Đang tải... (xem toàn văn)
A: ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Toán học là môn khoa học được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống, một môn học không thể thiếu được với mỗi chúng ta, là môn học trừu tượng và khó cho người học cũng như người dạy. Với vai trò quan trọng của bộ môn có tính quyết định đến chất lượng học tập các bộ môn khác. Hơn nữa chương trình toán THCS là những viên gạch đặt nền móng đầu tiên cho cả quá trình học tập sau này. Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học. Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ. Trong nhiều năm trở lại đây trong đề khảo sát cuối năm, các đề thi vào lớp 10 THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 đều có các bài toán về phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Viét khá phổ biến. Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng. Vì thế đa số học sinh khi gặp bài toán có vận dụng hệ thức Viét thì đều lúng túng không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cách đọc thêm sách tham khảo nên việc áp dụng hệ thức Viét còn nhiều hạn chế. Bản thân là giáo viên đã nhiều năm giảng dạy môn Toán khối 9, tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10. Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Viét để giải các bài toán về phương trình bậc hai. Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển. Đó là lý do tôi chọn đề tài này: “Ứng dụng hệ thức Viét để giải các bài toán về phương trình bậc hai”.
MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ: I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA SKKN: III- PHƯƠNG PHÁP, PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU Phương pháp: Phạm vi đối tượng nghiên cứu: B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I- CƠ SỞ LÝ LUẬN II- THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: Thực trạng Kết thực trạng: III- CÁC GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Lý thuyết: Các ứng dụng hệ thức Vi-ét: IV-KIỂM NGHIỆM 18 C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 19 I- KẾT LUẬN: 19 II- KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT: 19 A: ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Toán học môn khoa học ứng dụng nhiều sống, môn học thiếu với chúng ta, mơn học trừu tượng khó cho người học người dạy Với vai trò quan trọng mơn có tính định đến chất lượng học tập môn khác Hơn chương trình tốn THCS viên gạch đặt móng cho trình học tập sau Mơn Tốn THCS có vai trò quan trọng, mặt phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ thái độ mà học sinh lĩnh hội hình thành bậc tiểu học, mặt khác góp phần chuẩn bị kiến thức, kỹ thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề vào lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi hiểu biết định Tốn học Chương trình Tốn THCS khẳng định trình dạy học trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức kỹ Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh kiến thức bản, tìm tòi đủ cách giải tốn để phát huy tính tích cực học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ Trong nhiều năm trở lại đề khảo sát cuối năm, đề thi vào lớp 10 THPT, đề thi tuyển học sinh giỏi lớp có tốn phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dạng Vì đa số học sinh gặp tốn có vận dụng hệ thức Vi-ét lúng túng khơng giải chương trình học có tiết, nhà em khơng biết cách đọc thêm sách tham khảo nên việc áp dụng hệ thức Vi-ét nhiều hạn chế Bản thân giáo viên nhiều năm giảng dạy mơn Tốn khối 9, tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi lớp ôn tập nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 Vì tơi suy nghĩ làm để nâng cao chất lượng học tập cho em học sinh, giúp em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải tốn phương trình bậc hai Góp phần giúp em tự tin kỳ thi tuyển Đó lý chọn đề tài này: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải toán phương trình bậc hai” II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: Nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải tốn phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho em học sinh lớp THCS Từ em làm tốt tốn phương trình bậc hai kỳ thi tuyển Kích thích, giúp em biết cách tìm kiến thức nhiều nữa, khơng phương trình bậc hai mà dạng tốn khác Nghiên cứu phương trình bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét, tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho III PHƯƠNG PHÁP PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU: Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Đọc chọn toán phương trình bậc có ứng dụng thức Vi-ét, xếp thành nhóm ứng dụng - Phương pháp vấn, điều tra: Điều tra kết thông qua kiểm tra 30 học sinh lớp 9A - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Sau xếp thành nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tơi thực lên lớp hướng dẫn học sinh ứng dụng Phạm vi đối tượng nghiên cứu: - Khảo sát mức độ vận dụng hệ thức Vi-ét học sinh lớp 9A trường THCS Nga An năm học 2013-2014 trước sau tổ chức hướng dẫn cho học sinh học hệ thức Vi-ét ứng dụng - Nghiên cứu ứng dụng hệ thức Vi-ét mơn đại số lớp 9, tìm hiểu phương trình bậc hai có ứng dụng thức Vi-ét Kế hoạch nghiên cứu: Năm học 2013-2014 B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN Với mục tiêu giáo dục phổ thông “Giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ Tổ quốc” Để thực mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS thiết kế theo hướng giảm tính lý thuyết, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học lớp, tăng thời gian tự học hoạt động ngoại khóa Trong chương trình lớp 9, hệ thức Vi-ét học tiết: * Tiết 1: Học sinh học hệ thức Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn, vận dụng làm tập * Tiết 2: Vận dụng hệ thức Vi-ét để tìm hai số biết tổng tích chúng, từ biết lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm làm tập củng cố tiết lý thuyết vừa học Theo chương trình trên, học sinh học hệ thức Vi-ét khơng có nhiều tiết học sâu khai thác ứng dụng hệ thức Vi-ét nên em nắm vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Thực trạng Thuận lợi: - Phần đa số học sinh lớp có ý thức học tập tốt, nắm kiến thức chương trình THCS - Bản thân giáo viên có nhiều năm tham gia dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9, ôn tập cho học sinh thi vào THPT - Công tác bồi dưỡng, phụ đạo cho học sinh làm thường xuyên góp phần nâng cao kiến thức cho học sinh Khó khăn - Thời lượng phân bố tiết cho phần hạn chế, chưa khai thác hết ứng dụng hệ thức Vi-ét - Một phận học sinh chưa có ý thức học tập tốt, chưa có quan tâm thường xuyên bậc phụ huynh nên kết học tập yếu - Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Tốn hạn chế Kết thực trạng Trong thực tế giảng dạy toán trường THCS Nga An, việc ứng dụng hệ thức Vi-ét học sinh nhiều khó khăn Nhiều em không định hướng cách làm, kỹ vận dụng yếu Số lượng học sinh vận dung hệ thức Vi-ét thấp Kết thống kê kiểm tra sau dạy tiết hệ thức Vi-ét sau: Giỏi Khá TB Yếu Kém Lớp TSHS SL % SL % SL % SL % SL % 9A 30 3.3 16.7 11 36.7 11 36.7 6.6 III CÁC GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Lý thuyết * Hệ thức Vi-ét: Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc hai: + bx + c = (a ≠ 0) thì: ax b � x x � � a � c �x1 x2 � a Các ứng dụng hệ thức Vi-ét Sau học sinh nắm nội dung hệ thức Vi-ét, giáo viên chia tập ứng dụng hệ thức Vi-ét thành dạng cụ thể sau: Dạng 1: Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn: Dạng 2: Tìm hai số biết tổng tích chúng: Dạng 3: Lập phương trình bậc hai : Dạng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình: Dạng Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số : Dạng Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai: Dạng Tìm GTLN, GTNN, bất đẳng thức biểu thức nghiệm: Với dạng giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cách giải tìm tập minh họa, tổ chức buổi ôn tập cho học sinh Dạng 1: Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn: Cách giải Nếu phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: * a +b+c =0 phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = c a * a -b+c =0 phương trình có nghiệm x1 = -1, nghiệm x2 = c a Ví dụ * Tính nhẩm nghiệm phương trình cho trước Ví dụ1 : Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: a/ 5x2 - 8x + = (1) b/ 11x2 + 15x + = (2) Giải: Ta thấy: Phương trình (1) có dạng a + b + c = 5-8+3=0, nên có nghiệm x1 = nghiệm x2 = Phương trình (2) có a - b + c =11 - 15 + = 0, nên có nghiệm x1 = -1 nghiệm x2 = 4 11 Bài tập áp dụng: Hãy tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a/ 101x2 - 105x + = b/ 7x2 - 20x - 27 = c/ 2x2 - 29x +27 = d/ 4531x2 + 31x - 4500 = * Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình, tìm nghiệm lại: Ví dụ 2: a/ Cho phương trình 2x2 + 2mx + = (1) có nghiệm x = -2 Tìm m nghiệm lại b/ Phương trình x2 - 4kx + = (2) có nghiệm x = 3, tìm k nghiệm lại Giải: a/ Ta thay x1 = -2 vào phương trình (1), ta được: 2.(-2) + 4.(-2).m + = �m 13 Theo hệ thức Vi-ét : x1 x2 = 5 suy ra: x2 = b/ Ta thay x1 = vào phương trình (2) ta được: 32- 4.3.k +6 = � k Theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = suy ra: x2 = Dạng 2: Tìm hai số biết tổng tích chúng: Cách giải Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình : x2 – Sx + P = Điều kiện để tồn hai số là: S2 - 4P ≥ Ví dụ Ví dụ : Tìm hai số u v biết u+v = - u.v = - Giải: Hai số u v hai nghiệm phương trình: x2 + 3x – = Giải phương trình ta x1= x2= - Vậy u = v = - Hoặc u = - v = Bài tập áp dụng: Tìm hai số a, b biết tổng S tích P: a/ S = P = b/ S = -3 P = c/ S = P = 20 d/ S = 2x P = x2 – y2 Bài tập nâng cao: Tìm hai số a, b biết: a/ a + b = a2 + b2 = 41 b/ a - b = a.b = 36 2 c/ a + b =61 a.b = 30 Hướng dẫn: a/ Theo đề ta dã biết tổng hai số a b, để áp dụng hệ thức Vi-ét cần tìm tích hai số a b Từ a b � a b 81 � a 2ab b 81 � ab 2 81 a b 2 20 x 4 � x2 � Suy ra: a, b nghiệm phương trình : x x 20 � � Vậy: Nếu a = b = Nếu a = b = b/ Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng: a + b Từ a b a b 4ab � a b a b 4ab 169 2 2 a b 13 � � a b 132 � � a b 13 � - Với a + b = -13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x 4 � x 13 x 36 � �1 x2 9 � Vậy a = - b = - - Với a + b = 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x 4 � x 13x 36 � �1 x2 � Vậy a = b = c/ Đã biết ab = 30, cần tìm a + b: a b 11 � a b 11 � 2 2 Từ a b 61 � a b a b 2ab 61 2.30 121 11 � � - Nếu a + b = -11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : x 5 � x 11x 30 � �1 x2 6 � Vậy a = - b = - hay a = - b = - - Với a + b = 11 ab = 30, nên a, b hai nghiệm phương trình : x 5 � x 11x 30 � �1 x2 � Vậy a = b = hay a = b = Với câu giáo viên hướng dẫn cho học sinh làm theo cách khác Dạng 3: Lập phương trình bậc hai * Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2 Ví dụ: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1= -2; x2= Giải: �x1 x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: � �x1 x2 10 Vậy x1; x2 nghiệm phương trình có dạng: x2 - 3x -10 = Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm: a/ x1= x2= - b/ x1= 3a x2= a c/ x1= 36 x2= - 104 d/ x1= 1+ x2= - * Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước Ví dụ: Cho phương trình x2 – 7x + = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1 x2 Giải: 1 y2 x1 x1 x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có : �1 � 1 x x 49 x1 x1 x2 � � x1 x2 x1 x2 x1 x2 6 �x1 x2 � � �� � 1 49 P y1 y2 �x2 � �x1 � x1 x2 8 x1 x2 6 � x1 �� x2 � S y1 y2 x2 Vậy phương trình cần lập có dạng: y Sy P hay y 49 49 y � y 49 y 49 6 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1 x1 1 y2 x2 x2 x1 2/ Cho phương trình: x2 - 5x - = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1 x14 y2 x2 3/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 cho: a/ y1 x1 y2 x2 b/ y1 x1 y2 x2 Dạng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình: Cách giải + Chứng tỏ phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 ( �0) + Biến đổi biểu thức cho dạng tổng tích hai nghiệm + Viết hệ thức Vi-ét thay vào biểu thức tính giá trị Ngồi bước giải trên, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh số phép biến đổi biểu thức để đưa dạng chứa tổng tích nghiệm x x 1 a/ x x x x 2 b/ x12 x2 x12 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 3 2 x1 x2 3x1x2 � c/ x1 x2 x1 x2 x1 x1 x2 x2 x1 x2 � � �hoặc x13 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2x x x1 x2 x1x2 � d/ x14 x2 x12 x22 x12 x2 x12 x2 � � � 2 2 e/ x1 x2 x12 x1 x2 x2 x12 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 � x1 x2 � x1 x2 x1 x2 … 2 Ví dụ Ví dụ 1: Cho phương trình x2- 10x+15 = khơng giải phương trình Hãy tính giá trị biểu thức sau( Với x1, x2 hai nghiệm phương trình x10=> phương trình có hai nghiệm x1, x2 (x10 Phương trình có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 x1.x2 => x1>0, x2>0 a)A= x1 x2 >0 A2= ( x1 x2 )2= x1 x2 2 x1 x2 = = ( 2)2 Vậy A= b) x1 x1 x2 x2 = ( x1 x2 )( x1 x2 x1 x2 ) = ( )( 6) = 3 c) x2 x1 x1 x2 = x2 x1 ( x1 x2 ) 6( 2) d) Đặt B= x1 x2 >0 x1>x2 B2=( x1 x2 )2= x1 x2 2 x1 x2 = = ( 2)2 Vậy B= Bài tập áp dụng: 10 1/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Khơng giải phương trình, tính: 1 b/ x x 2 2/ Cho phương trình: 2x - 3x + = 0, Khơng giải phương trình, tính: a/ x12 x2 a/ x12 x2 1 x1 x2 x1 x2 b/ x x c/ x x d/ x x 2 3/ Cho phương trình: x - x + = có nghiệm x 1, x2 Khơng giải phương trình, tính: Q x12 10 x1 x2 x2 x1 x23 x13 x2 2 2.8 x1 x2 x1 x2 x12 10 x1 x2 x2 17 Q 3 (HD: 2 x1 x2 x1 x2 �4 2.8� 80 ) x1 x2 � �x1 x2 x1 x2 � 5.8 � � � � � 4/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m tham số, có nghiệm x 1, x2 (x1> x2 ) Tính giá trị biểu thức : A x13 x2 x1 x23 theo m Dạng Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Cách giải - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x1 x2 (thường a ≠ �0) - Từ biểu thức nghiệm cho biến đổi để áp dụng hệ thức Vi-ét đưa phương trình có ẩn tham số để giải - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ: Ví dụ 1: Cho phương trình x2+mx-m2-8=0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x21+x22=25 Khi gặp phương trình chứa tham số m, sai lầm thường mắc phải học sinh khơng tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà thường vận dụng ln hệ thức Vi-ét, giáo viên cần nhấn mạnh cách giải bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ cho học sinh giải Giải: 2 Xét phương trình x +mx-m -8=0 Ta có: = m2+4(m2+8)= 5m2+32>0 với m Suy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với m + Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 m (1) x1.x2 m (2) 11 Theo đề ta có: x21+x22=25 � ( x1 x2 ) x1 x2 =25 (3) Thay (1), (2) vào (3) ta có: (-m)2 + 2m2 + 16 = 25 � 3m2 = � m2 = � m = � Vậy với m= � phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x21+x22=25 Ví dụ : Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1 x2 x1 x2 Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m �0 m �0 � � m �0 � � � �� �� � 2 m 21 � � ' �0 � � m 3 m �0 � ' m 2m 1 9m 27 �0 � ' � m �0 m �0 � � �� �� ' m 1 �0 m �1 � � 6(m 1) � S x1 x2 � � m Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: � �P x x 9( m 3) � m Vì x1 x2 x1 x2 (giả thiết) 6(m 1) 9(m 3) � 6(m 1) 9(m 3) � 3m 21 � m ( thỏa mãn) Nên m m Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x x2 thỏa mãn hệ thức: x1 x2 x1 x2 * Nếu hệ thức cho không chứa tổng tích hai nghiệm giáo viên hướng dẫn học sinh giải theo cách sau: + Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm + Viết hệ thức Vi-ét b � x1 x2 (1) � � a � �x1 x2 c (2) � a + Kết hợp với hệ thức cho (3) Từ (1) và(3) ta hệ phương trình ẩn x1, x2 +Giải hệ phương trình ẩn x1, x2 theo m + Thay x1, x2 vào (2) ta phương trình ẩn m + Giải phương trình ẩn m ta tìm m + So sánh với điều kiện có nghiệm.Trả lời Ví dụ 3: Cho phương trình x2-mx+m-1=0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1- 2x2 = Giải: Xét phương trình x -mx+m-1=0 12 Ta có: =(m)2-4(m-1)=m2-4m+4=(m-2)2 �0 với m Suy phương trình có hai nghiệm x1, x2 với m + Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 m (1) x1.x2 m (2) Theo đề ta có: x1-2x2=1 (3) Từ (1) (3) ta có hệ phương trình: �x1 x2 (3) � �x1 x2 m (1) � x1 2m m 1 ; x2 3 Thay x1, x2 vào (2) ta có: 2m m g m 1 3 � 2m 2m m 9m � 2m 10m � m 1; m Vậy m = 1, m = giá tri cần tìm Bài tập áp dụng: 1/Cho phương trình x2-2x+m+2=0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: a) x21+x22+4 x1x2=0 x2 x1 10 b) x x 2/ Cho phương trình x2- (a-2)x - 2a = Tìm a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2x1+ 3x2 = (Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2005-2006) 3/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + =0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1 x2 4/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - =0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1 3x2 5/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2 Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số : Cách giải - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x1 x2 (thường a ≠ �0) - Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để khử tham số Ví dụ 13 Ví dụ 1: Cho phương trình x2+(2m+1)x+m-1=0 Tìm hệ thức liên hệ x 1, x2 không phụ thuộc vào m Giải: Xét phương trình x +(2m+1)x+m-1=0 Ta có: =(2m+1)2-4(m-1) = 4m2+4m+1- 4m+4 = 4m2+5>0 với m Suy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với m + Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 2m (1) x1.x2 m (2) Từ (1) (2) � x1 +x2+2x1x2=-2m-1+2(m-1) � x1 +x2+2x1x2=-3 Vậy hệ thức cần tìm là: x1 +x2+2x1x2=-3 Ví dụ : Gọi x1 x2 nghiệm phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - = chứng minh biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + x1 x2 - không phụ thuộc giá trị m Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m �1 � m �1 � m �0 m �1 � � � � ��2 �� �� � ' �0 5m �0 m m 1 m �0 m� � � � � � 2m � S x1 x2 (1) � � m 1 Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: � �P x1 x2 m (2) � m 1 Thay (1) (2) vào biểu thức A, ta có: A = 3(x1 + x2 ) + x1 x2 – 2m m4 6m 2m 8(m 1) 8 0 m 1 m 1 m 1 m 1 Vậy A = với m �1 m � A= Do biểu thức A khơng phụ thuộc giá trị m Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có nghiệm x1 x2 Hãy lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho x1 x2 độc lập m 2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có nghiệm x x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x x2 phương trình cho x1 x2 khơng phụ thuộc giá trị m 3/ Cho phương trình: x2 – (m + 1)x + (2m - 3) =0 a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 14 b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x , x2 phương trình cho hệ thức khơng phụ thuộc vào m (Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2004-2005) Dạng Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai: Cách giải Cho phương trình: ax2+bx+c= (a �0) Phương trình có nghiệm � �0 Theo hệ thức Vi-ét: S = x1+x2= P = x1x2= b a c a c 0 � a � � � ( ') �0 � b � S= x1 + x � a * Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương: � � c � P = x1x = >0 � a � * Phương trình bậc có hai nghiệm trái dấu � P = x1x2= * Phương trình bậc có nghiệm âm: � � �( ') �0 � b � S= x1 + x � a � c � P = x1x = >0 � a � Ví dụ Ví dụ 1: Khơng giải phương trình, xác định dấu nghiệm số phương trình bậc hai sau: a, 3x2-5x+7=0 b, x2+5x+6=0 c, x2-5x+6=0 d, 7x2-4x-1=0 Giải a, Xét phương trình: 3x2-5x+7=0 Ta có: = 52-4.3.7=25-84=-590 Suy phương trình có nghiệm phân biệt x1,x2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: S = x1+x2= -50 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt dấu âm c, Xét phương trình: x2-5x+6=0 Ta có: = 52-4.6=25-24=1>0 Phương trình có nghiệm phân biệt x1,x2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: S = x1+x2= 5>0 P = x1x2= 6>0 Vậy phương trình có hai nghiệm dương phân biệt d, Xét phương trình: 7x2-4x-1=0 Ta có P = - 0 với m Suy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì: �S � � �P Vậy m 2m � � m 1 � � m � � � � m � m 1 � phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Ví dụ3 : Xác định tham số m cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m – = có nghiệm trái dấu Giải: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: m2 m p0�P � P m 3 m � 2 m Vậy với 2 m phương trình có hai nghiệm trái dấu Bài tập áp dụng: 16 1/ Cho phương trình: mx2-2(m-1)+2m-5=0 a) Tìm điều kiện m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu b) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu c) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt d) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Dạng Tìm GTLN, GTNN, bất đẳng thức biểu thức nghiệm: Cách giải Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm x1, x2 Viết hệ thức Vi-ét theo hệ số phương trình Thay hệ thức vừa viết vào biểu thức cho biến đổi để tìm GTLN, GTNN, chứng minh bất đẳng thức Ví dụ Ví dụ 1: Cho phương trình x2-(2m+1)x+m2+m-1=0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 cho A=(2x1-x2) (2x2-x1) đạt GTNN Giải: 2 Xét phương trình x -(2m+1)x+m +m-1=0 Phương trình có nghiệm � =(2m+1)2-4(m2+m-1)=5 >0 với m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 + Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 2m (1) x1.x2 m m (2) Thay (1) (2) vào A : A=(2x1-x2) (2x2-x1)=4 x1x2-2 x12-2 x22+ x1x2=9 x1x2-2(x1+x2)2 =9(m2+m-1)-2(2m+1)2=m2+m-11=( m )2 Vậy GTNN A= 45 1 � m 0� m 2 45 45 � 4 Ví dụ 2: Cho phương trình x2+2(m-1)x-(2m+5)=0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 biểu thức B=12-10x1x2)- (x12+x22) đạt GTLN Giải: Xét phương trình x +2(m-1)x-(2m+5)=0 Phương trình có nghiệm � ’=(m-1)2+2m+5=m2+6 >0 với m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với m + Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 2(m 1) (1) x1.x2 2m (2) Thay (1) (2) vào B : B=12-10x1x2)- (x12+x22) = 12-8x1x2- (x1+x2)2 =12+8(2m+5)-4(m-1)2 = -4m2+24m+48 = -(2m-6)2+84 �84 Vậy GTLN B = 84 � m = 17 Ví dụ 3: Cho phương trình x2-2(m-1)x-(2m+5)=0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn bất đẳng thức: x1 +x2+2x1x2 �6 Giải: Xét phương trình x -2(m-1)x-(2m+5)=0 Phương trình có nghiệm � ’=(m-1)2+2m+5=m2+6 >0 với m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với m + Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 2(m 1) (1) x1.x2 2m (2) Thay (1) (2) vào bất đẳng thức: x1 +x2+2x1x2 �6 � 2(m-1)- 2(2m+5) �6 � 2m-2-4m-10 �6 � -2m �18 � m �-9 Vậy m �-9 điều kiện cần tìm Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 +(4m + 1)x + 2(m – 4) =0 Tìm m để biểu thức A x1 x2 có giá trị nhỏ 2/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – = Xác định m nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện : a/ A x1 x2 3x1 x2 đạt giá trị lớn b/ B x12 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ 3/ Cho phương trình: x2 - (2m - 1)x + m(m-1) = (1) a/ Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) (với x1< x2) Chứng minh x12 x2 �0 (Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2011-2012) IV KIỂM NGHIỆM Sau dạy xong cho học sinh phần kiến thức kết hợp với việc rèn luyện giải số tập nhận thấy: - Học sinh nắm vấn đề liên quan đến phương trình bậc hai hệ thức Vi-ét - Học sinh biết phân biệt nhận dạng loại tập vận dụng linh hoạt kiến thức học để giải toán - Học sinh làm trình bày khoa học, lập luận chặt chẽ - Kết kiểm tra học 30 sinh lớp 9A năm học 2013-2014 sau ứng dụng sau Giỏi Khá TB Yếu Kém Lớp TSHS SL % SL % SL % SL % SL % 9A 30 23.3 10 33.4 11 36.7 6.6 0 C KẾT LUẬN 18 I KẾT LUẬN Qua nghiên cứu lý luận áp dụng giải pháp làm trường trung học sở Nga An tự rút kết luận sau đây: Đa số em học sinh khá, giỏi muốn mở rộng, nâng cao kiến thức em cách nào, đọc sách tốt sách tham khảo nhiều loại Vì giáo viên cần nghiên cứu tìm cách hướng dẫn học sinh cách tự học nhà, tự chọn sách tham khảo,… Tạo cho học sinh niềm say mê hứng thú học tập, u thích mơn toán Xây dựng kế hoạch tổ chức bồi dưỡng học sinh giỏi, phụ đạo học sinh yếu tiết dạy khóa ngồi Làm tốt cơng tác biểu dương khen thưởng học sinh có nhiều tiến học tập Cần nâng cao nhận thức cho giáo viên, học sinh, phụ huynh mục đích, ý nghĩa, vai trò mơn tốn nội dung chương trình THCS Mong đề tài: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải toán phương trình bậc hai” góp phần giúp em thêm kiến thức, biết ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải tốn phương trình bậc hai để em thêm tự tin kỳ thi tuyển II ĐỀ XUẤT Trên số kinh nghiệm biện pháp nhằm giúp học sinh vận dụng tốt ứng dụng hệ thức Vi-ét học sinh lớp trường THCS Nga An mà tơi áp dụng thời gian qua, đem lại kết định Tuy nhiên q trình tổ chức chắn khơng tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp đồng chí đồng nghiệp để chất lượng giáo dục nhà trường nói chung mơn tốn nói riêng ngày vững Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nga Sơn, ngày 10 tháng năm 2014 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Trịnh Thị Trang 19 ... này: Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải tốn phương trình bậc hai” II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: Nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải toán phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét... trình lớp 9, hệ thức Vi-ét học tiết: * Tiết 1: Học sinh học hệ thức Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn, vận dụng làm tập * Tiết 2: Vận dụng hệ thức Vi-ét để tìm hai... học sinh học hệ thức Vi-ét ứng dụng - Nghiên cứu ứng dụng hệ thức Vi-ét môn đại số lớp 9, tìm hiểu phương trình bậc hai có ứng dụng thức Vi-ét Kế hoạch nghiên cứu: Năm học 2013-2014 B GIẢI QUYẾT