ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH C Ố Ệ ĐỨ Chủ đề IV: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Số tiết: I. Mục đích yêu cầu: 1. Kiến thức: - Học sinh nắm vững bảng nguyên hàm của các hàm số và các phương pháp tính nguyên hàm và tích phân. - Nắm vững công thức tìm diện tích hình phẳng, diện tích của vật thể tròn xoay. 2. Kĩ năng: - Biết áp dụng các tính chất và công thức nguyên hàm để tìm nguyên hàm của các hàm số thường gặp. - Biết áp dụng các phương pháp tìm nguyên hàm tích phân vào giải bài tập. - Biết áp dụng công thức để tính diện tích hp, và thể tích của vật thể ròn xoay. - Nhận biết các dạng bài tập để dùng phương pháp chính xác. 3. ý thức: - Rèn cho học sinh có tư duy logic, tích cực, cẩn thận khi trình bày bài thi. II. Phương pháp – phương tiện: 1. Phương pháp: - Phát huy tích chủ động tích cực của học sinh, giáo viên hướng dẫn rèn kĩ năng tính toán và trình bày cho học sinh. 2. Phương tiện: - Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009. III. Nội dung: A. TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ: 1/ Các kiến thức cần nắm vững : * Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp thường dùng. Nguyªn hµm cña c¸c hµm sè s¬ cÊp Nguyªn hµm cña c¸c hµm sè hîp (u=u(x)) 1. dx ∫ = x+C 10. du ∫ = u+C 2. x dx α = ∫ 1 x C α α + + ( α ≠ -1) 11. u du α = ∫ 1 u C α α + + ( α ≠ -1) 3. dx x ∫ = ln x +C (x ≠ 0) 12. du u ∫ = ln u +C (u=u(x) ≠ 0) 4. x x e dx e C= + ∫ 13. u u e du e C= + ∫ 5. (0 1) ln x x a a dx C a a = + < ≠ ∫ 14. (0 1) ln u u a a du C a a = + < ≠ ∫ 6. cos sinxdx x C= + ∫ 15. cos sinudu u C= + ∫ 7. sin xdx cosx C= − + ∫ 16. sin cosudu u C= − + ∫ 8. 2 cos dx tgx C x = + ∫ 17. 2 cos du tgu C u = + ∫ 1 ễN THI T T NGHI P MễN TON 08 09 GIP MINH C 9. 2 s dx cotgx C in x = + 18. 2 cot s dx gu C in u = + Nguyờn hm ca cỏc hm s m rng thng gp. 1) 1 cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C a a + = + + 3) 1 ax b ax b e dx e C a + + = + (a 0) 2) 1 sin( ) cos( ) ( 0)ax b dx ax b C a a + = + + 4. 1 ln dx ax b C ax b a = + + + 2. Cỏc phng phỏp tỡm nguyờn hm. Cách 1: xác định nguyên hàm bằng định nghĩa: Cách 2: xác định nguyên hàm bằng phng phỏp i bin: Cách 3: xác định nguyên hàm bằng phng phỏp nguyờn hm tng phn: * Mt s dng toỏn thng gp: Dng 1: Tỡm nguyờn hm ca mt hm s bng nh ngha v tớnh cht. Phng phỏp gii: Thng a nguyờn hm cho v nguyờn hm ca tng v hiu sau ú vn dng bng nguyờn hm thng dựng kt qu. Vớ d : Tỡm nguyờn hm cỏc hm s sau: a) f(x) = x 3 3x + 1 x b) f(x) = 2 x + 3 x Gii a/ 4 3 3 2 1 1 x 3 ( ) (x - 3x + ) x 3 ln x x 4 2 f x dx dx dx xdx dx x x c= = + = + + b/ x x 2 3 ( ) (2 + 3 ) 2 3 ln 2 ln3 x x x x f x dx dx dx dx c= = + = + + Dng 2: Tỡm nguyờn hm bng pp i bin. Vớ d: Tỡm nguyờn hm ca cỏc hm s sau: c) f(x) = (5x + 3) 5 d) f(x) = sin 4 x cosx Gii c/ I = 5 ( ) (5x+ 3)f x dx dx= t u = 5x + 3 => du = 5dx 5 du dx = 6 6 5 5 1 (5 3) 5 5 30 30 du u x I u u du C C + = = = + = + d/ K = 4 ( ) sin x cosxf x dx dx= t u = sinx => du = cosxdx 5 5 4 sin 5 5 u x K u du C C = = + = + Bi tp ngh: Tỡm cỏc h nguyờn hm sau 1 . 2 (2 3 5)x x dx + 2. 2 3 ( 1)x x dx 4. sin 2 cos3x xdx 5. sin 2 sin 7x xdx 7. 2 3 2 ( 5) . x x e e dx+ 2 ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH C Ố Ệ ĐỨ 3. 2 sin 2 x dx ∫ 6. sin 2x xdx ∫ 8. 2 3 2 dx x x− + ∫ 9. 2 1 dx x + ∫ B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN : 1/ Các kiến thức cần nắm vững : Bảng nguyên hàm thường dùng. Định nghĩa tích phân, các tính chất của tích phân. Các phương pháp tính tích phân 2/Một số dạng toán thường gặp: Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất. Phương pháp giải: Thường đưa tích phân đă cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả. Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau: a/ 3 3 1 ( 1)x dx − + ∫ b/ 4 4 2 4 ( 3sin ) cos x dx x π π − − ∫ c/ 2 2 1x dx − − ∫ Giải a/ 3 3 1 ( 1)x dx − + ∫ = 3 3 3 4 3 1 1 1 81 1 1 ( ) ( 3) ( 1) 24 4 4 4 x x dx dx x − − − + = + = + − − = ∫ ∫ b/ 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 4 1 ( 3sin ) 4 3 sin (4 3cos ) cos cos x dx dx xdx tgx x x x π π π π π π π π − − − − − = − = + = ∫ ∫ ∫ = (4 3 cos ) [4 ( ) 3 cos( )] 4 4 4 4 tg tg π π π π + − − + − =8 c/ 2 2 1x dx − − ∫ = 1 2 1x dx − − ∫ + 2 1 1x dx− ∫ = 1 2 (1 )x dx − − ∫ + 2 1 ( 1)x dx− ∫ =(x- 2 2 1 2 2 1 ) ( ) 2 2 x x x − + − =5 Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: 1/I= 2 0 (3 cos 2 ).x dx π + ∫ 2/J= 1 0 ( 2) x e dx+ ∫ 3/K= 1 2 0 (6 4 )x x dx+ ∫ Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1: Phương pháp giải: b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) ⇒ dx = u (t). dt ′ b2: Đổi cận: x = a ⇒ u(t) = a ⇒ t = α x = b ⇒ u(t) = b ⇒ t = β ( chọn α , β thoả đk đặt ở trên) b3: Viết b a f(x)dx ∫ về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân . Ví dụ: Tính : 1 2 0 1 x dx− ∫ 3 ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH C Ố Ệ ĐỨ Đặt x = sint ⇒ dx = cost.dt. V́ x ∈ [0;1] nn ta chọn t ∈ [0; ] 2 π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x= 1 ⇒ t = 2 π Vậy : 1 2 0 1 x dx− ∫ = 2 2 2 2 0 0 0 1 1 s 2 cos t.dt (1 cos2t).dt= ( ) 2 2 2 in t t π π π = + + ∫ ∫ = 4 π Chú y: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :  2 2 a x− thì đặt x= a sint t ∈ [ ; ] 2 2 π π −  2 2 a x+ thì đặt x= a tgt t ∈ ( ; ) 2 2 π π −  2 2 x a− thì đặt x= sin a t t ∈ [ ; ] 2 2 π π − \ { } 0 Dạng 2: Tính tích phân f[ (x)] '(x)dx b a ϕ ϕ ∫ bằng phương pháp đổi biến 2. Phương pháp giải: b1: Đặt t = ϕ (x) ⇒ dt = '( ). dxx ϕ b2: Đổi cận: x = a ⇒ t = ϕ (a) ; x = b ⇒ t = ϕ (b) b3: Viết tích phân đă cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân t́m được . Ví du : Tính tích phân sau : a/ 1 2 0 2 1 1 x I dx x x + = + + ∫ b/ 1 2 0 3. .J x x dx= + ∫ Gi i:ả a/ Đặt t = x 2 + x +1 ⇒ dt = (2x+1) dx Đổi cận: x = 0 ⇒ t =1 ; x = 1 ⇒ t = 3 Vậy I= 3 3 1 1 ln ln3 dt t t = = ∫ b/ Đặt t= 2 3x + ⇒ t 2 = x 2 + 3 ⇒ tdt = x dx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3 ; x = 1 ⇒ t = 2 Vậy J = 2 2 3 2 3 3 1 (8 3 3) 3 3 t t dt = = − ∫ Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: 1/ 2 sin 0 .cos . x e x dx π ∫ 2/ 1 0 1 x x e dx e + ∫ 3/ 1 1 ln e x dx x + ∫ 4/ 1 2 5 0 ( 3)x x dx+ ∫ Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần: Công thức từng phần : . . . b b b a a a u dv u v v du= − ∫ ∫ Phương pháp giải: 4 ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH C Ố Ệ ĐỨ B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du. phần c̣òn lại là dv tìm v. B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần. B3: Tích phân b a vdu ∫ suy ra kết quả. */ Khi gặp tích phân dạng : ( ). ( ). b a P x Q x dx ∫ - Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số e ax+b , cos(ax+b) , sin(ax+b) th́ ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên. - Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: a/ I= 2 0 .cos .x x dx π ∫ b/J= 1 .ln . e x x dx ∫ Giải a/ Đặt : cos . sin u x du dx dv x dx v x = =   ⇒   = =   (chú ý: v là một nguyên hàm của cosx ) vậy I=x cosx 2 0 π - 2 0 sin .x dx π ∫ = cosx 2 0 π = -1 b/ Đặt : 2 1 . ln . 2 du dx u x x dv x dx x v  =  =   ⇒   =   =   Vậy J= lnx. 2 2 x 1 e - 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 2 4 4 e e e x e e e dx xdx x x + = − = − = ∫ ∫ Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: 1/ 1 3 0 . x x e dx ∫ 2/ 4 2 0 cos x dx x π ∫ 3/ 1 ln . e x dx ∫ 4/ 5 2 2 .ln( 1).x x dx− ∫ 5/ 2 0 .cos . x e x dx π ∫ Dạng 4: Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp: a/Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu: Phương pháp giải: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính. Ví dụ: Tính các tích phân sau: a/ 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 (1 ) [ ln 2 1] 1 ln 3 2 1 2 1 2 2 x dx dx x x x x = + = + - = + - - ò ò = 1 ln3 2 . 5 ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH C Ố Ệ ĐỨ b/ 0 0 3 3 2 2 0 1 1 1 3 1 5 23 ( 4 ) [ 4 ln 1] ln 2 1 1 3 2 6 x x x x dx x x dx x x x x - - - + + = + + + = + + + - = - - - ò ò Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: 1/I= 2 3 2 2 1 2 3x x x dx x + − ∫ 2/J= 4 2 3 2 5 3 1 x x dx x + + + ∫ b/Dạng bậc1 trên bậc 2: Phương pháp giải: Tách thành tổng các tích phân rồi tính. Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt: Ví dụ: Tính các tích phân : ( ) 2 2 1 5 1 6 x dx x x - - - ò Giải Đặt ( ) 2 5 1 6 x x x - - - = 5 5 ( 3) ( 2) ( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3) x A B A x B x x x x x x x - - + + = + = + - + - + - ⇒ A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 ⇒ A=3. cho x=3 ⇒ B=2. vậy ta có: ( ) 2 2 1 5 1 6 x dx x x - - - ò = 2 2 1 1 3 2 16 ( ) (3ln 2 2ln 3 ) ln 2 3 27 dx x x x x + = + + - = + - ò Trường hợp mẫu số có nghiệm kép: Ví dụ: Tính các tích phân : 1 2 0 (2 1) 4 4 x dx x x + - + ò Gi iả CI: 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 (2 1) 2 4 5 ( 4 4) 1 ( ) 5 4 4 4 4 4 4 4 4 ( 2) x dx x d x x dx dx x x x x x x x x x + - - + = + = + - + - + - + - + - ò ò ò ò =(ln 2 5 4 4 ) 2 x x x − + − − 1 0 5 ln 4 2 = − CII: t Đặ 2 2 2 2 2 1 2 1 ( 2) ( 2) 2 1 4 4 ( 2) 2 ( 2) ( 2) x x A B A x B A x B x x x x x x x + + - + = = + = - + = +Û - + - - - - ⇔ Ax -2A+B= 0 ⇔ 2 2 2 1 5 A A A B B = =   ⇔   − + = =   V y ậ 1 1 2 2 0 0 2 1 2 5 [ ] 4 4 2 ( 2) x dx dx x x x x + = + - + - - ò ò = 1 0 5 (2ln x-2 - ) x-2 = 5 ln 4 2 − Trường hợp mẫu số vô nghiệm: Ví dụ: Tính các tích phân :I= 0 2 1 (2 3) 2 4 x dx x x - - + + ò Gi i:ả 0 0 1 2 2 2 2 1 1 0 2 2 5 ( 2 4) 5 2 4 ( 1) 3 2 4 x d x x I dx dx J x x x x x - - + + + = - = - + + + + + + ò ò ò Ta có 1 2 2 0 ( 2 4) 2 4 d x x x x + + + + ò = 0 2 1 4 ln/x +2x+4/ ln 4 ln3 ln 3 − = − = 6 ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH C Ố Ệ ĐỨ Tính J= 0 2 1 5 ( 1) 3 dx x - + + ò t x+1=Đặ 3tgt (t ∈ ; 2 2 π π −       ) ⇒ dx= 2 3(1 )tg t dt + . Khi x= -1 th t = 0 ; khi x=0 th t=́ ́ 6 π v y J=ậ 2 6 6 2 0 0 3(1 ) 3 3 1 (3 3 ) 3 3 6 tg t dt dt tg t π π π + = = − + ∫ ∫ V y I= ln ậ 4 5( 3 − 3 3 6 π − ) Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: 1/I= 1 2 0 1 5 6 dx x x− + ∫ 2/I= 5 2 4 1 2 6 9 x dx x x − − + ∫ 3/ I= 4 2 2 3 1 4 8 x dx x x − − + ∫ Dạng 5: Tính tích phân hàm vô tỉ: Dạng1: ( , ) b n a R x ax b dx+ ∫ Đặt t= n ax b+ Dạng 2: ( , ) b n a ax b R x dx cx d + + ∫ Đặt t= n ax b cx d + + Ví dụ: Tính tích phân I = 1 3 0 1 xdx− ∫ Giải Đặt t = 3 1 x− ⇔ t 3 = 1-x ⇔ x= 1-t 3 ⇒ dx= -3t 2 dt. Đổi cận: x=0 ⇒ t=1; x=1 ⇒ t=0. Vậy I= 1 0 1 4 2 3 1 0 0 3 .( 3 ) 3 3 4 4 t t t dt t dt− = = = ∫ ∫ Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: 1/ 1 3 0 . 1x xdx− ∫ 2/ 1 2 2 x dx x − − ∫ Dạng 6: Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp Dạng: sin .cos , sin .sin , cos .cosax bxdx ax bxdx ax bxdx β β β α α α ∫ ∫ ∫ Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải. Dạng: sin ; cos n n xdx xdx β β α α ∫ ∫ Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến. Ví dụ : 7 ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH C Ố Ệ ĐỨ 2 1 2 2 2 2 sin sin sin (1 cos ) sin Ñaët t =cosx 1 cos2 cos (cos ) 2 n n n n n n xdx x xdx x xdx x xdx x dx dx β β β α α α β β β α α α + = = − +   = =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Dạng: (sin ).cos R x xdx β α ∫ Đặc biệt: 2 2 1 sin .cos n k x xdx β α + ∫ Phương pháp giải: Đặt t =sinx Dạng: (cos ).sin R x xdx β α ∫ Đặc biệt: 2 1 2 sin .cos n k x xdx β α + ∫ Phương pháp giải: Đặt t =cosx Các trường hợp c̣n lại đặt x=tgt Ví du: Tính các tích phân sau: a/ 4 0 sin 3 .cos .x x dx π ∫ b/ 2 2 0 sin xdx π ∫ c/ 2 3 0 cos xdx π ∫ d/ 2 3 2 0 cos sinx xdx π ∫ Giải a/ 4 0 sin 3 .cos .x x dx π ∫ = 4 2 0 0 1 1 cos 4 cos 2 1 (sin 4 s 2 ) ( ) 2 2 4 2 2 x x x in x dx π π + = − + = ∫ ⇒ b/ 2 2 2 2 0 0 0 1 cos 2 1 sin 2 sin ( ) 2 2 2 4 x x xdx dx x π π π π − = = − = ∫ ∫ c/ I= 2 3 0 cos xdx π ∫ = 2 2 2 2 0 0 cos .cos . (1 sin ).cos .x x dx x x dx π π = − ∫ ∫ đặt u=sinx du = cosx dx. x=0 ⇒ u=0 ; x= 2 π ⇒ u=1 vậy: I= 1 3 1 2 0 0 2 (1 ). ( ) 3 3 u u du u − = − = ∫ d/J= 2 3 2 0 cos sinx xdx π ∫ = 2 2 2 2 2 2 0 0 cos sin .cos . (1 sin )sin .cos .x x x dx x x x dx π π = − ∫ ∫ đặt u=sinx ⇒ du = cosx dx. x=0 ⇒ u=0 ; x= 2 π ⇒ u=1 J= 1 1 3 5 1 2 2 2 4 0 0 0 2 (1 ) . ( ). ( ) 3 5 15 u u u u du u u du − = − = − = ∫ ∫ Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: 1/ 4 0 cos .x dx π ∫ 2/ 2 3 3 0 sin .cos .x x dx π ∫ 3/ 2 4 4 0 sin .cos .x x dx π ∫ 4/ 2 6 1 sin dx x π π ∫ 8 ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH C Ố Ệ ĐỨ III/ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY: 1/ Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng. Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích h́nh phẳng giới hạn bởi đường cong (C): y=f(x) và các đường thẳng x = a; x = b; y = 0 là : ( ) b a S f x dx= ∫ 2/ D ng toán2:ạ Di n tích hình ph ng gi i h n b i 2 ng cong và 2 ng th ng.ệ ẳ ớ ạ ở đườ đườ ẳ Công thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích h́nh phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là : ( ) ( ) b a S f x g x dx= − ∫ Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’) B2: Tính diện tích h́nh phẳng cần tìm: TH1: Nếu phương tŕnh hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b). Khi đó diện tích h́nh phẳng cần tìm là: [ ( ) ( )] b a S f x g x dx= − ∫ TH2: Nếu phương tŕnh hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x 1 ∈ (a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: 1 1 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] x b b a a x S f x g x dx f x g x dx f x g x dx = − = − + − ∫ ∫ ∫ TH3: Nếu pt hoành độ giao điểm có các nghiệm là x 1 ; x 2 ∈ (a;b).Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: [ ] [ ] [ ] 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x a x b S f x g x dx f x g x dx f x g x dx= − + − + − ∫ ∫ ∫ Chú ý: * Nếu pt hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3. * Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0 Ví dụ 1: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th c a hàm s y = sinx trên đo n [0;2ệ ẳ ớ ạ ở ồ ị ủ ố ạ π ] và tr cụ hoành . Gi i :ả Ta có: sinx = 0 có 1 nghi m x =ệ ( ) 0;2 π π ∈ v y di n tích hình ph ng c n tìm là:ậ ệ ẳ ầ S = 2 2 0 0 sin sin sinx dx xdx xdx π π π π = + ∫ ∫ ∫ = 2 0 cos cosx x π π π + = 4 Ví d 2:ụ Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i (Pệ ẳ ớ ạ ở 1 ): y = x 2 –2 x , và (P 2 ) y= x 2 + 1 và các đ ng th ng ườ ẳ x = -1 ; x =2 . 9 ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH C Ố Ệ ĐỨ Giải phhđgđ : x 2 –2 x = x 2 + 1 Û 2x +1= 0 Û x = -1/2 . Do đó : S = 2 1/ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1/ 2 ( 2 ) ( 1) [( 2 ) ( 1)] [( 2 ) ( 1)]x x x dx x x x dx x x x dx - - - - - - + = - - + + - - + ò ò ò = ( ) ( ) 1/ 2 2 1 1/ 2 2 1 2 1x dx x dx - - - + + + ò ò = ( ) ( ) 1 2 2 2 2 1 1 2 x x x x - - - + + + = 1 25 13 4 4 2 + = Ví d 3:ụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y 2 = 4 x , và đường thẳng (d): 2x+y-4 = 0. Giải: Ta có (P): y 2 = 4 x ⇔ x = 2 4 y và (d): 2x+y-4 = 0 ⇔ x= 4 2 y− . Phương trình tung độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là: 2 4 y = 4 2 y− ⇔ 2 4 y y =   = −  Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S= 2 2 2 2 2 3 2 4 4 4 4 ( ) (2 ) (2 ) 9 2 4 2 4 4 12 y y y y y y dy dy y − − − − − = − − = − − = ∫ ∫ Bài t p ngh :ậ đề ị 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y= x 2 - 2x và trục hoành. 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H): 1x y x + = và các đường thẳng có phương tŕnh x=1, x=2 và y=0 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C): y= x 4 - 4x 2 +5 và đường thẳng (d): y=5. 4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x 3 –3 x , và y = x . 2/ Dạng toán 3: Thể tích của một vật thể tṛòn xoay Thể tích của vật thể tṛòn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= 0 quay một ṿòng xung quanh trục ox là: 2 ( ) b a V f x dx= Π ∫ Ví d 1:ụ Tính th tích kh i c u sinh ra do quay hình tròn có tâm O bán kính R quay xung quanhể ố ầ ̣ tr c ox t o ra. ụ ạ Gi i:ả ng trn tâm O bán kính R có ph ng trình :xĐườ ̣ ươ 2 + y 2 = R 2 ⇒ y 2 = R 2 -x 2 Th tích kh i c u là : V= ể ố ầ ( ) 2 2 R R R x dx π − − ∫ = 3 2 3 R R x R x π −   −  ÷   = 3 3 2 2 3 R R π   −  ÷   = 3 4 3 R π (đvtt) Ví dụ 2: Tính thể tích của vật thể tṛòn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x 2 –2x Giải: Thể tích của vật thể tṛòn xoay cần tìm là : 2 2 2 2 4 3 2 1 1 ( 2 ) ( 4 4 )S x x dx x x x dx π π − − = − = − + ∫ ∫ = 5 2 4 3 1 4 ( ) 5 3 x x x π − − + = 18 5 π (đvtt) Bài tập đề nghị: 10 [...].. .ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC Tính thể tích của vật thể tṛòn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: π x a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x = b/ y = sin2x ; y = . a f(x)dx ∫ về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân . Ví dụ: Tính : 1 2 0 1 x dx− ∫ 3 ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH C. TÍCH PHÂN : 1/ Các kiến thức cần nắm vững : Bảng nguyên hàm thường dùng. Định nghĩa tích phân, các tính chất của tích phân. Các phương pháp tính tích phân. .