http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN MỤC LỤC Vấn đề Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tiếp tuyến qua điểm cho trước .2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP http://dethithpt.com Vấn đề Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tiếp tuyến qua điểm cho trước Phương pháp: http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  : y  f  x qua điểm M  x1; y1  Cách : � Phương trình đường thẳng  d qua điểm M có hệ số góc kcó dạng : y  k x  x1   y1 � �f  x0   k x0  x1   y1 �  d tiếp xúc với đồ thị  C  N  x0 ; y0  hệ: � có nghiệm x0 �f ' x0   k Cách : � Gọi N  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm đồ thị  C  tiếp tuyến  d qua điểm M , nên  d có dạng y  y'0  x  x0   y0 �  d qua điểm M nên có phương trình : y1  y'0  x1  x0   y0  * � Từ phương trình  * ta tìm tọa độ điểm N  x0 ; y0  , từ ta tìm phương trình đường thẳng  d Các ví dụ Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị  C  : y  đường thẳng x  y   x3 3x2   x , biết d song song Cho hàm số y  2x3  3x2  có đồ thị (C) Tìm phương trình các đường thẳng �19 � qua điểm A � ;4�và tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số �12 � Lời giải: Hàm số cho xác định D  � Cách 1: Tiếp tuyến d song song với đường thẳng x  y   nên d có dạng y   x  b d tiếp xúc với  C  điểm có hồnh độ x0 hệ phương trình �x03 3x02   x0   x0  b  1 � �3 có nghiệm x0 � �x2  3x0   1  2 � �0 Phương trình  2 � 2x0  3x0  � x0  x0   Với x0  thay vào phương trình  1 , ta b d : y   x Với x0   9 thay vào phương trình  1 , ta b d: y   x  16 16 http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN   Cách 2: Gọi x0 ; y  x0  tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến d  C  , với 3x x03 3x02 y  x0     x0 , tiếp tuyến d có hệ số góc y' x0   x02   d | | x  y   � y' x0   1 tức x02  lại giành cho bạn đọc Hàm số cho xác định D  � 3x0   1 hay nghiệm x0  x0   Phần 2 Ta có: y'  6x2  6x Gọi M (x0 ; y0 ) �(C) � y0  2x03  3x02  y'(x0 )  6x02  6x0 Phương trình tiếp tuyến ∆ (C) M có dạng: y  y0  y'(x0 )(x  x0 ) � y  (2x03  3x02  5)  (6x02  6x0 )(x  x0 ) � y  (6x02  6x0 )x  4x03  3x02  A � �  (6x02  6x0 ) x0  19  4x03  3x02  � 8x03  25x02  19x0   � x0  x0  12 Với x0  1�  : y  Với x0  �  : y  12x  15 Với x0  21 645 �  : y   x 32 128 Ví dụ : x  3x2  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến đồ 2 � 3� 0; � thị  C  biết tiếp tuyến qua điểm M � � 2� Cho hàm số y  x có đồ thị  C  điểm A  0; m Xác định m để từ A kẻ x tiếp tuyến đến  C  cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục Ox Cho hàm số: y  Lời giải: � 3� 0; �không phải tiếp tuyến đồ thị  C  Đường thẳng x  qua điểm M � � 2� � 3� 0; �có hệ số góc k có phương trình y  kx  d đường thẳng qua điểm M � � 2� Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị  C  tai điểm có hồnh độ x0 x0 �1 3 � x0  3x0   kx0  2 nghiệm hệ phương trình : �2 � 2x0  6x0  k �  1  2 http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN   2 Thay  2 vào  1 rút gọn ta x0 x0   � x0  x0  � Khi x0  k  lúc phương trình tiếp tuyến y  3 Khi x0  k  2 lúc phương trình tiếp tuyến y  2 2x  3 Vậy, có ba tiếp tuyến y  , y  2x  , y  2 2x  2 2 Cách 1: Gọi điểm �   m�1 Tiếp tuyến  M  C  có phương trình : Khi x0   k  2 lúc phương trình tiếp tuyến y  2x  m x0  1  3x0   x0  2  x0  1  (với x0 �1) �  m 1 x0  2 m 2 x0  m    Yêu cầu toán �   có hai nghiệm a, b khác cho  a 2  b 2  ab 2 a b   hay là:  a 1  b 1 ab  a b  Vậy  �m � � m  � �  m�1 giá trị cần tìm Cách 2: Đường thẳng d qua A , hệ số góc k có phương trình: y  kx  m d tiếp xúc với  C  điểm có hồnh độ x0 �x0   kx0  m � �x0  � hệ � có nghiệm x0 3 �  k � x0  1 � Thế k vào phương trình thứ nhất, ta đươc: x0  3x   m�  m 1 x02  2 m 2 x0  m  x0   x  1   Để từ A kẻ hai tiếp tuyến   có hai nghiệm phân biệt khác �  '  3 m 2  � ۹�� m � m 1 2 m 2  m �0 � � m  2  i � m � � Khi tọa độ hai tiếp điểm là: M  x1; y1  , M  x2 ; y2  với x1,x2 nghiệm   y1  x1  x 2 ; y2  x1  x2  Để M1, M2 nằm hai phía Ox y1.y2  � x1x2  2 x1  x2   x1x2   x1  x2     1 http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Áp dụng định lí Viet: x1  x2  2 m 2 m ; x1x2  m m 9m  � m  3 Kết hợp với  i  ta   m�1 giá trị cần tìm �  1 � Ví dụ : Tìm tất các điểm đường thẳng d : y  5x 61  để từ kẻ đến đồ thị 24 x3 x2   2x  có tiếp tuyến tương ứng với tiếp điểm có hồnh độ x1 , x2 , x3 3 thỏa mãn: x1  x2   x3 y  Tìm tất các giá trị k để tồn tiếp tuyến với  C  : y  x3  6x2  9x  phân biệt có hệ số góc k , đồng thời đường thẳng qua các tiếp điểm tiếp tuyến với  C  cắt các trục Ox,Oy tương ứng A , B cho OB  2012.OA Lời giải: � 5m 61 � m;  � �d , tiếp tuyến  t  điểm N  x0 ; y0  qua M : M � � 24 � � x0   � �1 �2 3m x0  �  m� x0  mx0   0 � � 2 �5 � 3m 24 � �2 � x0  �  m� x0      � 12 � � � Theo toán, phương trình   có hai nghiệm phân biệt âm, tức : � 7m � m  0 � m  ; m  � 12 � � �5 � �� m �  m �18 � 18 �3 � m �2 m  � � � Vậy, điểm M thỏa toán là: xM   5  xM  18 Hoành độ tiếp điểm x0 tiếp tuyến dạng y  kx  m với  C  nghiệm phương trình f ' x0   k � 3x0  12x0   k   1 Để tồn tiếp tuyến với  C  phân biệt phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt,  '   3k  hay k  3  2 http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Khi tọa độ tiếp điểm  x0 ; y0  tiếp tuyến với  C  nghiệm hệ phương trình: � 2 � �y0  x0  6x0  9x0  �y0   x0  2 3x0  12x0   2x0  � � � 3x0  12x0   k � � 3x02  12x0   k � � k 2k  x0  �y0   x0  2 k  2x0   �� 3 � 3x0  12x0   k �   Vậy phương trình đường thẳng qua các tiếp điểm  d : y  k 2k  x 3 Do  d cắt trục Ox,Oy tương ứng A B cho OB  2012.OA nên xảy ra:  Nếu A �O B �O , trường hợp thỏa  d qua O Khi k   Nếu A �O , tam giác AOB vuông O cho �  OB  2012 � k   �2012 � k  6042 k  6030 ( không thỏa  2 ) tan OAB OA Vậy k  , k  6042 thỏa toán Ví dụ : Cho hàm số y   x3  3x  2, có đồ thị  C  Tìm tọa độ các điểm đường thẳng y  4 mà từ kẻ đến đồ thị  C  hai tiếp tuyến Lời giải: Hàm số cho xác định liên tục � Gọi A điểm nằm đường thẳng y  4 nên A  a; 4 Đường thẳng  qua A với hệ số góc k có phương trình y  k x  a  Đường thẳng  tiếp xúc với đồ thị  C  hệ phương trình sau có   �  x3  3x   k x  a  � � �x  3x   x   x  a �� nghiệm: � 3x   k 3x2   k � � � 2x2   3a 2 x  3a 2�  x  1 � � � �  1 �� 3x   k  2 � � � x1 Phương trình  1 tương đương với: � g x  2x2   3a 2 x  3a  � Qua A kẻ hai tiếp tuyến đến  C   2 có giá trị k khác ,  1 có nghiệm phân biệt x1 , x2 , đồng thời thỏa k1  3x12  3, k2  3x22  có giá trị k khác Trường hợp 1: http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN g x phải thỏa mãn có nghiệm 1 nghiệm khác 1 hay �g 1  � 6a  � �� � a  1 kiểm tra  2 thấy thỏa � 3a a �0 �1 � � � Trường hợp 2: g x phải thỏa mãn có nghiệm kép khác 1 hay � �3a 2  8 3a 2  � � 3 3a 2  a 2  �� �3a 3a �2 �1 � � � � a  a 2, kiểm tra  2 thấy thỏa �2 � Vậy, các điểm cần tìm A  1; 4 , A  2; 4 A � ; 4� �3 � Ví dụ Cho hàm số y  3x  x3 có đồ thị  C  Tìm đường thẳng (d): y   x các điểm M mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Lời giải: Gọi M (m; m) �d Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k có dạng: y  k(x  m)  m  tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ x0 hệ sau có nghiệm x0 : � 3x0  x03  k(x0  m)  m (1) � () � 3 3x02  k (2) � 2x03 () Thay (2) vào (1) ta được: 2x  3mx  4m   m 3x0  Từ M kẻ tiếp tuyến với (C)  () có nghiệm x0 đồng thời (2) tồn giá trị k khác Khi () có nghiệm x0 phân biệt thỏa mãn (2) có giá trị k khác 2x03 Xét hàm số f (x0 )  3x0  � 3� Tập xác định D  �\ � � �1; � � 6x04  24x02 (x0 )  (x0 )  � x0  x0  �2 Ta có: f � f � (3x02  4)2 Dựa vào bảng biến thiên suy  m �2 Kiểm tra (2) , ta thấy thỏa mãn Vậy: M (2;2) M (2; 2) http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Ví dụ Lấy điểm M thuộc đồ thị  C  : y  2x  3x  Chứng minh có nhiều hai đường thẳng qua điểm M tiếp xúc với   C Lời giải:  Gọi M a; 2a  3a  điểm thuộc đồ thị  C  hàm số Đường thẳng  d qua M có hệ số góc k, có phương trình: y  k x  a  2a3  3a2   d   k x Đường thẳng  C tiếp xúc với đồ thị N  x0 ; y0  hệ phương trình: �  a  2a3  3a2   1 �2x0  3x0 có nghiệm x0 Thay  2 vào  1 , biến đổi �  2 �6x0  6x0  k rút gọn ta phương trình : x  a  4x  2a 3  tức x0  a x0  2a Vậy hệ phương trình  1 ,  2 có nhiều nghiệm, tức có nhiều đường thẳng qua M tiếp xúc với đồ thị  C  Ví dụ 7: Cho hàm số y  2x3  4x2  1, có đồ thị  C Gọi d đường thẳng qua A  0;1 có hệ số góc k Tìm k để d cắt  C  điểm phân biệt B,C khác A cho B nằm A C đồng thời AC  3AB ; Tìm trục tung điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến  C Lời giải: d : y  kx  Với k   d cắt  C  điểm phân biệt B C khác A Khi B xB ; kxB  1 , C  xC ; kxC  1 , xB  xC với xB , xC nghiệm phương trình 2x2  4x  k  AC  3AB tức xC  3xB xB  xC  2, xB xC  k suy k  2 Gọi M  0; m  t  qua M có hệ số góc a nên  t : y  ax  m  t  tiếp xúc  C  � 2x03  4x02   kx0  m � điểm có hồnh độ x0 hệ � có nghiệm x0 suy 6x0  8x0  x0 � 4x03  4x02  1 m có nghiệm x0   Theo toán phương trình   có nghiệm, từ có m 11 m 27 http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP x  2x2  3x có đồ thị (C) Tìm phương trình các đường �4 � thẳng qua điểm A � ; �và tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số �9 � Bài 1: Cho hàm số y  � �  :y x  : y  3x � � � � 4  :y x  : y  x A � B � � � 3 � � 128  : y   x  : y   x � � 81 81 � � �  : y  3x � �  :y D � � � 128  : y   x � 81 � �  :y x � �  :y C � � �  : y   x � 81 � Lời giải: � 4� Phương trình đường thẳng ∆ qua A với hệ số góc k có dạng: y  k�x  � � 9� ∆ tiếp xúc với (C) điểm có hồnh độ x hệ phương trình �1 � 4� � x  2x  3x  k�x  � (1) có nghiệm x �3 � 9� �x2  4x   k (2) � Thế (2) vào (1 ), được: � 4� x  2x2  3x  (x2  4x  3) �x  � � x(3x2  11x  8)  � 9� (2) � � x  0� k  �  : y  3x � (2) �� x  1� k  �  : y  � � (2) 5 128 � x  � k   �  : y   x 9 81 � Bài 2: Cho hàm số y  x  3x2  (C) Tìm phương trình tiếp tuyến qua điểm 2 � 3� A� 0; �và tiếp xúc với đồ thị (C) � 2� http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN A m 12 m m B m m C m Lời giải: D m m  tiếp tuyến có hệ số góc k  Gọi x hồnh độ tiếp điểm thì: y'  � mx2  2(m 1)x  (4 3m)  � mx2  2(m 1)x  2 3m    d  có hệ số góc  Theo toán, phương trình   có nghiệm âm Nếu m   � 2x  2 � x  (khơng thỏa) Nếu m�0thì dễ thấy phương trình   có nghiệm x  hay x  Do để   có nghiệm âm  3m m 2 3m  � m m m 3 mx  (m 1)x2  (4  3m)x  có đồ thị  C m  Tìm các giá trị m cho đồ thị  C m  tồn hai điểm có hồnh độ dương mà tiếp Câu Cho hàm số y  tuyến vng góc với đường thẳng  d  : x  2y   � � �1 � 0; ��� ; � A m�� � � �2 � � � �1 � 0; � �� ; � B m�� � � �2 � � � �1 � 0; ��� ; � C m�� � � �2 � � � �1 � 0; � �� ; � D m�� � � �2 � Lời giải:  mx2  2(m 1)x   3m; d : y   x  Ta có: y� 2  có nghiệm dương phân biệt Theo yêu cầu toán  phương trình y�  mx2  2(m 1)x   3m có nghiệm dương phân biệt �m � ��  m �  �  �  � S �  m � � � �P  � � � �1 � 0; ��� ; �thỏa mãn toán Vậy, với m�� � � �2 � x có đồ thị  C  Cho điểm A(0; a) Tìm a để từ A kẻ x tiếp tuyến tới đồ thị  C  cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hoành Câu Cho hàm số: y  http://dethithpt.com 22 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN A   a �1 B   a �2 D  C 1 a �1  a �1 Lời giải: Phương trình đường thẳng  d  qua A(0; a) có hệ số góc k :  y  kx  a �x   kx  a � �x  có nghiệm x  d  tiếp xúc  C  điểm có hồnh độ x hệ: � 3 �k  � � (x  1) � (1 a)x2  2(a 2)x  (a 2)   1 có nghiệm x �1 Để qua A có tiếp tuyến  1 phải có nghiệm phân biệt x1 , x2 � a � a � �� ��  2 a  2 � 3a   � � Khi ta có: x1  x2  3 2(a 2) a , y2  1 , x1x2  y1  1 x1  x2  a a Để tiếp điểm nằm phía trục hồnh y1.y2  x x  2(x1  x2 )  � �� � �� 1 � 1 0 �   3a   a  � � x1.x2  (x1  x2 )  � x1  1�� x2  1� Đối chiếu với điều kiện  2 ta được:   a �1 2x3  x2  4x  , gọi đồ thị hàm số (C) Câu Viết phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc lớn Bài 11: Cho hàm số y   A y  25 x 12 B y  5x  25 12 C y  25 x 12 D y  x 12 Lời giải: Gọi (d) tiếp tuyến cần tìm phương trình x0 hoành độ tiếp điểm (d) với 9 � 1� (C) hệ số góc (d): k  y'(x0 )  2x  2x0    � x0  �� k  � x0  2 � 2� 2 Vậy maxk  đạt x0  2 � � �1 � 25 Suy phương trình tiếp tuyến (d) : y  �x  � y� � x  � � �2 � 12 Câu Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(2;9) A y = - x + B y = - 8x + C y = x + 25 D y = - 8x + 25 Lời giải: Phương trình đường thẳng (D) qua điểm A(2;9) có hệ số góc k y  k(x  2)  http://dethithpt.com 23 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN (D) tiếp xúc với (C) điểm có hồnh độ x0 � 2x03   x02  4x0   k(x0  2)  (1) � hệ � � 2x02  2x0   k (2) � có nghiệm x0 Thay (2) vào (1) ta :  2x03  x02  4x0   (2x02  2x0  4)(x0  2)  � 4x03  15x02  12x0   � x0  Thay x0 = vào (2) ta k = - Vậy phương trình tiếp tuyến (D) y = - 8x + 25 Bài 12: Gọi (C) đồ thị hàm số y  x2 2 x Câu Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng  y  A  d  : y   x  , y   x  4 C  d  : y  x ,y  x 4 x  3 B  d  : y   x, y   x  4 D  d  : y   x  , y   x  4 Lời giải: Tiếp tuyến (d) (C) vng góc đường thẳng y  x  suy phương trình (d) có 3 dạng : y   x  m � x02   x0  m � �2  x0 (d) tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ x0 hệ � có nghiệm x0 � x0  4x0   �(2  x )2 � �  x02  4x0 3   � x0  �x0  2 �  d  : y   x  , y   x  (2  x0 ) 4 Câu Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(2; - 2) A y   x  C y   x  B y   x  D y   x  Lời giải: Phương trình tiếp tuyến (d) (C) qua A(2 ; - 2) có dạng : y = k(x – 2) – http://dethithpt.com 24 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN � x02  k(x0  2)  (1) � �2  x0 (d) tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ x0 hệ � có nghiệm x0 � x0  4x0  k �(2  x )2 � x02  x02  4x0 �  (x0  2)  � x0  2 � y   x  2  x0 (2  x0 ) Câu Gọi M điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến trục hoành hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O Viết phương trình tiếp tuyến (C) M A y  9 B y  64 C y  12 D y  8 Lời giải: � x � xM2 y  �M �(C ) �yM  �  xM � � M  xM �� � d(M ,Ox)  2d(M ,Oy) � � � �yM  �2xM �yM  xM M � � �yM  2xM xM2 x  M � � y  x � x 0 � �y  � �M M (*) � M 2 xM � � � �M �� xM2 � � 3xM  4xM  �yM  � �y  2x �2xM   x � yM  M M �M � � �4 � Vì M khơng trùng với gốc tọa độ O nên nhận M � ; � �3 � Phương trình tiếp tuyến (C) M y = 8x – � �yM  2xM xM2 �yM  2xM �x  �yM  � � (*) � � �M  xM � � xM2 � � (do M �O) �y  2x �2xM   x �xM  4xM  �yM  8 M M �M � Phương trình tiếp tuyến (C) M y  8 Bài 13: Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = 2x3  3(m 1)x2  mx  m (d) tiếp tuyến (Cm) điểm có hồnh độ x = - Tìm m để Câu (d) qua điểm A(0;8) A m B m C m D m Lời giải: Ta có y'  6x2  6(m 1)x  m, suy phương trình tiếp tuyến (d) y  y '(1)(x  1)  y(1)  (12+7m)(x+1) – 3m – � y  (12+7m)x +4m+8 A(0;8) �(d) � = 4m +8 � m Câu (d) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích http://dethithpt.com 25 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN � � � � m 0�m  m 0�m  m 0�m  m 0�m  � � � � B 3 D � A � � C � � 9 � 73 � 19 � 73 � 9 � � 19 � 73 m m m m � � � � 6 6 � � � � Lời giải: Ta có y'  6x2  6(m 1)x  m, suy phương trình tiếp tuyến (d) y  y '(1)(x  1)  y(1)  (12+7m)(x+1) – 3m – � y  (12+7m)x +4m+8 � 4m �  ;0�, Q(0; Gọi P,Q giao điểm (d) với trục Ox Oy P � � 12  7m � 4m+8) 8m2  32  32m 1 4m 4m  Diện tích: OPQ: S  OP.OQ   2 12  7m 12  7m S 8 � 8m2  32m 32  12 7m 3 � � �2 m 0�m  8m  32m 32  (12  7m) � � m  m  3 �� �� �� �  19 � 73 � 2 � 3m  19m 24  � 8m  32m 32   (12  7m) � m � � � Bài 14: Cho hàm số y  x4  2x2  4, có đồ thị ( C ) Câu Tìm tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol  P  : y  x  m A m 4; m 20 B m 124; m  C m 14; m 20 Lời giải: D m 4; m (C) tiếp xúc (P) điểm có hồnh độ x0 hệ sau có nghiệm x0 �x04 2 �x  �x0  �  2x0   x0  m � �0 �� �4 m  � �m 20 �x  4x  2x 0 �0 Câu Gọi (d) tiếp tuyến (C) điểm M có hồnh độ x = a Tìm a để (d) cắt lại (C) hai điểm E, F khác M trung điểm I đoạn E, F nằm parabol (P’): y   x2  A a = B a = -1 C a = Lời giải: D a = Phương trình tiếp tuyến (d): y  y'(a)(x  a)  a4 a4 3a4  2a2  4 (a3  4a)(x  a)   2a2   (a3  4a)x   2a2  4 4 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d): http://dethithpt.com 26 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN x4 3a4  2x   (a  4a)x   2a2  � x4  8x2  4(a3  4a)x  3a4  8a2  4 � x a � (x  a)2(x2  2ax  3a2  8)  � �2 x  2ax  3a2   (3) � (d) cắt (C) hai điểm E,F khác M � Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác � 2  a  �  '  a2  3a2   � � �� a �� 2 (*) a � � 6a  �0 � � � Tọa độ trung điểm I E,F : � xE  xF �x  a x   a � �I �I �� � 7a4 a y    6a2  �y  (a  4a)(a)  �I  a  ( I � ( d )) � �I I �(P ) : y   x2  �  � a 7a4 a2  6a2   a2  � 7a2(1 )  � � a  �2 4 � So với điều kiện (*) nhận a = Bài 15: x2  x  Câu Tìm m để đồ thị hàm số y  tiếp xúc với Parabol y  x2  m x A m 2 B m C m 1 D m Lời giải: Hai đường cong cho tiếp xúc điểm có hồnh độ x0 � hệ phương trình : �x02  x0   x0  m (1) � � x0  có nghiệm x0 �2 �x0  2x0  2x (2) �(x  1)2 � Ta có: (2) � x0(2x02  5x0  4)  � x  thay vào (1) ta m 1 Vậy m 1 giá trị cần tìm Câu Tìm m để đồ thị hai hàm số sau tiếp xúc với (C1) : y  mx3  (1 2m)x2  2mx (C2 ) : y  3mx3  3(1 2m)x  4m 3� 8� B m , m , m 2 12 3� D m , m 12 Lời giải: A m C m 3� , m 12 http://dethithpt.com 27 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN (C1) (C2 ) tiếp xúc điểm có hồnh độ x0 � hệ phương trình sau có � mx03  (1 2m)x02  2mx0  3mx03  3(1 2m)x0  4m � nghiệm x0 : � 3mx0  2(1 2m)x0  2m 9mx02  3(1 2m) � � 2mx3  (1 2m)x02  (3 8m)x0  4m  (1) � � � 02 có nghiệm x0 6mx0  2(1 2m)x0  3 8m (2) � Ta có : (1) � (x0  1)(2mx02  (1 4m)x0  4m 2)  � x 1 � �0 2mx0  (1 4m)x0  4m  � �Với x0  thay vào (2), ta có: m �Với 2mx02  (1 4m)x0  4m  (*) ta có : (2) � 4mx ۹ x0 4m Thay x0  � x0  � 1 4m � x0  � 4m (m m hệ vô nghiệm) 1 4m vào (*) ta được: 4m (1 4m)2 (1 4m)2    4m 8m 4m � 48m2  24m  � m Vậy m 3� 12 3� giá trị cần tìm , m 12 Câu Tìm tham số m để đồ thị (Cm) hàm số y  x3  4mx2  7mx  3m tiếp xúc với parabol  P  : y  x – x  A m� 2; 7;1 � � � � B m�� 5;  ;78� C m�� 2;  ;1� � � Lời giải: � � D ��2;  ;1� � (Cm) tiếp xúc với (P) điểm có hồnh độ x0 hệ 2 � �x0  4mx0  7mx0  3m  x0  x0  (1) ( A ) có nghiệm x0 � 3x0  8mx0  7m 2x0  � Giải hệ (A), (1) � x03  (4m 1)x02  (7m 1)x0  3m  � x 1 � (x0  1)(x02  4mx0  3m 1)  � �02 x0  4mx0  3m 1 � http://dethithpt.com 28 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN �x02  4mx0  3m  � �x0  � � � Vậy (A) � � 3x0  2(4m 1)x0  7m  (2) � 3x0  2(4m 1)x0  7m  (2) � Thay x0 = vào (2) ta m = � � 3x02  2(4m 1)x0  7m 1 (2) � 3x02  2(4m 1)x0  7m 1 (2) � �� Hệ � 3x0  12mx0  9m  (4) �x0  4mx0  3m 1 (3) � Trừ hai phương trình (2) (4) ,vế với vế ta 4m x0 – x0 – 2m – = � (2m 1)x0  m (5) m (5) trở thành = 3/2 (sai) (5) � x0  2m m Thay x0 = vào phương trình (3) ,ta 2m Khi m = �m � �m � �2m 1� 4m�2m 1� 3m  � � � � � 4m3  11m2  5m  � m 2�m  �m � � Vậy các giá trị m cần tìm m ��2;  ;1� � x2  x  có đồ thị (C) x Câu Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  :3x  4y   Bài 16: Cho hàm số y  3 x ; y  x 4 3 C y  x  ; y  x  4 A y  Ta có y'  B y  3 x  3; y  x  4 D y  3 x ; y  x 4 4 x2  2x (x  1)2 Gọi M (x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến d với (C) d: y  x02  2x0 x02  x0  ( x  x )  x0  (x0  1)2 Lời giải: Vì d song song với đường thẳng  : y  x  , nên ta có: 4 x02  2x0  � x02  2x0   � x0  1, x0  (x0  1) http://dethithpt.com 29 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 3 x 4 � x0  � phương trình tiếp tuyến: y  x  4 � x0  1phương trình tiếp tuyến: y  Câu Viết phương trình tiếp tuyến (C) xuất phát từ M (1;3) A y  3x  1; y  3x B y  13 ; y  3x C y  3; y  3x  D y  3; y  3x Lời giải: Ta có y'  x  2x (x  1)2 Gọi M (x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến d với (C) x02  2x0 x02  x0  d: y  (x  x0 )  x0  (x0  1)2 Cách 1: M �d �  x02  2x0 x02  x0  (   x )  x0  (x0  1)2 � 3(x0  1)2  (x02  2x0 )( x0  1)  (x0  1)(x02  x0  1) � 2x02  5x0   � x0  2, x0  �Với x0  � Phương trình tiếp tuyến y  � Phương trình tiếp tuyến y  3x Cách 2: Gọi d đường thẳng qua M (1;3) , có hệ số góc k, phương trình d có dạng: y  k(x  1)  �Với x0  d tiếp xúc đồ thị điểm có hồnh độ x0 hệ phương trình sau có nghiệm x0 : �x02  x0   k(x0  1)  (1) � � x0  �2 �x0  2x0  k (2) �(x  1)2 � x02  x0  x02  2x0  (x  1)  Thế (2) vào (1) ta được: x0  (x0  1)2 � 2x02  5x0   � x0  2, x0  �Với x0  � k  � Phương trình tiếp tuyến y  �Với x0  � k  3 � Phương trình tiếp tuyến y  3x http://dethithpt.com 30 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua giao điểm hai đường tiệm cận (C) A y  2x  B y  3x  C y  4x  D.Khơng tồn Lời giải: Ta có y'  x  2x (x  1)2 Gọi M (x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến d với (C) x02  2x0 x02  x0  ( x  x )  Đồ thị có hai tiệm cận x  y  x suy giao điểm x0  (x0  1)2 hai tiệm cận I (1;1) d: y  Cách 1: I �d �  x02  2x0 x02  x0  (1  x )  x0  (x0  1)2 � x0    x02  2x0  x02  x0  �  vơ nghiệm Vậy khơng có tiếp tuyến qua I Cách 2: Gọi d đường thẳng qua I, có hệ số góc k � d : y  k(x  1)  �x02  x0   k(x0  1)  � � x0  d tiếp xúc với đồ thị điểm có hồnh độ x0 hệ � có �x0  2x0  k �(x  1)2 � nghiệm x0 x02  x0  x02  2x0  1 Thế k vào phương trình thứ hai ta được: x0  x0  � x02  x0  1 x02  2x0  x0  1phương trình vơ nghiệm Vậy qua I khơng có tiếp tuyến kẻ đến (C) Bài 17: x có đồ thị (C) điểm A  0; m Xác định m để từ A x kẻ tiếp tuyến đến (C) cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục Ox Câu Cho hàm số: y  �m � A � m  � � �m � B � m  � � � m C � m  1 � �m � D � m  � � Lời giải: Cách 1: Gọi điểm M (x0 ; y0 ) �(C) Tiếp tuyến  M (C) có phương trình x 2 3 y (x  x0 )  x0  (x0  1) http://dethithpt.com 31 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN A � � m 3x0 x0   � m(x0  1)2  3x0  (x0  2)(x0  1)  (với x0 �1) (x0  1)2 x0  � (m 1)x02  2(m 2)x0  m  (*) Yêu cầu toán � (*) có hai nghiệm a, b khác cho � '  3(m 2)  �m (a 2)(b 2) ab 2(a b)  � �   hay là: �m �0 �� (a 1)(b 1) ab (a b)  m  �3m  � � � �m � Vậy � giá trị cần tìm m  � � Cách 2: Đường thẳng d qua A, hệ số góc k có phương trình: y  kx  m �x0   kx0  m � �x0  d tiếp xúc đồ thị điểm có hồnh độ x0 hệ � có nghiệm x0 Thế � 3  k � �(x0  1) k vào phương trình thứ nhất, ta đươc: x0  3x0   m� (m 1)x02  2(m 2)x0  m  (*) x0  (x0  1)2 Để từ A kẻ hai tiếp tuyến (*) có hai nghiệm phân biệt khác �  '  3(m 2)  � ۹�� m � m 1 2(m 2)  m �0 � � m  2 (i ) � m�1 � Khi tọa độ hai tiếp điểm là: M 1(x1; y1), M 2(x2 ; y2 ) với x1,x2 nghiệm (*) y1  x1  x 2 ; y2  x1  x2  Để M1, M2 nằm hai phía Ox y1.y2  � Áp dụng định lí Viet: x1  x2  � (1) � x1x2  2(x1  x2 )   (1) x1x2  (x1  x2 )  2(m 2) m ; x1x2  m m 9m  � m  3 � �m  Kết hợp với (i) ta có � giá trị cần tìm � �m�1 Câu Tìm tham số m để đồ thị (C) : y   x3  2(m 1)x2  5mx  2mcủa hàm số tiếp xúc với trục hoành http://dethithpt.com 32 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN � 4� 0;1; � A m�� � B m� 0;1;2 � 4� 1;2; � C m�� � Lời giải: � 4� 0;1;2; � D m�� � (C) tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ x0 hệ �  x03  2(m 1)x02  5mx0  2m � (A) có nghiệm x0 � 3x0  4(m 1)x0  5m � Giải hệ (A) � �x  (x0  2)(x02  2mx0  m)  � � (A ) � � � �0 3x0  4(m 1)x0  5m (1) 3x0  4(m 1)x0  5m � � � �x0  2mx0  m Hoặc � Thay x0 = vào (1) ta m 3x0  4(m 1)x0  5m � �x02  2mx0  m  (2) � 3x02  6mx0  3m (3) � � �� Hệ � 3x0  4(m 1)x0  5m  � 3x0  4(m 1)x0  5m  (1) � Trừ hai phương trình (1) (3) , vế với vế ta (m 2)x0  m � x0   m m m2 2m2 m   m Thay x0   vào (1), ta : (m 2)2 m m � 4� 0;1;2; � � m3  3m2  2m � m 0�m  1�m  2.Vậy m �� � Câu Gọi  C m  đồ thị hàm số y = x4  (m 1)x2  4m Tìm tham số m để  C m  tiếp xúc với đường thẳng (d): y = hai điểm phân biệt A m = �m = B m = �m = 16 C m = �m = 13 D m = �m = 13 Lời giải: � �x0  (m 1)x0  4m (1) (A) có  Cm  tiếp xúc với (d) điểm có hồnh độ x0 hệ � 4x0  2(m 1)x0  (2) � nghiệm x0 m Thay x0 = vào (1) ta m = Giải hệ (A), (2) � x0  x02  m �m 1� (m 1)2 Thay x  vào (1) ta �  4m � 2 �2 � � m2  14m 13  � m �m 13 http://dethithpt.com 33 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 3  C m  tiếp xúc với (d) điểm (0;3) nên m  không thỏa mãn 4 yêu cầu toán Khi m  Khi m= x02  � x0  �1,suy  C m  tiếp xúc với (d) hai điểm ( �1;3) Khi m = 13 x02  � x0  � ,suy  C m  tiếp xúc với (d) hai điểm ( � 7;3) Vậy các giá trị m cần tìm m = �m = 13 Bài 18: Tìm tất các điểm Oy cho từ ta vẽ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y  x  4x2  2x  A M(0;m) với 2  m�1  B M(0;m) với  m�5 C M(0;m) với   m�1 D M(0;m) với 1 m�5 Lời giải: Xét M (0; m) �Oy Đường thẳng d qua M, hệ số góc k có phương trình: y  kx  m �x  4x2  2x   kx  m 0 0 � � 4x0  d tiếp xúc đồ thị điểm có hồnh đồ x0 hệ � có 1 k � 4x02  2x0  � nghiệm x0 Thay k vào phương trình thứ ta được: x0  4x02  2x0   x0  � m x0  4x  2x0  4x02  x0 4x  2x0   m � 4x2  2x   4x2  x  m 4x2  2x  0 0 0  f (x0 ) (*) Để từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị � (*) có nghiệm Xét hàm số f( x0 ), ta có: f '(x0 )  Mặt khác: lim f (x0 )  x�� 3x0 ( 4x  2x0  1) � f '(x0 )  � x0  1 ; lim f (x0 )   x�� Bảng biến thiên: x0 f '(x0 ) � �   f (x0 ) http://dethithpt.com 34 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN  2  m�1 Vậy M(0;m) với   m�1 điểm cần tìm (*) có nghiệm �  Bài 19: Cho hàm số: y  4x3  3x  , có đồ thị  C  Câu Tìm a để phương trình 4x3  3x  2a2  3a  có hai nghiệm âm nghiệm dương; 1 a  C  a  1 a  2 A  a  B  a   a  D  a   a  89 Lời giải: Phương trình: tương đương với phương trình : 4x3  3x  2a2  3a  4x  3x   2a  3a Phương trình cho có hai nghiệm âm nghiệm dương đường thẳng y  2a2  3a cắt đồ thị y  4x3  3x  ba điểm có hai điểm có hồnh độ âm điểm có hồnh độ dương Từ đồ thị suy �  2a2  3a � ra: 1 2a  3a  tức ta có hệ: � hay  a  1 a  2a  3a  2 � Câu Tìm điểm đường thẳng y  để từ vẽ ba đường thẳng tiếp xúc với đồ thị  C   m�2 1 C m 2  m� A m 1 1  m� D m 3 1 m� Lời giải: B m 1 Giả sử M  m;3 điểm cần tìm d đường thẳng qua M có hệ số góc k, phương trình có dạng: y  k x  m  Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị  C  điểm N  x0 ; y0  hệ : � 4x03  3x0   k x0  m  � có nghiệm x0 , từ hệ suy � 4x03  3x0  '  � k x0  m  3� ' � � � �    2x  1 � 4x02  2 3m 1 x0  3m 1� � �  1 có nghiệm x0 http://dethithpt.com 35 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Qua M kẻ đường thẳng tiếp xúc với  C   1 4x02  2 3m 1 x0  3m 1  2 có hai nghiệm có nghiệm x0 , tức phương trình phân biệt khác phương trình 1 hay m 1  m� Bài 20: x2  x  m Câu Tìm tham số m để đồ thị hàm số  Cm  : y  với m�0 cắt trục hoành x điểm phân biệt A , B cho tiếp tuyến điểm A , B vuông góc với A m  B m  C m D m  Lời giải: Hàm số cắt trục hoành thại hai điểm phân biệt A , B có hệ số góc k  Ta có: y'  x2  2x  m , đặt g x  x2  2x  m  x  1 Theo toán, g x  có hai nghiệm phân biệt 2x  x khác 1 Theo đề, tiếp tuyến A B vuông góc tức kA kB  1, tìm m  2x2 có đồ thị  C  Tìm đường thẳng y  x x điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến  C  , đồng thời tiếp tuyến vng góc với Câu Cho hàm số y  A m 5� B m 5� 53 C m 6 � 23 D m 5� 23 Lời giải: Đường thẳng  d qua điểm M  m; m có hệ số góc k, phương trình có dạng: y  k x  m  m �2x02  k x0  m  m � �x0  có nghiệm x0 ,  d tiếp xúc  C  điểm có hồnh độ x0 hệ : �2x2  8x � k � x  2 � từ ta tìm m 5� 23 http://dethithpt.com 36 ... Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tiếp tuyến qua đi? ??m cho trước Phương pháp: http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Phương trình tiếp. ..  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến đồ 2 � 3� 0; � thị  C  biết tiếp tuyến qua đi? ??m M � � 2� Cho hàm số y  x có đồ thị  C  đi? ??m A  0; m Xác định m để từ A kẻ x tiếp tuyến. ..http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN MỤC LỤC Vấn đề Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tiếp tuyến qua đi? ??m cho trước .2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN