Sở GD - ĐT Thái Bình Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 Trờng THPT Nam Tiền hải năm học 2008 - 2009 --------o0o------- (Thời gian 180 phút) Bài 1: (6 điểm) 1. Khảo sát vẽ đồ thị hàm y = 4x 3 - 3x 2. Chứng minh phơng trình 3 2 4 3 1x x x = có 3 nghiệm. Bài 2: (4 điểm) 1. Cho x>y>0. Chứng minh 2 ln ln x y x y x y + > 2. Giải bất phơng trình: ( ) 2 2 2 1 4 2 log log 3 5 log 3x x x+ > Bài 3: (4 điểm) 1. Giải phơng trình: 2 1 2 og cos 2 cos sin 2 cos 0 2 2 x x L x Log x + + + = ữ ữ 2. Chứng minh: 2 3 4 * 2 3 4 2 3 . 1 , 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) n n C n C n C n nC n n N n n n n n + + + + = Bài 4: (6 điểm) Cho tứ diện ABCD có BC=a, AB=AC=b, BD = DC = c Gọi là góc AID (với I là trung điểm BC, 0<< 2 ) 1. Với điểu kiện nào của b,c thì đờng nối I với trung điểm J của AD là đờng vuông góc chung của BC và AD. Chứng minh khi đó hình cầu đờng kính CD đi qua I và J 2. Với b = c. Tính V ABCD theo a,b,. Với b = c = 3 2 a xác định để hình cầu đờng kính IJ tiếp xúc với CD. Ngời ra đề Ngời thẩm định BGH duyệt Sở GD - ĐT Thái Bình đáp án sơ lợc đề học sinh giỏi Toán lớp 12 Trờng THPT Nam Tiền hải năm học 2008 - 2009 --------o0o------- (Thời gian 180 phút) Bài 1: (6 điểm) 1. (3 điểm): y = 4x 3 - 3x BBT x - 1 2 1 2 y' 0 0 y 1 + - -1 2. (3 điểm) Chứng minh phơng trình 3 2 4 3 1x x x = có 3 nghiệm. - Có đồ thị y = 4x 3 - 3x đã vẽ ở trên - Hàm y= 2 1 x <=> y > 0 x 2 +y 2 = 1 Có đồ thị là nửa đờng tròn tâm o, bán kính bằng 1. - Vẽ chúng trên cùng hệ trục => đ.p.c.m Bài 2: (4 điểm) 1. Cho x>y>0. Chứng minh 2 ln ln x y x y x y + > Do x > y> 0 => lnx - lny > BĐT <=> lnx - lny > 1 2 ln 2 1 x x y x y x x y y y > + + 1 ln 2 0(1) 1 x x y x y y > + Xét f(t) = ln t - 2 1 1 t t + với t > 1 f'(t) = 2 2 ( 1) 0 ( 1) t t t > + t >1 => f(t) đồng biến khi t > 1 Vì 1 x y > => ( ) (1) x f f y > => (1) đợc c.m 2. Giải bpt: ( ) 2 2 2 1 4 2 log log 3 5 log 3x x x+ > Đk: x > 0 => 2 2 1 2 4 2 2 log 2 log & log logx x x= = Bpt <=> ( ) 2 2 2 log 2log 3 5 log 3x x x > (1) (1) tơng đơng với 2 hệ sau: a. x > 0 2 2 2 1 log 2 log 3 0 0 2 log 3 x x x x < < < b. x> 0 2 2 2 2 2 log 3 log 2log 3 5(log 3) x x x x > > x > 8 4t 2 -28t +48 < 0 (t=log 2 x) <=> 8< x< 16 Vậy tập nghiệm là S = ( ) 1 0; 8;16 2 Bài 3 (4 điểm) 1. Giải phơng trình: 2 1 2 log cos 2 cos log sin 2 cos 0 2 2 x x x x + + + = ữ ữ pt: 2 2 log cos 2 cos log sin 2 cos 2 2 x x x x + + + ữ ữ cos 2 cos 2 x x + > 0 (1) cos 2 cos 2 x x + = sin 2 cos 2 x x + (2) (2) <=> tan2x = 1 <=> x = 8 2 k + Thử điều kiện (1) ta đợc x= 5 2 , 2 8 8 k x k + = + Kết luận 2. Chứng minh: 2 3 4 * 2 3 4 2 3 . 1 , 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) n n C n C n C n nC n n N n n n n n + + + + = xét f(x) = 1 . 1 n x x + ữ f'(x) = 1 1 1 1 . 1 n n x x + + ữ ữ (1) f(x) = 0 1 2 2 1 1 1 . . n n n n n n x c c c c x x x + + + + ữ = 0 1 2 3 2 1 1 1 . n n n n n n n c x c c c c x x x + + + + + ữ f'(x) = 2 3 4 0 2 3 4 2 3 ( 1) . n n n n n n n c c c n c c x x x x + + + + (2) Từ (1) và (2) cho (3) Trong (3) thay x=n-1 thì VT = 0 và cho kết quả Bài 4 (6 điểm). - Dễ thấy điều kiện là b = c - Hình cầu đờng kính CD có tâm là trung điểm Q của CD - DIC: QI = QD = QC = DC/2 B= c => AD JC - Tam giác vuông DJC: QJ = QD = QC => QD = QC = QI = QJ => Hình cầu đờng kính CD đi qua I và J có = AID BC = (AID) => V ABCD = V BADC = 2V BADI = 2/3 BI .S ADI = 2 1 . . .sin 3 2 2 a AI DI Vì b = c => AI = DI = AI.DI = AI 2 = b 2 -a 2 /4 => V ABCD = ( ) 2 2 sin . 4 24 a b a 2. 0 là trung điểm của I và J Hình cầu đờng kính IJ tiếp xúc CD <=> (0,DC) = 1/2IJ Khi b = c = 3 2 2 2 a a AI ID = = Có FC = CI = a/2 (hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ C) ( ) 3 2 2 3 1 2 a a DF D FC a DJ DF = = = = (Hai tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm) Có 6 2 sin sin cos 2 3 3 2 2 JD JID DI = = = = Vậy = arccos (2 3 3) Ngời ra đề Ngời thẩm định BGH duyệt A J D B I C Q x B J A D I C F 0 Sở GD - ĐT Thái Bình Đề thi học kỳ 1 - môn toán lớp 12 Trờng THPT Nam Tiền hải năm học 2008 - 2009 --------o0o------- (Thời gian 120 phút) Bài 1: (3 điểm) Cho hàm số y = f(x) = 2 1 1 x x có đồ thị (C) 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) 2. Viết phơng trình tiếp tuyến tại A = (C) OX Bài 2: (2 điểm) 1. Cho 0 < < 2 . Chứng minh: .sin + cos > 1 2. Giải phơng trình: Log 2 (4 x + 4) = x - log 1/2 (2 x+1 -3) Bài 3: (2 điểm) Tính: a. A= 2 2 sin cos sin 2cos 5 x xdx x x+ + b. B = 3 2 4 sin xdx x Bài 4 (2,5 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. 1. Tính thể tích hình chóp. 2. Xác định tâm và tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 5 (0,5 điểm) Tính I= 2 2 2 0 3sin cos dx x x + Ngời ra đề Ngời thẩm định BGH duyệt Sở GD - ĐT Thái Bình đáp án đề thi Toán lớp 12- học kỳ I Trờng THPT Nam Tiền hải năm học 2008 - 2009 --------o0o------- (Thời gian 120 phút) Bài 1: 1. BBT X - 1 + TCĐ: x = 1 y' - - TCN: y=2 y 2 + - 2 2. A = (C) OX => A (-1/2;0) f'(A) = -4/3 => pttt tại A là: y- 0 = 4 1 3 2 x + ữ <=> 4 2 3 3 y x = Bài 2: 1. Xét f(x) = xsinx + cosx/ 0; 2 I = f'(x) = xcosx > 0 x thuộc I Vậy f(x) đồng biến trên I Do > 0 => f() > f(0) => sin + cos > 1 2. Điều kiện 2 x+1 -3 > 0 <=> x > 2 3 log 2 Phơng trình <=> 2 2 2 4 log 2.2 3 x x x + = <=> 2 2 4 2 2 4 2 2.2 3 x x x x x + = = = ` Kết luận x = 2 Bài 3: a. Vì (sin 2 x + 2 cos 2 x + 5)' = -2sinxcosx => sinxcosxdx = -1/2.d(sin 2 x + 2cos 2 x + 5) Có A= ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 sin 2cos 5 1 1 2 ln sin 2 cos 5 ln cos 6 sin 2cos 5 2 2 d x x x x C x c x x + + = + + + = + + + + b. Đặt u = x dv = 2 sin dx x ( ) 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 sin 3 1 3 cos cot cot cot ln sin ln sin 4 9 2 2 d x B x x xdx x x x x x x == + = + = + = + Bài 4: 1. Có 2 3 4 ABCD a S = V Có 2 2 2 2 9 3 3 b a SH SA AH = = 1 . 3 SABC ABC V S SH = V 2 2 2 2 2 2 1 . 3. 9 3 36 1 3 12 a b a a b a = = 2. I là trung điểm của SA Trong (SAM) trung trực SA cắt SH tại 0 Lập luận cho 0 là tâm cầu, bán kính cầu là R = OS = OA Đặt AS0 = 2 cos cos 2 cos 2 SH IS SA SA R OS SA SH = = = = = Vậy bán kính 2 2 2 3 2 9 3 b R b a = Bài 5: I= 2 2 1 2 2 2 2 2 0 4 3sin cos 3sin cos dx dx I I x x x x + = + + + (1) Với I 1 sử dụng phép đổi biến t = tanx => 1 3 9 I = Với I 2 sử dụng phép đối biến t = cotx => 2 3 18 I = Vậy 3 6 I = Ngời ra đề Ngời thẩm định BGH duyệt S B I A C M H 0 . Sở GD - ĐT Thái Bình Đề thi học kỳ 1 - môn toán lớp 12 Trờng THPT Nam Tiền hải năm học 2008 - 2009 --------o0o------- (Thời gian 120 phút) Bài 1: (3 điểm). - ĐT Thái Bình đáp án đề thi Toán lớp 12- học kỳ I Trờng THPT Nam Tiền hải năm học 2008 - 2009 --------o0o------- (Thời gian 120 phút) Bài 1: 1. BBT X