BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Bài 1: Cho khối lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách hai đường thẳng AB A1D độ dài đường chéo mặt bên a) Hạ AK ⊥ A1 D ( K ∈ A1 D) Chứng minh AK = b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 Giải: A x B x x D C x K h A1 D1 B1 a) Chứng minh AK = 2: AB ⊥ (ADD1A1) ⇒ AB ⊥ AK Gt: AK ⊥ A1D ⇒ AK đoạn vng góc chung AB A1D Vậy AK = d ( AB, A1D ) ⇒ AK = b) Tính thể tích V khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1: Đặt h = AA1 chiều cao khối lăng trụ; x cạnh đáy hình vng Gt AK = 2; A1D = ∆DAA1 vng A có AK đường cao nên: AK.A1D = AD.AH ⇔ 10 = x.h 2 2 AD2 + AA1 = A1 D ⇔ x + h = 25  x + h =  x + h = 25 ( x + h) = 45 ⇔ ⇔ Giải hệ:   xh = 10  xh = 10  xh = 10  x = 5; h = ⇒ V = x h = 20 ⇔  x = 5; h = ⇒ V = x h = 10 C1 · Bài 2: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A 1B1C1D1 có đáy hình bình hành BAD = 450 Các đường chéo AC1 DB1 tạo với đáy góc 45 600 Hãy tính thể tích khối lăng trụ biết chiều cao Giải: D1 A1 · AC Gt: (AC1, (ABCD)) = 450 = (AC1,AC) = C · DB (DB1, (ABCD)) = 600 = (DB1, DB) = B µ = 1v ⇒ AC = CC cot C · AC = 2.cot 450 = ∆ACC1 , C 1 C1 B1 µ = 1v ⇒ BD = BB cot B · DB = 2.cot 600 = ∆DBB1 , B 1 Đặt AD = BC = x ; AB = DC = y D C A B ∆ADC có : AC = AD + DC − AD.DC cos ·ADC ⇔ = x + y − xy cos1350 = x + y + xy cos 450 (1) · ∆BCD có : BD = BC + CD − 2.BC.CD.cos BCD = x + y − xy cos 450 (2) 16 2 2 Từ (1) (2) ⇒ = 2( x + y ) ⇒ x + y = thay 3 ⇔ 83 Nguyễn Cơng Mậu BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN vào (2) có: = − xy ⇔ xy = 3 xy 2 S ABCD = 2.S BCD = BC.CD.sin C = xy.sin 450 = = = 2 3 2 Vậy V = SABCD CC1= = (đvdt) 3 Bài 3: Cho khối lăng trụ ABC.A 1B1C1 có đáy ABC tam giác vng cân với cạnh huyền AB = Cho biết mặt phẳng (AA1B) vng góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = , góc ·A1 AB nhọn, góc mặt phẳng (A1AC) mặt phẳng (ABC) 60 Hãy tính thể tích khối lăng trụ Giải: A1 B1 C1 h vuông cân K ⇒ AH = HK = h µ = 1v ⇒ A H + HA2 = A A2 ∆A1 HA, H 1 H K C 2h = ⇔ 5h = ⇔ h = 1 3CA2 V = S ABC A1 H = CA.CB.h = CA2 = 2 5 ∆ACB có : AC + CB = AB ⇔ AC = (đvdt) ⇔ AC = Vậy V = ⇔ h2 + A Gt: ( A1 AB) ⊥ ( ABC ) Từ A1 dựng A1H vng góc AB H A1 H ⊥ ( ABC ) ⇒ A1 H chiều cao lăng trụ Đặt A1H = h Dựng HK ⊥ AC K (HK // BC) ∆ AKH B Bài 4: (Dự bị B2-2006) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b Gọi α góc hai mặt phẳng (ABC) (A’BC) Tính tan α tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C Giải: * Tính tan α : + Gọi H tâm tam giác ABC Do A’.ABC hình chóp tam giác nên hình chiếu vng góc A’ (ABC) trùng với H + Gọi M giao điểm AH với BC AM ⊥ BC Mặt khác: A’B = A’C = A’A = b ⇒ A ' M ⊥ BC · Vậy góc hai mặt phẳng (ABC) (A’BC) là: α = AMA' ∆ A’HM vng H (vì A’H ⊥ (ABC)) A'H · ⇒ tan α = tan AMA '= MH 84 Nguyễn Cơng Mậu BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN C’ A’ ∆ ABC có cạnh a nên AM = a ⇒ AH = B’ b A’H = a a ; AM = ; MH = AM = 3 a2 3b − a A ' A2 − AH = b − = 3 Vậy tan α = A C a 3b − a a 3b − a : = a * Tính thẻ tích V khối chóp A’.BB’C’C: H M B V = VA ' B 'C ' ABC − VA' ABC V= a 3b − a 2  a  3b − a = S ABC A ' H − S ABC A ' H = S ABC A ' H =  a ÷ 3 32 ÷  (đvtt) · B = 2ϕ Bài 5: Cho khối chóp tam giác S.ABC có chiều cao h góc AS Hãy tính thể tích khối chóp Giải: S A C H M Tính VS.ABC : + Gọi H hình chiếu S (ABC) Vì: SA = SB = SC ⇒ HA = HB = HC → H tâm tam giác ABC + Gọi M giao điểm CH AB M trung điểm AB SM ⊥ AB + Đặt AB = 2x ⇒ AM = BM = x (x > 0) · B = 2ϕ ⇒ ASM · · + gt: AS = BSM = ϕ (00 < ϕ < 900 ) ¶ = 1v ⇒ SM = AM cot AS · M = x cot ϕ + ∆ASM, M MH = B 1 3 x CM = AB = x = 3 3 µ = 1v ⇒ SH + MH = SM ⇔ h + x = x cot ϕ + ∆SHM, H ⇒x= 3h 3cot ϕ − 1 11 2x 3 3h3  VS ABC = S ABC SH =  AB.CM ÷.h = h.2 x = x h = (đvtt) 3 3cot ϕ −  Bài 6: Khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh C SA ⊥ ( ABC ) , SC = a Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích khối chóp lớn Giải: Tìm góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích S.ABC lớn nhất: 85 Nguyễn Công Mậu BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN + gt: SA ⊥ ( ABC ) & AC ⊥ CB ⇒ SC ⊥ CB · (00 < α < 900 ) + Gọi α = ( ( SCB), ( ABC ) ) ⇒ α = SCA S a A B C ·  SA = SC.sin SCA = a sin α µ ∆ SAC , A = v ⇒ +  · = acosα  AC = SC.cos SCA 1 1 2 + VS ABC = S ABC SA = AC SA = a cos α a sin α 3 VS ABC = a 3cos 2α sin α + Xét hàm số: f (α ) = cos 2α sin α , 00 < α < 900 f '(α ) = −2 cos α sin α + cos3α = −2 cos α (1 − cos 2α ) + cos 3α = 3cos α − cos α = cos α 0 Vì: < α < 90 ⇒ cosα > ⇒ cosα ( ) ( 3cosα − )( 3cosα + ) 3cosα + > Do đó: f '(α ) = ⇔ 3cosα − = ⇔ cosα = ⇔ α = β; 0 Lập bảng biến thiên hàm số f( α ) khoảng ( ; 90 ) : α β 00 900 P f’( α ) P + fmax f( α ) P0 0P   cosβ =   ; < β < 900 ÷ ÷  Ta có f( α ) lớn ⇔ cosα = Vậy thể tích S.ABC lớn ⇔ f( α ) lớn ⇔ cosα = Bài 7: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) 2a Với giá trị góc mặt bên mặt đáy khối chóp thể tích khối chóp nhỏ ? Giải: Tìm góc mặt bên mặt đáy để thể tích S.ABCD nhỏ nhất: S + Gọi O tâm hình vng ABCD SO vng góc với (ABCD) SO chiều cao khối chóp S.ABCD + Gọi MN đường trung bình hình vng ABCD với M∈ CD N ∈ AB + CD ⊥ (SMN), (SMN) vẽ NK ⊥ SM, NK ⊥ CD ⇒ NK ⊥ (SCD) Vậy NK = d ( N , ( SCD) ) K + Vì AB//CD ⇒ AB//(SCD) B ⇒ A, ( SCD) ) = NK = 2a d( C Ta có: SM ⊥ CD MN ⊥ CD · ⇒ SMN = α = ( ( SCD), ( ABCD ) ) N M O µ = 1v ⇒ MN = NK = 2a ⇒ OM = a ∆NKM , K A D · sin α sin α sin NMK 86 Nguyễn Công Mậu BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN µ = 1v ⇒ SO = OM tan α = a + ∆SOM , O cosα 1 4a a 4a = + VS ABCD = S ABCD SO = MN SO = 3 sin α cosα 3sin α cosα Vậy VS ABCD nhỏ ⇔ f (α ) = sin α cosα lớn nhất, với 00 < α < 900 f '(α ) = cos α sin α − sin 3α = 2sin α (1 − sin 2α ) − sin 3α = 2sin α − 3sin α    = 3sin α  + sin α ÷ − sin α ÷ ÷ ÷    2 f '(α ) = ⇔ − sin α = ⇔ sinα = ⇔ α = arcsin 3 0 Lập bảng biến thiên hàm số f( α ) khoảng ; 90 : ( α 00 f’( α ) f( α ) arcsin P + ) 900 - P fmax P0 0P Ta có f( α ) lớn ⇔ α = arcsin Vậy thể tích S.ABCD nhỏ ⇔ f( α ) lớn ⇔ α = arcsin Bài 8: Khối chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) ; đáy ∆ABC cân A, độ dài trung tuyến AD = a, cạnh SB tạo với đáy góc α tạo với mặt (SAD) góc β Tính thể tích khối chóp Giải: Tính thể tích khối chóp S.ABC: + SA ⊥ (ABCD) nên AB hình chiếu SB (ABC) ⇒ ·ABS = α = ( SB, ( ABC ) ) + BC ⊥ AD BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAD) nên SD hình · = β = ( SB, ( SAD) ) chiếu SB (SAD) ⇒ BSD S + ∆SAB, µA = 1v ⇒ AB = SB.cosα µ = 1v ⇒ BD = SB.sinβ + ∆SDB, D µ = 1v ⇒ AD = AB − BD + ∆ADB, D A C D ⇔ a = SB (cos 2α − sin β ) ⇒ SB = Vậy BD = a cos 2α − sin β a sin β cos 2α − sin β B SA = SB sin α = a.sin α cos 2α − sin β 87 Nguyễn Công Mậu BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VS ABC 1 AD.BC = S ABC SA = SA = AD.BD.SA 3 a sin β a sin α a sin α sin β = a = 2 cos 2α − sin β cos 2α − sin β cos α − sin β (đvtt) Bài 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi B’, D’ hình chiếu A SB SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Giải: Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’: + Trong (SBD) gọi I giao điểm B’D’ SO Trong (SAC), gọi C’ giao điểm AI với SC thì: C’là giao điểm (AB’D’) với SC + ∆SAB = ∆SAD ⇒ SB = SD S + SB ' = 2a C’ D’ SA2 SA2 SB ' SD ' = = SD ' ⇒ = (*) SB SD SB SD + VS,AB’C’ + VS.AC’D’ = VS.AB’C’D’ 1 VS.ABCD = V (đặt VS.ABCD = V) 2 SB ' SC ' 2V SB ' SC ' = hay: S AB 'C ' = SB SC V SB SC + VS,ABC = VS.ACD = I B’ A D O B a C VS AB 'C ' VS ABC Tương tự: 2VS AC ' D ' SD ' SC ' SB ' SC ' = = (do SD = SB ) V SD SC SB SC SB '.SC ' SB '.SC ' 2a ⇒ 2VS AB 'C ' D ' = V = SB.SC SB.SC SB '.SC ' 2a ⇒ VS AB 'C ' D ' = SB.SC SA2 SB ' SA2 4a 4a ⇒ = = = = Vì: SB ' = 2 SB SB SB SA + AB 4a + a + ta có: BC ⊥ AB & BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB ) ⇒ BC ⊥ AB ' Mặt khác: SB ⊥ AB ' Vậy AB ' ⊥ ( SBC ) ⇒ AB ' ⊥ SC ; tương tự: AD ' ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( AB ' D ') ⇒ SC ⊥ AC ' Tam giác SAC vuông A AC’ đường cao nên: SC ' SA2 4a 4a 2 = = = = 2 2 SC SC SA + AC a + 2a 3 2a 16a = = 3 45 SC’.SC = SA2 ⇒ ⇒ VS AB 'C ' D ' Bài 10: Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông cân với cạnh huyền AB = Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = 88 Nguyễn Cơng Mậu BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN , góc ·A1 AB nhọn, góc mặt phẳng (A1AC) mặt phẳng (ABC) 60 Hãy tính thể tích khối lăng trụ Giải: Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 + Gt: ( A1 AB) ⊥ ( ABC ) Từ A1 dựng A1H ⊥ AB H A1 B1 ⇒ A1 H ⊥ ( ABC ) ⇒ A1H chiều cao lăng trụ Đặt A1H = h + Dựng HK ⊥ AC K (HK//BC) ∆ AKH vng cân K C1 HK hình chiếu A1K (ABC) mà AC ⊥ HK nên AC ⊥ A1K h Vậy ( ( A1 AC ), ( ABC ) ) = ·A1 KH = 600 ∆ A1HK vuông H: A H B h ⇒ HK = A1 H cot ·A1 KH = h cot 600 = ∆ AHK vuông cân K ⇒ AH = HK = K C h 2 ∆ A1HK vuông H ⇒ A1 H + HA = A1 A ⇔ h2 + 2h = ⇔ 5h = ⇒ h = 1 V = S ABC AH = CA.CB.h = CA2 2 2 µ = 1v ⇒ AC + CB = AB ⇔ AC = ⇒ AC = ∆ABC , C Vậy V = (đvtt) Bài 11 (DB A1-08PB) Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vuông cân đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng đáy (ABC) trung điểm E AB SE = 2a Gọi I, J trung điểm EC, SC M điểm di động tia ∧ đối tia BA cho ECM = α (α < 90 ) H hình chiếu vng góc S MC Tính thể tích khối tứ diện EHIJ theo a; α tìm α để thể tích lớn Giải: * Tính thể tích khối tứ diện EHIJ: + Gọi V thể tích khối tứ diện EHIJ Ta có: S h , với S diện tích ∆IHE h chiều cao khối tứ diện 1 + GT suy IJ// SE IJ= SE = 2a = a ; Vì SE ⊥ ( ABC ) ⇒ IJ ⊥ ( IHE ) Vậy h = IJ = a 2 ∆ EBC vuông B có EB = AB = a; BC = 2a nên EC = BC + BE = (2a) + a = a + Vì SE ⊥ (ABC) nên HE hình chiếu SH S mặt phẳng (ABC), SH ⊥ CM nên EH ⊥ CM Vậy · · tam giác CHE vuông H có ECH = ECM =α V= 89 Nguyễn Cơng Mậu BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN J C A I · ⇒ CH = CE.cos ECH = a 5.cosα 1 ⇒ S ∆ECH = CE.CH sin α = a 5.a 5cosα sin α 2 5a = sin 2α Do I trung điểm CE H E B 5a S ∆ECH = sin 2α 5a sin 2α Vậy V = 24 * Tìm α để thể tích V khối tứ diện EHIJ lớn nên S = nhất: M 5a 5a sin 2α ≤ (do sin 2α ≤ 1) 24 24 Vậy V lớn ⇔ sin 2α = ⇔ 2α = 900 ⇔ α = 450 Ta có: V = Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi M trung điểm SD Tính theo a thể tích khối tứ diện SAMC cơsin góc hai đường thẳng SB, AC Giải: S * Tính thể tích khối tứ diên SAMC: + Gọi V, V1, V2 thể tích khối tứ diện SAMC, khối chóp S.ACD, M.ACD , ta có: V = V1 - V2 + SA ⊥ (ABCD) nên SA chiều cao khối chóp S.ACD M Vậy V1 = 1 a3 SA.S ACD = a AD.DC = 3 Gọi H trung điểm AD MH//SA nên A H SA = a 2 1 a3 V2 = MH S ACD = a AD.DC = 3 2 12 3 a a a Vậy V = − = 12 12 MH ⊥ (ABCD) MH = D O B C * Tính cơsin góc hai đường thẳng SB, AC: Ta có: MO đường trung bình tam giác SBD nên: MO = SB = 1 SA2 + AD = 3a + a = a MO//SB nên góc SB AC góc 2 OM AC OA = AC = a 3a a ; AM = AH + MH = + =a 4 90 Nguyễn Công Mậu BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN a2 + a2 − a2 2 OA + OM − AM = = Trong tam giác OAM có: cos ·AOM = 2.OA.OM a 2 2 .a Vậy cos ( SB, AC ) = cos ( OM , OA ) = 2 91 Nguyễn Công Mậu ... Tính thể tích khối tứ diện EHIJ theo a; α tìm α để thể tích lớn Giải: * Tính thể tích khối tứ diện EHIJ: + Gọi V thể tích khối tứ diện EHIJ Ta có: S h , với S diện tích ∆IHE h chiều cao khối tứ diện. .. trung điểm SD Tính theo a thể tích khối tứ diện SAMC cơsin góc hai đường thẳng SB, AC Giải: S * Tính thể tích khối tứ diên SAMC: + Gọi V, V1, V2 thể tích khối tứ diện SAMC, khối chóp S.ACD, M.ACD... Vậy thể tích S.ABC lớn ⇔ f( α ) lớn ⇔ cosα = Bài 7: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) 2a Với giá trị góc mặt bên mặt đáy khối chóp thể tích khối chóp nhỏ ? Giải: