ĐÁP ÁN Câu Đáp án B Hướng dẫn giải Ta có: T ( t ) = −0 , 1t + 1, 2t + 98 , ,  T' ( t ) = −0 , 2t + 1,  T' ( t ) =  t = T ( ) = 98 , o F = 37 C  max T ( t ) = T ( ) = 390 C   t0 ;12 Đồng thời ta có: T ( ) = 102 , o F = 390 C      t = 20 C T ( t ) = T ( ) = 37 C  tmin o 0 ;12  T 11 = 99 , F = 37 , C  ( )   Cách khác: Ta có T ( t ) = −0 , 1t + 1, 2t + 98 , = 102 , − , ( t − )  102 , t  0 ; 12  Vậy dấu “=” xảy t = Do maxT = 102 ,  t = Câu Đáp án D Hướng dẫn giải: Ta tổng qt tốn lên xét thể tích khối lăng trụ tứ giác V (đvtt) Gọi x,y  chiều dài cạnh đáy chiều cao lặng trụ Khi ta có V = y.x  y = V x2 Ta có Sxq = 2Sday + 4Smat ben = 2x2 + 4xy = 2x2 + 4V x Đặt f ( x ) = x2 + 4V Bài tốn trở thành tìm f ( x ) = ? x 0 x 4V Ta có f ' ( x ) = x −  f ' ( x ) =  x = V x 8V Lại có f '' ( x ) = +  , x  Do minf ( x ) = f V = 4V x ( ) Theo đề ta có minStp = V = 27 = 54 Câu Đáp án B Hướng dẫn giải Để tốn nguyên vật liệu nhất, ta cần thiết kế cho diện tích tồn phần khối hộp lớn Ta có Sxq = x + xy 16  S ( x ) = x2 + 4x = x2 + x x x Do S, x phải ln dương nên ta tìm giá trị nhỏ S Do V = x y =  y = ( ; + ) Ta có : S' ( x ) = x − 16 ,S' ( x ) =  x3 =  x = 2 x 32 Lại có S'' ( x ) = +  , x  ( ; + ) Do minS = S ( ) = 12 x =1 x2 Vậy, yêu cầu tốn tương đương với cạnh đáy hình hộp 2m, chiều cao hình hộp Và y = m diện tích tồn phần nhỏ 12 m2 Câu Đáp án A Hướng dẫn giải  a Gọi phần bị cắt x , ta thấy x   ;  Khi thể tích khối hộp V = x ( a − x )  2  a Xét f ( x ) = x ( a − x ) , x   ;  Bài toán trở thành tìm max f ( x ) = ?  a x ;   2    f ' ( x ) = ( a − x ) − x ( a − x ) = ( a − x )( a − x )  a  x = ( ktm ) a 2a3 Cho f ' ( x ) =   Lập bảng biến thiên, ta thấy x =  maxf ( x ) = 27  x = a ( tm )  a 48 =8 Câu Đáp án A Tương tự câu ta có x = = 6 Câu Đáp án C Hướng dẫn giải: Bài toán tổng qt lên thành hình nón có bán kính đáy R, chiều cao H Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình trụ tích lớn nội tiếp hình nón Đồng thời gọi O, I tâm hai đường tròn đáy hình vẽ SI r H−h H−h Ta có với  h  H = = r=R SO R H H 0rR Ta có Vtru = h.S = h. r = h R 2 ( H − h) H 2 =  R2 H h (H − h) f ( h) Ta có max Vtru  maxf ( h ) Ta có f ' ( h ) = ( H − h ) − 2h ( H − h ) = ( H − h )( H − 3h ) f ' ( h) =  h = H  H Lập bảng biến thiên ta có: max f ( h ) = 0 h H Khi ta có Vtru =  R2 H  H2 H f  3 H 4 R2 H r H−h đồng thời H − = = =   3 3 27 R H Trở lại toán ta có: VTru = 4 62 = 48 cm3 Đáp án C 27 ( ) Câu Đáp án A Hướng dẫn giải: Khơng tính tổng qt ta giả sử chiều dài dây L ( cm ) Khi đoạn dây thứ chu vi hình vng 4a Khi ta có đoạn dây thứ hai L − 4a chu vi đường tròn bán kính L − 4a L 0a 2 r  2 r = L − 4a  r = Do Tổng diện tích hình vng hình tròn = Svuong + Stron = a Đặt S ( a ) = a ( L − 4a ) + với  a  4 −2 ( L − 4a )  ( L − 4a ) + 4 L Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ S ( a ) với  a  Khi ta có: S' ( a ) = 2a + = L L L ( + ) a − L  , S' ( a ) =  a =     +4 Lập bảng biến thiên, ta có: a S' ( a ) − S ( a) L L +4 0 +  L  Dựa vào bảng biến ta có: S ( a ) = S  bán kính đường tròn  L  +   a ;   r =  L a a = Do lập tỉ số ta có = r ( + ) Như rõ ràng, ta không cần thiết phải biết xác số đo chiều dài dây mà cần nhớ kết quan trọng a = 2r gặp toán tương tự Câu Đáp án B Hướng dẫn giải: Gọi x chiều rộng đáy hình chữ nhật y chiều cao khối hộp chữ nhật Để tốn nguyên vật liệu nhất, ta cần thiết kế cho diện tích tồn phần khối hộp lớn Ta có Sxq = x + xy + ( xy ) = x + xy V 2x2 V 3V  S ( x ) = 2x2 + 6x = 2x2 + x 2x Do V = x2 y  y = Do S, x phải ln dương nên ta tìm giá trị nhỏ S ( ; + ) Ta có : S' ( x ) = x − Lại có S'' ( x ) = + 3V 3V ,S' x =  x = ( ) x2  3V  , x  ( ; + ) Do minS = S  3  x  Và chiều cao y = V = x2 V 23 9V 16 = 23  9V  = 33   16V Vậy, yêu cầu toán tương đương với chiều rộng đáy hình hộp 5m, chiều dài 10 40 m diện tích tồn phần nhỏ 150 m2 Do chi phí thấp 150 ( 500000 ) = 75.000.000 (đồng) m, chiều cao hình hộp Cách khác: S ( x ) = 2x2 + 3V 3V 3V 9V 9V = 2x2 + +  3 2x2 = x 2x 2x x2 Câu Đáp án C Hướng dẫn giải: Gọi x,y chiều dài cạnh đáy hình vng chiều cao hình hộp ( x  , y  ) Để tốn nguyên vật liệu nhất, ta cần thiết kế cho diện tích tồn phần khối hộp lớn Ta có Sxq = x + xy 108 x2 108 432  S ( x ) = x2 + 4x = x2 + x x Do S, x phải ln dương nên ta tìm giá trị nhỏ Do V = x2 y = 108  y = S ( ; + ) Ta có : S' ( x ) = x − 432 ,S' ( x ) =  x3 = 216  x = x2 864 Lại có S'' ( x ) = +  , x  ( ; + ) Do minS = S ( ) = 108 x 108 Và y = = Vậy, u cầu tốn tương đương với cạnh đáy hình hộp 6m, chiều cao hình hộp m diện tích tồn phần nhỏ 108 m2 Câu 10 Đáp án A Gọi x giá bán thực tế (  x  10 ) Hướng dẫn giải: Ta có giảm 2USD tăng thêm 40 sản phẩm Do giảm ( 10 − x ) USD tăng thêm 20 ( 10 − x ) sản phẩm Số sản phẩm bán tương ứng với giá bán 25 + 20 ( 10 − x ) = −20 x + 225 Vậy tổng lợi nhuận thu ( −20 x + 225 )( x − ) = −20 x + 325x − 1125 Đặt P ( x ) = −20 x + 325x − 1125 với  x  10 Bài tốn trở thành tìm max P ( x ) = ? x ;10  Ta có P' ( x ) = −40x + 325,P' ( x ) =  x = 65 = , 125  5 ; 10  P ( ) =   65    65  3125 Xét  P   =  195 , 3125  max P ( x ) = P     x  ; 10 16         P ( 10 ) = 125  Câu 11 Đáp án B Hướng dẫn giải Gọi x (triệu đồng) giá tua (  x  ) Giá giảm so với ban đầu − x Số người tham gia tăng thêm giá bán x ( − x ) 20 = 400 − 200x 0,1 Số người tham gia bán giá x 150 + 400 − 200x = 450 − 200x Tổng doanh thu f ( x ) = x ( 550 − 200 x ) = −200 x + 550 x Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x ) với  x  f ' ( x ) = −400x + 550 , f ' ( x ) =  x = 11 Lập bảng biến thiên ta có: x 11 f ' ( x) f ( x) + − 3025  11  Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f ( x ) = f   = 378 , 125 x( ; ) 8 Vậy công ty cần đặt giá tua 1.375.000 (đồng) tổng doanh thu cao 378.125.000 (đồng) Câu 12 Đáp án C Hướng dẫn giải: Gọi x (km/h) vận tốc tàu Thời gian tàu chạy quảng đường 1km (giờ) x Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ 480 (ngàn Đồng) .480 = x x Tại v = 10 km/h chi phí cho quảng đường km phần thứ hai 30 = (ngàn 10 đồng) Xét vận tốc x(km/h): gọi y (ngàn Đồng) chi phí cho quảng đường 1km vận tốc x, ta có y = kx , = k10 (k hệ số tỉ lệ chi phí 1km đường phần thứ hai lập phương vận tốc), suy y  x  =    y = , 003 x  10  Vậy tổng chi phí tiền nhiên liệu cho 1km đường p = p ( x ) = Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số p ( x ) 480 + , 003 x x Áp dụng Đạo hàm ta có chi phí p nhỏ tàu chạy với vận tốc x = 20 ( km / h ) Câu 13 Đáp án A Hướng dẫn giải: V ' (t ) = t = 60 1 90t − t  V '' ( t ) =  180t − 3t =   100 100 t = ( ) ( ) Lập bảng biến thiên ta có: t V ' (t ) 0 + 60 90 − V (t ) Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án A Câu 14 Đáp án C Hướng dẫn giải: Gọi x bán ính nửa hình tròn y chiều cao hình chữ nhật, phần gương Chu vi gương là: P P − 2x −  x ) y    x  (  +2  1  Diện tích gương S = xy +  x = x ( P − x −  x ) +  x = Px −  +  x 2 2  P = 2x + 2y +  x y =   Đặt f ( x ) = Px −  +  x Bài toán trở thành tìm 2  max f ( x ) = ?  P  x ;    +2    P Ta có f ' ( x ) = P −  +  x, f' ( x ) =  x = 2  +4  Lập bảng biến ta suy bán kính x = P thỏa u cầu tốn  +4 Câu 15 Đáp án B Hướng dẫn giải Gọi q (  q  60 ) số sản phầm mà công ty A cần sản xuất để thu lợi nhuận cao Khi đó, bán hết số sản phẩm doanh thu D ( q ) = q ( 180 − 3q ) = 180q − 3q Suy lợi nhuận mà công ty thu L ( q ) = D ( q ) − C ( q ) = −6q + 108q + 9789 Bài toán trở thành tìm max L ( q ) = ? 0q 60 Ta có L' ( q ) = −12q + 108 , L' ( q ) =  q =  ( ; 60 ) Lập bảng biến thiên ta có max L ( q ) = L ( ) = 10275 0q60 Vậy để thu lợi nhuận cao cơng ty cần sản xuất sản phẩm Câu 16 Đáp án A Hướng dẫn giải: V= h r =  h = r Ta có Sxq =  rl =  r h + r =  r 9 + r2 =  + r4 2  r  r f (r ) Nhận xét Sxq  f ( r ) Cách 1: khảo sát hàm số Cách 2: sử dụng bất đẳng thức Cauchy 9 9 81 + r4 = + + r4  3 r = 3 2 2  r 2 r 2 r 2 r 2 r 4 2 Do dấu xảy  9 = r4  r = 2 r Câu 17 Đáp án D Hướng dẫn giải: Lần lượt gọi S chi phí , x, y chiều rộng đáy chiều cao đáy hộp ( ) Từ giả thiết đề ta có: S = 10000Sday + 5000 Sxq = 10000 ( x.x ) + ( xy + xy ) 5000 Suy S = 20000x2 + 30000xy Mặt khác ta có V = x2 y = 10  y = Do S = 20000 x2 + 150000 Bài tốn trở thành tìm f ( x ) = ? x 0 x x2   150000 15 ,S' ( x ) =  xo =  y = 53   Ta có S' ( x ) = 40000 x − x  15  Lập bảng biến thiên, ta có: x S ' ( x) + xo − S ( x) + Smin  15  Dựa vào bảng biến thiên ta có u cầu tốn  minS ( x ) = S     x 0   Do kích thước dài 15 , rộng 15 Câu 18 Đáp án B Hướng dẫn giải: Gọi Q lượng gạo doanh nghiệp X cần sản xuất đề đạt lợi nhuận cao ta có Q = QD = 656 − P  P = 1312 − 2Q ● Doanh thu doanh nghiệp: R = P.Q = (1312 − 2Q) 2Q ● Lợi nhuận doanh nghiệp: L = R − C = −Q3 + 75Q2 + 312Q − 100 Khảo sát hàm ta thấy lợi nhuận đạt cực đại Q = 52 Câu 19 Đáp án B Hướng dẫn giải: Gọi x (ngàn đồng) giá phòng khách sạn cần đặt ( x  400 ) Giá chênh lệch sau tăng x − 400 Số phòng cho thuê giảm giá tăng ( x − 400 ) = x − 400 20 10 x − 400 x = 90 − 10 10  x x2 f x = x 90 − = 90 x − Tổng doanh thu ngày ( )   10  10  Số phòng cho thuê với giá x 50 − Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x ) với x  400 Ta có f ' ( x ) = 90 − x , f ' ( x ) =  x = 450 ( tm ) Lập bảng biến thiên ta có: x f ' ( x) 400 + 450 + − 20250 f ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f ( x ) = f ( 450 ) = 20250 x( 400 ; + ) Vậy cho th với giá 450 ngàn có doanh thu cao ngày 2.025.000 đồng Câu 20 Đáp án B (Trích dẫn đề ơn số 13 – Bùi Thế Việt) Hướng dẫn giải: Gọi điểm hình vẽ Kẻ PQ ⊥ CD Điểm N chạm đáy CQ MB  MC  x  Vì MNC đồng dạng NPQ   MN NC x NC =  = NP PQ PB x y − x2 x2 − ( − x ) = x3 y = x−4 Hơn PB  AB = 12  y − x2  12  x  18 − ; 18 +    x3 Tóm lại, 18 −  x  Đặt f ( x ) = Bài toán trở thành tìm x−4 Ta có: f ' ( x ) = x2 ( x − ) ( x − 4) x18 − ;8    f ( x) = ? x = ; f ' ( x) =    x = ( ktm )  f ( ) =  10 , 39   Xét  f 18 − = 15 −  12 , 8455  f ( x ) = f ( ) =   f ( ) = 128 a 48 =8 Câu 21 Đáp án D, Tương tự câu ta có x = = 6 Câu 22 Đáp án C Hướng dẫn giải: ( ) Gọi x giá bán sản phẩm (  x  120 ) Ta có doanh thu mà cơng ty thu R ( x ) = x.q ( x ) = x ( 120 − x ) = 120 x − x Đồng thời, chi phí mà công ty bỏ C ( x ) = 40 ( 120 − x ) = 4800 − 40 x Lợi nhuận mà cơng ty thu R ( x ) − C ( x ) = − x + 160 x − 4800 Xét f ( x ) = − x + 160 x − 4800 Bài tốn trở thành tìm max f ( x ) = ?  x 120 Ta có f ' ( x ) = −2 x + 160 , f ' ( x ) =  x = 80 Lập bảng biến thiên ta có: x f ' ( x) f ( x) 0 + 80 1600 120 − Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f ( x ) = f ( 80 ) = 1600  x120 Vậy bán với giá 80 ngàn cơng ty đạt lợi nhuận cao Câu 23 Đáp án C (Trích đề thi thử THPT Thanh Miện, Hải Dương, 2016) Hướng dẫn giải: Đặt x = BM ( km) Điều kiện: < x < 12 Suy quãng đường AM = 81 + x2 quãng đường MC = 12 − x Thời gian người canh hải đăng chèo đò 81 + x từ A đến M t AM = Thời gian người canh hải đăng từ M đến C t MC = 12 − x Thời gian người canh hải đăng từ A đến C t = t AM + t MC = 81 + x2 12 − x + 81 + x 12 − x đoạn ( ; 12 ) + Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x ) với x  ( ; 12 ) Xét hàm số f ( x ) = Đạo hàm f ' ( x ) = x 81 + x − ( ) f ' ( x ) =  81 + x2 = 2x ⎯⎯⎯ →x = 3 x ;12 12 + Vậy giá trị nhỏ t điểm M cách B khoảng x = 3km » 5,196km Câu 24 Đáp án A Hướng dẫn giải: ( ) Lập bảng biến thiên, ta suy f ( x ) = f 3 = Gọi x ( x  45 ) giá bán sản phẩm mà doanh nghiệp phải xác định để lợi nhuận thu sau tăng giá cao Suy số tiền tăng x − 45 Ta có tăng ngàn bán sản phẩm Vậy tăng x − 45 số lượng sản phẩm giảm xuống ( x − 45 ) Tổng số sản phẩm bán l2a 60 − ( 3x − 135 ) = 195 − x Lợi nhuận công ty thu sau tăng giá ( x − 27 )(195 − 3x ) = −3x + 276 x − 5265 Đặt f ( x ) = −3x + 276 x − 5625 Bài toán trở thành tìm max f ( x ) = ? x  45 Ta có f ' ( x ) = −6 x + 276 , f ' ( x ) =  x = 46 (ngàn đồng) = 3x − 135 Lập bảng biến thiên, ta suy max f ( x ) = f ( 46 ) = 1083 (ngàn đồng) x  45 Câu 25 Đáp án D Hướng dẫn giải: Gọi x chiều dài cạnh song song với bờ giậu y chiều dài cạnh vng góc với bờ giậu Theo đề ta có x + y = a  x = a − y,  y  Diện tích miếng đất S = xy = y ( a − y ) a  a Đặt f ( y ) = y ( a − y ) , y   ;   2  a Nhận xét toán trở thành tìm y   ;  để f ( y ) lớn  2 Ta có f ' ( y ) = a − y  f ' ( y ) =  y = a  a f '' ( y ) = −4  , y   ;   2 a2 a a Do đó: maxS = max f ( y ) = y= x= Cách khác: áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 ( 2y + a − 2y ) a2 S = xy = y ( a − y ) = y ( a − y )  = 2 Dấu “=” xảy y = a − y  y = a a x= Câu 26 Đáp án A Hướng dẫn giải: N M• → Trước tiên ta tính độ cao vật quỹ đạo xác định thời điểm mà đạt độ cao (g = 10m/s2) K v0 Véc tơ vo  P phân tích thành tổng hai véc tơ theo hai phương vng x góc với (phương ngang phương thẳng đứng) hình vẽ Vật cao MN = −MP ,  MP = gt (1)    0;900  2 2 2  MN = vo − MK = vo − vo cos  ( ) ( ( ) Từ (1) (2)  ( gt ) = vo − cos   t = vo sin  g ) Do h lớn t = vo sin  v sin  h = vo sin .t = o g g Vì quỹ đạo vật ném xiên Parabol nên tầm ném vật vo sin  vo sin 2 Ta tính x = MK.2t = vo cos .2 = = f () g g ( ) Ta ứng dụng đạo hàm tìm max f (  ) = f 45 hàm số lượng giác x = vo = sử dụng tính bị chặn vo sin 2 vo  ( sin 2  1) g g Dấu “=” xảy sin 2 =   = 450 Câu 27 Đáp án B Hướng dẫn giải: Gọi x bán kính hình bán nguyệt  x  a Ta có chu vi hình bán nguyệt  x , Tổng ba cạnh hình chữ nhật a −  x Khi cạnh hình chữ nhật có độ dài 2x cạnh lại Diện tích cửa số là: S = S1 + S2 =  x2 + x ( a −  x ) − 2x a −  x − 2x Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn hàm số S ( x ) với  x  a a    S ( x ) = ax −  +  x  S' ( x ) = a − ( + ) x  S' ( x ) =  x = + 2   a  Đồng thời S'' ( x ) = − ( + )  , x  ( ; a ) Do maxS = S    +  Khi kích thước chiều cao 2a a , chiều rộng + + Câu 28 Đáp án B Hướng dẫn giải: Gọi x = HM (  x  25 , 86 ) Khi thời gian lộ trình Ta có t = t AM 16 , 26 + x 25 , 68 − x AM MB + t MB ⎯⎯⎯→ + = + vAM vMB 12 S = vt t = S v 16 , 262 + x2 25 , 68 − x + Xét f ( x ) = (  x  25, 68 ) 12 Bài tốn trở thành tìm Ta có f ' ( x ) = x( ; 25 ,68 ) f ( x) = ? 3x − 16 , 26 + x2 , f ' ( x ) =  xo = 24 16 , 26 + x2 Lập bảng biến thiên, ta suy 2.16 , 26  14 , 5434 f ( x ) = f ( xo ) = , 669 s x( ; 25 ,68 ) Suy MB = 25, 68 − 14,5434  11,14 km Câu 29 Đáp án C Hướng dẫn giải f (t ) = 26t + 10 120 120 ycbt   f ' (t ) = = , 048 = 2 Khi t+5 125 (t + 5) (t + 5)  2500 = ( t + )  t + = 50  t = 45 Như đến năm 1970 + 45 = 2015 đạt tốc độ tăng dân số 0,048 người/năm Câu 30 Đáp án B Hướng dẫn giải V = xyh Ta có  h = y  V = 4y2 x  x = V (x  y) 4y2 ( ) Để tốn nguyên vật liệu suy Sxq + Sday → Ta có Sxq + Sday = xy + xh + yh = y Cách 1: Đặt f ( y ) = V V V 2V 9V + + y.4 y = + + 8y2 = + 8y2 y 4y y 4y 4y 9V + y (khảo sát hàm tìm f ( y ) ) 4y Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 9V + y = 9V + 9V + y  3 81V 4y 8y 8y Dấu “=” xảy 9V = y  y = 9V  x =  1, 333  1, 8y 64 Câu 31 Đáp án A Hướng dẫn giải SMNP = SABC − SAMP − SBMN − SCNP Trong SABC = SBMN = 122 ; ( BM.BN.sin 600 = 12x − 2x2 ( SCNP = CN.CP.sin 600 = 24x − 6x2 SAMP = ( AM.AP.sin 600 = 36x − 3x2 Vậy SAMN = ( ) ) ) 11x2 − 72 x + 144 Khảo sát f ( x ) = 11x2 − 72 x + 144 ; x  0 ; 12  → Minf ( x ) = 288 36 ,khi : x = 11 11 Câu 32 Đáp án D Hướng dẫn giải: Ta có: V ' ( t ) = 3330e −0 ,6 t (1 + 74.e ) −0 ,6 t  V '' ( t ) =  e −0 ,6t =  V '' ( t ) = ( 1998 e −0 ,6t 74.e −0 ,6t − (1 + 74e ) −0 ,6 t )  to  , 17 74 Lập bảng biến ta suy max V ' ( t ) = V ' ( , 17 ) t0 ;14  Câu 33 Đáp án D Hướng dẫn giải Gọi vận tốc bơi chiến sĩ v  vận tốc chạy 2v 2 Độ dài cần AM = x ta có điều kiện 155  x  1000 + 155 2 2 Thời gian bơi x Độ dài HM = x − 155 ,BM = 1000 − x − 155 v 1000 − x − 1552 Thời gian chạy 2v ) ) ( Tổng thời gian f ( x ) = 2x + 1000 − x2 − 1552 ,v  2v f ' ( x) =   x 310  −  =  x = 2v  x − 1552      Lập bảng biến thiên, ta suy f ( x ) = f  310   178 , 9786 m Câu 34 Đáp án Hướng dẫn giải  AM = x + 1, 44 Đặt x = HM (  x  , 1)   BN = ( , − x ) + , 25   Gọi a số tiền để làm km đường bên bờ có điểm A Khi chi phí để làm hai đoạn AM BN là: f ( x ) = a x + 1, 44 + 1, 3a ( 4,1 − x ) + , 25 Bài tốn trở thành tìm f ( x ) = ? x( ; ,1)  x  − Ta có f ' ( x ) = a   x + 1, 44     ( ,1 − x ) + , 25  1, ( , − x ) Cho f ' ( x ) =  x ( , − x ) + , 25  = 1, 32 ( , − x ) ( x + 1, 44 )   2   (Dùng chức MTCT giải xo  , 6303 ) Lập bảng biến thiên ta suy f ( x ) = f ( xo ) = , 222a x( ; ,1) Câu 35 Đáp án A Hướng dẫn giải Giả sử sợi dây có chiều L ta gọi x độ dài cạnh hình tam giác Khi ta có Chiều dài phần dây làm thành tam giác 3x Chiều dài phần dây làm thành hình tròn L − 3x  đường tròn L − 3x bán kính 2 Khi ta có: S = Stron + Stamgiac ( ) +  x2 − Lx + L2  L − 3x  x = =  + 4  2   f ( x ) : parabol −b 3L Xét f ( x ) = +  x2 − Lx + L2 Ta có   xmax = = 2a +  a = +   ( ) Do ta có x = 3L + thỏa yêu cầu toán Câu 36 Đáp án C Hướng dẫn giải Giả sử sợi dây có chiều L ta gọi x độ dài cạnh hình tam giác Khi ta có Chiều dài phần dây làm thành tam giác 3x x x nên đoạn dây uốn thành hình vng = x 2 Chiều dài cạnh hình vng Chiều dài phần dây làm thành hình tròn L − 5x  L − 5x bán kính 2 đường tròn Khi ta có: S = Stron + Stamgiac ( ( ) 25 +  +  x2 − 10 Lx + L2  L − 5x  x x = + =  + 4 4  2  ) Xét f ( x ) = 25 +  +  x2 − 10 Lx + L2  −b 5L  f ( x ) : parabol Ta có   xmax = = 2a 25 +  +   a = 26 +  +   Do ta có x = 5L 25 +  +  thỏa yêu cầu toán Câu 37 Đáp án Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức giải nhanh x= a + b − a − ab + b2 130 − 80 − 80.50 + 50 a = 80 ⎯⎯⎯ → x = = 10 b =15 6 Câu 38 Đáp án C Hướng dẫn giải: Gọi x,y chiều rộng chiều dài đáy hình hộp (  x  y ) Khi ta có V = 96.000 = 60xy  x = 1600 y Ta có chi phí hồn thành bể cá C ( x ) = 70.10 Sxq + 100.10 Sday  C ( x ) = 70.10 ( 2.60 x + 2.60 y ) 10 −4 + 16000 = 840 ( x + y ) + 16000 Ta có: x + y  xy = 1600 = 80 Do ta có C ( x )  840.80 + 16000 = 83200 Câu 39 Đáp án C Hướng dẫn giải: S= 2a + x ) a − x (  x  a ) ( S = ( a + x ) a2 − x2 Xét f ( x ) = ( a + x ) a2 − x2 Bài tốn trở thành tìm f ( x ) x( ;a ) ( ) Ta có: f ' x = a2 − x2 + ( a + x )( −x ) = ( a + x )( a − 2x ) a2 − x2 a2 − x2  x = −a ( ktm )  a  3a3  Lập bảng biến thiên ta suy f ( x ) = f   = f ' ( x) =  x = a  ; a x( ;a ) 2 ( )  Câu 40 Đáp án A Hướng dẫn giải: (bạn đọc tham khảo thêm tâp tương tự số (thuộc toán số 5, chương I) Gọi C’, D’ điểm đối xứng C D qua cạnh AB Ta có MC + MD = MC'+ MD  DC' = AB2 + ( BD + BD') = 34 Áp dụng định lý Thales ta có: MB BD MB 30 =  = =  MB = 18  MA = C' D' DD' AB 40 Câu 41 Đáp án C Hướng dẫn giải: Gọi d1 ,d2 khoảng cách vật A B đến lúc đầu ( t = ) Đồng thời d = AB Gọi t' thời điểm mà dmin Khi A A’ B B’ hình vẽ Kí hiệu góc B' A'O =  , A' B'O =  Áp dụng định lý hàm sin tam giác A' B'O ta có: d − AA' d2 − BB' d − v1t d2 − v2 t d OA' OB' = =  2d = =  2d = = (* ) s in 30 sin  sin  sin  sin  sin  sin  Do v2 = v1 ( * )  2d = A C C−A , ta có: = = B D D−B áp dụng 3d2 − d1 sin  − sin  Do ta có d = ( ( ) ( mà sin  = sin 1800 −  = sin 300 +  3d2 − d1 )  sin 300 +  − sin     ) 3d2 − d1 = cos  + sin  Xét f ( ) = cos  + sin  Ta có dmin  f (  )max Cách 1: khảo sát hàm f (  ) (xin dành cho bạn đọc) Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có: cos  + sin   + cos2  + sin2  =  −2  f ( )   max f ( ) = Dấu “=” xảy  Khi ta có sin  =  tan  = t an300   = 300  = 120 cos  d1 ' d2 ' sin 1200 d = =  d ' = d1 ' = 3d1 ' = 90 ( m ) sin 300 sin 300 sin 1200 sin 300 Câu 42 Đáp án A Hướng dẫn giải: U R + U L = I ( R + ZL ) = U R + ZL 2 ( R + ZL ) = U R + ZL 2 ( R + ZL ) y( R ) → y ( R ) MIN với Để (U R + U L ) MAX ⎯⎯ y ( R) = R + ZL ( R + ZL ) ( R  0) ( Khi y' ( R ) = ) R ( R + ZL ) − R + ZL ( R + Z L ) ( R + ZL ) = ( R ( R + ZL ) − R + ZL ( R + ZL ) ) y' ( R ) =  R2 + RZL − R2 − 2ZL =  2ZL ( R − ZL ) =  R = ZL Dựa vào bảng biến thiên (họ sinh tự vẽ) ta suy ymin =  R = ZL Do (UR + U L )MAX = U  R = ZL  (UR + U L )MAX = 100  A Câu 43 Đáp án B Hướng dẫn giải:  AA' = v1 t = 24t Độ dài quãng đường mà hai canô sau thời gian t là:  BB' = v2 t = 18t Áp dụng định lý Pytago tam giác A' B' B vng B ta có: A' B' = A' B2 + BB' = ( AB − AA' ) + BB' = ( − 24t ) + ( 18t ) 2 Xét f ( t ) = 900t − 48t + Bài tốn trở thành tìm f ( t ) = ?  −b 48  f ( t ) : Parabol Ta có   xmin = = =  f ( t ) = 2a 2.900 75  a = 900    f   = , 36  75  Vậy ca nơ cách khoảng ngắn d = A' B' = , 6km = 600m Câu 44 Đáp án D Hướng dẫn giải Giả sử sợi dây có chiều L ta gọi x độ dài cạnh hình tam giác Khi ta có Chiều dài phần dây làm thành tam giác 3x Chiều dài phần dây làm thành hình vng L − 3x  L − 3x chiều dài cạnh hình vng Khi ta có: S = Svuong + Stamgiac ( L − 3x ) = 16 ( ) + x2 − Lx + L2 x2 + = 16  −b 3L  f ( x ) : parabol Xét f ( x ) = + x2 − Lx + L2 Ta có   xmax = = 2a +  a = +  ( ) Do ta có x = 18 9+4 thỏa yêu cầu toán Câu 45 Đáp án D Hướng dẫn giải ( ) ( C ( t ) = 100 e −0 ,4t − e −0 ,6t  C' ( t ) = 100 −0 , 4e −0 ,4 t + , 6.e −0 ,6t ) Xét C' ( t ) =  e ,2t =  t = ln  , 027 2  3 Lập bảng biến thiên ta suy maxC ( t ) = C  ln  2  Câu 46 Đáp án C Hướng dẫn giải : Theo đề : a = 2b  b = a 24  V = a.b.h = a2 h = 288  a = 2 h Diện tích xung quanh hồ cá : S = 3ah + a2 24 288 288 = 3h + = 72 h + h h h Xét hàm số f ( t ) = 72t + 288 với t = h  t  t  f ' ( t ) = 72 − 576  t  t3 Hàm số đồng biễn 3, + ) nên f ( t ) = f ( 3)  t =  h =  a =  b = t3 ,+ ) Vậy a = 8cm,b = 4cm,h = 9cm Câu 47 Đáp án D Hướng dẫn giải: Gọi t thời gian bọ Ta có  t  L đồng thời t = L với L chiều dài cứng u v Khi B di chuyển đoạn S = vt bọ L = u.t L2 − S2 u 2 = L t − v2 t Độ cao mà đạt h = L sin a = ut L L Đặt f ( t ) = L2 t − v t Bài toán trở thành tìm max f ( t ) = ? Ta có f ' ( t ) = L2 t − 4v t , f ' ( t ) =  t = L2 L t = 2v v 2   Lập bảng biến thiên ta suy max f ( t ) = f  L  = L 2v v 2 Câu 48 Đáp án D Hướng dẫn giải ( ) , 28 − t , 28t C (t ) =  C' ( t ) = Khi C' ( t ) =  t = 2 t +4 t2 + ( ) Lập bảng biến thiên ta suy maxC ( t ) = t( ; 24 ) Câu 49 Đáp án A Hướng dẫn giải Tóm tắt toán: MP : − − − − R − − − − − − − − L − C − Rx − − − ( Rx MN ) NP Yêu cầu Rx → R  U LCR → MIN ⎯⎯ → cos = ? ? x Ta có: U LCR = I Rx + ( ZL − ZC ) = U ( R + R ) + (Z x x U  U LCRx = ( R + R ) + (Z − Z ) R + (Z − Z ) x L ( f '( x) = x ) ( 1+ 2 x Vậy ULCR L − ZC ) 2 U = C L Rx + ( ZL − ZC ) C R2 + RRx Rx + ( ZL − ZC ) f ( Rx = x )  f ( x )max Xét f ( x ) = Rx + R2 x + ( ZL − ZC ) ( x  0) ) − 2x.( 2Rx + R ) = 2R ( −x − Rx + (Z − Z ) ) ( x + (Z − Z ) ) ( x + (Z − Z ) ) R x + ( ZL − ZC ) 2 L 2 L 2 2 C C L C Xét f ' ( x ) =  x + Rx − ( ZL − ZC ) =  = R2 + ( ZL − ZC )  2  − R + R2 + ( ZL − ZC )  tm ) ( R2 + ( ZL − ZC ) − R  x1 = f ' ( x) =    Rx = 2  − R − R + ( ZL − ZC ) x =  ( ktm )  2 Bảng biến thiên x y' x1 + +¥ - f (x ) y R2 ( ZL − ZC ) R2 + ( ZL − ZC ) − R Dựa vào bảng biến thiên, ta có max f ( x ) = f ( x1 )  Rx = Như ta có 2Rx + R = R2 + ( ZL − ZC )  4Rx + 4Rx R = ( ZL − ZC )  Rx + Rx R = ( ZL − ZC ) Z − ZC ( ZL − ZC ) = Rx + Rx R ⎯⎯⎯ R = Rx  ( tan  ) = → ( tan  ) = Khi tan  = L 2 R + Rx ( R + Rx ) ( R + Rx )  ( cos  ) = 2  cos  =  0, 816 3 Câu 50 Đáp án C Hướng dẫn giải Đặt AB = a, AD = b, AA' = c Khi VABCD.A' B'C' D' = abc Và ABCD.A'B'C'D' hình hộp chữ nhật nên giả sử a  b Theo giả thiết, ta có 2.SABCD + 2.SABB' A' + 2.SBCC' B' = 36  SABCD + SABB' A' + SBCC' B' = 18  ab + bc + ca = 18 Xét tam giác AA'C' vng A' , ta có AC'2 = AA'2 + A'C'2 Mà xét tam giác A'B'C' vng B' , có A'C' = A' B' + B'C' Khi AC'2 = AA'2 + A' B'2 + B'C'2 = a2 + b2 + c = 36 Ta có ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = 36  ( a + b + c ) = 72 2 Cho số a,b,c Đặt m = a + b + c , n = ab + bc + ca , p = abc ( Khi đó, ta có 9mn − 27 p − 2m3  m2 − 3n  m = a + b + c = ta được:  n = ab + bc + ca = 18 Áp dụng với  ) 108 − 27 p  108  27 p − 108  108  p  Hay nói cách khác abc đạt giá trị lớn Dấu đẳng thức xảy a = , b = c = ... 80 ngàn cơng ty đạt lợi nhuận cao Câu 23 Đáp án C (Trích đề thi thử THPT Thanh Miện, Hải Dương, 2016 ) Hướng dẫn giải: Đặt x = BM ( km) Điều kiện: < x < 12 Suy quãng đường AM = 81 + x2 quãng đường... = 2 Khi t+5 125 (t + 5) (t + 5)  2500 = ( t + )  t + = 50  t = 45 Như đến năm 1970 + 45 = 2015 đạt tốc độ tăng dân số 0,048 người/năm Câu 30 Đáp án B Hướng dẫn giải V = xyh Ta có  h =