Thông tin tài liệu
Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) x0 (a; b): f '(x ) lim f (x) f (x ) x x0 x x y x 0 x = lim (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục diểm Ý nghĩa đạo hàm Ý nghĩa hình học: + f (x0) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M x ;f (x ) + Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M x ;f (x ) là: y – y0 = f (x0).(x – x0) Ý nghĩa vật lí: + Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình s = s(t) thời điểm t0 v(t0) = s(t0) + Cường độ tức thời điện lượng Q = Q(t) thời điểm t0 I(t0) = Q(t0) Qui tắc tính đạo hàm (C)' = (x) = (xn) = n.xn–1 x (u v) = u v (uv) = uv + vu x u uv vu (v 0) v v2 v v v (ku) = ku Đạo hàm hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm x ux hàm số y = f(u) có đạo hàm u yu hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm x là: yx yu.ux Đạo hàm hàm số lượng giác lim sinx 1; x0 x sinu(x) (với lim u(x) ) x x xx u(x) (sinx) = cosx (cosx) = – sinx tanx lim cos x Vi phân dy df (x) f (x).x Đạo hàm cấp cao cot x sin2 x f (x x) f (x ) f (x ).x f ''(x) f '(x) ; f '''(x) f ''(x) ; f (n) (x) f (n1) (x) (nN, n 4) Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t0 a(t0) = f(t0) VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm định nghĩa Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 định nghĩa ta thực bước: Cách 1: B1: Giả sử x số gia đối số x0 Tính y = f(x0 + x) – f(x0) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn y x 0 x f (x) f (x ) f (x) f (x ) Cách : Tính lim lim =L f '(x ) L (1) x x x x x x0 x x0 B2: Tính lim Quan hệ tính liên tục có đạo hàm + Hàm số liên tục có đạo hàm Ta thường gặp tốn CM hs liên tục khơng có đạo hàm + Hàm số có đạo hàm x0 liên tục x0 Vậy hàm số khơng có đạo hàm :+f(x) không liên tục tức lim f (x) f (x ) x x x x0 f’(x0+)≠f’(x0-) Bài 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: 1) y f (x) 2x x x ĐS: f’(1)=3 2) y f (x) 2x x0 = –3 2x x0 = x 1 4) y f (x) sinx x0 = 3) y f (x) 5) y f (x) x x0 = 6) y f (x) ĐS: f’(-3)=-1/3 ĐS: f’(2)=-3 ĐS: f’( )= ĐS: f’(1)=1/3 x2 x x0 = ĐS: f’(0)=-2 x 1 7) f(x)= x(x-1)(x-2) (x-1997) x0 = ĐS : f’(0)=- 1997! 8) f(x)= x(x+1)(x+2) (x+2013) x0 = -1000 ĐS: f’(-1000)= 1000!.1013! sin x x 9) f(x) = x x0 = ĐS: f’(0)=1 0 x x sin x 10) f(x) = x = ĐS: f’(0)=0 x 0 x = 11) x cos x f(x) = điểm x0 = ĐS: f’(0)=0 x 0 x 1 - cosx x 12) f(x) = x = ĐS: f’(0)=1/2 x 0 x = 13) (x 1)2 nÕux f(x) = x nÕux x0 = ĐS: f’(0) k HD: tính đạo hàm trái phải có đạo hàm x0 14) f ( x) x x x0 = ĐS: f’(0)=0 15) f(x) = x x0 = ĐS: f’(0)=1 1 | x | 16) f(x) = |x | taïi x0 = ĐS: f’(0) kxđ ĐH trái khác ĐH phải x 1 x neáux 17) f(x) = điểm x0 = ĐS: f’(0)=0 x neáux Gia sư Tài Năng Việt 18) https://giasudaykem.com.vn (ĐHHH 1997): Chứng minh hàm số y = x | x 3| liên tục x = -3 khơng có đạo 3x hàm điểm ĐS: kxđ 53/100 ≠13/100 1 x sin x x sin x 19) Cho f(x) g(x) x x 0 x x 0 a Xét tính liên tục f(x), g(x) x=0 ĐS: liên tục x=0 b Tính f’(x), g’(x) x=0 ĐS:f’(0) kxđ; g’(0)=0 xsin x 20) Cho hàm số f(x) = x 0 x = Chứng minh hàm số liên tục R khơng có đạo hàm x = ĐS: gh kẹp; giới hạn không hội tụ tới số cụ thể xcos x 21) Cho hàm số f(x) = x 0 x = a) Chứng minh hàm số liên tục R ĐS: Giới hạn kẹp b) Hàm số có đạo hàm x = khơng? Tại sao? ĐS: cos(a) ln thuộc đoạn [-1;1] không tiến tới số cụ thể ax + bx x 22) Cho hàm số f(x) = x < 2x - Tìm a, b để hàm số có đạo hàm x = ĐS:a=1;b=0 HD:b1 hàm số phải liên tục x=1 b2: có đạo hàm x=1(đạo hàm trái đạo hàm phải x=1) x ax + b 23) Cho hàm số f(x) = cos2x - cos4x x < x Tìm a, b để hàm số có đạo hàm x = 24) ĐS: a=6;b=0 x + a x 4x - x > Cho hàm số f(x) = Tìm a để hàm số khơng có đạo hàm x = ĐS :a≠2 HD : có ĐH a=2 ngược lại khơng có x x 25) Cho hàm số: f(x) = Tìm a, b để f(x) có đạo hàm điểm x = ĐS:a=2; b=-1 ax b x p cosx q sin x x 26) Cho hàm số: f(x) = Chứng tỏ với cách chọn p, q hàm f(x) x px q có đạo hàm điểm x = ĐS: hàm số liên tục :p=q+1; hs có ĐH p=q nên kxđ đc p,q Bài 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau: 1) f (x) x 3x 4) f (x) 2) f (x) x3 2x 3) f (x) x 1, (x 1) 2x 7) f(x) = cos2x 8) f(x) = cosx 5) f (x) sinx 6) f (x) cosx VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm cơng thức Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) cơng thức ta sử dụng qui tắc tính đạo hàm Chú ý qui tắc tính đạo hàm hàm số hợp Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Tính đạo hàm hàm số sau: (Tổng, hiệu, tích, thương) Baøi 1: 1 1) y = x4 x3 + x2 x + a3 2) y 2x x3 x 3 x – 2x2 + 3x 3) y = 4) y = - x4 + 2x2 + 5) y x x x x ĐS: y ' 6 x x AD : y x m n x y' mn x Tính : y n1 2 x ;y 2x ;y 6) y = (x + 1)(x + 2)(x + 3) ĐS: y’=3x +12x+11 7) y (x3 2)(1 x ) ĐS: y’=3x2-5x4+4x 8) y (x2 1)(x 4)(x 9) ĐS: y’=6x5-56x3+88x 9) y (x 3x)(2 x) ĐS:y’=-3x2-2x+6 10) y = ( x3 – 3x + ) ( x4 + x2 – ) ĐS:y’=7x6-10x4+8x3-12x2+4x+3 1 x 1 1 ĐS: y x x2 x ax b 2x 2x x3 x 1 12) y ; y ;y ;y ;y (ad bc 0) AD: y cx d 3x 2x 2x 2x x2 11) y 13) y = 14) y 15) y 16) y = 17) y = ax2 bx c px q x 3x x 1 2x 3x x 2x x 3x x2 x AD: y = ;y= ;y= ;y= x 1 x 1 x2 x2 ĐS: y x 2x x 1 2x 4x 2x 12x 11 ĐS: y x 3 x 3 2x ĐS: ĐS: y x2 x2 x ĐS: y x x2 x 2x x2 x 1 19) y = 2 2x x 1 5x x x2 18) y 20) y ĐS: y ĐS: y 2x x 2x x x 1 5) y (x 2x 5) ĐS: 7) y 2(2x 2) (x 2x 5)3 Bài 3: Tính đạo hàm hàm số sau; Tìm x để y’=0 1) y x 2) y x 3) y x x ĐS: x=5 4) y x x ĐS: x=1 x 1 x x 1 4x 12x x 2x ĐS: -16x(3-2x2)3 2 x 2x3 5x 5x 6x 3)y = (8x 3x )5 ĐS :5(8-6x)(8x-3x2)4 x ĐS: y Baøi 2: Tính đạo hàm hàm số sau: (Hàm số hợp: y=f’u u’x) 1) y (x x 1)4 ĐS:4(x2+x+1)3(2x+1) 2x 6) y ĐS : 2) y (1 2x )5 ĐS:-20x(1-2x2)4 x 1 4) y 2x 4x (x 1)2 (x 1)3 ĐS: 2x x 1 x 1 9 x 4x (x 1)4 2 3x Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 5) y x x ĐS:x= 2 6) y 2 x x ĐS:x= 7) y 3x 9x 6x ĐS:vô nghiệm 8) y x x ĐS: VN 3 ;VN x x 2x x x ; y’=0 x=0 10)y = x2 + x x + 1ĐS: y’= 2x 9) y = ĐS: y ' 11) y 2x 5x ĐS:x=5/4 12) y x 2x x 2x ĐS: y’=0 x=0 13) y x3 3x ĐS: x=-1 14) y x x ĐS: y x 1 x x x x2 15) y x 1 x ĐS: y 16) y 17) y x3 ĐS: y x2 x 1 x x 1 3x x2 1 ; VN x 2 ; x=-2 ; x=1/3 ĐS: y x(x 2) ; x=0;x=-2 x2 x 1 18) y (x 2) x ĐS: y 2x 2x , VN x2 19) y 20) y 21) y 4x ĐS: y x x2 x2 3x x 1 x 4 x ĐS: y x x2 1 ĐS: y 4 x2 22) y x x ĐS: y 2x 2 1 x2 23) y 24) y = 25) y 26)y = x2 4 ĐS: y x x2 x2 x2 x2 1 x ĐS: y' ; x=±1 x 2x x x2 x 2x ĐS: y ' x 1 2(x 1) 1 x 1 x ĐS: y 27) y (x 2)3 x 1 ;x=2 x2 3 x ; VN 1 x ĐS: y (x 2) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 28)yx 1với x≠1 ĐS:y’=-1 với x1 29) y=x2 3x+2với x≠1;x≠2 ĐS:y’=2x-3 với x2; y’=3-2x với 10 Baøi 12: Cho hàm số y mx3 m 1 x mx Xác định m để : a) y ' , x ĐS: m≥1/2 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn b) y ' có hai nghiệm phân biệt âm ĐS: 0
Ngày đăng: 10/06/2018, 22:33
Xem thêm: Tài liệu môn toán lớp 12 chuyên đề đạo hàm