính tỉ số thể tích A VS CDMN VS CDAB B C D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Câu 16 Cho hình chóp S.ABC có SA = 9; SB = 4; SC = đơi vng góc Các điểm A; B '; C ' thỏa mãn SA = 2SA '; SB = 3SB '; SC = SC ' Tính thể tích khối chóp S A ' B ' C ' A 24 B 16 C.2 D.12 Câu 17 Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACD ' B ' A a3 B 2a 3 C a3 D 6a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... AB D , cắt AC E Mặt phẳng qua A ', D, E chia khối lăng trụ thành hai phần, tỉ số thể tích (số bé chia cho số lớn) chúng bằng: A B 23 C D 27 Lời giải Ta có: S ADE AD AE 2 =  =  = S ABC AB AC... = ND Tỉ số thể tích khối ABCD khối MNBC A B C D Lời giải Ta có VBMCN VBACN VBMCN VBACN = ; =   = VBACN VBACD VBACN VBACD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [... Câu Cho tứ diện ABCD Gọi B ' C ' trung điểm AB AC Khi tỉ số thể tích khối tứ diện AB ' C ' D khối tứ diện ABCD A B C D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên