TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị ( C ) ; M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) Ÿ Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M ( x0 ; y0 ) d : y = f ' ( x ) ( x − x0 ) + y Ÿ (C): y = f(x) Trong đó: o M ( x0 ; y0 ) gọi tọa độ tiếp điểm o k = f ' ( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến M ( x0 ; y ) ∈ ( C ) Ghi nhớ: Ÿ Đường thẳng d: y = a x + b (a ≠ 0) có hệ số góc k = a Ÿ Cho đường thẳng d : y = ax + b ( a ≠ ) ; d ' : y = a ' x + b ' ( a ' ≠ ) Khi đó: o o k = kd ' a = a ' d / /d ' ⇔  d ⇔ b ≠ b ' b ≠ b ' d ⊥ d ' ⇔ k d k d ' = −1 ⇔ a.a ' = −1 Ÿ Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b ( a ≠ ) hệ số góc tiếp tuyến k = a (nhớ thử lại) Ÿ Nếu tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b ( a ≠ ) hệ số góc tiếp tuyến k = − a Ÿ Trục hoành (trục Ox ): y = Ÿ Trục tung (trục Oy ): x = B KỸ NĂNG CƠ BẢN Bài tốn 1: Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp Cho hàm số y = f ( x ) , gọi đồ thị hàm số ( C ) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) M ( xo ; yo ) Phương pháp o Bước Tính đạo hàm y′ = f ′ ( x ) hệ số góc tiếp tuyến k = y′ ( x ) o Bước Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm M ( x ; y ) có dạng: 0 d : y = y′ ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 http://dethithpt.com Chú ý: o o Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x ta tìm y0 cách vào hàm số ban đầu, tức y0 = f ( x0 ) Nếu đề cho y0 ta thay vào hàm số để giải x0 Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm đồ thị ( C ) : y = f ( x) đường thẳng d : y = ax + b Khi hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm d ( C )  Sử dụng máy tính: Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng d : y = ax + b o Bước 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến k = y′ ( x ) Nhập d ( f ( x) ) dx nhấn  SHIFT o ∫ x = x0 cách W W W sau nhấn = ta a Bước 2: Sau nhân với − X tiếp tục nhấn phím + f ( x) CALC X = xo nhấn phím = ta b Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hàm số ( C )  : y = x + x Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M ( 1; ) là: A y = x − B y = x + C y = −9 x − D y = −9 x + Hướng dẫn giải Ta có: y' = 3x + 6x ⇒ k = y′ ( 1) = Phương trình tiếp tuyến M ( 1; ) là: d : y = y ' ( x0 ) ( x − xo ) + yo ⇔ y = ( x − 1) + ⇔ y = x −  Sử dụng máy tính: o o Nhập d X + X dx ( Sau nhân với −5 ) x =1 ( −X ) nhấn dấu = ta nhấn dấu + X + X CALC X = nhấn dấu = ta Vậy phương trình tiếp tuyến M là: y = x − Ví dụ Cho hàm số y = −2 x + x − Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M thuộc ( C) có hồnh độ A y = −18 x + 49 Hướng dẫn giải Ta có: y′ = −6 x + 12 x http://dethithpt.com B y = −18 x − 49 C y = 18 x + 49 D y = 18 x − 49 x0 = ⇒ y0 = −5 ⇒ M ( 3; −5 ) ⇒ k = y ′ ( 3) = −18 Phương trình tiếp tuyến M là: y = −18 ( x − 3) − ⇒ y = −18 x + 49  Sử dụng máy tính: o o Nhập d −2 X + X − dx ( ( −X ) Sau nhân với ) x=3 nhấn dấu = ta −18 nhấn dấu + −2 X + X − CALC X = nhấn dấu = ta 49 Vậy phương trình tiếp tuyến M là: y = −18 x + 49 Ví dụ Cho hàm số ( C ) :  y = x − x Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M có hồnh độ x0 > 0, biết y ′′ ( xo ) = −1 là: A y = −3 x + B y = −3x + 1 D y = −3 x + C y = −3 x − Hướng dẫn giải Ta có:  y′ = x3 − x ,  y′′ = x − 2 Mà y ′′ ( xo ) = −1  ⇒ 3x0 − = −1  ⇔ x0 =  ⇔ x0 = (vì x0 > ) ⇒ y0 = − ⇒ k = y′ ( 1) = −3 Phương trình tiếp tuyến M là: d: y = −3( x − 1) − ⇒ y = −3x + ×  Sử dụng máy tính: o o Nhập d  X − X  nhấn dấu = ta −3  ÷ dx  x=1 Sau nhân với ( −X ) nhấn dấu + X − 2X CALC X = nhấn dấu = ta Vậy phương trình tiếp tuyến d: y = −3x + × Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) có hệ số góc k cho trước Phương pháp o Bước Gọi M ( x ; y ) tiếp điểm tính y′ = f ′ ( x ) 0 http://dethithpt.com o Bước Hệ số góc tiếp tuyến k = f ' ( x ) Giải phương trình tìm x0 , thay vào hàm số y0 o Bước Với tiếp điểm ta tìm tiếp tuyến tương ứng d : y = y′ ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 Chú ý: Đề thường cho hệ số góc tiếp tuyến dạng sau: • Tiếp tuyến d // ∆ : y = ax + b ⇒ hệ số góc tiếp tuyến k = a • Tiếp tuyến d ⊥ ∆ : y = ax + b ⇒ hệ số góc tip tuyn l k = ì a Tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc α hệ số góc tiếp tuyến d k = ± tan α  Sử dụng máy tính: Nhập: k ( − X ) + f ( x ) CALC X = x0 nhấn dấu = ta b Phương trình tiếp tuyến d : y = kx + b Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = x − 3x + Phương trình tiếp tuyến ( C ) biết hệ số góc tiếp tuyến là:  y = 9x − 14 A   y = 9x + 18  y = 9x + 15 B   y = 9x − 11  y = 9x − C   y = 9x +  y = 9x + D   y = 9x + Hướng dẫn giải 2 Ta có y′ = x − , k = y′ ( x0 ) = ⇔ x0 − = ⇔ x0 = ⇔ x0 = ± + Với x0 = ⇒ y0 = ta có tiếp điểm M ( 2; ) Phương trình tiếp tuyến M là: y = ( x − ) + ⇒ y = x − 14 + Với x0 = −2 ⇒ y0 = ta có tiếp điểm N ( −2;0 ) Phương trình tiếp tuyến N là: y = ( x + ) + ⇒ y = x + 18 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = x − 14 y = x + 18  Sử dụng máy tính: + Với x0 = ta nhập ( − X ) + X − X + CALC X = nhấn dấu = ta −14  ⇒ y = x − 14 + Với x0 = −2 ta nhập ( − X ) + X − X + ta 18 ⇒ y = x + 18 http://dethithpt.com CALC X = −2 nhấn dấu = 2x +1 × Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến song x+2 song với đường thẳng có phương trình ∆ : x − y + = Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = A y = 3x + 14 B y = 3x − C y = 3x + D y = 3x − Hướng dẫn giải Ta có y ' = nên k = + ( x + 2) ( x0 + ) , ∆ : x − y + = ⇒ y = x + Do tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆  x0 + =  x0 = −1 = ⇔ ( x0 + ) = ⇔  ⇔  x0 + = −1  x0 = −3 Với x0 = −1 nhập ( − X ) + X + X +2 CALC X = −1 nhấn dấu = ta ⇒ d1 : y = 3x + ( loại trùng với ∆ ) + Với x0 = −3 CALC X = −3 nhấn dấu = ta 14 ⇒ d : y = 3x + 14 Vậy phương trình tiếp tuyến d : y = x + 14 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) biết tiếp tuyến qua A ( xA ; y A ) Phương pháp Cách o Bước 1: Phương trình tiếp tuyến qua A ( x ; y ) hệ số góc k có dạng: A A d : y = k ( x − x A ) + y A (∗) o Bước 2: d tiếp tuyến ( C ) hệ sau có nghiệm:   f ( x ) = k ( x − xA ) + y A    f ′( x) = k o Bước 3: Giải hệ tìm x suy k vào phương trình (∗) , ta tiếp tuyến cần tìm Cách o Bước Gọi M ( x ; f ( x ) ) 0 tiếp điểm tính hệ số góc tiếp tuyến k = y ′ ( x0 ) = f ′ ( x0 ) theo x0 o Bước Phương trình tiếp tuyến có dạng: d : y = y ′ ( x ) ( x − x ) + y (∗∗) 0 Do điểm A ( x A ; y A ) ∈ d nên y A = y′ ( x0 ) ( xA − x0 ) + y0 giải phương trình tìm x0 http://dethithpt.com o Bước Thế x vào (∗∗) ta tiếp tuyến cần tìm Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến qua điểm việc tính tốn tương đối thời gian Ta sử dụng máy tính thay đáp án: Cho f ( x) kết đáp án Vào MODE → → nhập hệ số phương trình Thơng thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ số bậc phương trình ta chọn đáp án Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = −4 x + 3x + Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến qua điểm A ( −1; )  y = −9 x − A  y =  y = 4x + B   y = x +1 y = x −7 C   y = 3x −  y = −x − D   y = 2x − Hướng dẫn giải Ta có: y' = −12x2 + Gọi d phương trình tiếp tuyến ( C ) qua A ( −1; ) với hệ số góc k có phương + trình là: d : y = k ( x + 1) + + d tiếp tuyến ( C ) hệ sau có nghiệm:  −4 x + 3x + = k ( x + 1) + 2       ( 1)   −12 x + 3      = k                        ( ) Thay k từ ( ) vào ( 1) ta −4 x + x + = ( −12 x + 3) ( x + 1) +  x = −1 1  ⇔ x + 12 x − = ⇔  x − ÷( x + 1) = ⇔  x = 2   + Với x = −1 ⇒ k = −9 Phương trình tiếp tuyến là: y = −9 x + + Với x = ⇒ k = Phương trình tiếp tuyến là: y = 2 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số ( C1 ) : y = f ( x ) ( C2 ) : y = g ( x ) Phương pháp o Bước Gọi d tiếp tuyến chung ( C ) , ( C ) x hoành độ tiếp điểm d ( C1 ) phương trình d có dạng: y = f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) ( ***) o Bước Dùng điều kiện tiếp xúc d ( C ) , tìm x http://dethithpt.com o Bước Thế x vào ( ***) ta tiếp tuyến cần tìm Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hai hàm số: ( C1 ) : y = f ( x ) = x , x > ( C2 ) : y = g ( x ) = − x , − < x < Phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số là: A y = x + 2 B y = x − C y = x + D y = x − Hướng dẫn giải Gọi d phương trình tiếp tuyến chung ( C1 ) , ( C2 ) x0 hoành độ tiếp điểm + d với ( C1 ) phương trình d là: y = f ′ ( x ) ( x − x0 ) + y0 = + d tiếp xúc với ( C2 ) ( x − x0 ) + x0 x0 x 1  − x = x + x0  hệ sau có nghiệm:   −x = 2 − x x0  ( 1) ( 2) Thay ( ) vào ( 1) ta phương trình hồnh độ tiếp điểm d ( C2 ) − < x < − < x <   x 8− x  8− x = − − ⇔ x ≠ ⇔ x ≠ ⇔ x = −2 x − x2   x2 − x − =   x ( − x ) = −x − ( − x ) 2 Thay x = −2 vào ( ) ta 1 = ⇔ x0 = x0 Vậy phương trình tiếp tuyến chung cần tìm là: y = http://dethithpt.com x+2 Bài tốn 2: Một số cơng thức nhanh tính chất cần biết Bài toán 2.1: Cho hàm số y = ax + b cx + d d   c ≠ 0, x ≠ − ÷ có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến c  ∆ M thuộc ( C ) I giao điểm đường tiệm cận Ta ln có: (I) Nếu ∆ ⊥ IM tồn điểm M thuộc nhánh đồ thị ( C ) đối xứng qua I (II) xM = ± ad − bc − d c M trung điểm AB (với A, B giao điểm ∆ với tiệm cận) bc − ad c2 (III) Diện tích tam giác IAB khơng đổi với điểm M S ∆IAB = (IV) Nếu E , F thuộc nhánh đồ thị ( C ) E , F đối xứng qua I tiếp tuyến E , F song song với (suy đường thẳng d qua E , F qua tâm I ) Chứng minh: • Ta có: y′ = ad − bc ;  d a  giao điểm tiệm cận I − ; ÷ ( cx + d )  c c Gọi •  ax +b d  Phương trình tiếp tuyến  có dạng: M  xM ; M M ÷∈ (C )  xM ≠ − ÷ cxM + d  c   ∆: y = ax + b ad − bc ( x − xM ) + M (c xM + d ) cxM + d Chứng minh (I): ; r  ad − bc u 1; ÷ ÷ ∆  ( cx + d )  M   ÷ ÷  • uuur  d bc − ad IM  xM + ;  c c ( cxM + d )  • uuur r d bc − ad ad − bc ∆ ⊥ IM ⇒ IM u ∆ = ⇔ xM + + =0 c c ( cxM + d ) ( cxM + d ) ( cxM + d ) − ( ad − bc ) ⇔ c ( cxM + d ) Cách nhớ: • cxM + d 14 43 =± mẫ u sốcủ a hà m số = ⇔ xM = ± ad − bc − d c ad − bc 14 43 tửsốcủ a đạo hà m Chứng minh (II): Giao điểm • Giao điểm • ∆ ∆ với tiệm cận ngang là: với tiệm cận đứng là: http://dethithpt.com d a  A  xM + ; ÷ c c   d ac xM + 2bc − ad  B  − ; ÷ c ( c xM + d ) ữ c d d   x A + xB = xM + c − c = xM Xét  axM + b a ac xM + 2bc − ad  y A + yB = + = = yM c c ( c xM + d ) cxM + d  Vậy • M ln trung điểm AB Chứng minh (III): • uu r  ( cxM + d ) uur  ( bc − ad )  IA  ; c ÷ IB  0; c    c ( c xM + d ) • ∆ IAB vng I SIAB = ữ ữ r uuu r ( cx + d ) ( bc − ad ) bc − ad uuu M IA IB = =2 = số 2 c c ( c xM + d ) c2 Vậy diện tích ∆ IAB khơng đổi với điểm M Chứng minh (IV): Gọi •   2d a x +b  d 2a axE + b   E  xE ; E − xE ; − ÷∈ (C )  x E ≠ − ÷⇒ F  − ÷ cx + d c c c cxE + d    E    ( E , F đối xứng qua I ) Phương trình tiếp tuyến • Phương trình tiếp tuyến • kF = ad − bc   2d   c  − c − xE ÷+ d      Từ (1, 2) suy • kE = kF E F = có hệ số góc: k = ad − bc (1) E ( cxE + d ) có hệ số góc: ad − bc ( −2d − cxE + d ) = ad − bc ( −d − cxE ) = ad − bc ( cxE + d ) (2) ax + b có đồ thị ( C ) , ( c ≠ 0, ad − bc ≠ ) Gọi điểm cx + d M ( x ; y0 ) ( C ) , biết tiếp tuyến ( C ) điểm M cắt trục Ox, Oy A, B cho OA = n.OB Bài tốn 2.2: Cho hàm số: y = Khi x0 thoả: cx0 + d = ± n ad − bc Hướng dẫn giải: Xét hàm số • y= ad − bc ax + b , ( c ≠ 0, ad − bc ≠ ) Ta có y ' = ( cx + d ) cx + d http://dethithpt.com  ax + b  điểm cần tìm Gọi tiếp tuyến với M  x0 ; ( C ) M ta có ∆ ÷∈ ( C ) cx0 + d   ax + b ad − bc ax0 + b ' ⇒y= ( x − x0 ) + phương trình ∆ : y = f ( x0 )( x − x0 ) + cx0 + d cx0 + d ( cx0 + d ) Gọi • Gọi •  acx02 + 2bcx0 + bd  A ;0÷ ⇒ A = ∆ ∩ Ox − ad − bc    acx + 2bcx + bd  0 B = ∆ ∩ Oy ⇒ B  0; ÷  ÷ cx + d ( )   • Ta có acx02 + 2bcx0 + bd acx02 + 2bcx0 + bd OA = = ad − bc ad − bc OB = acx02 + 2bcx0 + bd ( cx0 + d ) = acx02 + 2bcx0 + bd ( cx0 + d ) 2 (vì A, B không trùng O nên acx0 + 2bcx0 + bd ≠ ) • Ta có OA = n.OB ⇔ ⇔ acx02 + 2bcx0 + bd ad − bc = n acx02 + 2bcx0 + bd ( cx0 + d ) 1 = n ⇔ ( cx0 + d ) = n ad − bc ⇔ cx0 + d = ± n ad − bc ad − bc ( cx0 + d ) Các em bắt đầu theo dõi phần trắc nghiệm Bắt đầu làm từ dễ đến khó C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI I NHẬN BIẾT – THƠNG HIỂU Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − 3x + điểm A ( 3;1) A y = x − 26 B y = −9 x − 26 C y = −9 x − D y = x − Hướng dẫn giải: Tính y ' = 3x − x ⇒ y ' ( 3) = ⇒ pttt : y = x − 26 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + điểm B ( 1; −2 ) A y = −4 x + B y = x + C y = −4 x + D y = x + Hướng dẫn giải: Tính y ' = x − x ⇒ y ' ( 1) = −4 ⇒ pttt : y = −4 x + Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = http://dethithpt.com x −1 điểm C ( −2; 3) x +1 a = y = 6( x − 1) ⇔ y = x − ⇒  ⇒ ab = 36 b = Cho hàm số y = x − x + x + có đồ thị (C) Trong tiếp tuyến (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, hệ số góc tiếp tuyến A B C D Hướng dẫn giải Ta có y , = x − x + = 3( x − 1 5  x + ) + =  x − ÷ + ≥ ⇒ y , = 3 3  x = x0 = Cho hàm số y = 3x có đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) tạo với trục hồnh góc 600 có phương x −1 trình  y = − 3x + A   y = − 3x  y = 3x − B   y = x  y = − 3x + C   y = x  y = − 3x − D   y = − x Hướng dẫn giải Ta có y , = − < 0, ∀x ≠ Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) tạo với Ox góc 600 ( x − 1) − y , 0 y ' ( x0 ) = ±1  → y ' ( x0 ) = ⇔ ( x0 + 1)  x0 = =1⇔   x0 = −2 • Với x = ⇒ y = ( Loại M ( 0; ) ≡ O ) 0 • Với x = −2 ⇒ y = , suy phương trình tiếp tuyến ∆ : y = x + 0 Cho hàm số y = − x − x + có đồ thị (C) Tiếp tuyến đồ thị (C) cắt trục Ox, Oy hai điểm A, B cho OB = 36OA có phương trình  y = −36 x + 58 A   y = 36 x + 58  x − 36 y − = C   x + 36 y − =  y = −36 x − 86 B   y = 36 x − 86  x − 36 y + 14 = D   x + 36 y + 14 = Hướng dẫn giải Do • OB = 36 ⇒ y , ( x0 ) = ±36 OA Với y , ( x ) = −36 ⇔ −4 x − x = −36 ⇔ x + x − 36 = ⇔ x = 0 0 ⇒ y0 = y (2) = −14 Suy tiếp tuyến y = -36x + 58 • Với y , ( x ) = 36 ⇔ −4 x3 − x = 36 ⇔ x + x + 36 = ⇔ x0 = −2 0 0 ⇒ y0 = y (−2) = −14 Suy tiếp tuyến y = 36x + 58 Cho hàm số y = x −1 có đồ thị ( C ) Gọi điểm M ( x ; y ) với x0 > −1 điểm thuộc ( x + 1) ( C ) , biết tiếp tuyến ( C ) điểm http://dethithpt.com M cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB có trọng tâm G nằm đường thẳng d : x + y = Hỏi giá trị x0 + y0 ? A − B Hướng dẫn giải  x −1 Gọi M  x0 ;  • ( x0 + 1)  Gọi • ∆ tiếp tuyến C • ( C) ta có phương trình M x −1 x0 − ⇒y= ( x − x0 ) + 2( x0 + 1) 2( x0 + 1) ( x0 + 1)  x02 − x0 −   x02 − x0 −  B = ∆ ∩ Oy ⇒ B  0; ;0÷ A = ∆ ∩ Ox ⇒ A  − ÷    2( x0 + 1)  Khi • D −  điểm cần tìm ∈ C ÷ ÷ ( )  ' ∆ : y = f ( x0 )( x − x0 ) + Gọi ∆ tạo với hai trục tọa độ ∆ OAB có trọng tâm là:  x − x0 − x02 − x0 −  G− ; ÷ 6( x0 + 1)2   Do • G∈ đường thẳng: x + y = ⇒ −4 ⇔4= ( x0 + 1) x02 − x0 − x02 − x0 − + =0 6( x0 + 1) (vì A, B khơng trùng O nên x02 − x0 − ≠ ) 1    x0 + =  x0 = − ⇔ ⇔ x + = − x = −  2  Với x0 = − 1 ⇒ M (− ; − ) 2 Với x0 = − 3 ⇒ M (− ; ) 2 • • Chọn M ( − ; − ) ⇒ x + y0 = − 2 http://dethithpt.com Cho hàm số y = x − 2mx + m (1) , m tham số thực Kí hiệu (C) đồ thị hàm số (1); d tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ Tìm m để 3  khoảng cách từ điểm B  ; 1÷ đến đường thẳng d đạt giá trị lớn 4  A m = B m = −1 C m = D m = −2 Hướng dẫn giải nên A ∈ ( Cm ) A ( 1;1 − m ) y ' = x − 4mx ⇒ y ' ( 1) = − m • Phương trình tiếp tuyến • ( Cm ) A: y − + m = y ′ ( 1) ( x − 1) ⇔( − 4m ) x − y − ( − m ) = • −1 Khi d ( B; ∆ ) = 16 ( − m ) + ≤ , Dấu ‘=’ xảy ⇔khi m = • Do d ( B; ∆ ) lớn m = 2x + có đồ thị ( C ) Có tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm x +1 thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d1 : 3x + y − = Cho hàm số y = A B.3 C D Hướng dẫn giải • Giả sử M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒y0 = • Ta có: x0 + x0 + d ( M , d1 ) = ⇔ 3x0 + y0 − 32 + 42 = ⇔ 3x0 + y0 − 12 = x0 + y + =  x0 = ⇒ M ( 0; 3)  x0 +   • Với 3x0 + y0 − 12 = ⇔ 3x0 +  ÷ − 12 = ⇔   11  x0 = ⇒ M  ; ÷  x0 +   3  7   x0 = −5 ⇒ M  −5; ÷   2x +  4  • Với 3x0 + y0 + = ⇔ 3x0 +  ÷+ = ⇔      x0 +   x0 = − ⇒ M  − ; −1÷  Suy có tiếp tuyến http://dethithpt.com Cho hàm số y = 2x − có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai tiệm cận ( C ) Tìm điểm x −1 M thuộc ( C ) có hồnh độ lớn cho tiếp tuyến ( C ) M vuông góc với đường thẳng MI A M ( 2;3)  5 B M  3; ÷  2  7 C M  4; ÷  3 D M ( 5; 3) Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận 2a − , ( a > 1) a −1 2a − x − a) + • Phương trình tiếp tuyến ( C ) M y = − ( ( a − 1) a −1 • Giao điểm hai tiệm cận I ( 1; ) Gọi M ( a; b ) ∈ ( C ) ⇒b = ( x − 1) + ( a − 1) • Phương trình đường thẳng MI : y = • Tiếp tuyến M vng góc với MI nên ta có: − ( a − 1) ( a − 1) 2 a = ⇒b =1 = −1 ⇔  a = ⇒ b =  Vậy điểm cần tìm M ( 2; 3) [Phương pháp trắc nghiệm] Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , điểm M thoả yêu cầu toán có hồnh độ tính sau:  x0 = ⇒ y0 = x0 − = ± ( −1) − ( −1) ⇔ x0 − = ±1 ⇔  Vậy M ( 2; 3)  x0 = ( L) Cho hàm số y = −x + có đồ thị ( C ) , đường thẳng d : y = x + m Với m ta ln có d 2x − cắt (C) điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) A, B Tìm m để tổng k1 + k đạt giá trị lớn A m = −1 B m = −2 C m = D m = −5 Hướng dẫn giải • Phương trình hồnh độ giao điểm d (C):  −x + x ≠ = x + m ⇔ 2x −  g ( x ) = x + 2mx − m − = (*)  http://dethithpt.com • Theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = − m; x1 x2 = • Ta có y ′ = −1 ( x − 1) −m − Giả sử: A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) • Tiếp tuyến ( C ) A B có hệ số góc là: k1 = − ⇒ k1 + k2 = k1 + k2 = − ( x1 − 1) ; k2 = − ( x2 − 1) 4( x12 + x22 ) − 4( x1 + x2 ) + 1 − = − (2 x1 − 1)2 (2 x2 − 1) [ x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + 1] = − ( 4m + 8m + ) = −4 ( m + 1) − ≤ −2 • Dấu "=" xảy ⇔m = −1 Vậy: k1 + k đạt GTLN −2 m = −1 x+2 ( 1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( 1) , biết tiếp tuyến Cho hàm số y = 2x + cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O A y = − x − B y = − x C y = − x + D y = − x + Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] • Gọi M ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm ⇒ y ′( x0 ) = −1 ( x0 + 3) < • ∆OAB cân O nên tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y = − x (vì tiếp tuyến ′ có hệ số góc âm) Nghĩa là: y ( x0 ) = −1 ( x0 + 3)  x0 = −1 ⇒ y0 = = −1 ⇒   x0 = −2 ⇒ y0 = • Với x0 = −1; y0 = ⇒ ∆: y − = − ( x + 1) ⇔ y = − x (loại) • Với x0 = −2; y0 = ⇒ ∆: y − = − ( x + ) ⇔ y = − x − (nhận) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − x − [Phương pháp trắc nghiệm] Tam giác • OAB cân gốc tọa độ O nên ta có OA = OB ⇒ n = acx02 + 2bcx0 + bd ≠ ⇒ x02 + x0 + ≠ ⇔ x0 ≠ −1; x0 ≠ −3 http://dethithpt.com  x0 = −1 ( L ) cx0 + d = ± n ad − bc ⇒ x0 + = ± −1 ⇔   x0 = −2 ( N ) Với • x0 = −2; y0 = ⇒ ∆: (nhận) y − = − ( x + 2) ⇔ y = − x − 2x − , ( C ) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) cho tiếp tuyến x −1 cắt trục Ox, Oy điểm A B thoả mãn OA = 4OB Cho hàm số y =  y = − x + A   y = − x + 13  4  y = − x + B   y = − x + 13   y = − x + C   y = − x + 13   y = − x + D   y = − x + 13  4 Hướng dẫn giải Giả sử tiếp tuyến d • OA = 4OB Do tam giác • OAB ( C ) M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) vuông O nên tan A = cắt Ox , cho B A Oy OB ⇒ Hệ số góc = d OA 4 − • Hệ số góc d y ′( x ) = − ( x0 − 1) ) thuộc đồ thị ( C ) Để khoảng cách từ tâm đối xứng I đồ thị ( C ) đến tiếp tuyến ∆ lớn tung độ điểm M gần giá trị ? A π 3π B C 5π D 7π Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] −1 • Ta có: y′ = ; I ( 1;1) ( x − 1)  x  • Gọi M  x0 ; ÷∈ ( C ) , ( x0 ≠ 1) Phương trình tiếp tuyến M có dạng:  x0 −  ∆: y = − • d ( I, ∆) = x ( x − x0 ) + ⇔ x + ( x0 − 1) y − x02 = ( x0 − 1) x0 − x0 − 1 + ( x0 − 1) = ( x0 − 1) + ( x0 − 1) ≤ 2 = 2 • Dấu " = " xảy khi: ( x0 − 1)  x0 = ⇒ y0 = ( N ) = ( x0 − 1) ⇔ x0 − = ⇔   x0 = ( L ) [Phương pháp trắc nghiệm]  x0 = ⇒ y0 = ( N ) Ta có IM ⊥ ∆ ⇒ cx0 + d = ± ad − bc ⇒ x0 − = ± −1 − ⇔   x0 = ( L ) 2x −1 có đồ thị ( C ) Biết khoảng cách từ I (−1; 2) đến tiếp tuyến ( C ) x +1 M lớn tung độ điểm M nằm góc phần tư thứ hai gần giá trị ? Cho hàm số y = A e B 2e C 3e D 4e Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] • Ta có: y′ = ( x + 1)  2x −1  • Gọi M  x0 ; ÷∈ ( C ) , ( x0 ≠ −1) Phương trình tiếp tuyến M là: x0 +   http://dethithpt.com y= • d ( I, ∆) = 2x −1 ( x − x0 ) + ⇔ x − ( x0 + 1) y + x02 − x0 − = ( x0 + 1) x0 + x0 + + ( x0 + 1) = + ( x0 + 1) ( x0 + 1) ≤ = • Dấu " = " xảy khi:  x0 = −1 + ⇒ y0 = − ( L ) 2  = ( x + 1) ⇔ x + = ⇔ ( ) 0 ( x0 + 1)  x0 = −1 − ⇒ y0 = + ( N ) [Phương pháp trắc nghiệm] Ta có IM ⊥ ∆ ⇒ cx0 + d = ± ad − bc ⇒ x0 + = ± +  x0 = −1 + ⇒ y = − ( L ) ⇔  x0 = −1 − ⇒ y = + ( N ) 2x − có đồ thị ( C ) Biết tiếp tuyến M ( C ) cắt hai tiệm cận ( C ) x−2 uuuu r A , B cho AB ngắn Khi độ dài lớn vectơ OM gần giá trị ? Cho hàm số y = A B C D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]  2x −  Gọi Phương trình tiếp tuyến có dạng: M  x0 ; M ÷∈ ( C ) , ( x0 ≠ ) • x0 −   ∆: y = − 1 ( x − x0 ) + + ( x0 − 2) x0 − Giao điểm • Giao điểm • ∆ ∆ với tiệm cận đứng là: với tiệm cận ngang là:   A  2; + ÷ x0 −   B ( x0 − 2; )   1 Dấu xảy ( x − ) = AB = ( x0 − ) + ≥  " = " • ( x0 − ) ( x0 − )   uuuu r uuuu r  x0 = ⇒ y0 = ⇒ OM ( 3;3 ) ⇒ OM = ( N ) ⇔ uuuu r uuuu r  x = ⇒ y = ⇒ OM ( 1;1) ⇒ OM = ( L ) 0  [Phương pháp trắc nghiệm] Ta có: http://dethithpt.com • ngắn suy khoảng cách từ AB I đến tiếp tuyến ∆ M ngắn  xM = ⇒ yM = ⇒ IM ⊥ ∆ ⇒ cxM + d = ± ad − bc ⇒ xM − = ± −4 + ⇔   xM = ⇒ yM = uuuu r ⇒ OM = x−2 có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị hàm số ( C ) tạo với x +1 hai đường tiệm cận tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn Khi khoảng cách Cho hàm số y = từ tâm đối xứng đồ thị ( C ) đến ∆ ? A B C D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Gọi M  x ; x0 − ÷∈ ( C ) , ( x ≠ −1) , I ( −1;1) Phương trình tiếp tuyến M có 0 • x0 +   dạng: ∆ : y = ( x0 + 1) ( x − x0 ) + x0 − x0 + • Giao điểm ∆ với tiệm cận đứng là: A  −1; x0 ữ x0 + Giao điểm ∆ với tiệm cận ngang là: B ( x + 1;1) • , IB = x0 + ⇒ IA.IB = 12 Bán kính đường tròn ngoại tiếp x0 + Ta có: IA = ∆ IAB là: S IAB = pr ⇒r= S IAB IA.IB IA.IB IA.IB = = ≤ =2 3− 2 p IA + IB + IC IA + IB + IA + IB IA.IB + 2.IA.IB  xM = −1 + ⇒ y0 = − • Suy rmax = − ⇔ IA = IB ⇔ x0 − = ⇔   xM = −1 − ⇒ y0 = + uuur • IM ( uuur 3; − ⇒ IM = ) [Phương pháp trắc nghiệm] • IA = IB ⇒ ∆ IAB vuông cân I ⇒ IM ⊥ ∆  x = −1 + ⇒ yM = − cxM + d = ± ad − bc ⇒ xM + = ± + ⇔  M •  xM = −1 − ⇒ yM = + http://dethithpt.com uuur ⇒ IM = Cho hàm số y = ( C) 2x +1 có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tiếp tuyến ∆ x −1 cắt tiệm cận A B cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Khoảng cách lớn từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến ∆ gần giá trị ? A.5 B C D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]   • Gọi M  ; + ÷∈ ( C ) , ( x0 ≠ 1) Phương trình tiếp tuyến M có dạng: x0 −   ∆: y = −3 ( x0 − 1) ( x − x0 ) + + x0 −   • Giao điểm ∆ với tiệm cận đứng là: A  1; + ữ x0 Giao im ∆ với tiệm cận ngang là: B ( x0 − 1; ) • Ta có: S ∆IAB = 1 IA.IB = × ×2 x0 − = 2.3 = 2 x0 − • ∆ IAB vng I có diện tích khơng đổi ⇒ chu vi ∆ IAB đạt giá trị nhỏ IA = IB ⇔  x0 = + = x0 − ⇒  x0 −  x0 = − • Với x0 = + phương trình tiếp tuyến ∆ : y = − x + + ⇒ d ( O, ∆ ) = 3+ ( N) • Với x0 = − phương trình tiếp tuyến ∆ : y = − x + − ⇒ d ( O, ∆ ) = −3 + ( L) [Phương pháp trắc nghiệm]  xM = + ⇒ y = + • IA = IB ⇒ cxM + d = ± ad − bc ⇒ xM − = ± −2 − ⇔   xM = − ⇒ y = − ⇒ d ( O, ∆ ) = Cho hàm số y = 3+ ( N) 2x −1 có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Tiếp tuyến ∆ x−2 ( C ) M cắt đường tiệm cận A B cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Khi tiếp tuyến ∆ ( C ) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích lớn thuộc khoảng ? http://dethithpt.com A ( 27; 28 ) B ( 28; 29 ) C ( 26; 27 ) D ( 29; 30 ) Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]  2x −1  • Gọi M  x0 ; ÷∈ ( C ) , ( x0 ≠ ) Phương trình tiếp tuyến M có dạng: x0 −   2x −1 ∆: y = − ( x − x0 ) + ( x0 − 2) x0 −  2x +  • Giao điểm ∆ với tiệm cận đứng là: A  2; ÷ x0 −   • Giao điểm ∆ với tiệm cận ngang là: B ( x0 − 2; )  x A + xB = + x0 − = x0  ⇒ M trung điểm AB • Xét  x0 + 2 x0 − y + y = + = = y A B  x0 − x0 −  • ∆ IAB vuông I nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB   x0 −     ⇒ S = π R = π IM = π ( x0 − 2) +  − ÷  = π ( x0 − 2) + ≥ 6π 2 ( x0 − 2)    x0 −     x0 = + ⇒ y0 = 3+2 ⇔  • Dấu " = " xảy ( x0 − 2) = ( x0 − 2)  x0 = − + ⇒ y0 = − + 2 • Với x0 = + ⇒ ∆ : y = − x + + cắt trục tọa độ ( ) ( ) E 0; + , F + 4; ⇒ SOEF = OE.OF = 14 + ≈ 27,8564 • Với x0 = − + ⇒ ∆ : y = − x − + cắt trục tọa độ ( ) ( ) E 0; − + , F − + 4; ⇒ SOEF = OE.OF = 14 − ≈ 0,1435 [Phương pháp trắc nghiệm] • IM lớn ⇔ IM ⊥ ∆ ⇒ cx0 + d = ± ad − bc ⇒ x0 − = ± −4 +  x0 = + ⇒ y0 = 3+2 ⇔ Giải tương tự  x0 = − + ⇒ y0 = − + http://dethithpt.com ... Cho hàm số y = x − x + x + có đồ thị (C) Trong tiếp tuyến (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, hệ số góc tiếp tuyến A B C D Hướng dẫn giải Ta có y , = x − x + = 3( x − 1 5  x + ) + =... 174 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI II CÂU HỎI VẬN DỤNG THẤP Cho hàm số y = x − 3x + x + có đồ thị (C) Trong tiếp tuyến (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ có phương trình A y = 3x + B y... trắc nghiệm] b x N + xM = − (Với y = ax + bx + cx + d hàm số ban đầu) a ⇔ + xM = ⇔ xM = −2 ⇒ M ( −2; −8 ) Cho hàm số y = x − x + x + có đồ thị (C) Tiếp tuyến điểm N (C) cắt đồ thị (C) điểm thứ