Hình học phẳng 1. Cho nửa đờng tròn đờng kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đờng tròn (A khác B và C). Từ A hạ AH vuông góc với BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F. a. Tứ giác AFHE là hình gì? Tại sao? b. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp. c. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A thay đổi. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, d là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A. Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại B và C theo thứ tự cắt d ở D và E. a. Chứng minh rằng đờng tròn đờng kính DE luôn đi qua điểm O. b. Chứng minh rằng đờng thẳng BC là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính DE. c. Chứng minh rằng khi tứ giác BCED có chu vi nhỏ nhất thì tứ giác đó nội tiếp đợc đờng tròn. 3. Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Đờng vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O') lần lợt tại các điểm C, D. Lấy M trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O). Gọi giao điểm thứ hai của đờng thẳng MB với đờng tròn (O') là N và giao điểm của hai đờng thẳng CM, DN là P. a. Tam giác AMN là tam giác gì, tại sao? b. Chứng minh ACPD nội tiếp đợc đờng tròn. c. Gọi giao điểm thứ hai của AP với đờng tròn (O') là Q, chứng minh rằng BQ // CP. 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn tâm O và P là trung điểm của cung AB không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I, các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: a. Góc CID bằng góc CKD. b. Tứ giác CDFE nội tiếp đợc một dờng tròn. c. IK // AB. 5. Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB, điểm C cố định trên OA (C không trùng với O, A), điểm M di động trên đờng tròn, tại M vẽ đờng thẳng vuông góc với MC cắt các tiếp tuyến kẻ từ A và B lần lợt tại D và E. a. Chứng minh tam giác DCE vuông. b. Chứng minh tích AD.BE không đổi. c. Tìm vị trí M sao cho diện tích tứ giác ABED nhỏ nhất. ______________________________________________________________ 6. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp trong đờng tròn tâm O; AB và CD kéo dài cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O tại B và D cắt nhau tại điểm K. a. Chứng minh các tứ giác OBID và OBKD là các tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh IK song song với BC. c. Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác AIKD là hình bình hành. 7. Trên đờng tròn (O; R), đờng kính AB, lấy điểm M sao cho MA > MB. Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại M và B cắt nhau tại một điểm P; Các đờng thẳng AB, MP cắt nhau tại điểm Q; Các đờng thẳng AM, OM cắt đờng thẳng BP lần lợt tại các điểm R, S. a. Chứng minh tứ giác AMPO là hình thang. b. Chứng minh MB // SQ. 8. Cho tam giác vuông ABC (góc A= 90 0 ); trên đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với các điểm A và C). Đờng tròn đờng kính DC cắt BC tại điểm thứ hai E; đờng thẳng BD cắt đờng tròn đờng kính DC tại điểm F (F không trùng với D). Chứng minh: a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC. b. Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn. c. AC là tia phân giác của góc EAF. 9. Cho đờng tròn tâm O. Từ một điểm P ở ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C là tiếp điểm) với đờng tròn (O). a. Chứng minh PAOC là tứ giác nội tiếp đờng tròn. b. Tia AO cắt đờng tròn (O) tại B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC tại D. Tứ giác AODP là hình gì? c. Gọi I là giao điểm của OC và PD; J là giao điểm của PC và DO; K là trung điểm của AD. Chứng tỏ rằng các điểm I, J, K thẳng hàng. 10. Cho tam giác cân ABC (AB = AC; 0 45B > ), một đờng tròn (O) tiếp xúc với AB và AC lần lợt tại B và C. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M (M không trùng với B và C) rồi hạ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tơng ứng BC, CA, AB. a. Chỉ ra cách dựng đờng tròn (O). b. Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp. c. Gọi P là giao điểm của MB và IK; Q là giao điểm của MC và IH. Chứng minh PQ MI . 11. Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại D của đờng tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: a. 1 2 CAB AOD = . ______________________________________________________________ b. Tứ giác AEDO nội tiếp. c. EI // AB. 12. Cho đờng tròn (O) đờng kính BC. Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O và B), vẽ đờng tròn (O') đờng kính AC. Đờng tròn đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) tại D và E. Gọi F là giao điểm thứ hai của CD với đờng tròn (O'), K là giao điểm thứ hai của CE với đờng tròn (O'). Chứng minh: a. Tứ giác ADBE là hình thoi. b. AF // BD. c. Ba điểm E, A, F thẳng hàng. d. Bốn điểm M, F, C và E cùng thuộc một đờng tròn. e. Ba đờng thẳng CM, DK, EF đồng quy. 13. Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đờng tròn (O) (M, N là tiếp điểm). Đờng thẳng đi qua điểm P cắt đờng tròn (O) tại hai điểm E và F. Đờng thẳng qua O song song với PM cắt PN tại Q. Gọi H là trung điểm của đoạn EF. Chứng minh rằng: a. Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn. b. Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đờng tròn. c. Tam giác PQO cân. d. PM 2 = PE.PF. e. PHM PHN = . 14. Cho đờng tròn (O) có tâm O, đờng kính AB. Trên tiếp tuyến của đờng tròn O tại A lấy điểm M (M không trùng với A). Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D; tia MC nằm giữa tia MA và tia MO) và tiếp tuyến thứ hai MI (I là tiếp điểm) với đờng tròn (O). Đờng thẳng BC và BD cắt đờng thẳng OM lần l- ợt tai E và F. Chứng minh: a. Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đờng tròn. b. IAB AMO = . c. O là trung điểm của FE. 15. Cho tam giác vuông ABC ( 0 90A = ; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần lợt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đơng tròn đờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đờng tròn đờng kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh: a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đờng tròn. b. CM là phân giác của góc BCS . c. TA TC TD TB = . 16. Cho đờng tròn (O), một đờng kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2 3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý ______________________________________________________________ thuộc cung lớn MN, sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. a. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc trong một đờng tròn. b. Chứng minh V AME đồng dạng với V ACM và AM 2 = AE.AC. c. Chứng minh AE.AC AI.IB = AI 2 . d. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. 17. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E và nửa đờng tròn đờng kính CH cắt AC tại F. Chứng minh rằng: a. Tứ giác àEH là hình chữ nhật. b. EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn đờng kính BH và CH. c. Tứ giác BCFE nội tiếp. 18. Cho đờng tròn (O) bán kính R, đờng thẳng d không qua O và cắt đờng tròn tại hai điểm A, B . Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đờng tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đờng tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đ- ờng thẳng OH cắt tia CN tại K. a. Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đờng tròn. b. Chứng minh KN.KC = KH.KO. c. Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN và MN. d. Một đờng thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lợt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất. 19. Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B). AM cắt BE tại C; AE cắt BM tại D. a. Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB. b. Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh BE.BC = BH.BA. c. Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đờng tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đờng thẳng CD. d. Cho biết 0 45BAM = và 0 30BAE = . Tính diện tích tam giác ABC theo R. 20. Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đờng kính BA; trên tia đói của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H. a. Chứng minh: BMD = BAC , từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp. b. Chứng minh: HK // CD. c. Chứng minh: OK.OS = R 2 . 21. Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Đờng tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) tại điểm M; đờng tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') tại N. Đờng tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài tại P. a. Chứng minh rằng tứ giác OAO'I là hình bình hành. b. Chứng minh rằng bốn điểm O, B, I, O' nằm trên một đờng tròn. ______________________________________________________________ c. Chứng minh rằng: BP = BA. 22. Cho đờng tròn (O; R) và dây cung BC = R 3 . A là một điểm bất kì trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, tia BH cắt AC tại E, tia CH cắt AB tại F. a. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AH, D là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh đờng thẳng ID là đờng trung trực của đoạn thẳng EF. b. Tính đọ dài của đờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF theo R. c. Xác định điểm Q thuộc đoạn thẳng BC sao cho BQ = 3 CQ. 23. Cho tam giác ABC vuông ở A và có AB > AC, đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F. a. Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật. b. Chứng minh AE.AB = AF.AC c. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp. 24. Cho đờng tròn tâm O và dây AB, M là điểm chuyển động trên đờng tròn, từ M kẻ MH vuông góc với AB (H AB), gọi E và F là hình chiếu vuông góc của H trên MA và MB. Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với EF cắt dây Ab tại D. a. Chứng minh rằng đờng thẳng MD luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên đờng tròn. b. Chứng minh: 2 2 . MA AH AD MB BD BH = 25. Cho hai đờng tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn (O 1 ) và (O 2 ) về phía nửa mặt phẳng bờ O 1 O 2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O 1 ), (O 2 ) thứ tự tại C, D. Đờng thẳng CE và đờng thẳng DF cắt nhau tại I. a. Chứng minh IA vuông góc với CD. b. Chúng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp. c. Chứng minh đờng thẳng AB đi qua trung điểm của EF. 26. Cho tam giác vuông ABC ( A = 90 0 ). Từ B dựng đoạn thẳng BD về phía ngoài tam giác ABC sao cho BC = BD và ABC = CBD; gọi I là trung điểm của CD; AI cắt BC tại E. a. Chứng minh CAI = DBI. b. Chứng minh ABE là tam giác cân. c. Chứng minh AB.CD = BC.AE 27. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đờng cao AH và trung tuyến AM. Vẽ đờng tròn tâm H bán kính AH, cắt AB ở điểm D, cắt AC ở điểm E (D và E khác điểm A). a. Chứng minh D, H, E thẳng hàng. b. Chứng minh MAE ADE = và MA DE. ______________________________________________________________ c. Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đờng tròn tâm là O. Tứ giác AMOH là hình gì? d. Cho 0 30ACB = và AH = a. Tính diện tích tam giác HEC theo a. 28. Cho tam giác ABC. Phân giác trong AD của góc A cắt đờng tròn ngoại tiếp tại P. a. Chứng minh rằng: AP.AD = AB.AC và PD.PA = PB 2 . b. Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp, J là tâm đờng tròn bàng tiếp trong góc A (J là giao điểm của AD và các phân giác ngoài của góc B và C). Chứng tỏ bốn điểm B, I, C, J cùng nằm trên một đờng tròn. c. Chứng minh rằng: AI.AJ = AB.AC. 29. Một hình vuông ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O, bán kính R. Một điểm M di động trên cung ẳ ADC ; MB cắt AC ở P. a. Chứng minh rằng MB là phân giác góc AMC; và các tam giác MBC, MAP đồng dạng. b.Các tam giác MBC và MAP bằng nhau khi M ở một vị trí đặc biệt M'. Hãy xác định M'. c. Tia M'B cắt AC ở P'. Tính các góc của tam giác M'P'C. 30. Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Giả sử BAM BCA = . a. Chứng minh rằng hai tam giác ABM và CBA đồng dạng. b. Chứng minh hệ thức: BC 2 = 2AB 2 . So sánh BC và đờng chéo của một hình vuông cạnh AB. c. Chứng tỏ BA là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMC. d. Đờng thẳng qua C và song song với MA cắt đòng thẳng AB ở D. Chứng tỏ đ- ờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD tiếp xúc với BC. 31. Cho đờng tròn tâm O, bán kính R và hai đờng kính vuông góc AB và CD. Trên AO lấy điểm E mà OE = 1 3 AO, CE cắt (O) ở M. a. Tính CE theo R. b. Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đựơc. Xác định tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác. c. Chứng minh hai tam giác CEO và CDM đồng dạng. Tính độ dài đờng cao MH của tam giác CDM. 32. Cho đoạn thẳng AD cố định có độ dài bằng a (a là số dơng), I là trung điểm của AD; tia Ix vuông góc với AD. Một đờng tròn bất kỳ bán kính R, 2 a R > ữ tiếp xúc với AD tại A và cắt Ix tại B, C (B nằm giữa I và C). a. Chứng minh tam giác BID đồng dạng với tam giác AIC và tích IB.IC không đổi. ______________________________________________________________ b. Chứng minh B là trực tâm của tam giác ADC; Tìm trực tâm của tam giác ABC. Có nhận xét về trực tâm của tam giác ABC? c. Nối BD cắt đờng tròn (O) tại D'. Chứng minh các tam giác CDD' và ADD' cân. 33. Từ một điểm A ở ngoài đờng tròn(O), ta kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ BC, ( ) ;M B M C . Từ M hạ các đờng vuông góc MI, MH, MK tơng ứng xuống BC, AC, AB. Gọi P là giao của MB và IK; Q là giao của MC và IH. a. Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc đờng tròn. b. Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc KMH. c. Chứng minh PQ // BC. 34. Cho đờng tròn (O), bán kính R. Một đờng thẳng d cắt đờng tròn tại hai điểm A và B. Từ một điểm M trên d (M nằm ngoài hình tròn) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ tới đờng tròn (O). a. Chứng minh QMO QPO = và khi M di động trên d (M nằm ngoài hình tròn) thì các đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ luôn đi qua một điểm cố định. b. Xác định vị trí của M để tam giác MPQ là tam giác đều. c. Với mỗi vị trí của điểm M đã cho, hãy tìm tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ. 35. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy một điểm D, dựng CE vuông góc với BD. a. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đờng tròn. b. Chứng minh AD.CD = ED.BD. c. Từ D kẻ DK vuông góc với BC. Chứng minh rằng AB, DK, EC đồng quy tại một điểm và DKE ABE = . 36. Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D a. Chứng minh: CD = AC + BD và AC.BD = R 2 . b. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác ABDC có diện tích nhỏ nhất. c. Cho biết R = 2 cm, diện tích tứ giác ABDC bằng 32 cm 2 . Tình diện tích tam giác ABM. ______________________________________________________________ . Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Đờng vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O') lần lợt tại các điểm C, D. Lấy M trên. đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Đờng tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) tại điểm M; đờng tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O')