http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM http://dethithpt.com Mục Lục KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM .9 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 13 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 29 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 33 ĐẠO HÀM TỔNG HỢP .38 CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Đạo hàm điểm Hàm số y = f (x) liên tục (a; b) , gọi có đạo hàm x0 ∈ (a; b) giới hạn sau tồn (hữu hạn): lim x→ x f (x) − f (x0 ) giá trị giới hạn gọi x − x0 giá trị đạo hàm hàm số điểm x0 Ta kí hiệu f '(x0 ) f (x) − f (x0 ) Vậy f '(x0 ) = lim x→ x0 x − x0 Đạo hàm bên trái, bên phải f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) f '(x0+ ) = lim+ f '(x0− ) = lim− x→ x0 x→ x0 x − x0 x − x0 http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP Hệ : Hàm f (x) có đạo hàm x0 ⇔ ∃ f (x0+ ) f '(x0− ) đồng thời f '(x0+ ) = f '(x0− ) Đạo hàm khoảng, đoạn • Hàm số f (x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) (a; b) có đạo hàm điểm thuộc (a; b) • Hàm số f (x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) [a; b] có đạo hàm điểm thuộc (a; b) đồng thời tồn đạo hàm trái f '(b− ) đạo hàm phải f '(a+ ) Mối liên hệ đạo hàm tính liên tục Định lí: Nếu hàm số f (x) có đạo hàm x0 f (x) liên tục x0 Chú ý: Định lí điều kiện cần, tức hàm liên tục điểm x0 hàm khơng có đạo hàm x0 Chẳng hạn: Xét hàm f (x) = x liên tục x = khơng liên tục điểm f (x) − f (0) f (x) − f (0) = 1, lim− = −1 Vì lim+ x→ x→ x x Vấn đề Tính đạo hàm định nghĩa Phương pháp: f (x) − f (x0 ) • f '(x0 ) = lim x→ x0 x − x0 • f '(x0+ ) = lim+ f (x) − f (x0 ) x − x0 • f '(x0− ) = lim− f (x) − f (x0 ) x − x0 x→ x0 x→ x0 • Hàm số y = f (x) có đạo hàm điểm x = x0 ⇔ f '(x0+ ) = f '(x0− ) • Hàm số y = f (x) có đạo hàm điểm trước hết phải liên tục điểm Các ví dụ Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau điểm chỉ:  x3 + x2 + −  x ≠ f (x) = 2x3 + x = f (x) =  x = x 0 x =  f (x) = x2 + x = Lời giải: http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP 1 Ta có lim x→ f (x) − f (2) 2x3 − 16 = lim = lim2(x2 + 2x + 4) = 24 ⇒ f '(2) = 24 x → x→ x− x− f (x) − f (1) x2 + − = lim x→1 x→1 x− x− (x − 1)(x + 1) = lim = x→1 (x − 1)( x2 + + 2) Ta có : f '(1) = lim Ta có f (0) = 0, đó: lim x→0 Vậy f '(0) = f (x) − f (0) x3 + x2 + − x+ 1 = lim = lim = x → x → x x x + x + 1+ Ví dụ Chứng minh hàm số f (x) = khơng có đạo hàm điểm 2x2 + x + x− liên tục x = −1 Lời giải: f ( x ) Vì hàm xác định x = −1 nên liên tục f (x) − f (−1) 2x = lim+ =1 Ta có: f '(−1+ ) = lim+ x→−1 x→−1 x − x+ f (x) − f (−1) f '(−1− ) = lim− = lim− = x→−1 x→−1 x+ + − ⇒ ff'(−1 ) ≠ '(−1 ) ⇒ f (x) khơng có đạo hàm x = −1  x2 − x ≠  Ví dụ Tìm a để hàm số f ( x) =  x − có đạo hàm x = a x =  Lời giải: Để hàm số có đạo hàm x = trước hết f (x) phải liên tục x = x2 − Hay lim f (x) = lim = = f (1) = a x→1 x→1 x − x2 − −2 f (x) − f (1) Khi đó, ta có: x − lim = lim =1 x→1 x→1 x− x− Vậy a= giá trị cần tìm CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tính đạo hàm hàm số sau điểm Câu f (x) = 2x + x0 = http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP A.2 B.3 C.4 Lời giải: D.5 C.3 Lời giải: D.4 Ta có: f '(x0 ) = Câu f (x) = A −2 x+ x0 = x− B.2 f '(x0 ) = −2 Câu f (x) = x2 + x + điểm x0 = A B C D 41 Lời giải: f '(2) = lim x→ x + x + 1− (x − 2)(x + 3) = lim = x → 2 x− (x − 2)( x + x + + 7) π B.1 Câu f (x) = sin2 x x = A C.2 D.3 Lời giải: π f '( ) =  x3 − 2x2 + x + −  x ≠ Câu f (x) =  điểm x0 = x− 0 x =  1 A B C Lời giải: D f (x) − f (1) x3 − 2x2 + x + − x = lim = lim = lim x→1 x → x → x− (x − 1) x − 2x + x + + Vậy f '(1) = Bài Tính đạo hàm hàm số sau điểm π Câu f (x) = sin2x x0 = A −1 B C D http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP Lời giải: π  π  π Ta có: f (x) − f ( ) = sin2x − sin π = 2cos x + ÷sin  x − ÷ 2 2    π  π π cos x + ÷.sin  x − ÷ f (x) − f ( ) 2 2   = 2lim ⇒ lim = −2 π π π π x→ x→ x− x− 2 2 π Vậy f ' ÷ = −1  2 π B Câu f (x) = tan x x = A C D 31 Lời giải: π π  π Ta có f (x) − f  ÷ = tan x − tan = ( 1+ tan x) tan  x − ÷ 4  4   π π (1+ tan x)tan  x − ÷ f (x) − f ( ) 4  = lim Suy lim =2 π π π π x→ x→ x− x− 4 4 π Vậy f ' ÷ =  4   x sin x ≠ Câu f (x) =  x = x 0 x = A B C Lời giải: f (x) − f (0) = lim xsin = Ta có: lim x→0 x → x x f '(0) = Vậy D Bài Tính đạo hàm hàm số sau điểm Câu f (x) = x3 x0 = A B C D.6 Lời giải: http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP Ta có: f (x) − f (1) = x3 − = (x − 1)(x2 + x + 1) f (x) − f (1) = lim x2 + x + = Suy ra: lim x→1 x→1 x− Vậy f '(1) = ( )  2x + x ≥  Câu f (x) =  x + 2x2 − 7x + x0 = x <  x−  A B C Lời giải: Ta có lim+ f (x) = lim+ ( 2x + 3) = x→1 D Đáp án khác x→1 x + 2x2 − 7x + lim− f (x) = lim− = lim( x2 + 3x − 4) = − x→1 x→1 x→1 x− f (x) ≠ lim− f (x) ⇒ hàm số không liên tục x = nên hàm số khơng Dẫn tới lim x→1+ x→1 có đạo hàm x0 =  sin2 x  Câu f (x) =  x  x + x2  A.1 x > x ≤ B.2 x0 = C.3 Lời giải: sin x  sin x  = lim+  sin x÷ = Ta có lim+ f (x) = lim+ x→ x→ x→0 x  x  ( D.5 ) lim− f (x) = lim− x + x2 = nên hàm số liên tục x = x→ x→ f (x) − f (0) sin2 x = lim+ = x→ x→ x x2 f (x) − f (0) x + x2 lim− = lim− =1 x→ x→ x x Vậy f '(0) = lim+ Câu f (x) = A.2 x2 + x + x x0 = −1 B.0 C.3 Lời giải: Ta có hàm số liên tục x0 = −1 D.đáp án khác http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP f (x) − f (−1) x + x + x + = x+ x(x + 1) f (x) − f (−1) x2 + 2x + = lim+ =0 Nên lim+ x→−1 x→−1 x+ x(x + 1) f (x) − f (−1) x2 − lim = lim− =2 x→−1− x→−1 x(x + 1) x+ f (x) − ff(−1) (x) − f (−1) ≠ lim− Do lim+ x→−1 x→−1 x+ x+ Vậy hàm số khơng có đạo hàm điểm x0 = −1 Nhận xét: Hàm số y = f (x) có đạo hàm x = x0 phải liên tục điểm Bài  x + x x ≥ Câu Tìm a, b để hàm số f (x) =  có đạo hàm x =  ax + b x <  a = 23 A   b = −1 a = B  b = −11  a = 33 C  b = −31 Lời giải: ax + b) = a+ b f (x) = lim( x + x) = ; lim− f (x) = lim( Ta có: lim x→1 x→1− x→1+ x→1+ a = D   b = −1 Hàm có đạo hàm x = hàm liên tục x = ⇔ a+ b = (1) f (x) − f (1) x2 + x − lim+ = lim+ = lim( x + 2) = x→1 x→1 x→1+ x− x− f (x) − f (1) ax + b− ax − a lim− = lim− = lim− = a(Do b = − a) x→1 x → x → x− x− x− a = Hàm có đạo hàm x = ⇔  b = −1 x ≥  x + Câu Tìm a,b để hàm số f (x) =  có đạo hàm ¡  2x + ax + b x < A a = 10, b = 11 B a = 0, b = −1 C a = 0, b = D a = 20,b = Lời giải: f ( x ) Ta thấy với x ≠ ln có đạo hàm Do hàm số có đạo hàm ¡ hàm có đạo hàm x = Ta có: lim+ f (x) = 1; lim− f (x) = b⇒ f (x) liên tục x = ⇔ b = x→ x→ f (x) − ff(0) = 0; x→0 x ⇒ ff'(0+ ) = '(0− ) ⇔ a = Khi đó: ff'(0+ ) = lim+ '(0− ) = lim− x→0 (x) − f (0) =a x http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP Vậy a = 0, b = giá trị cần tìm  x2 + x ≥  Câu Tìm a, b để hàm số f (x) =  x + có đạo hàm điểm x = ax + b x <  A a = −11, b = 11 B a = −10,b = 10 C a = −12,b = 12 Lời giải: f (x) = = ff(0);lim− (x) = b Ta có lim x→ 0+ x→0 D a = −1, b = Hàm số liên tục x = ⇔ b = f (x) − f (0) f (x) − f (0) x− lim+ = lim+ = −1, lim− = lim− a = a x→ x→ x + x→ x→0 x x Hàm số có đạo hàm điểm x = ⇔ a = −1 Vậy a = −1, b = giá trị cần tìm CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Quy tắc tính đạo hàm 1.1 Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số • (ku (x))' = ku '(x) • (u1 ± u2 ± ± un )' = u1' ± u2' ± ± un' • (uvw)' = u' vw + uv' w + uvw' • (un (x))' = nun−1(x).u'(x) '  c  cu '(x)  u(x)  u'(x)v(x) − v'(x)u(x) • • ' = −  ÷ ÷= u2(x) v2(x)  u(x)   v(x)  1.2 Đạo hàm hàm số hợp Cho hàm số y = f (u(x)) = f (u) với u = u(x) Khi y'x = y'u u'x Bảng công thức đạo hàm hàm sơ cấp (c)' = (x)' = Đạo hàm (xα )' = αxα−1 x '= x n x '= nn xn−1 (sin x)' = cos x (cos x)' = − sin x ( ) ( ) Hàm hợp ( u ) ' = αu α α−1 u' ( u) ' = 2u'u ( u) ' = n uu' n n n−1 (sin u)' = u'.cosu (cosu)' = −u'sin u http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP 1 cos2 x (cot x)' = − sin2 x ( tan u) ' = cosu' u (tan x)' = ( cot u) ' = − sinu' u Vấn đề Tính đạo hàm cơng thức Phương pháp: Sử dụng quy tắc tính đạo hàm Các ví dụ Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau: y = x3 − 3x2 + 2x + x4 − x2 + 2x + y = x− 3 y = −2x4 + x2 + 2 x − 2x + y = x+ Lời giải: y = ( Ta có: y' = ( − x ) + 3x + 1) y = − x3 + 3x + ' Ta có: y' = − x3 + 3x + = 3x2 − 6x + ' = −3x2 + '  x4  Ta có: y' =  − x2 + 1÷ = x3 − 2x   '   Ta có: y' =  −2x4 + x2 + 1÷ = −8x3 + 3x   (2x + 1)'(x − 3) − (x − 3)'(2x + 1) −7 = Ta có: y' = (x − 3) (x − 3)2 Ta có: y' = (x2 − 2x + 2)'(x + 1) − (x2 − 2x + 2)(x + 1)' (x + 1)2 = (2x − 2)(x + 1) − (x2 − 2x + 2) x2 + 2x − = (x + 1)2 ( x + 1) ad − bc ax + b ta có: y' = (cx + d)2 cx + d Ví dụ Giải bất phương trình f '(x) ≥ biết: Nhận xét: Với hàm số y = f (x) = x − x2 f (x) = x − x2 + 12 f (x) = x2 − x + + x2 + x + f (x) = x2 + − x http://dethithpt.com 10 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP A (x −x ) +2 B x2 + (x x+ ) +2 C x2 + (x −x + ) +3 x2 + Lời giải: y' = ( 4x + 1) / x2 + − ( x2 + − = ( ) x2 + ( 4x + 1) x2 + x x +2 x2 + 2 ) x2 = ( 4x + 1) (x + 2− / = ( ) ( x2 + − x( 4x + 1) (x ) +2 x2 + D (x −x + ) +2 x2 + ) ( 4x + 1) +2 / x2 + x2 + ) = (x −x + ) +2 x2 + x3 (Áp dụng bặc hai u đạo hàm) x− 1 x3 − 3x2 y' = A x3 ( x − 1) x− 1 2x3 − x2 y' = x3 ( x − 1) x− 1 2x3 − 3x2 y' = C x3 ( x − 1) Câu l) y = y' = x3 x− x− 2x3 − 3x2 ( x − 1) B D Lời giải: y' = x x− /  x   ÷  x − 1 / ( ) ( x − 1) − ( x − 1) x3  x3  Ta có:  ÷ =  x − 1 / ( x − 1) / x3 = 3x2 ( x − 1) − x3 ( x − 1) = 2x3 − 3x2 ( x − 1) http://dethithpt.com 52 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP Vậy y' = x3 x− 2x3 − 3x2 ( x − 1) ( x − 2) Câu m) y = A ( x − 2) x− 2 ( x − 2) B Đầu tiên áp dụng y' = ( u) ( ( x − 2) ( ) ) ( x − 2) C x− 3( x − 2) x− D 3( x − 2) x− Lời giải: / / với u = ( x − 2) = 3.( x − 2) = 2 ( x − 2) 3( x − 2) x− Câu n) y = 1+ 1− 2x A ( −6 1+ 1− 2x ) B 1− 2x ( −6 1+ 1− 2x 1− 2x ) ( − 1+ 1− 2x 1− 2x ) C ( − 1+ 1− 2x 1− 2x ) D ( ) Lời giải: / Bước áp dụng uα với u = 1+ 1− 2x ( ) ( ) / ( y' = 1+ 1− 2x 1+ 1− 2x = 1+ 1− 2x ) ( 1− 2x) / 1− 2x Bài Tính đạo hàm hàm số sau: Câu a) y = x cos x A cos x − sin x B − x sin x C x sin x = ( −6 1+ 1− 2x 1− 2x ) D cos x − xsin x  Lời giải: Ta áp dụng đạo hàm tích y' = x'cos x + x.( cos x) = cos x − x sin x /  sin x  Câu b) y =  ÷  1+ cos x  http://dethithpt.com 53 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP A sin2 x ( 1+ cos x) B 3sin2 x ( 1+ cos x) C 2sin2 x ( 1+ cos x) D 3sin2 x ( 1+ cos x) Lời giải: ( ) / Bước ta áp dụng công thức uα với u =  sin x  y' = 3 ÷  1+ cos x  sin x 1+ cos x /  sin   ÷  1+ cos x   sin x  ( sin x) ( 1+ cos x) − ( 1+ cos x) sin x cos x( 1+ cos x) + sin x = = Tính :  ÷ 2  1+ cos x  ( 1+ cos x) ( 1+ cos x) / / = / cos x + cos2 x + sin2 x ( 1+ cos x) = 1+ cos x  sin x  3sin2 x = Vậy y' = 3 ÷  1+ cos x  1+ cos x ( 1+ cos x) Câu c) y = sin ( 2x + 1) A sin ( 2x + 1) cos( 2x + 1) B 12sin ( 2x + 1) cos( 2x + 1) C 3sin ( 2x + 1) cos( 2x + 1) D 6sin ( 2x + 1) cos( 2x + 1) Lời giải: ( ) ( 2x + 1) ( sin ( 2x + 1) ) Bước áp dung công thức uα với u = sin ( 2x + 1) / ( Vậy y' = sin3 ( 2x + 1) ( ) ) / = 3sin2 / Tính sin ( 2x+ 1) : Áp dụng ( sinu) , với u = ( 2x + 1) / ( Ta được: sin ( 2x + 1) / ) / = cos( 2x + 1) ( 2x + 1) = 2cos( 2x + 1) / ⇒ y' = 3.sin2 ( 2x + 1) 2cos( 2x + 1) = 6sin2 ( 2x + 1) cos( 2x + 1) Câu d) y = sin + x2 A cos + x2 D x 2+ x B 2+ x cos + x2 C .cos + x2 cos + x2 http://dethithpt.com 54 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP Lời giải: Áp dụng công thức ( sinu) với u = + x2 / ( y' = cos + x2 + x2 ) / ( 2+ x ) 2+ x / = cos 2 2+ x = x 2+ x cos + x2 Câu e) y = sin x + 2x A cos x + 2 sin x + 2x Áp dụng cos x + B sin x + 2x ( u) , với u = sin x + 2x C 2 sin x + 2x D cos x sin x + 2x Lời giải: / ( sin x + 2x) y' = / cos x + = sin x + 2x sin x + 2x Câu f) y = 2sin2 4x − 3cos3 5x 45 cos5x.sin10x 45 C y' = 8sin x + cos5x.sin10x B y' = 8sin8x + cos5x.sin10x 45 D y' = 8sin8x + cos5x.sin10x A y' = sin8x + Bước áp dụng ( u + v) ( ) 4x) / ( ) y' = 2sin2 4x − cos3 5x ( Tính sin2 ( sin 4x) / / Lời giải: / / ( ) / : Áp dụng uα , với u = sin 4x, ta được: = 2sin4x.( sin4x) = 2sin4x.cos4x( 4x) = 4sin8x / ( ) / Tương tự: cos3 5x = 3cos2 5x.( cos5x) = 3cos2 5x.( − sin5x) ( 5x) / / = −15cos2 5x.sin5x = Kết luận: y' = 8sin8x + ( / −15 cos5x.sin10x 45 cos5x.sin10x ) Câu h) y = + sin2 2x ( ) A y' = 6sin4x + sin2 2x ( ) B y' = 3sin4x + sin2 2x http://dethithpt.com 55 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP ( ) ( C y' = sin4x + sin2 2x ( ) α Áp dụng u ) D y' = 6sin4x + sin2 2x Lời giải: / , với u = + sin2 2x ( ) ( 2+ sin 2x) = 3( 2+ sin 2x) ( sin 2x) Tính ( sin 2x) , áp dụng ( u ) , với u = sin 2x ( sin 2x) = 2.sin2x( sin2x) = 2.sin2x.cos2x( 2x) = 2sin4x ⇒ y' = 6sin4x( + sin 2x) Câu i) y = sin ( cos x.tan x) A y' = cos( cos x.tan x) ( sin2x tan x + 2tan x) B y' = cos( cos x.tan x) ( sin2x tan x + tan x) C y' = cos( cos x.tan x) ( − sin2x tan x + tan x) D y' = cos( cos x.tan x) ( − sin2x tan x + 2tan x) y' = + sin2 2x / 2 2 / / α / / / / 2 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải: Áp dụng ( sin u) , với u = cos x tan x / ( )( ) / y' = cos cos2 x.tan2 x cos2 x.tan2 x ( ) ( ) Tính cos2 x.tan2 x , bước đầu sử dụng ( u.v) , sau sử dụng uα / / ( cos x.tan x) = ( cos x) / 2 / ( ) / / tan2 x + tan2 x cos2 x = 2cos x( cos x) tan2 x + 2tan x( tan x) cos2 x / / cos2 x = − sin2x tan2 x + 2tan x cos x 2 Vậy y' = cos cos x.tan x − sin2x tan x + 2tan x = −2sin x cos x tan2 x + 2tan x ( )( )  x + 1 ÷ Câu j) y = cos  ÷  x − 1 http://dethithpt.com 56 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP A y' = x C y' = x ( (  x + 1 sin  ÷ ÷ x −   x−1 B y' =  x − 1 sin  ÷  ÷ x +   x −1 D y' = ) ) x x  x + 1 cos  ÷  ÷ x −   x−1 ( )  x + 1 sin  ÷  ÷ x −   x −1 ( ) Lời giải: ( ) Áp dụng uα /  x + 1 ÷ , với u = cos ÷  x − 1 / /  x + 1   x + 1   x + 1  x + 1  x + 1 y' = 2.cos cos sin   = −2.cos ÷ ÷ ÷  x − 1÷   x − 1÷  x − 1÷  x − 1÷ ÷  x − 1÷ ÷           /  x + 1  x + 1 y' = − sin  ÷  ÷  x − 1÷ ÷ x −    /  x + 1 = ÷ Tính  ÷  x − 1 Vậy y' = x ( ( ) ( / x+1 ) ( ( ) ( / x −1 − x−1 ) x−1 )= x+1 x ( −1 ) x−1  x + 1 sin  ÷  ÷ x −   x−1 ) sin2x + cos2x 2sin2x − cos2x −6 A C D B 2 ( 2sin2x − cos2x) ( sin2x − cos2x) ( 2sin2x − cos x) Câu k) y = −6 ( 2sin2x − cos2x) Lời giải: ( sin2x + cos2x) ( 2sin2x − cos2x) − ( 2sin2x − cos2x) ( sin2x + cos2x) y' = ( 2sin2x − cos2x) ( 2cos2x − 2sin2x) ( 2sin2x − cos2x) − ( 4cos2x + 2sin2x) ( sin2x + cos2x) y' = ( 2sin 2x − cos2x) / / 2 http://dethithpt.com 57 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP y' = −6cos2 2x − 6sin2 2x ( 2sin2x − cos2x) = −6 ( 2sin2x − cos2x) 1 = cos x − sin x cos2x sin 2x sin x A B cos 2x cos2 2x Câu l) y = C 2cos2x sin2 2x D 2sin2x cos2 2x Lời giải: /  1 Áp dụng  ÷  u y' = − ( cos2x) ( cos2x) sin2x.( 2x) / = / = cos 2x 2sin2x cos2 2x Câu m) y = sin x.cos2x A ( cos2x) B ( cos2x) : Áp dụng ( u.v) C 4( cos2x) D 2( cos2x) 5 Lời giải: / y' = ( sin x) cos2x + ( cos2x) sin x = cos x.cos2x − sin2x.( 2x) sin x / / / y' = cos x.cos2x − 2sin2x.sin x ( ) Câu n) y = cos4 x − sin4 x A −10cos4 2x B − cos4 2x.sin2x C −10cos4 2x.sin x D −10cos4 2x.sin2x Lời giải: ( )( ) ( ) =  cos2 x − sin2 x cos2 x + sin2 x  = ( cos2x) Áp dụng uα , với u = cos2x   / y' = 5.cos4 2x.( cos2x) = 5.cos4 2x.( − sin2x) ( 2x) = −10cos4 2x.sin2x / / ( ( )) Câu o) y = sin cos tan 3x )) ( ( )) ( ) ( ( B y' = sin ( 2cos( tan 3x) ) ( sin ( tan 3x) ) tan 3x.( 1+ tan 3x) C y' = sin ( 2cos( tan 3x) ) ( sin ( tan 3x) ) 4tan 3x.( 1+ tan 3x) D y' = − sin ( 2cos( tan 3x) ) ( sin ( tan 3x) ) 4tan 3x.( 1+ tan 3x) 4 3 A y' = sin 2cos tan 3x sin tan 3x 4tan 3x 1+ tan 3x 4 4 3 3 http://dethithpt.com 58 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP Lời giải: ( ) , với u = sin ( cos( tan 3x) ) y' = 2sin ( cos( tan 3x) ) sin ( cos( tan 3x) )    Sau áp dụng ( sin u) , với u = cos( tan 3x) y' = 2sin ( cos( tan 3x) ) cos( cos( tan 3x) ) ( cos( tan 3x) ) Đầu tiên áp dụng uα / 4 / / 4 Áp dụng ( cosu) , với u = tan4 3x / / ( )) ( ( ( )) ( ) / y' = − sin 2cos tan4 3x sin tan4 3x tan4 3x ( ) Áp dụng uα / , với u = tan3x )) ( ( )) ( ( y' = − sin ( 2cos( tan 3x) ) ( sin ( tan 3x) ) 4tan 3x.( 1+ tan 3x) ( 3x) y' = − sin ( 2cos( tan 3x) ) ( sin ( tan 3x) ) 4tan 3x.( 1+ tan 3x) y' = − sin 2cos tan4 3x sin tan4 3x 4tan3 3x.( tan3x) / 4 4 3 / Câu p) y = sin3 2x.cos3 2x B sin2 x.cos x A sin2 4x.cos4x sin 4x.cos4x C sin2 x.cos4x D Lời giải: 3 1  y = sin3 2x.cos3 2x = ( sin 2x.cos2x) =  sin4x÷ = sin3 4x Áp dụng uα 2  / / 1 y' = 3sin2 4x( sin4x) = 3sin2 4x.cos4x.( 4x) = sin2 4x.cos4x 8 ( ) / ,u = sin 4x Câu q) y = ( sin x + cos x) A 3( sin x + cos x) ( cos x + sin x) C ( sin x + cos x) ( cos x − sin x) 2 ( ) Áp dụng uα B 3( sin x − cos x) ( cos x − sin x) D 3( sin x + cos x) ( cos x − sin x) 2 Lời giải: / , với u = sin x + cos x y' = 3( sin x + cos x) ( sin x + cos x) = 3( sin x + cos x) / ( cos x − sin x) http://dethithpt.com 59 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP Câu r) y = 5sin x − 3cos x A 5cos x + 3sin x B cos x + 3sin x C cos x + sin x D 5cos x − 3sin x Lời giải: : y' = ( 5sin x) − ( 3cos x) = 5cos x + 3sin x / / ( ) Câu s) y = sin x − 3x + ( ) ( ( ) C ( x − 3) cos x − 3x + ( 2x − 3) cos( x ) ) B ( 2x − 3) sin x − 3x + 2 A cos x − 3x + D − 3x + ( ) Áp dụng ( sin u) , với u = x − 3x + / ( )( ) Lời giải: ( ) y' = cos x2 − 3x + x2 − 3x + = ( 2x − 3) cos x2 − 3x + / Bài Tính đạo hàm hàm số sau: Câu a) y = sin x A cos x x B x cos x C x sin x D x cos x Lời giải: Áp dụng ( sin u) , với u = x / ( ) ( ) / y' = sin x = cos x Câu b) y = cos2 x A − sin2x ( ) Áp dụng công thức u ) x cos x B sin2x α ( / x = C cos2x D 2sin 2x Lời giải: / , với u = cos x y' = cos2 x = 2.cos( cos x) = 2cos x.( − sin x) = − sin2x / / Câu c) y = cos 2x + A − sin 2x+ 1 2x + sin 2x + D − B 2x + 1 2x + sin 2x + C .cos 2x + http://dethithpt.com 60 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP Lời giải: Áp dụng ( cosu) , với u = 2x + / ( ) ( / ) Câu y' = cos 2x + = − sin 2x + = − sin 2x + 2 2x + 2x + 2x + = − sin ( 2x + 1) 2x + / 2x + sin 2x + 1 sin ( −2x) + sin8x = ( − sin2x + sin8x) 2 B cos8x − cos2x C 4cos8x + cos2x D 4cos8x − cos2x Câu d) y = sin3x.cos5x = A 4cos8x − cos2x =− / ( ) Lời giải: / / / 1 1 y' = ( sin8x − sin2x) = ( sin8x) − ( sin2x) = cos8x( 8x) − cos2x.( 2x) 2 2 = 4cos8x − cos2x sin x + cos x Câu e) y = sin x − cos x sin2x 3sin2x sin2x 2sin 2x C A B D 2 2 ( sin x − cos x) ( sin x + cos x) ( sin x + cos x) ( sin x − cos x) / / Lời giải: /  u Áp dụng  ÷  v ( sin x + cos x) ( sin x − cos x) − ( sin x − cos x) ( sin x + cos x) y' = ( sin x − cos x) ( cosx− sin x) ( sin x − cos x) − ( cos x + sin x) ( sin x + cos x) y' = ( sin x − cos x) − ( sin x − cos x) − ( sin x + cos x) 2sin2x y' = = ( sin x − cos x) ( sin x − cos x) / / 2 2 2 Câu f) y = cos2x A sin2x cos2x B − sin x cos2x C sin2x cos2x D − sin 2x cos2x Lời giải: http://dethithpt.com 61 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP Áp dụng ( u) ( cos2x) y' = / , với u = cos2x − sin2x.( 2x) / = / = − sin 2x cos2x cos2x cos2x sin x x + Câu g) y = x sin x cos x − sin x sin x − xcos x + A x2 sin2 x x cos x − sin x sin x − cos x + C x2 sin2 x x cos x − sin x sin x − xcos x − x2 sin2 x x cos x − sin x sin x − x cos x + D x2 sin2 x B Lời giải: / /  sin x   x  ⇒ y' =  ÷ + ÷  x   sin x  ( sin x) = x − x/ sin x x/ sin x − ( sin x) x x cos x − sin x sin x − x cos x + = + h) Câu Câu x2 sin2 x x2 sin2 x h) y = sin ( cos x) + cos( sin x) / / A sin ( x + cos x) B − sin ( x + cos x) C − sin ( cosx) D − sin ( x) Lời giải: Bước sử dụng đạo hàm tổng, sau sử dụng ( sin u) ,( cosu) / ( y' = sin ( cos x) ) + ( cos( sin x) ) / / / = cos( cos x) ( cos x) − sin ( sin x) ( sin x) / / ( = − sin x.cos( cos x) − cos x.sin ( sin x) = − sin x.cos( cos x) + cos x.sin ( sin x) = − sin ( x + cos x) x + sin x x − sin x −2sin x + 2x cos x ) Câu i) y = A ( x − sin x) 2sin x + 2x cos x ( x − sin x) 2 B −2sin x + x cos x ( x − sin x) C − sin x + x cos x ( x − sin x) D Lời giải: /  u Sử dụng  ÷  v http://dethithpt.com 62 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP ( x + sin x) ( x − sin x) − ( x − sin x) ( x + sin x) y' = ( x − sin x) ( 1+ cos x) ( x − sin x) − ( 1− cos x) ( x + sin x) = −2sin x + 2xcos x = ( x − sin x) ( x − sin x) / / 2 2  1+ cos2x  Câu k) y =  ÷  1− cos2x   1+ cos2x   −4sin2x ÷ A 2 ÷  1− cos2x   ( 1− cos2x) ÷   1+ cos2x   − sin2x ÷ C 2 ÷  1− cos2x   ( 1− cos2x) ÷   1+ cos2x   −4sin2x ÷ B  ÷  1− cos2x   ( 1− cos2x) ÷   1+ cos2x   −4sin2x ÷ D 2 ÷  1− cos2x   ( 1− cos2x) ÷  Lời giải: ( ) Sử dụng uα / với u = 1+ cos2x 1− cos2x /  1+ cos2x   1+ cos2x  y' = 2 ÷. ÷  1− cos2x   1− cos2x  / /  1+ cos2x   ( 1+ cos2x) ( 1− cos2x) − ( 1− cos2x) ( 1+ cos2x) ÷ = 2 ÷ ÷  1− cos2x   ( 1− cos2x)   1+ cos2x   −2sin 2x( 1− cos2x) − 2sin2x( 1+ cos2x) ÷ = 2 ÷ ÷  1− cos2x   ( 1− cos2x)   1+ cos2x   −4sin 2x ÷ = 2 ÷  1− cos2x   ( 1− cos2x) ÷  4 Câu l) y = sin x + cos x A sin 4x B − sin 4x C cos4x − sin4x D − sin4x Lời giải: = 1− sin2 2x = + cos4x 4 / / / 3  1 y' =  + cos4x÷ = ( cos4x) = ( − sin4x) ( 4x) = − sin4x 4  http://dethithpt.com 63 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP  π Câu m) y = cos 2x − ÷ 4   π  π B −  2x − ÷.sin  2x − ÷ 4 4   2  π  π D −4 2x − ÷.sin  2x − ÷ 4 4    π  π A −4 x − ÷.sin  2x − ÷ 4 4    π  π C −4 2x − ÷.sin  x − ÷ 4 4   Lời giải: /  π Áp dụng ( cosu) với u =  2x − ÷ 4   π y' = − sin  2x − ÷ 4  / 2 /  π   π  π  π  2x − ÷  = − sin  2x − ÷ 2 2x − ÷. 2x − ÷ 4  4  4  4     π  π = −4 2x − ÷.sin  2x − ÷ 4 4   sin x − x cos x Câu n) y = cos x + x sin x x2 x2 A B 2 ( cos x + sin x) ( cos x − sin x) x2 ( cos x + xsin x) C 2x2 ( cos x + xsin x) D Lời giải: ( sin x − xcos x) ( cos x + xsin x) − ( cos x − xsin x) ( sin x − xcos x) y' = ( cos x + xsin x) Tính ( sin x − x cos x) = cos x − ( x cos x) = cos x − ( x'.cos x + x.( cos x) ) = cos x − ( cos x − x sin x) = x sin x Tính ( cos x + x sin x) = − sin x + ( x'.sin x + x.( sin x) ) = − sin x + ( sin x + x cos x) = x cos x x sin x( cos x + xsin x) − xcos x( sin x − xcos x) x ⇒ y' = = ( cos x + xsin x) ( cos x + xsin x) / / / / / / / 2 http://dethithpt.com 64 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP Bài Cho f ( x) = A.-14 + + Tính f '( −1) x x2 x3 B.12 C.13 D.10 Lời giải: /  1 −α Bước tính đạo hàm sử dụng cơng thức  α ÷ = α+1 x  x / 1 3 f '( x) =  + + ÷ = − − − ⇒ f '( 1) = −1− − = −14 x x x x x x  Bài Cho f ( x) = A 1 + + x2 Tính f '( 1) x x B.1 C.2 D.3 Lời giải: ( ) x / / 1 Ta có f '( x) =  + + x2  = − − + 2x = − − + 2x  ÷ x x x 2x x x x  1 Vậy f '( 1) = −1− + = 2 Bài Cho f ( x) = x + x − 2x − Tính ff'( 1) + '( −1) + f ( 0) A.4 B.5 C.6 ( ) D.7 Lời giải: Ta có f '( x) = x5 + x3 − 2x − = 5x4 + 3x2 − / ff'( 1) + '( −1) + f ( 0) = (5+ 3− 2) + (5+ 3− 2) + 4.(−2) = Bài 10 Cho f ( x) = A x − x2 Tính f '( 0) B.1 C.2 D.3 Lời giải: ( /  x  x' − x − x − x f '( x) =  ÷ = 2 ÷  4− x  − x2 ( ) ) / x2 − x2 + = ( 4 − x2 = 4− x − x2 − x2 ) ( ) http://dethithpt.com 65 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP Vậy f '( 0) = http://dethithpt.com 66 ... V ĐẠO HÀM – TẬP CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM http://dethithpt.com Mục Lục KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO... HÀM .9 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 13 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 29 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 33 ĐẠO HÀM TỔNG HỢP .38 CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Đạo hàm điểm Hàm. .. có đạo hàm (hay hàm khả vi) [a; b] có đạo hàm điểm thuộc (a; b) đồng thời tồn đạo hàm trái f '(b− ) đạo hàm phải f '(a+ ) Mối liên hệ đạo hàm tính liên tục Định lí: Nếu hàm số f (x) có đạo hàm