Đang tải... (xem toàn văn)
Hai tiếp cận cho mô hình cân bằng nash cournot ( Luận văn thạc sĩ)Hai tiếp cận cho mô hình cân bằng nash cournot ( Luận văn thạc sĩ)Hai tiếp cận cho mô hình cân bằng nash cournot ( Luận văn thạc sĩ)Hai tiếp cận cho mô hình cân bằng nash cournot ( Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ LÀNH HAI TIẾP CẬN CHO MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - Năm 2014 i LỜI CẢM ƠN Lời khóa luận này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH Lê Dũng Mưu, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thiện luận văn Trong trình học tập chương trình cao học trường Đại học khoa học, nhận giúp đỡ giảng dạy tận tình GS.TSKH Lê Dũng Mưu, GS.TS Trần Vũ Thiệu, PGS Nông Quốc Chinh, PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn, PGS.TS Tạ Duy Phượng, TS Nguyễn Thị Thanh Thủy, nhiều thầy cô công tác Viện Toán học Việt Nam, Trường Đại học Thăng Long, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, cô Nhận dịp này, xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ tơi suốt q tình học tập Đồng thời, tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn tốt nghiệp Đặc biệt, cảm ơn anh Lưu Đình Trung giúp đỡ tơi nhiều q trình hồn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 21 tháng 06 năm 2014 Tác giả Đào Thị Lành ii Mục lục Mở đầu 1 Tiếp cận cân Nash cho mơ hình kinh tế bán độc quyền Cournot 1.1 Kiến thức chuẩn bị Tập lồi, hàm lồi toán tử đơn điệu 1.1.2 Bài toán cân 1.2 Mơ hình cân với cước phí tuyến tính 1.2.1 Phát biểu mơ hình Nash - Cournot 1.2.2 Trường hợp cước phí tuyến tính 1.3 Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm 1.3.1 Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm 1.3.2 Sự tồn nghiệm mơ hình 1.1.1 15 15 17 21 21 22 Tiếp cận tối ưu vectơ cho mơ hình kinh tế bán độc quyền Cournot Các kiến thức tối ưu vectơ 2.1.1 Bài toán tối ưu mục tiêu 2.1.2 Sự tồn nghiệm 2.1.3 Bài toán tối ưu đa mục tiêu 2.1.4 Định lý vơ hướng hóa 2.2 Bài tốn tối ưu vectơ cho mơ hình Cournot 2.2.1 Mơ hình Cournot 2.2.2 Tiếp cận tối ưu vectơ cho mơ hình Cournot 2.1 25 25 25 25 26 28 30 30 31 i Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 MỞ ĐẦU Mô hình cân thị trường độc quyền A Cournot đưa vào năm 1838 nhiều tác giả giới tập trung nghiên cứu Mô hình Cournot có vai trò quan trọng thực tiễn sống, đặc biệt lĩnh vực kinh tế Một hướng nghiên cứu quan trọng mơ hình xây dựng cách tiếp cận cho mơ hình Cournot Hai cách tiếp cận quan trọng cho mơ hình Cournot tiếp cận cân tiếp cận tối ưu đa mục tiêu Nội dung luận văn này, trình bày cách tiếp cận cân cho mơ hình Cournot Bản luận văn gồm hai chương: Chương Tiếp cận cân Nash cho mô hình kinh tế bán độc quyền Cournot Trong chương ta tìm hiểu kiến thức tập lồi, hàm lồi, toán tử đơn điệu toán cân Sau đó, trình bày mơ hình cân với cưới phí tuyến tính mơ hình cân với cước phí lõm Chương Tiếp cận tối ưu vectơ cho mơ hình bán độc quyền Cournot Chương hai gồm kiến thức tối ưu vectơ : Bài toán tối ưu mục tiêu, tồn nghiệm tốn tối ưu đa mục tiêu, sau trình bày định lý vơ hướng hóa tiếp cận tối ưu vectơ cho mơ hình Cournot Tơi mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Chương Tiếp cận cân Nash cho mơ hình kinh tế bán độc quyền Cournot Trong chương xét nội dung bao gồm: Một số kiến thức liên quan đến khơng gian Rn , giải tích lồi, bất đẳng thức biến phân Tiếp sau mơ hình Cournot theo tiếp cận mơ hình Nash Đồng thời trình bày mơ hình cân với cước phí tuyến tính mơ hình cân với cước phí lõm Các kiến thức chương lấy chủ yếu tài liệu [1], [2], [3], [4], [5] 1.1 Kiến thức chuẩn bị Trong luận văn kí hiệu Rn không gian Euclide thực n chiều Một phần tử x = (x1 , x2 , , xn )T ∈ Rn vectơ cột Rn Ta nhắc lại rằng, với hai vectơ x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , n x, y := xi yi i=1 gọi tích vơ hướng hai vectơ Chuẩn Euclide phần tử x khoảng cách Euclide hai phần tử x, y định nghĩa tương ứng x := x, y , d(x, y) := x − y Ta gọi R = [−∞, +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} tập số thực mở rộng Trước hết ta nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích lồi tốn tử đơn điệu 1.1.1 Tập lồi, hàm lồi toán tử đơn điệu Định nghĩa 1.1 Một tập hợp C ⊂ Rn gọi lồi ∀x, y ∈ C, ≤ λ ≤ ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Các ví dụ tập lồi: Tập khơng gian Rn , siêu phẳng, hình vng, hình tròn Tuy nhiên đường tròn hay hình vành khăn khơng phải tập lồi ✬✩ y x ✫✪ ❆ ❆ x ❆ ❍ ❍ ❅ ❆ ❍ ❆ ❍❅ ❍❅ ❆ ❍ y ❍ ❍ ❅ ❅ Các tập hợp không lồi ❅ ❅ ❅ x ❍ ❍❍ ❅ ❅ ❍ ❅ ❍❍y ❅ ❅ ❅ ❅ Các tập hợp lồi Một số tính chất tập lồi a) Giao số tập lồi tập lồi b) Nếu tập hợp C D lồi C + D, αC (và C − D) lồi c) Bao đóng tập hợp lồi tập hợp lồi d) Tập hợp tất tổ hợp lồi số hữu hạn điểm Rn tập hợp lồi Tập hợp C ⊂ Rn gọi lồi chặt ∀x, y ∈ C, x = y , điểm λx + (1 − λ)y với < λ < điểm C Định nghĩa 1.2 (Xem [4], Định nghĩa 1.1.3) Hàm f : Rn → Rn \ {+∞} gọi (i) lồi C với λ ∈ (0, 1), ∀x, y ∈ C ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), (ii) lồi chặt C với λ ∈ (0, 1), ∀x, y ∈ C, x = y ta có f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), (iii) lồi mạnh C tồn τ ∈ R, τ > với λ ∈ (0, 1), ∀x, y ∈ C ta có f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)τ x−y , (iv) lõm C -f hàm lồi C Định nghĩa 1.3 Một hàm aphin hàm số có dạng f (x) = c, x + α c ∈ Rn , α ∈ R cho trước tùy ý Nếu f (x) hàm afin với x, y ∈ Rn số λ, µ cho λ + µ = ta có f (λx + µy) = λf (x) + µf (y) Một hàm afin f (x) = c, x + α khơng lấy giá trị âm phải đồng với số (vectơ c phải 0), c = ta có f (λc) = c, x + α → −∞ λ → −∞ Định nghĩa 1.4 ( Xem [4], Định nghĩa 1.1.1) Cho C tập lồi Rn , Q: C → Rn ánh xạ Ánh xạ Q gọi (i) Đơn điệu C cặp điểm u, v ∈ C , ta có Q(u) − Q(v), u − v ≥ (ii) Đơn điệu mạnh C với số τ > cặp u, v ∈ C , ta có Q(u) − Q(v), u − v ≥ τ u−v (iii) Đơn điệu ngặt C với u, v ∈ C , ta có Q(u) − Q(v), u − v > (iv) Giả đơn điệu C cặp điểm u, v ∈ C ta có Q(v), u − v ≥ Q(u), u − v ≥ Định nghĩa 1.5 Đồ thị (epiF), miền hữu hiệu (domF), miền ảnh (rgeF) ánh xạ đa trị F : X → 2Y định nghĩa tương ứng công thức sau epiF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)}; domF = {x ∈ X : F (x) = 0}; rge = {y ∈ Y : ∃x ∈ X : y ∈ F (x)} Ví dụ 1.6 Cho toán tử T đơn trị xác định R sau T (x) = x, ∀x ∈ R Khi đó, T tốn tử đơn điệu ∀x, y ∈ R ta có: T (x) − T (y), x − y = x − y, x − y = (x − y)2 ≥ Định lý 1.7 Toán tử tuyến tính A : Rn → Rn đơn điệu Az, z ≥ 0, ∀z ∈ Rn Chứng minh Hiển nhiên domA = Rn A toán tử đơn điệu Theo định nghĩa, A toán tử đơn điệu A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ Rn , hay A(x − y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ Rn Đặt z = x − y ta có Az, z ≥ 0, ∀z ∈ Rn Định nghĩa 1.8 (Phép toán bảo tồn tính đơn điệu) Các tính chất sau ln n n (i) T : Rn → 2R đơn điệu T −1 : Rn → 2R đơn điệu n (ii) Nếu T1 , T2 toán tử đơn điệu từ Rn → 2R λ1 , λ2 ≥ λ1 T1 + λ2 T2 toán tử đơn điệu Nếu thêm điều kiện T1 T2 đơn điệu chặt λ1 T1 + λ2 T2 đơn điệu chặt n (iii) Nếu T : Rn → 2R toán tử đơn điệu A : Rn → Rn toán tử tuyến tính, A∗ tốn tử liên hợp A S(x) = A∗ T (Ax + b) tốn tử đơn điệu Ngồi A đơn ánh T tốn tử đơn điệu chặt S toán tử đơn điệu chặt Chứng minh (i) Theo định nghĩa toán tử T đơn điệu x − y, u − v ≥ 0, ∀x, y ∈ domT, x = y, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y), hay x − y, u − v ≥ 0; ∀x, y ∈ domT −1 , x = y, ∀x ∈ T −1 (u), ∀y ∈ T −1 (v) Điều chứng tỏ T −1 tốn tử đơn điệu (ii Hiển nhiên ta có dom(λ1 T1 + λ2 T2 ) = {z ∈ Rn : λ1 T1 (z) + λ2 T2 (z) = 0} = domT1 ∩ domT2 Giả sử x, y ∈ domT1 ∩ domT2 u ∈ (λ1 T1 + λ2 T2 )(x) = λ1 T1 (x) + λ2 T2 (x) v ∈ (λ1 T1 + λ2 T2 )(y) = λ1 T1 (y) + λ2 T2 (y) Lấy ui ∈ Ti (x), vi ∈ Ti (y), i = 1, cho u = λ1 u1 + λ2 u2 , v = λ1 v1 + λ2 v2 , T1 , T2 tốn tử đơn điệu nên ta có ... mơ hình xây dựng cách tiếp cận cho mơ hình Cournot Hai cách tiếp cận quan trọng cho mơ hình Cournot tiếp cận cân tiếp cận tối ưu đa mục tiêu Nội dung luận văn này, trình bày cách tiếp cận cân cho. .. x = y ta có f ( x + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), (iii) lồi mạnh C tồn τ ∈ R, τ > với λ ∈ (0 , 1), ∀x, y ∈ C ta có f ( x + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) − (1 − λ)τ x−y , (iv) lõm C -f... mơ hình Cournot Bản luận văn gồm hai chương: Chương Tiếp cận cân Nash cho mơ hình kinh tế bán độc quyền Cournot Trong chương ta tìm hiểu kiến thức tập lồi, hàm lồi, toán tử đơn điệu toán cân