Phòng Giáo dục - đào tạo huyện định hoá Trờng THCS bảo Cờng ================ Chủ đề tự chọn nâng cao Môn Toán lớp 6 Các vấn đề về tính chia hết,ớc và bội Bảo Cờng, tháng 10 năm 2007 Chủ đề Các vấn đề nâng cao về tính chia hết ,ớc và bội. I. Lý thuyết 1. Phép chia hết Cho a và b là hai số nguyên và b 0 . Ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại số nguyên q sao cho a = b.q Khi a chia hết cho b ta nói b là ớc của a hay b chia hết a,hoặc có thể nói a là bội của b *Tính chất : a. a chia hết cho b, b chia hết cho c thì a chia hết cho c b. a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a+b) chia hết cho m ; (a-b) chia hết cho m, (ax +by ) chia hết cho m (x,y Z) c. a chia hết cho m.n thì a chia hết cho m và a chia hết cho n 2. Phép chia có d Định lý : Cho a và b là hai số nguyên và b 0 khi đó tồn tại duy nhất cặp số nguyên (q,r) sao cho a = b.q +r và 0 r | b| - 1. Trong đó r gọi là số d,q gọi là thơng 3. UCLN Cho hai số nguyên a và b không đồng thời bằng 0 . Số nguyên d đợc gọi là ớc chung của a và b nếu d là ớc của cả a và b. Số lớn nhất trong các ớc chung của a và b đ- ợc gọi là ớc số chung lớn nhất của a và b và ký hiệu UCLN(a,b) hay (a,b) Khi (a,b)=1 ta nói hai số a và b là hai số nguyên tố cùng nhau . *Tính chất a. (a,b) = (b,a) b. (a,0) = | a| a 0,(a,1) = 1 a , (a,a) = | a | a 0 c. k(a,b) = (ka,kb), k > 0 d. (a,b) = (b, a- b) e. Nếu (a,c) = 1 thì (ab,c) = (b,c) f. (a 1 ,a 2 , .a n ) = ( d,a n ) trong đó d = (a 1 ,a 2 , .a n-1 ) Để tìm UCLN của a và b trong trờng hợp a không chia hết cho b ngoài cách phân tích a,b ra thừa số nguyên tố còn có một thuật toán hiệu quả xuất phát từ tính chất 4 nêu trên ( thuật toán ơclit)nh sau : a = b.q +r 1 và 0 r 1 | b| b = r 1 .q 1 +r 2 và 0 r 2 r 1 r 1 = r 2 .q 2 +r 3 và 0 r 3 r 2 : r n-2 = r n-1 .q n-1 +r n và 0 r n r n-1 r n-1 = r n .q n ( r n+1 = 0) Khi đó (a,b) = ( b,r 1 ) = (r 1 ,r 2 ) = ( r n-1, ,r n ) = r n 4. BCNN Cho hai số nguyên a và b khác 0 .Số nguyên m đợc gọi là bội chung của a và b nếu m là bội của cả a và b . Số dơng nhỏ nhất trong các bội số chung của a và b đợc gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b . Ký hiệu BCNN(a,b) hay [ a, b ]. *Tính chất a. [ a, b ] = [ b ,a ]. b. [ a, 1 ] = | a | a 0 [ a, a ] = | a | a 0 c. k[ a, b ] = [ ka, kb ] ,k> 0 d. Nếu d là ớc chung của a và b thì [ ] = d b d a d ba , , . e. (a,b) . [ a, b ] = a.b a,b thoả mãn a.b > 0. f. [ a 1 , a 2 , .a n ] = [ m,a n ] nếu m = [ a 1 , a 2 , .a n-1 ] 5. Một số tính chất khác a.Nếu a chia hết cho m ,a chia hết cho n và (m,n)= 1 thì a chia hết cho m.n b. a.b chia hết cho c và (b,c) = 1 thì a chia hết cho c c. p nguyên tố ,nếu a.b chia hết chop thì a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p. d. Chia (n+1) số nguyên dơng cho n(n 1) luôn nhận đợc hai số d bằng nhau . e. Trong n số nguyên liên tiếp (n 1) luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n. g. Tích của n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n ( n N * ) h. Nếu (a,b) = d thì tồn tại 2 số nguyên x,y sao cho : ax+by = d II. Một số dạng bài tập A. Bài tập về tính chia hết Bài toán 1 : Chứng tỏ rằng : a. Trong 2 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2 b. Trong 3 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 c. Rút ra bài toán tổng quát Giải : a. Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là n,n+1,n+2. Xét phép chia n cho 2 có thể xảy ra : * Hoặc n chia hết cho 2 bài toán đợc chứng minh. * Hoặc n không chia hết cho 2 n chia cho 2 d 1 n = 2k +1 ( k N) n+ 1 = 2k+2 vậy n+1 chia hết cho 2 Bài toán đợc chứng minh. b. Tơng tự nh ý a ( xét phép chia cho 3) c. Bài toán tổng quát : Trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n. Bài toán 2 : Chứng tỏ rằng : a.Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3 b. Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4 c. Tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 5 không ? d. Rút ra bài toán tổng quát Giải : a. Gọi tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là : n+(n +1) + (n +2) = 3n +3 Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 (Theo t/c chia hết của tổng ) b. Gọi tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là : n+(n +1) + (n +2) +(n+3) = 4n+5 không chia hết cho 4 c. Chứng minh tơng tự Tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5 d.Bài toán tổng quát : Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n nếu n lẻ,không chia hết cho n nếu n chẵn . Các bài tập t ơng tự : 1.Trong 2 số chẵn liên tiếp có một số chia hết cho 4 2.Tổng 2 số lẻ liên tiếp chia hết cho 4 3. Tổng 2 số chẵn liên tiếp không chia hết cho 4 d.Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 Bài toán 3 : Chứng minh rằng a. ab + ba chia hết cho 11 b. Nếu ab = 2 cd thì abcd chia hết cho 67 Giải : a. ab + ba =( 10a +b) + (10b +a) = 11a +11b chia hết cho 11. b. abcd = 100 ab + cd = 100.2 cd + cd = 201 cd chia hết cho 67. Các bài tập t ơng tự : Chứng minh rằng : 1.abcabc chia hết cho 7,11,13. 2.abcdeg chia hết cho 23 và 29 nếu abc = 2 deg 3. Nếu ab + cd + eg chia hết cho 11 thì abcdeg chia hết cho 11. 4. Cho ( abc deg) chia hết cho 7 ,chứng minh : abcdeg chia hết cho 7. Bài toán 4 : Cho A = 3 +3 2 +3 3 + 3 60 a. Chứng minh A chia hết cho 4 b. Chứng minh A chia hết cho 13 c. Chứng minh A chia hết cho 10 Giải : a.A = (3 +3 2 ) +(3 3 +3 4 )+ (3 59 + 3 60 ) = 3( 1+ 3) + 3 3 (1 + 3)+ .+3 59 (1+3) = = 4 .(3+3 3 + .+3 59 ) chia hết cho 4 . b,c : Tơng tự ý a Các bài tập t ơng tự 1.Cho B = 5 + 5 2 +5 3 + 5 99 Chứng tỏ B chia hết cho 6,31. 2. Cho C = 7 + 7 2 +7 3 + 7 100 Chứng tỏ : C chia hết cho 8,chia hết cho 400. Bài toán 5 : Chứng minh rằng với số nguyên dơng n ta đều có n 3 +5n chia hết cho 6 Giải : Có n 3 +5n = n 3 - n + 6n = n( n 2 -1)+6n = n(n-1)(n+1) +6n Vì 6n chia hết cho 6, n(n-1)(n+1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 mà (2,3) = 1 n(n-1)(n+1) chia hết cho 6 n 3 +5n chia hết cho 6. Bài toán 6 : Cho a,b,c là các số nguyên ,chứng minh rằng : a 3 + b 3 +c 3 chia hết cho 6 a + b +c chia hết cho 6 Giải : Đặt M = a 3 + b 3 +c 3 , N = a + b +c. Xét hiệu : M N = (a 3 + b 3 +c 3 ) (a + b +c) = (a 3 a)+ ( b 3 b) +(c 3 c) chia hết cho 6 ( theo bài toán 5). Vậy M N chia hết cho 6 nên : M chia hết cho 6 N chia hết cho 6 bài toán đợc chứng minh . Bài toán 8 : Chứng minh rằng (a+2b) chia hết cho 3 (b+2a) chia hết cho 3 . Giải : Vì (a+2b) chia hết cho 3 2(a+2b) chia hết cho 3 2a +4b chia hết cho 3 (2a + b) +3b chia hết cho 3 2a + b chia hết cho 3 ( vì 3b chia hết cho 3) Ngợc lại : Vì (b+2a) chia hết cho 3 2(b+2a) chia hết cho 3 2b +4a chia hết cho 3 (2b + a) +3a chia hết cho 3 2b + a chia hết cho 3. Các bài tập t ơng tự Chứng minh rằng : 1. (a + 4b )chia hết cho 13 (10a +b) chia hết cho 13. 2. (6x + 11y )chia hết cho 31 (x + 7y) chia hết cho 31 3. (a + 5b )chia hết cho 17 (3a - 2b) chia hết cho 17. 4. (3a + 2b )chia hết cho 13 (6a +b) chia hết cho 13. d. Bài tập về UC,UCLN,BC,BCNN. Bài toán 1 : Dùng thuật toán ơ cơ lít tìm : 1. UCLN( 702,306) 2. UCLN( 528,204) 3. UCLN( 240,891) Bài toán 2 : Tìm n N biết : (n 4 ) chia hết cho (n 1) Giải : có n 4 = (n 1 ) 3 Vì (n 1) chia hết cho (n 1) nên để : (n 4 ) chia hết cho (n 1) thì 3 phải chia hết cho (n -1) hay (n -1 ) là ớc của 3 U(3) = 1,3 Vậy n 1 = 1 n = 2 ; n 1 = 3 n = 4. Vậy n 2,4 thì (n 4 ) chia hết cho (n 1). Các bài tập t ơng tự Tìm n N biết : 4. 2n chia hết cho (n 2) 5. (n 2 4 ) chia hết cho (n + 1) 6. (n 2 +7 ) chia hết cho (n + 1) 7. (3n 2 4 ) chia hết cho (n + 3) Bài toán 3 : Tìm UCLN (2n +1, 3n+1) Giải : Gọi d là UCLN của 2n+1 và 3n+1 Ta có 2n+1 chia hết cho d 3(2n+1) chia hết cho d 3n+1 chia hết cho d 2(3n+1) chia hết cho d Do đó : [3(2n+1)-2(3n+1)] chia hết cho d 1 chia hết cho d d = 1. Vậy UCLN(2n +1, 3n+1) = 1. Các bài tập t ơng tự Tìm UCLN của 1.(7a+1,8a+3) với aN 2.(2n+1,6n+5) với nN 3.(11a+2,18a+5) với aN Bài toán 4 :Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 75 và UCLN của chúng bằng 5 Giải : Gọi 2 số tự nhiên cần tìm là a,b . Theo đầu bài ta có : a.b = 75 ; UCLN(a,b) = 5 Vì UCLN(a,b) = 5 a = 5.a 1 ; b = 5.b 1 trong đó (a 1 ,b 1 ) = 1. Từ a.b = 75 ta có a.b = 25a 1 .b 1 = 75 a 1 .b 1 = 3 a 1 =1 ; b 1 = 3 hoặc ngợc lại Vậy 2 số cần tìm là : 5; 15. Các bài tập t ơng tự : 1.Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng 66 và UCLN của chúng bằng 6 đồng thời có một số chia hết cho 5 2.Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 84 ,UCLN của chúng bằng 6 3. Tìm hai số tự nhiên biết rằng tích của chúng bằng 300 ,UCLN của chúng bằng 5 4. Tìm hai số tự nhiên biết rằng hiệu của chúng bằng 84 ,UCLN bằng 28 ,các số đó trong khoảng từ 300 đến 440. 5. Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng bằng 4320 và BCNN bằng 360 . 6.Tìm hai số tự nhiên a và b biết : a. a+2b = 48 và UCLN (a,b) + 3 BCNN (a,b) = 114 b.2a- 3b = 100 và 15 BCNN(a,b) + 8 UCLN(a,b) = 1990. Bài toán 5 : Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho chia a cho 3,cho 5,cho 7 đợc số d lần lợt là 2,3,4. Giải : Theo đầu bài ta có : a= 3m+2 (mN) 2a= 6m+4 2a chia cho 3 d 1 a= 5n+3 (nN) 2a= 10n+6 2a chia cho 5 d 1 a= 7p+4 (pN) 2a= 14p+8 2a chia cho 7 d 1 2a- 1 BC( 3,5,7) .để a nhỏ nhất thì : 2a-1 = BCNN (3,5,7) = 105 a = 53 Vậy số tự nhiên cần tìm là 53. Các bài tập t ơng tự 1. Tìm dạng chung của số tự nhiên a chia cho 4 d 3,chia cho 5 d 4,chia cho 6 d 5,chia hết cho 13. 2. Tìm số tự nhiên n lớn nhất có 3 chữ số sao cho n chia cho 8 d 7,chia cho 31d 28 . 3. Một liên đội khi xếp hàng 2,hàng 3,hàng 4,hàng 5 đều thừa 1 ngời .Tính số đội viên của liên đội biết rằng số đó trong khoảng từ 100 đến 150. ----------------------------------------------------- . hay b chia hết a,hoặc có thể nói a là bội của b *Tính chất : a. a chia hết cho b, b chia hết cho c thì a chia hết cho c b. a chia hết cho m, b chia hết cho. (a+b) chia hết cho m ; (a-b) chia hết cho m, (ax +by ) chia hết cho m (x,y Z) c. a chia hết cho m.n thì a chia hết cho m và a chia hết cho n 2. Phép chia