Đang tải... (xem toàn văn)
Các thuật toán cơ bản trong lý thuyết số ( Luận án thạc sĩ)Các thuật toán cơ bản trong lý thuyết số ( Luận án thạc sĩ)Các thuật toán cơ bản trong lý thuyết số ( Luận án thạc sĩ)Các thuật toán cơ bản trong lý thuyết số ( Luận án thạc sĩ)Các thuật toán cơ bản trong lý thuyết số ( Luận án thạc sĩ)Các thuật toán cơ bản trong lý thuyết số ( Luận án thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÙY DUNG CÁC THUẬT TOÁN CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÙY DUNG CÁC THUẬT TOÁN CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT SỐ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Thái Nguyên - Năm 2014 i Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung Các thuật toán lý thuyết số 1.1 Tìm thương số dư 1.2 Thuật toán Euclid phân tích số thừa số nguyên tố 1.3 Thuật tốn tìm ước số chung lớn 1.4 Thuật tốn tìm bội số chung nhỏ 12 1.5 Thuật toán Lucas - Lehmer tìm số nguyên tố 15 1.6 Thuật tốn Miller tìm số giả nguyên tố 18 1.7 Một số thuật tốn mật mã cơng khai 23 1.8 Một số thuật toán khác 28 Lập trình thực thi máy tính số thuật tốn số học 30 2.1 Tìm thương số dư 30 2.2 Kiểm tra số nguyên tố 43 2.3 Phân tích số thừa số nguyên tố 50 2.4 Tìm ước chung lớn 59 i 2.5 Tìm bội chung nhỏ 66 2.6 Tìm số nguyên tố đứng sau đứng trước số tự nhiên 74 2.7 Một số ứng dụng lý thuyết mật mã 75 2.8 Maple số giả thuyết số nguyên tố 77 Kết luận 82 Tài liệu tham khảo 84 ii LỜI CẢM ƠN Với lòng kính trọng biết ơn sâu sắc em xin chân thành cảm ơn thày PGS TS Tạ Duy Phượng hướng dẫn bảo tận tình cho em suốt trình làm luận văn Thầy không truyền thụ tri thức khoa học mà dẫn cho em phương pháp làm việc tốt lời động viên khuyến khích kịp thời Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Tốn - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K6B quan tâm, động viên, giúp đỡ em suốt thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, 2014 Nguyễn Thùy Dung Mở đầu Cùng với phát triển máy tính điện tử, tin học ngày xâm nhập sâu vào chương trình giảng dạy tốn, chí cấp phổ thơng Một số thuật tốn lý thuyết số biết đến từ thời Euclid Tuy nhiên, thực thi chúng với số lớn không dễ dàng máy tính điện tử Cùng với phát triển toán tin học, nhiều thuật toán đời, đáp ứng đòi hỏi thực tế (mật mã hóa cơng khai, phân tích số ngun tố lớn, ) Vì vậy, ngành số học thuật tốn đời Việc tổng hợp, nghiên cứu xây dựng chương trình tính tốn số học cơng việc thú vị hữu ích Để đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy, tác giả chọn đề tài “ Các thuật toán lý thuyết số” Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Các thuật toán lý thuyết số Trình bày thuật tốn Lý thuyết số (tìm ước số chung lớn nhất, bội số chung nhỏ nhất, tìm số dư thương chia số nguyên cho số nguyên khác, thuật tốn Euclid phân tích số thừa số ngun tố, thuật tốn Lucas- Lehmer tìm số ngun tố, thuật tốn Miller tìm số giả ngun tố) Chương Lập trình thực thi máy tính điện tử số thuật tốn số học Trình bày chương trình có sẵn tự lập trình cho thuật toán nêu chương Thực thi máy tính điện tử khoa học (Vinacal 570ES Plus II), chương trình Pascal chương trình tính tốn Maple Chương Các thuật toán lý thuyết số Chương trình bày số thuật toán liên quan đến ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, tìm số nguyên tố, phân tích số thừa số nguyên tố Các vấn đề trình bày chương tham khảo trích dẫn chủ yếu từ số tài liệu [4], [5], [6] 1.1 Tìm thương số dư Cơ sở lý thuyết phép chia với dư định lý phép chia có dư Định lý ứng dụng giải thuật Euclid tìm ước chung lớn hai số nguyên khác Định lý phép chia với dư: Với hai số tự nhiên a b (a > b), tìm số q r cho a = qb + r, ≤ r < b Khi r = ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ta nói a bội số b hay b ước số a Các số nguyên định lý gọi sau: q gọi thương chia a cho b r gọi số dư chia a cho b b gọi số chia a gọi số bị chia Phép tốn tìm q r gọi phép chia với dư Chứng minh Trước tiên ta nhớ lại Tiên đề Archimede Với số thực x > số thực y tồn số tự nhiên n cho nx > y Hệ Với số thực x < số thực y tồn số tự nhiên n cho nx < y Nguyên lý thứ tự tốt Mọi tập khác rỗng số tự nhiên có phần tử bé Chứng minh định lý gồm hai phần: chứng minh tồn q r, thứ hai, chứng minh tính q r Sự tồn Xét tập hợp S = {a − nb, n ∈ Z} Ta khẳng định S chứa số ngun khơng âm Có hai trường hợp sau Nếu b < 0, −b > 0, theo tính chất Archimede, có số ngun n cho −bn ≥ −a, nghĩa a − bn ≥ Nếu b > 0, theo tính chất Archimede, có số nguyên n cho bn ≥ −a, nghĩa a − b (−n) = a + bn ≥ Như S chứa số nguyên không âm Theo nguyên lý thứ tự tốt, S có số ngun khơng âm nhỏ nhất, ta gọi số r a−r Đặt q = , q r số nguyên a = qb + r Ta phải b ≤ r < |b| Tính khơng âm r rõ ràng theo cách chọn r Ta chứng tỏ dấu bất đẳng thức thứ hai Giả sử ngược lại r ≥ |b| Vì b = 0, r > nên b > b < Nếu b > 0, r ≥ b suy a − qb ≥ b Từ a − qb − b ≥ 0, lại dẫn tới a − (q + 1) b ≥ Đặt r = a − (q + 1) b r ∈ S r = a − (q + 1) b = r − b < r, điều mâu thuẫn với tính chất r phần tử khơng âm nhỏ S Nếu b < r ≥ −b a − qb ≥ −b Từ suy a − qb + b ≥ 0, tiếp tục suy r = a−(q − 1) b ≥ Do đó, r ∈ S r = r+b với b < ta có r = a − (q − 1) b < r, mâu thuẫn với giả thiết r số nguyên không âm nhỏ S Như ta chứng minh tồn q r Tính Giả sử tồn q , q , r, r với ≤ r, r < |b| cho a = q + r a = q + r Khơng tính tổng qt giả sử q ≤ r Từ hai đẳng thức ta có b q − q = r − r Nếu b > r ≤ r r < b ≤ b + r , r − r < b Còn b < r ≤ r r < −b ≤ −b + r, − r − r < −b Trong hai trường hợp ta có r − r < |b| Mặt khác đẳng thức b q − q = r−r chứng tỏ |b| chia hết r − r , |b| ≤ r − r r − r = Nhưng r − r ≤ |b| , nên r = r Thay vào đẳng thức b q − q = r − r ta có bq = bq b khác 0, nên q = q Tính chứng minh Thuật tốn chia Để chia số tự nhiên a cho số tự nhiên d (a > d), ta thực theo ví dụ sau: Ví dụ 1.1 Chia a = 1542014 cho d = 135 Giải Phân tích số a = 1542014 theo số 10 ta được: ... tài “ Các thuật toán lý thuyết số Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Các thuật toán lý thuyết số Trình bày thuật tốn Lý thuyết số (tìm ước số. .. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÙY DUNG CÁC THUẬT TOÁN CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT SỐ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS... giải thuật cổ xưa để lập bảng tất số nguyên tố nhỏ số n cho trước Giải thuật xóa số khỏi tập số nguyên tố Số số số 2, số nguyên tố Bắt đầu từ số xoá tất bội khỏi bảng Số khơng bị xố sau số (số